2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 选修4-5 1

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核心考点·精准研析

考点一绝对值不等式的解法

1.求不等式|1-2x|<1的解集.

2.求不等式|x-5|+|x+3|≥6的解集.

3.求不等式x+|2x+3|≥2的解集.

【解析】1.因为|1-2x|<1,

所以|2x-1|<1,

所以-1<2x-1<1,

所以0

所以不等式的解集为{x|0

2.因为|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8>6,所以原不等式的解集为R.

3.因为原不等式可化为或

解得x≤-5或x≥-.

综上,原不等式的解集是.

解绝对值不等式的基本方法

(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.

(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.

(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.

考点二绝对值不等式性质的应用

【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+1|.

(1)解不等式f(x)>x+5.

(2)若对于任意x,y∈R,有|x-3y-1|<,|2y+1|<,求证f(x)<1.

【解题导思】

联想解题

(1)去绝对值,解不等式

(2)利用转化化归思想,用x-3y-1和2y+1表示2x+1

【解析】(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5

⇒2x+1>x+5或2x+1<-x-5,

所以解集为{x|x>4或x<-2}.

(2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|

≤2|x-3y-1|+3|2y+1|<+=1.

利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.

1.若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值.

【解析】因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|

≤2|x-1|+3|y+1|≤7,

所以|2x+3y+1|的最大值为7.

2.若a≥2,x∈R,求证:|x-1+a|+|x-a|≥

3.

【证明】因为|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3, 所以|x-1+a|+|x-a|≥3成立.

考点三绝对值不等式的综合应用

命题精解读考什么:(1)考查解不等式、求参数、图象、恒成立及存在性等问题(2)考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养和数形结合、转化化归、分类讨论等数学【思想方法】

怎么考:与函数、方程、图象等结合考查关于绝对值不等式的问题

新趋势:以绝对值不等式为载体,与其他知识相结合,考查学生对知识的灵活运用

学霸好方法求参数问题的解题思路:

(1)参数在绝对值内时,分类讨论,解不等式

(2)参数在绝对值外时,结合图象,最值等问题,利用数形结合、分类讨论、恒成立、存在性等方法解决

含有参数的绝对值不等式问题

【典例】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,

即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为.

(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立,

等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.

若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1,不满足题意;

若a>0,则|ax-1|<1的解集为,

所以≥1,

故0

综上,a的取值范围为(0,2].

函数图象与绝对值不等式

【典例】(2018·全国卷Ⅲ)设函数f=+.

(1)画出y=f的图象;

(2)当x∈时, f≤ax+b,求a+b的最小值.

【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.

(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,

故当且仅当a≥3且b≥2时,

f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,

因此a+b的最小值为5.

恒成立和存在性问题

【典例】(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.

(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.

【解析】(1)当a=1时,f(x)=

可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.

(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.

故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.

由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,

所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).

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