2016学年贵州省贵阳市高一下学期期末数学试卷及参考答案

2015-2016学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1．（4分）过点A（2，1）且斜率为1的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．x+y﹣1=02．（4分）观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，其中第20项是（）A．5 B．6 C．7 D．103．（4分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，4） B．（﹣2，1，﹣4） C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，﹣4）4．（4分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d5．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1 B．2 C．3 D．66．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．30°B．45°C．60°D．135°7．（4分）某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，则这个厂近5年内的总产值为（）A．1.14a B．1.15a C．10a（1.16﹣1）D．10a（1.15﹣1）8．（4分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．2 D．29．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为．12．（4分）一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是．13．（4分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的通项公式是．14．（4分）已知直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2=1相切，直线l的方程为．15．（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）已知在等差数列{a n}中，a4=7，a2+a7=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+n，求数列{b n}的前n项和T n的表达式．17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC，（1）求角A；（2）若a=2，且△ABC的面积等于，求b，c．18．（8分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数．（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为1万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为0.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？19．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA∥平面BDE；（2）若PD=DC=2，求三棱锥P﹣EDB的体积．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2015-2016学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1．（4分）过点A（2，1）且斜率为1的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．x+y﹣1=0【解答】解：过点（2，1）且斜率为1的直线方程为：y﹣1=x﹣2，整理，得x﹣y﹣1=0，故选：A．2．（4分）观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，其中第20项是（）A．5 B．6 C．7 D．10【解答】解：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，的特点是1有1个，2有2个，3有3个，…n有n个则数列一共有项，＜20，解得n≤5当n=5时，数列一共有15项，而当n=6时，有6项，则第20项为6，故选：B．3．（4分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，4） B．（﹣2，1，﹣4） C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，﹣4）【解答】解：点关于xOy平面对称点的坐标满足x，y不变，z相反，即点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（2，1，﹣4），故选：C．4．（4分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d【解答】解：对与A，当c=0时，不成立，对于B：当a=1，b=﹣2时不成立，对于C：当a＞0，b，c，d＜0时，不成立，对于D：若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故成立，故选：D．5．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：根据三视图可知几何体是以左视图为底面，高为2的直三棱柱，∴该多面体的体积为=3，故选：C．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：由正弦定理可得：=，解得sinB=，∵b＜a，∴B为锐角，∴B=45°．故选：B．7．（4分）某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，则这个厂近5年内的总产值为（）A．1.14a B．1.15a C．10a（1.16﹣1）D．10a（1.15﹣1）【解答】解：∵某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，∴这个厂近5年内年产值构成一个首项为a，公比为1.1的等比数列，∴这个厂近5年内的总产值为：S==10a（1.15﹣1）．故选：D．8．（4分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．2 D．2【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=时取等号，故选：A．9．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．10．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．12．（4分）一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是12πcm2．【解答】解：正方体的棱长为：2cm，正方体的体对角线的长为：2cm，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π（）2=12πcm2．故答案为：12πcm2．13．（4分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的通项公式是a n=4n﹣2．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则=a1a5，∴（2+d）2=2（2+4d），解得d=4．∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．故答案为：a n=4n﹣2．14．（4分）已知直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2=1相切，直线l的方程为x=1或4x﹣3y+5=0．【解答】解：设切线方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得k=，其方程为4x﹣3y+5=0．又当斜率不存在时，切线方程为x=1，综上所述，直线l的方程为x=1或4x﹣3y+5=0．故答案为：x=1或4x﹣3y+5=0．15．（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是①②④（写出所有正确结论的序号）【解答】解：作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD 成60°的角不正确；对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB 与CD所成的角为60°；综上知①②④是正确的故答案为①②④三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）已知在等差数列{a n}中，a4=7，a2+a7=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=+n，求数列{b n}的前n项和T n的表达式．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=7，a2+a7=16得，得a1=1，d=2，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）b n=+n=22n﹣1+n，则数列{b n}的前n项和T n=（21+23+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）=+=（4n﹣1）+．17．（8分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC，（1）求角A；（2）若a=2，且△ABC的面积等于，求b，c．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵c=2asinC．∴由正弦定理可得：sinC=2sinAsinC，…（3分）又∵sinC≠0，∴sinA=，∵A为锐角，可得A=，…（6分）（2）∵由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又a=2，A=，可得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，①又∵△ABC的面积=bcsinA=bc，解得：bc=4，②∴由①②可解得：b=c=2．…（12分）18．（8分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数．（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为1万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为0.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）x，y满足的线性约束条件为，可行域如图．（2）设生产甲肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生最大的利润，则目标函数为z=x+y，即y=﹣2x+2z．平移直线y=﹣2x+2z．由图可知当直线y=﹣2x+2z经过可行域上的点M时，截距z最大，解方程组，此时z=2+×2=2+1=3，所以z mx=3．答：分别生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大的利润为3万元．19．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA∥平面BDE；（2）若PD=DC=2，求三棱锥P﹣EDB的体积．【解答】证明：（1）连接AC，设AC，BD的交点为O，连OE，由O，E分别为AC，CP中点，∴OE∥PA又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面平面ABCD，∴PD⊥DC，∵E是PC的中点，且PD=DC=2，=S△PDC=，∴S△PDE∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面平面ABCD，∴PD⊥AD，∵AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，∵BC∥AD．∴BC⊥平面PDC，则V P=V B﹣PDE=S△PDE|BC|==．﹣EDB20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心是（x0，0）（x0＞0），它到直线的距离是，解得x 0=2或x 0=﹣6（舍去）…（3分）∴所求圆C 的方程是（x ﹣2）2+y 2=4…（4分）（2）∵点M （m ，n ）在圆C 上∴（m ﹣2）2+n 2=4，n 2=4﹣（m ﹣2）2=4m ﹣m 2且0≤m ≤4…（6分）又∵原点到直线l ：mx +ny=1的距离…（8分） 解得…（10分） 而∴…（11分） ∵…（12分） ∴当，即时取得最大值，此时点M 的坐标是与，面积的最大值是．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。