中考数学专题复习一元二次方程与分式方程的应用

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中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第三节分式方程及其应用

3
③若分式方程的解为正数，则 a 的取值范围为 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠11；
yy－－33≠≠00，，
【分层分析】若分式方程的解为正数，则 yy＞＞00 ，即
3533aaa＋5＋＋5513112a22－＋－＞3130≠2≠00，，
，＞0
解得 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠1.1
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2022·普宁月考)若分式方程2xx－－1a－4＝－x2＋x＋1 a的解为整数，则整
数 a 的值为
(D )
A．±2
B．±1 或±2
C．1 或 2
D．±1
4．(2022·富川县模拟)关于 x 的分式方程2m－＋xx＋x－3 2＝1 有解，则实数
m 应满足的条件是 A．m＝－1
1．(2022·鼓楼区期末)关于 x 的分式方程x＋m 3＝1，下列说法中正确的
是
( B)
A．方程的解是 x＝m－3
B．当 m＞3 时，方程的解是正数
C．当 m＜3 时，方程的解为负数
D．当 m＝3 时，方程无解
2．(2022·荷塘区模拟)分式方程2x＋x－a 1＝2 的解为 x＝2，则 a 的值为 ( A)
④若分式方程有负分数解，则 a 的值可以为－－5(5答(答案不案唯不一唯) ；
【分层分析】若分式方程有负分数解，则 3a＋一12)＝－－1，1，－2－，－2，3，－－34，，
4－，6 －…，解得 6…
a＝3－133，－134，－153，－136或－6…－，∴a
的值可以为
－55.
⑤若分式方程有非负整数解，则 a 的值可以为－－44(答(答案不案唯不唯一) . 【解分得层a＝分3－析4】，若－分73式，方－程23，1有383非，负133整或数…解，则，3a∴＋5a一1的2＝)值00或可，，1以…，1为2，，－－42，，454.4或，…5，

全国中考真题分类汇编一元二次方程及其应用

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分） 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，acx x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程

专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。

【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。

2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。

3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。

【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。

【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：1nn aa-=。

5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。

中考数学专题复习之一元二次方程

2023年中考数学一轮复习
一元二次方程
中考命题说明
考点
课标要求
考查角度
了解一元二次方程的概念，理一元二次
解配方法，会用因式分解法、 1 方程的
公式法、配方法解简单的数字解法
系数的一元二次方程．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查一元二次方程的定义和解法．有时会要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法．
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意，故选A．【答案】A.
知识点1：一元二次方程及有关概念
典型例题
知识点1：一元二次方程及有关概念
典型例题
【例3】（2分）（2021•青海9/25）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，
则代数式m2+m的值等于
．
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝0，
得m2+m﹣6＝0，
即m2+m＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未
3. 选择技巧：
知识点2：一元二次方程的解法
（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.
一元二次了解一元二次方程根的判别式，常以选择题、填空题的形式考查一元二

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

人教版中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第三节分式方程及其应用

命题点 2：分式方程解的运用(近 6 年考查 4 次)
5 ． (2020 · 荆门第
11
题
3
分)已经关于
x
的
分
式
方
程
2x＋3 x－2
＝
（x－2）k（x＋3）＋2 的解满足－4<x<－1，且 k 为整数，则符合条件的
所有 k 值的乘积为
(A )
A．正数 B．负数
C．零 D．无法确定
6．★(2021·荆州第 15 题 3 分)若关于 x 的方程 2xx－＋2m＋x2－－1x＝3 的解是
【分层分析】设第二次购买材料 x t，由②得第二次购买的单价为x2211x0000
元，由③得第一次购买材料的吨数为 2x2 t，由①，③得第一次购买的
45210000 单价为x 2x
元，由④可列方程为x452x0x00－211000＝0021
000 x
.
45 000 解：设第二次购买材料 x t，则第一次购买材料 2x t．根据题意得 2x
周
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.分式方程的解法，应用分式方程解决简单的实际问题．分式方程的解法考查形式有：直接解分式方程；根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围；2.分式方程的应用主要以选择题的形式考查列方程，常在解答题中与不等式、函数的实际应用结合考查，难度较大，分值一般 3－10 分．
4 是原来每天用水量的5，这样 120 t 水可多用 3 天．求现在每天用水量是多少吨？
4 解：设原来每天的用水量为 x t，则现在每天的用水量为5x t，由题意可列方程： 1542x0－1x20＝3，解得 x＝10，经检验，x＝10 是原方程的解．
44 而5x＝5×10＝8. 答：现在每天的用水量为 8 t.

中考数学考点07分式方程及其应用总复习(原卷版)

分式方程及其应用【命题趋势】在中考中.解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程.解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。

【中考考查重点】一、能解可化一元一次方程的分式方程二、能根据具体问题的实际意义.检验方程的解是合理考点一：解分式方程1．（2021•广州）方程＝的解为（）A．x＝﹣6B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝6 2．（2021•贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（）A．1B．0C．﹣1D．无解3．（2021•饶平县校级模拟）在下列方程中.（）是分式方程．A ．＝1B ．C ．D ．4．（2020•郴州）解方程：＝+1．考点二：分式方程的实际应用行程问题时间速度路程= 工程问题工作完成时间工作效率工作总量= （当题干中没有给出具体工作总量时.默认工作总量为1）购买问题总量单价总价= 航行问题顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度-水流速度【提分要点】双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题5．（2021•黔西南州）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为xkm/h.依题意.下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．＝36．（2021•黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间.甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资.甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后.乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工.则根据题意列得方程（）A．B．C．D．7．（2021•市中区三模）开学在即.由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同.且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍.则第二次购买口罩的单价是元．8．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场.就用4000元购进一批衬衫.面市后果然供不应求.该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫.所购数量是第一批购进数量的2倍.但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．1．（2021秋•遵化市期中）下列哪个是分式方程（）A．﹣﹣3x＝6B．﹣1＝0C．﹣3x＝5D．2x2+3x＝﹣2 2．（2021秋•江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h.则轮船在静水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h3．（2021•张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书.现用A、B两种不同的包装箱进行包装.单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本.则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．4．（2021•安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车.达到世界先进水平.安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米.乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟.已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时.设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时.根据题意可列方程（）A．﹣＝2.6B．﹣＝2C．﹣＝D．﹣＝25．（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．1．（2021•阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3.则m的值为（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1 2．（2021•百色）方程＝的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝33．（2021•巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解.则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2 4．（2021•兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解.则a的值为（）A．﹣1B．0C．3D．0或3 5．（2021•鄂尔多斯）2020年疫情防控期间.鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要.花1万元购买了一批口罩.随着2021年疫情的缓解.以及各种抗疫物资充足的供应.每包口罩下降10元.电信公司又花6000元购买了一批口罩.购买的数量比2020年购买的数量还多100包.设2020年每包口罩为x元.可列方程为（）A．B．C．D．6．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十.粝米三十…”（粟指带壳的谷子.粝米指糙米）.其意为：“50单位的粟.可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）.若按照此“粟米之法”.则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升7．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中.需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响.实际施工时每天的工效比原计划增加25%.结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道.根据题意.所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝308．（2021•大庆）解方程：+＝4．1．（2014•日照校级模拟）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•安徽模拟）若x＝6是分式方程的根.则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4 3．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（）A．1B．﹣1C．±1D．无解4．（2021•西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后.平均每天比更新技术前多生产3万件产品.现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产产品x万件.则可以列方程为（）A．B．C．D．5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者.无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km.乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h.已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h.则下面所列方程中正确（）A．﹣＝3.6B．﹣＝3.6C．﹣＝3.6D．＝3.6﹣6．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌.现有A、B两个商家.A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数.则A商家每张餐桌的售价为（）A．197元B．198元C．199元D．200元7．（2021•碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．。

2024年中考数学高频考点压轴题专项训练:分式方程的实际应用

2024年中考数学高频考点压轴题专项训练分式方程的实际应用1．从珠海到深圳的距离大约160千米，工作日与周末由于车流量不同，所以导致行驶的平均速度和所用的时间不同．工作日与周末的行驶速度比为3:2，周末所用的时间比工作日多用了50分钟．求周末从珠海到深圳的平均行驶速度是多少？2．数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．(1)求每套《古今数学思想》的价格；(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？3．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了避开雨季的到来，实际工作时的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划的工作效率为x 万平方米/天．工作效率（万平方米/天）工作时间（天）总任务量（万平方米）原计划x 60 实际60 (1)用含x 的式子填表：(2)列方程求原计划的工作效率．4．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=100% 利润进价）5．为美化小区环境，物业计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作．已知甲工程队每天绿化面积是乙工程队每天绿化面积的2倍，甲工程队单独完成600m 2的绿化面积比乙工程队单独完成600m2的绿化面积少用2天．(1)求甲、乙两工程队每天绿化的面积分别是多少m2；(2)小区需要绿化的面积为9600m2，物业需付给甲工程队每天绿化费为0.3万元，付给乙工程队每天绿化费为0.2万元，若要使这次的绿化总费用不超过12万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？6．某航空公司为了保证C检工作正常进行，事先组织机务人员到外地跟班学习C检工作，后又具体分析研究，周密地制订出C检的具体实施方案，因而工作效率提高了30%，经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前6天完成了C检，为公司节约了数十万元的维修费用．请问：原计划多少天完成C检？（根据飞机维护规定，一架飞机每飞行250h，要进行一次定期检查，称为A检；每飞行3000h，就要进行一次中大修性质的全面维护、保养、检查工作，称为C检．）7．小明家距学校980m．(1)若他从家跑步上学，路上时间不超过490s，请直接写出小明跑步的平均速度至少为______m/s．(2)若他从家出发，先步行了350m后，发现上学要迟到了，因此换骑上了共享单车，达到学校时，全程共花了480s．已知小明骑共享单车的平均速度是步行平均速度的3倍，求小明骑共享单车的平均速度是多少？（转换出行方式时，所需时间忽略不计，假设家到学校随时都有共享单车）．8．为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天．(1)求乙队每天能完成多少米？(2)若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？9．列方程解应用题：某市将一项市政工程承包给某城建公司，该公司甲、乙两工程队如果全做项工程共需4个月：如果先由甲队单独做3个月，剩下的工程由乙队单独完成，那么乙队所用的时间等于甲队单独完成这项工程所需的时间．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月．10．某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元．(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？(2)若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？11．列分式方程解应用题某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前5天完成生产任务．该厂迅速加派人员组织生产，实际每天生产的顶数是原计划每天生产的顶数的2倍，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷12．某商店购进甲，乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．(1)求甲乙两种商品的价格各是多少元？(2)某商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么最多可购买多少件甲种商品？(3)李珍购进了甲，乙这两种商品，共用去145元钱，你知道他甲，乙两种商品各买了多少件吗？13．一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第二组单独做，超过规定日期6天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？14．某小区为了促进生活垃圾分类工作的开展，准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等.(1)求A、B两种垃圾桶每组的单价；(2)若该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组?15．列方程解应用题：某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．参考答案：1．周末从珠海到深圳的平均行驶速度是64千米/时2．(1)125元(2)20套3．(2)0.4万平方米/天4．（1）这两批水果功购进700千克；（2）售价至少为每千克15元．5．(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是300m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是150m2 (2)至少应安排甲队工作8天6．原计划约26天完成C检7．(1)2(2)小明骑共享单车的平均速度是7m/s 28．(1)乙队每天能完成90米；(2)乙工程队还需16天9．甲单独完成需6天，乙单独完成需12天10．(1)A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元(2)A种纪念品最多购进120件11．实际每天生产1152顶帐篷12．(1)每件甲种商品的价格为30元，每件乙种商品的价格为25元(2)最多可购买30件甲种商品(3)购买了4件甲种商品，1件乙种商品13．规定日期是6天．14．(1)A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元.(2)最多可以购买B种垃圾桶13组.15．甲每天修180米，乙每天修150米。

2024年九年级中考数学专题复习+课件++含参方程(组)、不等式(组)+

1
C.m>
3
3
1
D.m≥
3
变式
1.(2021·南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k²+h=0.
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
1
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且k与都为整数,求K所有可能的值.
2
2.若关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0无实数根,则关于x方程
8m + 9n = 10.
(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题.
x + 3y
=4−α
(2)试说明在关于x,y的方程组
中,不论a取什么实数,x+y的值始终不
x − 5y = 3a
变，
变式:
mx − y = 47
1.如果关于x,y的二元一次方程组
的解是
nx + 3y = −39
x=5
,不求 m,n.的值,你能否求关于x,y的二元一次方程组
y=3
m(x + y) − (x − y) = 47
的解?如果能,请求出方程组的解.
n(x + y) + 3(x − y) = −39
2.若相异的实数a，b满足
则 ab =
.

22−1

= 2
2 −1
,
类型三分式方程的解的问题

例3:若关于x的分式方程
2
−1
=
3
无解,则m=
2
−1
3
2或2
件的所有整数a.
2
− 2
4−
+
=

第10课时一元二次方程和分式方程的应用-2022年广东中考数学总复习课件

1.随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年 3 月份的 270 000 元/ 辆下降到 5 月份的 243 000 元/辆.若价格继续下降，且
月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年 7 月份
该款新能源汽车的价格将会(参考数据： 0.9 ≈0.95)
() A.低于 22 万元/辆 C.超过 22 万元/辆
经检验，x＝0.18 为方程的解，且符合题意．
答：电动车每行驶 1 千米所需电费为 0.18 元．
14.(2021·上海)现在 5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产 80 万部 5G 手机，三个月生产情况如图.
(1)求 3 月份生产了多少部手机？ (2)5G 手机速度很快，比 4G 下载速度每秒多 95 MB，下载一部 1 000 MB 的电影，5G 比 4G 要快 190 秒，求 5G 手机的下载速度.
答：5G 手机的下载速度是每秒 100 MB.
15.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 km，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙
队筑路总长是甲队筑路总长的 4 倍，甲队比乙队多筑 3
路 20 天. (1)求乙队筑路的总长；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路长度之比为 5∶8，
求乙队平均每天筑路多少千米.
解：设计划平均每天修建步行道的长度为 x 米，
则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为
1.5x 米，
依题意，得1
200 x
－112.50x0
＝5，
解得 x＝80，
经检验，x＝80 是原方程的解，且符合题意．
答：计划平均每天修建步行道的长度为 80 米．
13.小马驾车从 A 地到 B 地，驾驶原来的燃油汽车

中考复习分式方程组的解法总结与应用

中考复习分式方程组的解法总结与应用随着中考的临近，学生们开始积极备考各科目。

其中，数学作为一门重要科目，其中的分式方程组也是考试重点之一。

本文将总结分式方程组的解法，并分析其应用场景。

一、分式方程组的解法1. 消元法：在解分式方程组时，常使用消元法，即通过消除一个或多个变量，将方程组转化为只有一个变量的方程。

消元法有以下几种常见的技巧：（1）交叉相乘消元法：对方程组中的每一对等式，将其相应的分数去分母，并使两个等式相等。

然后将等式两边的分子项交叉相乘，得到新的等式，通过对新等式进行整理，可以解得变量的值。

（2）代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，去除一个变量，进而解方程组。

代入法需要观察方程组中的特殊关系，选择合适的方程进行代入。

2. 定理法：分式方程组的解法还可以借助一些定理来简化计算。

常用的定理有：（1）分式方程可统一分母：当分式方程组的分母都相同时，可以通过将等式两边的分子相等来解方程。

（2）等式加减消分式：如果分式一边的加减运算得到一个整数或一个等式，可以通过加减消分式来解方程。

二、分式方程组的应用1. 实际问题求解：分式方程组在实际问题中的应用十分广泛。

比如，某学校的三个班级参加一次足球比赛，每个班级的男生人数和女生人数之比分别为2:3、5:4、7:6。

如果三个班级一共有60名男生，求出每个班级的男生和女生人数。

2. 几何问题求解：分式方程组的应用还可以涉及几何问题。

比如，已知一个矩形的长是宽的三倍，且长和宽之和为20，求出这个矩形的长和宽。

结语：通过对分式方程组的解法进行总结与应用分析，相信同学们可以更好地复习和掌握这一知识点，为中考取得好成绩奠定基础。

希望本文能对同学们的学习有所帮助。

中考数学《一元二次方程与分式方程》专题含解析

一元二次方程与分式方程一、选择题①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是．8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c ；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．15．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①②③小题利用移项与变形b2﹣4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．【解答】解：①b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形．【分析】AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，即判别式△=b2﹣4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．【解答】解：∵a=1，b=﹣3m，c=2m2+m﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣3m）2﹣4×1×（2m2+m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．∴AB≠CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质．【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）＜0，求出a的范围，结合一元二次方程的△，来判断根的情况．【解答】解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】（1）正比例函数y=kx，当k＜0，图象过二、四象限；k＞0时，图象过一、三象限．（2）一元二次方程的△＞0时，有两个不相等的实数根．（3）本题要会把a＜﹣1转化为1﹣4a＞5．二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠±2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，∴m≠±2．【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．7．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故答案为：2．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．方程的解是x=0；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为±1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．分式方程﹣1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2x﹣2=x﹣2，解得x=0．经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1﹣（x﹣1）=0，即a+1﹣（1﹣1）=0解得a=﹣1．（2）方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）=0，化简得：（a﹣1）x=﹣2．当a=1时，整式方程无解．综上所述，当a=±1时，原方程无解．【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母．分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c ；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．【考点】解分式方程．【专题】阅读型．【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=．验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，∴方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，∴方程成立；∴的解是x1=c，x2=；（2）由得，∴x﹣1=a﹣1，，∴x1=a，x2=．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x2﹣2x1中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．【解答】解：（1）若m=1，方程化为x2﹣5x+4=0即（x﹣1）（x﹣4）=0，得x﹣1=0或x﹣4=0，∴x1=1或x2=4；证明：（2）∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2∵m≠0，∴（m+2）2≥0，即△≥0∴方程有实数根；解：（3）由求根公式，得．∴或x=1∵=2+∵m＞0，∴=2+＞2∵x1＜x2，∴x1=1，∴即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75°或15°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在解析式y=﹣x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），B（0，4）；（2）∵MN∥AB，，∴OM=ON=t，∴S1=OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则×4h=4×4×，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．F点的坐标满足，即F（t，4﹣t），同理E（4﹣t，t），则PF=PE=|t﹣（4﹣t）|=2t﹣4，所以S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN﹣S△PEF，=t2﹣PE•PF=t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4）=﹣t2+8t﹣8；②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，解得t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=﹣t2+8t﹣8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b 的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=﹣90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300．即y关于x的表达式为y=﹣90x+300．方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．所以，这条高速公路长为300千米．甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）．∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）．（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=．所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）．乙车与甲车相遇后的速度a=（300﹣2×60）÷2=90（千米/时）．∴a=90（千米/时）．乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．15．（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系S P+S Q=S矩形ABCD÷4求得并检验．（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．（2）设想成立．设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r=10，符合实际．所以，设想成立，则圆的半径是10米．【点评】分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．（2）三角形MPA中，底边AM的长为3﹣x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA﹣BN，PQ=AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=，则PQ=QN﹣PN=4﹣=x依题意，可得：AM=3﹣x，S=AM•PQ=（3﹣x）•=2x﹣x2=﹣（x﹣）2+∵0≤x≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值，S最大值=（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA=NB=x，∴MQ=QA=x，又∵DM+MQ+QA=AD∴3x=3，即x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，PQ=，MP=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2∴（3﹣x）2=（3﹣2x）2+（x）2，解得：x=（x=0不合题意，舍去）③若AP=AM，由题意可得：AP=x，AM=3﹣x∴x=3﹣x，解得：x=综上所述，当x=1，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．【点评】本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．第21页共21页。

苏科版数学中考复习专题练习—方程及其应用(含答案)

方程及其应用一、学习目标1．能够识别一次方程（组）、分式方程、一元二次方程，并熟练掌握各类方程（组）的解法；2．理解方程（组）的解的意义，探究含字母参数的方程的解的问题；3．会列方程（组）求解实际问题、数学问题．二、典型例题题型一、方程（组）有关的概念及解法例题1．关于x 的方程（m ＋1）x |m |＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．例题2．解方程：x x －1＝4 x 2－1 ＋1借题发挥：1．用加减消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧ x ＋3y ＝4 ①， 2x －y ＝1 ②，时，下列方法中无法消元．．．．的是（） A ． ①×2－② B ．②×(－3) －① C ． ①×(－2)＋② D ．①－②×32．用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是（）A ．(x － 3 4 )2＝ 17 16B ．(x － 3 4 )2＝ 1 2C ．(x － 3 2 )2＝ 13 4D ．(x － 3 2 )2＝ 11 4题型二、方程的解的意义例题3．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧ a x ＋23y ＝－103 x ＋y ＝4与⎩⎨⎧ x －y ＝2 x ＋b y ＝15 的解相同．求a 、b 的值.例题4．已知关x 的一元一次方程 1 2021 x ＋3＝2x ＋m 的解为x ＝2，那么关于y 的一元一次方程 1 2021(y ＋1)＋3＝2 (y ＋1)＋m 的解为．借题发挥：1．学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种2．甲、乙二人同时解方程组⎩⎨⎧ a x ＋y ＝3 2x －b y ＝1 ，甲看错了a ，解得⎩⎨⎧ x ＝1 y ＝－1 ；乙看错了b ，解得⎩⎨⎧ x ＝－1 y ＝3．求a 、b 的值．题型三、含字母参数的方程的解的问题例题5．若关于x 的分式方程3x x －2＝m 2－x+5的解为正数，则m 的取值范围为（） A ．m ＜－10 B ．m ≤－10C ．m ≥－10且m ≠－6D ．m ＞－10且m ≠－6例题6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．3或4D ．7借题发挥：关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1题型四、用方程思想解决问题例题7．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？。

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用

中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用一、单选题1．（2022·全国九年级课时练习）下列方程是一元二次方程的是（） A ．20ax bx c ++=B ．()223232x x x -=-C ．213x x-=D ．242x x x -= 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A 、20ax bx c ++=，a ≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；B 、()223232x x x -=-，整理得：-2x +6=0，是一元一次方程，故此选项错误；C 、213x x-=，是分式方程，故此选项错误； D 、242x x x -=，是一元二次方程，故此选项正确；故选：D ．2．（2022·全国九年级课时练习）下列各数是方程212x x -=的根的是（） A ．3x = B ．4x =C ．5x =D ．10x =【答案】B 【分析】分别将3x =，4x =，5x =，10x =代入方程中，如果方程左右两边相等，那么此时的值即为方程的解．【详解】解：将3x =，4x =，5x =，10x =代入方程中，可得当4x =时，左边=右边，故4x =是方程212x x -=的根，故选B ．3．（2022·全国九年级课时练习）已知方程2(3)210k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．4k < B ．4k ≤C ．4k <且3k ≠D ．4k ≤且3k ≠【答案】D 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】解：∵方程有两个实数根，∴30k -≠且22Δ4241(3)0b ac k =-=-⨯⨯-≥，解得4k ≤且3k ≠，故选D ．4．（2022·全国九年级课时练习）一元二次方程24410x x -+=的根的情况是（） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵2Δ(4)4410=--⨯⨯=，∴一元二次方程24410x x -+=有两个相等的实数根．故选C ．5．（2022·全国九年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（） A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【详解】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B6．（2022·珠海市九洲中学九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．1a = B ．1a >且0a ≠ C ．1a <且0a ≠ D ．1a ≤或0a ≠【答案】C由关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，即可得判别式△0>以及0a ≠，由此即可求得a 的范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，∴△224(2)41440b ac a a =-=--⨯⨯=->，解得：1a <，方程2210-+=ax x 是一元二次方程，0a ∴≠，a ∴的范围是：1a <且0a ≠．故选：C ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（） A ．9 B ．11C ．11或13D ．9或11【答案】C 【分析】首先解一元二次方程，再根据三角形三边关系的性质，分三种情况分析，通过计算即可得到答案．【详解】∵(2)(4)0x x --=， ∴12x =，24x =当三角形的三边长分别为2，4，5时，其周长为11；当三角形的三边长分别为4，4，5时，其周长为13；当三角形的三边长分别为2，2，5时，无法构成三角形； ∴这个三角形的周长是11或13．故选：C ．8．（2022·全国九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x 元，则有（） A ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭ C ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】解：设房价定为x 元，根据题意，得()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭故选A ．9．（2022·全国九年级课时练习）如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A 【分析】剩余部分可合成长为（30-x ）m ，宽为（20-x ）m 的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为551m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：根据题意，得(30)(20)551x x --=，整理，得250490x x -+=，解得121,49x x ==，∵当249x =时，20290x -=-<， ∴249x =舍去， ∴小路宽x 的值为1．故选A ．10．（2022·全国九年级课时练习）某市2012年有人口100万，2013年人口增长率为5%，“单独二胎”政策开放后，2014年人口增长率约为7%，若2013年、2014年人口年平均增长率为x ，则（） A ．6%x = B ．6%x >C ．6%x <D ．不能确定【答案】C【分析】根据题意可得等量关系为：2012年的人口数×（1+增长率）2=2014年的人口数，把相关数值代入即可列出方程．【详解】依题意列方程为2x+=++，100(1)100(15%)(17%)整理得2x+=++=，(1)(15%)(17%) 1.1235++=>，∵(16%)(16%) 1.1236 1.1235∴6%x<．故选：C二、填空题11．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x．则可列方程为________________．【答案】()2+=x500017500【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2=7500，故答案为：5000（1+x）2=7500．12．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）已知关于x的方程x2﹣14＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．【答案】k≥0【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣14＝0有两个不相等的实数根，∴2﹣4×1×（﹣14）＞0且k≥0，k+1＞0且k≥0，解得k≥0，故答案为：k≥0．13．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是____人．【答案】9【分析】设同去春游的人数是x人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x人，依题意，得：12x （x ﹣1）＝36，解得：x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去）．故答案是：9．14．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0有一个解是0，则m 的值为_____．【答案】﹣2 【分析】把x ＝0代入方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．【详解】解：把x ＝0代入方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0中，得 m 2﹣4＝0，解得m ＝﹣2或2，当m ＝2时，原方程二次项系数m ﹣2＝0，舍去，故答案是：﹣2．15．（2022·全国九年级课时练习）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．（1）245x =，应选用________法；（2）2165x x +=，应选用_______法；（3）2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，应选用__________法；（4）22330x x --=，应选用__________法．【答案】直接开平方配方因式分解公式【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到254x =，用直接开平方法求解；（2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法；（3）先移项，然后提出公因式(2)x +，用因式分解法；（4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法．【详解】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法；（2）2165x x +=的两边都加上64，易配方得2(8)69x +=，故选配方法；（3）方程2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，移项得2(2)(1)(2)(4)0x x x x +--++=，直接提公因式(2)x +求解即可，故选因式分解法；（4）22330x x --=，二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解．故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式三、解答题16．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）解方程：230x x +-=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可．【详解】解：1,1,3a b c ===-2411213b ac ∴∆=-=+=x ∴==12x x ∴=． 17．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）解方程：（1）3x 2﹣4x ＝1；（2）（3y ﹣2）2＝（2y ﹣3）2．【答案】（1）x 1x 2（2）y 1＝1，y 2＝﹣1 【分析】（1）由题意先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；（2）根据题意先移项得到（3y ﹣2）2﹣（2y ﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）3x 2﹣4x ﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴x 273，∴x 1x 2 （2）（3y ﹣2）2﹣（2y ﹣3）2＝0，（3y ﹣2＋2y ﹣3）（3y ﹣2﹣2y ＋3）＝0，3y ﹣2＋2y ﹣3＝0或3y ﹣2﹣2y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝﹣1．18．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计2022年该省将新增多少万个公共充电桩？【答案】（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩．【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该省2022年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，依题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）2.88×20%=0.576（万个）．答：预计2022年该省将新增0.576万个公共充电桩．19．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动，该超市从厂家购进A，B两种月饼进行销售，每周都用25000元购进250盒A种月饼和150盒B种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒A 种月饼的售价比每盒B 种月饼的售价的2倍少10元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为5000元．（1）求重百超市在第一周销售B 种月饼每盒多少元？（2）重百超市在第二周销售时，受到各种因素的影响，每盒A 种月饼的售价比第一周A 种月饼的售价每盒增加了53%m ，但A 种月饼的销售盒数比第一周A 种月饼的销售盒数下降了%m ；每盒B 种月饼的售价比第一周B 种月饼的售价每盒下降了%m ，但B 种月饼的销售盒数与第一周B 种月饼的销售盒数相同，结果第二周的总销售额为30000元，求m 的值．【答案】（1）重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元，则销售A 种月饼每盒为90元；（2）m =20【分析】（1）设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元，则销售A 种月饼每盒为（2x -10）元，然后根据题意可列方程求解；（2）由（1）及题意可知第二周A 种月饼销售价为%59013m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，销量为()2501m -％盒，而B 种月饼销售额为()150501m ⨯-％元，进而根据题意可列方程求解．【详解】解：（1）设重百超市在第一周销售B 种月饼每盒x 元，则销售A 种月饼每盒为（2x -10）元，由题意得：()250210150250005000x x -+-=，解得：50x =，∴销售A 种月饼每盒为2×50-10=90（元）；答：重百超市在第一周销售B 种月饼每盒50元，则销售A 种月饼每盒为90元；（2）由（1）及题意得：()()5901250115050130000%3m m m ⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪⎝⎭％％，化简得：2200m m -=，解得：1220,0m m ==（不符合题意，舍去），∴m =20．20．（2022·西安高新一中实验中学九年级开学考试）解方程：（1）24142x x x x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+【答案】（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =．【分析】（1）方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．【详解】解：（1）24142x x x x +=-+ ，方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =，当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-；（3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=， ()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．21．（2022·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学）已知：关于x 的方程()228440--+=x m x m 有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围．（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求出符合条件的m 的值．【答案】（1）1m <；（2）2m =-【分析】（1）根据根的判别式大于零求解即可；（2）根据根与系数的关系及根的定义得出关于m 的方程求解即可；【详解】解：（1）由题意知，22(84)440m m ∆=--⨯>即64640m ->∴1m <；（2）由根与系数关系得：1284x x m +=-，2124x x m =，∵1212x x x x +=∴2844m m -=，∴220m m +-=，解得，12m =- ，21m =∵1m <，∴2m =-．22．（2022·陕西九年级月考）用一块长8dm ，宽6dm 的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．（1）若要做成的盒子的底面积为15dm 2时，求截去的小正方形的边长；（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．【答案】（1）32dm；（2）1dm．【分析】（1）设截去的小正方形的边长为x dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，根据做成的盒子的底面积为215dm，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长；（2）设截去的小正方形的边长为y dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，根据这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长．【详解】解：（1）设截去的小正方形的边长为x dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，依题意得：（8﹣2x）（6﹣2x）＝15，整理得：4x2﹣28x+33＝0，解得：x1＝32，x2＝112，当x＝32时，6﹣2x＝6﹣2×32＝3，符合题意，当x＝112时，6﹣2x＝6﹣2×112＝﹣5，不合题意，舍去，答：截去的小正方形的边长为32 dm．（2）设截去的小正方形的边长为y dm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，依题意得：2×[（8﹣2y）y+（6﹣2y）y]：（8﹣2y）（6﹣2y）＝5：6，整理得：17y2﹣77y+60＝0，解得：y1＝6017，y2＝1，当y＝6017时，6﹣2y＝6﹣2×6017＝﹣1817，不合题意，舍去，当y＝1时，6﹣2y＝6﹣2×1＝4，符合题意，答：截去的小正方形的边长为1dm．23．（2022·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系，并且当销售单价为26元时，每天销售量28台；当销售单价为32元时，每天销售量16台，设台灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（台）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若该商场每天想获得150元的利润，在保证销售量尽可能大的前提下，应将销售单价定为多少元？【答案】（1）y=-2x+80；（2）单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元；（3）25元【分析】（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案．【详解】解：（1）设y=kx+b，由题意2628 3216k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：280kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-2x+80．（2）设每天的利润为W，W=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，此时当x=30时，w最大=200，答：当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元．（3）根据题意得（x-20）（-2x+80）=150，整理得：x2-60x+875=0，（x-25）（x-35）=0，解得：x1=25，x2=35，∵销售量尽可能大，∴x=25答：每本纪念册的销售单价是25元．。

中考数学复习：第二章：方程与不等式专题复习

分式方程及其应用
•中考预知 •1、分式方程的解法； •2、分式方程实际的应用。
考点1：分式方程的解法
• 1．分式方程:分母中含有字母的方程叫分式方程. • 2．解分式方程的一般步骤： • （1）去分母，在方程的两边都乘以分母的最小公倍数，约去分母，
化成整式方程；
• （2）解这个整式方程； • （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使
一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
典例精讲
• 1、下列方程是一元二次方程的是（）
• A．ax2 bx c 0
• B．x2 2x x2 1
• C．x 1x 3 0
• D． 1 x 2 x2
• 2、分别用下列方法解方程
• （1）(2x 1) 2 9（直接开平方法）
（2）4x2–8x+1=0（配方法）
2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0，不可能都有两个相等的实数根．
• 七、判定三角形的形状 • 例7 设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）
－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
• 八、讨论方程有理根的问题 • 例8 m为有理数，讨论后为何值时，方程x2＋4(1－m)x＋3m2－2m＋4k＝0
典例精讲
• 1、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（）
• A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
• C．
D．a2＞ab＞b2
• 2、若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（）
• A. ac bc
B. a b cc
C. c a c b D. a c b c

北京市第四中学九年级中考数学复习学案 03一元二次方

《方程与不等式》专题第三讲：一元二次方程、分式方程的解法及应用北京四中梁威• 一.复习回顾（一）分式方程的常规解法——去分母法用去分母法解分式方程的一般步骤是：(i)在方程的两边都乘以______________，约去分母，化为______方程； (ii)解整式方程；(iii)把整式方程的根代入__________，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是_____，必须舍去.（二）一元二次方程的解法1. 直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.2. 配方法：用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤是： ①化二次项系数为_____；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为________项，③配方，即方程两边都加上______________一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.3.公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是: 221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥. 4. 因式分解法：①令方程的右边为0；②将方程的左边化成两个一次因式的_________；③令每个因式都等于_____，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（三）应用（实际问题）注意事项：1.可以不用刻意分类，有数算数，未知的设未知数；2.注意分式方程要_________；3.注意检验结果是否符合题意；4.不要答非所问.二.例题分析例1. ⑴方程22123=-+--x x x 的解是x= ．⑵若关于x 的方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是．例2.解关于x 的方程：（1）04722=--x x ；（2）()()3532+=+x x ;（3）0182=+-x x ; （4）21202x x -+=.例3．设m 是实数，求关于x 的方程2320x mx x m --++=的根．例4．据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．例5．投入资金进行生态环境建设，从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投资并以此发展旅游产业．根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少13，第三年度比第二年度减少12．第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以下数据供选用：2141413 3.606．，≈≈，计算结果精确到百分位）．。

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=-二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0．【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+532或x=7-532．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=2m，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，∵m=2不合题意， ∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m ≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m 的值，要验证m 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x ﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根．故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--．【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ．【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是．【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（） A ．1 B ．12C ．13D ．253．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．k ＞﹣1 B ．k≥﹣1 C ．k≠0 D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（） A. B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是．8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---；（2）解方程：x x x x221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（，解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ． 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。