新北师大版初中七年级数学下册7.易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题

易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题

——易错归纳，各个击破

◆类型一求长度时忽略三边关系

1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )

A．12 B．9

C．12或9 D．9或7

2．学习了三角形的有关问题后，王老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另外两条边的长．”同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5”．你认为小明回答是否正确：________，理由是______________________．3．某等腰三角形的一边长是5cm，周长是20cm，求此等腰三角形其他两边的长．

4．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．

◆类型二当腰和底不明求角度时没有分类讨论

5．已知某等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为( )

A．50° B．80°

C．50°或80° D．40°或65°

6．某等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数为__________．7．已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为2∶1，求这个等腰三角形顶角的度数．

8．★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角的度数(要求画出相应图形，并写出求解过程)．

◆类型三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论

9．某等腰三角形的一内角为80°，则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是__________．

10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于________________．

11．★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，试求这个等腰三角形各内角的度数．

◆类型四两点固定，另一点不固定，确定三角形个数时漏解

12．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A，B，C 为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为【易错7】( )

A．7个B．8个

C．9个D．10个

第12题图第13题图

13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．【易错7】

参考答案与解析

1．A

2．不正确3，3，6不能构成三角形

3．解：当腰长为5cm时，底边长为20－5×2＝10(cm)．∵5＋5＝10，∴不

能构成三角形．当底边长为5cm 时，腰长为(20－5)×1

2＝7.5(cm)．∵7.5＋5＞7.5，

∴可以构成三角形，∴当5cm 为底边时，其他两边的长为7.5cm ，7.5cm.

4．解：设腰长为x cm.分两种情况进行讨论．(1)当腰长与腰长的一半的和是9cm 时，x ＋12x ＝9，解得x ＝6，∴底边长为15－1

2×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，

6cm ，12cm 不能组成三角形．

(2)当腰长与腰长的一半的和是15cm 时，x ＋1

2x ＝15，解得x ＝10，∴底边长

为9－1

2×10＝4(cm)．∵4＋10＞10，∴10cm，10cm ，4cm 能组成三角形．综上所

述，三角形的腰长为10cm ，底边长为4cm.

5．C 6.80°或20°

7．解：分两种情况进行讨论：(1)当底角与顶角的度数比是2∶1时，等腰三角形的顶角是180°×1

5＝36°；(2)当顶角与底角的度数比是2∶1时，等腰三角

形的顶角是180°×2

4

＝90°.即该等腰三角形的顶角为36°或90°.

8．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，AC ＝CD ，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ，∠CDA ＝∠CAD .∵∠CDA ＝180°－∠BDA ＝180°－(180°－∠B －∠BAD )＝2∠B ，∴∠BAC ＝3∠B .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∴∠BAC ＝108°；

(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝BD ＝CD ，∴∠B ＝∠C ＝∠DAC ＝

∠DAB ，∴∠BAC ＝2∠B .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴4∠B ＝180°，∴∠B ＝45°，∴∠BAC ＝90°.

(3)如图③，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ＝BC ，∴∠ABC ＝∠C ，∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C .∵∠BDC ＝180°－∠BDA ＝2∠A ，∴∠C ＝2∠A ，∴∠ABC ＝2∠A .∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，∴5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°；

(4)如图④，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，CD ＝BC .设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠DBA ＝∠A ＝x ，∴∠BDC ＝180°－∠ADB ＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠DBC ＝180°－x 2－x .∵CD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠DBC ，∴2x ＝180°－x 2－x ，∴x ＝180°

7

. 综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或

180°

7

. 方法点拨：本题应使用方程思想，根据等腰三角形等边对等角，再结合三角形的内角和求角度．正确把握题意，归纳出四种情形，防止漏解是解题关键．

9．10°或40° 10.70°或20°

11．解：分两种情况进行讨论：(1)如图①，当△ABC (AB ＝AC )为锐角三角形时，∠ABD ＝20°，BD ⊥AC ，∴∠A ＝70°，∴∠ABC ＝∠C ＝1

2(180°－∠A )

＝55°；(2)如图②，当△ABC (AB ＝AC )为钝角三角形时，∠ABD ＝20°，BD ⊥AC ，∴∠DAB ＝70°，∴∠BAC ＝110°，∴∠ABC ＝∠C ＝1

2(180°－∠BAC )＝35°.

综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别为70°，55°，55°或110°，35°，