新人教高考数学专题复习《充要条件》测试题
新人教高考数学专题复习《充要条件》测试题
第6课时 充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件．（3）取120,30A B ==，p 不能推导出q ；取30,120A B ==，q 不能推导出p所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件．解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>，欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立，只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可，又因为11194520a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<，解得1log (1)(1)t t t t -<-<>，即101(2)t t t t<<-<≠，解得实数t 应满足的关系为12t +>且2t ≠． 例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥。
高中数学 专题1.2.2 充要条件测试(含解析)新人教A版选修21
充要条件（时间：25分，满分55分） 班级 姓名 得分一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C3．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴t an A tan B >1，故④真．4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A6．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合__________________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5；③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10.9．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分10．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x x －b x ≥0，－x x －b x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题11．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋32－4m 1－m >01－m m<0， ∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，∵{a n}为等比数列，∴a2a1＝a n＋1a n＝p，即p p－1p＋q＝p，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{a n}为等比数列的充要条件．。
新教材人教A版高中数学必修一充要条件 同步练习(含解析)
1.4.2 充要条件【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一．单选题1.设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知a,b∈R，则“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在下列结论中，正确的有()①x2>4是x3<−8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③4.三角形全等是三角形面积相等的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.设非空集合A，B，则A∩B≠⌀是A⊆B的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.已知命题p：四边形的一组对边平行且相等，命题q：四边形是矩形，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.设集合A={x∈R|x−2>0}，B={x∈R|x<0}，C={x∈R|x(x−2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设A，B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补．记φ(a,b)=√a2+b2−a−b，则φ(a,b)=0是a与b互补的()A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件二．多选题11.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列结论正确的是()A. Δ=b2−4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B. Δ=b2−4ac=0是这个方程有实根的充分条件C. Δ=b2−4ac>0是这个方程有实根的必要条件D. Δ=b2−4ac<0是这个方程没有实根的充要条件12.下列各式中，是x2<1的充分条件的有()A.x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<0三．填空题13.不等式x2−3x+2<0成立的充要条件是________．14.已知x∈R，若“x2>1”是“x<k”的必要不充分条件，则实数k的最大值为________．15.设集合A={1,2}，B={a2}，则“a=1”是“B⊆A”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)16.已知甲、乙、丙、丁四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)17.已知m>0，p：(x+1)(x−5)≤0，q：1−m≤x≤1+m.若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．四．解答题18.指出下列各组命题中p是q的什么条件．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种，并说明理由．(1)设x，y是实数，p：x>y，q：|x|>|y|．(2)p：a∈N，q：a∈Z．(3)p：点D在△ABC的边BC的中线上，q：S△ABD=S△ACD．(4)p：小王的学习成绩优秀，q：小王是“三好学生”．19.指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除．(2)p：|x|>1，q：x2>1．(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．>2，q：x2−ax+5>0．20.已知p：x+1x−2(1)若￢p为真，求x的取值范围；(2)若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、比较大小、不等式性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：本题采用特殊值法：当a=3，b=−1时，a+b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a=−3，b=−1时，ab>0，但a+b<0，故不是必要条件．所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题型，由题意，若a>|b|，可得a|a|> b|b|成立；当a=1，b=−2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不一定成立，即可求解；【解答】解：由题意，若a>|b|，则a>|b|≥0，则a>b，因为y=x|x|在R上单调递增，则a|a|>b|b|成立；当a=1，b=−2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不一定成立，所以a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断的相关知识，试题难度一般【解答】解：对于结论①，由x3<−8⇒x<−2⇒x2>4，但是x2>4⇒x>2或x<−2⇒x3>8或x3<−8，不一定有x3<−8，故①正确；对于结论②，当B=90∘或C=90∘时不能推出AB2+AC2=BC2，故②错；对于结论③，由a2+b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2+b2≠0，故③正确．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件以及充要条件的判断，由题意根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若三角形全等，则三角形的面积相等，即充分性成立；若两个三角形的面积相等，则三角形不一定全等，故必要性不成立，所以三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件．故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，由必要条件、充分条件与充要条件的判断定义可得答案【解答】解：由非空集合A，B且A⊆B得A∩B≠⌀，但A∩B≠⌀不一定可推出A⊆B，故A∩B≠⌀是A⊆B的必要不充分条件故选B6.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件以及充要条件的判定，由题意根据充分必要条件的定义进行判断即可．解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，但不一定是矩形，而矩形一定是平行四边形，所以p⇏q,q⇒p，故p是q的必要不充分条件．故选：B．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．【解答】解：A={x∈R|x−2>0}={x|x>2}，A∪B={x|x>2或x<0}，C={x∈R|x(x−2)>0}={x|x>2或x<0}，∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选：C．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，即“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选：A．【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，集合的交集及集合的关系，属于基础题．根据充分条件和必要条件的判断即可求解此题．【解答】解：A，B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，反之也成立，所以，“A∩B=A”是“A⊆B”充要条件．故选C．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了充分必要条件的判定，属于基础题．根据题目定义，从充分性与必要性两个方面进行判定即可．【解答】解：若φ(a,b)=√a2+b2−a−b=0，则√a2+b2=(a+b)，两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|−b=0，故b≥0，即a与b互补;若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时√a2+b2−a−b=√b2−b=0，同理若b=0，a≥0，此时√a2+b2−a−b=√a2−a=0，即φ(a,b)=0，故φ(a,b)=0是a与b互补的充要条件．故选C．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、二次函数的零点与一元二次方程解的关系的相关知识，试题难度较易【解答】解：可利用Δ=b2−4ac的值判断方程根的情况，Δ=0方程有两相等实根；Δ>0方程有两不等实根；Δ<0方程无实根．A对，Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根；B对，Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根；C错，Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根，但ax2+bc+c=0有实根⇏Δ>0；D对，Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根．故选ABD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查的是充分条件的判断，属于基础题．可先解不等式x2<1，再结合充分条件进行判断．【解答】解：由x2<1得−1<x<1，由BCD都能推出x满足−1<x<1，故选BCD．13.【答案】1<x<2【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、一元二次不等式的解法的相关知识，试题难度较易【解答】解：x2−3x+2<0⇔1<x<2，故不等式x2−3x+2<0成立的充要条件是1<x<2．故答案为1<x<2．14.【答案】−1【解析】【分析】直接根据题意及必要不充分条件，知“x<k”可以推出“x2>1”，反之不成立，从而可得k的最大值．【解答】解：因x2>1得x<−1或x>1，又“x2>1”是“x<k”的必要不充分条件，知“x<k”可以推出“x2>1”，反之不成立．则k的最大值为−1．故答案为−1．15.【答案】充分不必要【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判定，以及集合包含关系的判定，属于基础题．直接根据题意及必要条件、充分条件的判断即可得出答案．【解答】解：根据题意集合A={1,2}，B={a2}，若a=1，则B={a2}={1}，则“B⊆A“，故充分性成立，当集合A={1,2}，B={a2}，若“B⊆A“，则可得a2=1或a2=2，故必要性不成立，故“a=1”是“B⊆A”的充分不必要条件．故答案填：充分不必要．16.【答案】必要不充分【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件以及充要条件的判定．根据充分必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：甲是乙的充分不必要条件，故甲⇒乙,乙⇏甲，丙是乙的充要条件，故丙⇒乙,乙⇒丙，丁是丙的必要不充分条件，故丁⇏丙,丙⇒丁，显然丁不能推出甲，而甲能推出乙，乙能推出丙，丙能推出丁，故甲能推出丁，即丁是甲的必要不充分条件．故答案填：必要不充分．17.【答案】[4,+∞)【解析】【分析】本题考查充分条件的判定、集合关系中的参数取值问题．化简p ，根据题意得出{1−m ≤−11+m ≥5，由此即可求出结果． 【解答】解：由(x +1)(x −5)≤0得−1≤x ≤5，∴p ：−1≤x ≤5，∵q ：1−m ≤x ≤1+m ，m >0，p 是q 的充分条件，∴满足[−1,5]⊆[1−m,1+m ]，∴{1−m ≤−11+m ≥5，解得m ≥4， ∴m 的取值范围为[4,+∞)．故答案为[4,+∞)．18.【答案】解：(1)当x >y 时，|x|>|y|不一定成立，当|x|>|y|时，x >y 也不一定成立，故p 是q 的既不充分又不必要条件；(2)当a ∈N 时，a ∈Z 一定成立，当a ∈Z 时，a ∈N 不一定成立，故p 是q 的充分不必要条件；(3)当点D 在△ABC 的边BC 的中线上时，S △ABD =S △ACD ，当S△ABD=S△ACD时，点D不一定在△ABC的边BC的中线上，故p是q的充分不必要条件；(4)当小王的学习成绩优秀时，小王不一定是三好学生，但小王是三好学生时，小王的学习成绩一定优秀，故p是q的必要不充分条件．【解析】本题主要考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，属于基础题．(1)根据p与q的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论；(2)根据a∈N与a∈Z的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论；(3)根据点D在△ABC的边BC的中线上与S△ABD=S△ACD的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论；(4)根据小王的学习成绩优秀与小王是三好学生的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论．19.【答案】解：(1)因为p⇒q，但q不能⇒p，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为p⇒q，但q⇒p，所以p是q的充要条件．(3)因为p不能⇒q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．【解析】本题主要考查了充分条件，必要条件，充要条件的判断，属于基础题．欲判断p是q的什么条件，根据充分条件，必要条件，充要条件的方法，只须判断p与q，谁能推出谁的问题即可．20.【答案】解：(1)p：x+1x−2>2，化为：x−5x−2<0，即(x−2)(x−5)<0，解得：2<x<5，由￢p为真，可得：x≤2或x≥5，∴x的取值范围是(−∞,2]∪[5,+∞)．(2)￢q是￢p的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．故q：x2−ax+5>0对于任意2<x<5恒成立，故a<x+5x ，∵x+5x≥2√5，当且仅当x=√5时取等号．故a<2√5．>2，化为：(x−2)(x−5)<0，解得x范围，由￢p为真，可得x的取值范围．【解析】(1)p：x+1x−2(2)￢q是￢p的充分不必要条件，可得：q是p的必要不充分条件．于是q：x2−ax+5>0对于任意2<x<5恒成立，转化为a<x+5，利用基本不等式的性质即可得出．x本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
高考数学单元复习训练4 充要条件(教师版)
高考数学单元复习训练4 充要条件（教师版）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分但不必要条件，那么⌝A 是⌝B 的（ ）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“A ⇒B ”⇔“⌝B ⇒⌝A ”,“B A ”等价于“⌝A ⌝B ”.2.(2010浙江杭州二中模拟，4)“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b>4,ab>4,但“a>2且b>2”不成立.3.(2010北京西城区一模，5)设a 、b ∈R ,则“a>b ”是“a>|b|”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件 答案：B解析：a>b 并不能得到a>|b|.如2>-5,但2<|-5|,且a>|b|⇒a>b.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x 2≥-x,则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x ≤-1或x ≥0}.∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.5.已知真命题：“a ≥b 是c>d 的充分不必要条件”，和“a<b ⇔e ≤f ”那么“c ≤d ”是“e ≤f ”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：“a ≥b 是c>d 的充分不必要条件”等价于“c ≤d ⇒a<b 且a<b c ≤d ”,即c ≤d ⇒e ≤f 但e ≤f c ≤d,故选A.6.(2010全国大联考，2)不等式1<x<2π成立是不等式（x-1）tanx>0成立的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：A解析：当1<x<2π时，x-1>0,tanx>0,即tan （x-1）tanx>0,但当x=45π时，（x-1）tanx=(45π-1)×1>0,而45π∉(1,2π),故选A. 7.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a>0,b,c ∈R )则“关于x 的不等式ax 2+bx+c<x 有实数解”是“此抛物线顶点在直线y=x 下方”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax 2+bx+c<x 有实数解⇔(b-1)2-4ac>0,顶点（-a b ac a b 44,22-）在直线y=x 下方⇔-ab ac a b 4422->⇔(b-1)2>4ac+1,故选B. 二、填空题（每小题5分，共15分）8.方程3x 2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.答案：0<k<325 解析：其充要条件为⎪⎩⎪⎨⎧>>-=∆.03,012102k k ⇔0<k<325. 9.已知p:|x+1|>2和q:4312-+x x >0,则⌝p 是⌝q 的__________________.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）答案：充分不必要解析：∵p:x<-3或x>1,q:x<-4或x>1,∴⌝p:-3≤x ≤1, ⌝q:-4≤x ≤1.∴⌝p 是⌝q 的充分不必要条件.10.给出下列各组p 与q:(1)p:x 2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x>-3;(3)p:内错角相等，q ：两条直线互相平行；（4）p ：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:x ∈M,且x ∈P,q:x ∈M ∪P(P,M ≠∅).其中p 是q 的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：（2）（5）解析：（1）（4）中p 是q 的必要不充分条件;（3）中p 是q 的充要条件；（2）（5）满足题意.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.设x 、y ∈R ,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y ≠0;②y=0,x ≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|. 如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|；当x<0,y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy ≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y ∈R ,得（x+y ）2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,|xy|=xy,∴xy ≥0.解法二：|x+y|=|x|+|y|⇔(x+y)2=(|x|+|y|)2⇔x 2+y 2+2xy=x 2+y 2+2|xy|⇔xy=|xy|⇔xy≥0.12.已知a,b 是实数，求证：a 4-b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2-b 2=1,该条件是否是必要条件？证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a 2-b 2=1即a 2=b 2+1时，a 4-b 4=(b 2+1)2-b 4=2b 2+1.∴a 4-b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2-b 2=1又a 4-b 4=1+2b 2,故a 4=(b 2+1)2.∴a 2=b 2+1，即a 2-b 2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x 的方程：（a-6）x 2-(a+2)x-1=0.(a ∈R ),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=-81. 当a ≠6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x 1x 2=-61-a <0,即a>6. 方程有两负根的充要条件是： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=•<-+=+≥-++=∆,061,062,0)6(4)2(21212a x x a a x x a a 即2≤a<6.∴方程至少有一负根的充要条件是：2≤a<6或a=6或a>6,即a ≥2.14.(1)是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.解析：(1)当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0得x<-4p ,故-4p ≤-1时, “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件.（2）不存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件.。
充要条件的测试题及答案
充要条件的测试题及答案1. 判断下列命题是否为充要条件，并说明理由。
(1) 若a > 0，则a² > 0。
(2) 若a² > 0，则a > 0。
2. 已知命题p："若x > 2，则x² > 4"，命题q："若x² > 4，则x > 2"，判断p和q是否互为充要条件。
3. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² - 4x + 4 = 0，则x = 2。
(2) 若x = 2，则x² - 4x + 4 = 0。
4. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² + y² = 0，则x = 0且y = 0。
(2) 若x = 0且y = 0，则x² + y² = 0。
5. 已知命题p："若x > 0，则x² > 0"，命题q："若x² > 0，则x > 0"，判断p和q是否互为充要条件。
6. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² - 2x + 1 = 0，则x = 1。
(2) 若x = 1，则x² - 2x + 1 = 0。
7. 已知命题p："若x > 1，则x² > 1"，命题q："若x² > 1，则x > 1"，判断p和q是否互为充要条件。
8. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x³ = 8，则x = 2。
(2) 若x = 2，则x³ = 8。
9. 判断以下命题是否为充要条件。
(1) 若x² - 6x + 9 = 0，则x = 3。
(2) 若x = 3，则x² - 6x + 9 = 0。
2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的()A ．充分条件B ．必要条件C ．无法判断D ．既不充分又不必要条件2．“x ＝3”是“x 2＝9”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．使x >3成立的一个充分条件是()A ．x >4B ．x >0C ．x >2D ．x <24．设集合A ＝{1，a 2，－2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．a <0，b <0的一个必要条件为()A.a b >1 B.ab <－1C ．a ＋b <0D ．a －b >06．已知a ，b ∈R ，则ab >0是b －a a >b －ab 的()A ．无法判断B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，是真命题的为()A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件8．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是()A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3二、填空题9．“a 和b 都是偶数”是“a ＋b 是偶数”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)10．“x >3”是“x <－2或x >2”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)三、解答题11．判断下列各项中，p 是否是q 的必要条件，并说明原因．(1)p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除；(2)p ：x >1，q ：x >1或x <－1；(3)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形．12．设p ：实数x 满足a <x <4a (a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5.若q 是p 的充分条件，求实数a 的取值范围．13．设A ，B ，C 三个集合，则A B 是A (B ∪C )的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．无法判断D ．既不充分也不必要条件14．(多选题)给出四个条件：①xt 2>yt 2；②xt >yt ；③x 2>y 2；④0<1x <1y .其中能成为x >y 的充分条件的有()A ．①B ．②C ．③D ．④15．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的条件(填“充分”或“必要”)．16．已知p ：－1<x <3，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(A)A．充分条件B．必要条件C．无法判断D．既不充分又不必要条件解析：由题意可知，好货⇒不便宜，故选A.2．“x＝3”是“x2＝9”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝3时，有x2＝9.当x2＝9时，x＝3或x＝－3.故“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．3．使x>3成立的一个充分条件是(A)A．x>4B．x>0C．x>2D．x<2解析：∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．4．设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝2时，A＝{1,4，－2}，A∩B＝{4}．当A∩B＝{4}时，a 可以为－2，故不能推出a ＝2.由此可知“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．5．a <0，b <0的一个必要条件为(C )A.a b >1 B.ab <－1C ．a ＋b <0D ．a －b >0解析：a <0，b <0⇒a ＋b <0，故选C.6．已知a ，b ∈R ，则ab >0是b －a a >b －ab 的(B )A ．无法判断B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查充分条件与必要条件、不等式的性质．因为b －aa －b －a b ＝(a －b )2ab ，当ab >0，且a ＝b 时，b －a a －b －a b ＝0；当(a －b )2ab >0时，ab >0，且a ≠b ，所以ab >0是b －a a >b －ab 的必要不充分条件，故选B.7．任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，是真命题的为(B )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析：>bc ，>0⇒a >b >bc ，<0⇒a <b ，∴ac >bc ⇒/a >b ，而a >b ⇒/ac >bc ，∴“ac >bc ”既不是“a >b ”的充分条件，也不是其必要条件，故A ，C 错误．又＝bc ，≠0⇒/a ＝b ＝bc ，＝0⇒a ＝b ，∴由ac ＝bc ⇒/a ＝b ，而由a ＝b ⇒ac ＝bc ，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．故选B.8．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是(A) A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：要求使a>b成立的充分条件，必须满足由选项推出a>b.A 中，a>b＋1能使a>b成立，故A正确．B中，a>b－1时，a>b不一定成立，故B错误．C中，a2>b2时，a>b也不一定成立，因为a，b 不一定均为正值，所以C错误．D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D错误．二、填空题9．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的充分不必要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)解析：当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．10．“x>3”是“x<－2或x>2”的充分不必要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)解析：令集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x<－2或x>2}，∵A B，∴x>3是x<－2或x>2的充分不必要条件．三、解答题11．判断下列各项中，p是否是q的必要条件，并说明原因．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x>1或x<－1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．解：(1)数a能被3整除时，不一定能被6整除，即q⇒/p，∴p 不是q的必要条件．(2)∵x>1或x<－1⇒/x>1，∴q⇒/p.∴p不是q的必要条件．(3)∵正三角形三个角都相等，故当△ABC为正三角形时，必有两个角相等，即q⇒p，∴p是q的必要条件．12．设p：实数x满足a<x<4a(a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．解：因为q是p的充分条件，所以q对应的集合是p对应集合的子集，所以{x|2<x≤5}⊆{x|a<x<4a}，≤2，a>5，≤2，>54，得54<a≤2，即实数a的取值范围是54<a≤2.13．设A，B，C三个集合，则A B是A(B∪C)的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．无法判断D．既不充分也不必要条件解析：A B⇒A(B∪C)，但A(B∪C)⇒A B，例如A＝Z，B ＝N，C＝R，所以A B是A(B∪C)的充分不必要条件，故选A.14．(多选题)给出四个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<1x<1y.其中能成为x>y的充分条件的有(AD)A．①B．②C．③D．④解析：①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；②当t>0时，x>y，当t<0时，x<y，故xt>yt⇒/x>y；③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2⇒x>y；④由0<1x<1y⇒x>y.故选AD.15．若“a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，则“c≤d”是“e≤f”的充分条件(填“充分”或“必要”)．解析：由题意知a≥b⇒c>d，类比集合中由A⊆B⇒∁U B⊆∁U A，利用补集思想可推知c≤d⇒a<b，又有a<b⇒e≤f，故c≤d⇒e≤f，故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．16．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．解：因为－a<x－1<a是p：－1<x<3的一个必要条件，且－a<x －1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)，所以{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a，a>0}，－a≤－1，＋a≥3，>0.解得a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}．。
【高中数学】新人教A版高一1.4.2 充要条件(练习题)
新人教A版高一1.4.2 充要条件(2006)1.若a∈R,则“a2=1”是“|a|=1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.设p：−1<x<1；q：−2<x<1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是（）A.a>b+1B.a>b−1C.a2>b2D.a3>b34.p：x=1或x=2，q：x−1=√x−1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)中，y随x的增大而增大”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.设集合A={x|x>−1},B={x|x⩾1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A.−1⩽x⩽1B.x⩽1C.x>−1D.−1<x<17.设x∈R,则“0<x<5”是“−1<x−1<1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知集合A={x|−1<x<1},B={x|−a<x−b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是（）A.−1⩽b<0B.0<b⩽2C.−2<b<2D.−2⩽b⩽29.已知p：x>2，q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是；若p是q的必要条件，则a的取值范围是.10.设n∈N∗，则关于x的方程x2−4x＋n=0有整数根的充要条件是n=.11.下列结论,可作为“两条直线平行”的充要条件的是.(填序号)①同位角相等;②内错角相等;③同旁内角互补;④同旁内角相等.12.有下列说法:①“x>4且y>5”是“x+y>9”的充要条件;②当a≠0时,“b2−4ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有解”的充要条件;③“x=1或x=−2”是“x2+x−2=0”的充要条件.其中正确说法的序号为.13.下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:ax2+2x−1=0有两个不等的实数根,q:a>−1;(2)p:1−x<2x−8,q:x−3>2;(3)p:A∪B=A,q:A∩B=B;(4)p:x>2且y>2,q:x+y>4.14.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.15.有以下三个结论：①在△ABC中，“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；②若a,b∈R，则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件；③若a,b∈R，则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.其中正确的结论是.(填序号)16.设条件p：|x|⩽m(m>0)，q：−1⩽x⩽4，若p是q的充分条件，则m的最大值为，若p是q的必要条件，则m的最小值为.17.在△ABC中，AB=c,BC=a，CA=b,证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2= ab+bc+ac.参考答案1.【答案】:C2.【答案】:A【解析】:由−1<x<1可得−2<x<1，反之不一定成立，因此p是q的充分不必要条件.故选A.3.【答案】:A4.【答案】:C【解析】:因为x=1或x=2⇒x−1=√x−1，x−1=√x−1⇒x=1或x=2，所以p是q的充要条件.故选C.5.【答案】:C6.【答案】:D7.【答案】:B【解析】:由“−1<x−1<1”可得“0<x<2”.由“0<x<5”不能推出“0<x<2”,但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”,所以“0<x<5”是“−1<x−1<1”的必要不充分条件.8.【答案】:C【解析】:A={x|−1<x<1},B={x|−a<x−b<a}={x|b−a<x<b+a}.因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,所以−1⩽b−1<1或−1<b+1⩽1,即−2<b<2.故选C.9.【答案】:a⩽2；a⩾2【解析】:因为p是q的充分条件，所以由p可以推出q，所以a⩽2；因为p是q的必要条件，所以由q可以推出p，所以a⩾2.10.【答案】:3或4【解析】:由关于x的方程x2−4x+n=0有实根，得判别式Δ=16−4n⩾0，解得n⩽4，又n∈N∗，逐个分析，当n=1，2时，方程没有整数根；而当n=3时，方程有整数根1，3；当n=4时，方程有整数根2.11.【答案】:①②③【解析】:由①②③均可推出“两条直线平行”的结论,由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立;由④不能推出“两条直线平行”的结论.12.【答案】:③【解析】:①x>4且y>5时,x+y>9成立,反之不一定成立,如x=1,y=9,所以“x>4且y>5”是“x+y>9”的充分不必要条件,故①错误;②一元二次方程ax2+bx+c=0有解的充要条件是b2−4ac⩾0,故②错误;③当x=1或x=−2时,x2+x−2=0一定成立,反过来，x2+x−2= 0时,x=1或x=−2成立,故③正确.13(1)【答案】由ax2+2x−1=0有两个不等的实数根,知Δ=22−4×a×(−1)>0且a≠0,得a>−1且a≠0,即p⇒q;反之,当a=0时,方程ax2+2x−1=0只有一个实数根,即q p,所以p是q的充分不必要条件.(2)【答案】易知p:x>3,q:x>5,所以p是q的必要不充分条件.(3)【答案】因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件.(4)【答案】因为p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件.14.【答案】:(1)当a=0时,原方程化为2x+1=0,故x=−1<0,符合题意.2(2)当a≠0时,原方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,它有实根的充要条件为Δ⩾0,即4−4a⩾0,所以a⩽1.①当a<0时,ax2+2x+1=0至少有一个负实根恒成立.②当0<a⩽1时,若ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则−2<0,可得0<a⩽1.综上,若方程2aax2+2x+1=0至少有一个负的实根,则a⩽1,反之,若a⩽1,则方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a⩽1.15.【答案】:③【解析】:由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，故AB2+AC2=BC2不一定成立，所以①不正确.由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零，反之，由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,所以②不正确，③正确.16.【答案】:1；4【解析】:条件p：|x|⩽m，可得，−m⩽x⩽m．条件q：−1⩽x⩽4，若p是q的充分条件，则−m⩾−1，且m⩽4，解得0<m⩽1，则m的最大值为1；若p是q的必要条件，则−m⩽−1且m⩾4，解得m⩾4，则m的最小值为4，故答案为1，4.17.【答案】:充分性：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴(a−b)2+ (b−c)2+(a−c)2=0，∴a−b=0，b−c=0，a−c=0，即a=b=c，∴△ABC是等边三角形.必要性：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=a2+b2+c2−a2−b2−c2=0，∴a2+b2+c2=ab+bc+ac.综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2= ab+bc+ac.。
高中数学 1_2_2 充要条件试题 新人教A版选修1-1
1.2.2充要条件一、选择题（本题共8个小题）1.【题文】若:p “0x >”，:q “||0x >”，则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．【题文】“a c b d +>+”是“,a b c d >>”成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【题文】“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．【题文】设βα,是两个不同的平面， m 是直线且m α⊂，“//m β”是“βα//”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．【题文】“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的充要条件是 （ ）A ．1a =-B ．34a =C ．1a =-或34a = D ．以上均不是 6．【题文】已知非零向量,ab ，则“0a b ⋅>”是“向量,a b 的夹角为锐角”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．【题文】设α为锐角，则“tan 2α>”是“4tan 203α-<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【题文】设0a >且1a ≠，则“1b a >”是“()10a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3个小题）9．【题文】△ABC 中，“角,,A B C 成等差数列”是“π3B =”成立的_______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)10．【题文】已知条件:p k =条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p 是q 的____________条件.（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）11．【题文】已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一个）三、解答题（本题共3个小题）12．【题文】已知,x y 都是非零实数，且x y >，求证：11<x y的充要条件是0xy >．13．【题文】数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+是数列{}n a 成等差数列的什么条件？14．【题文】求使函数()()22()45413f x a a x a x =+---+的图象全在x 轴的上方成立的充要条件.1.2.2充要条件参考答案及解析1 【答案】A【解析】由题意知：p q ⇒，/q p ⇒，所以p 是q 的充分不必要条件.故选A.考点：充分条件和必要条件.【题型】选择题【难度】较易2 【答案】B【解析】当a b >且c d >时，可推得a c b d +>+，但是当a c b d +>+时，a b >且c d >不一定是成立的，所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件，故选B.考点：必要不充分条件，不等式的性质.【题型】选择题【难度】较易【解析】由直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 可得l ⊥平面ABC ，l BC ∴⊥，反之不成立.考点：充分不必要条件，线面垂直的判定与性质.【题型】选择题【难度】较易4 【答案】B【解析】由,//m m αβ⊂，得不到//αβ，因为,αβ还有可能是相交的；因为//,m αβα⊂，所以m 和β没有公共点，所以//m β，即由//αβ可推得//m β，所以//m β是//αβ的必要不充分条件．考点：必要不充分条件的判定．【题型】选择题【难度】一般5 【答案】C【解析】由“1a =-”可以得出“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”， 由“34a =”可以得出“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”，由“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”推出 “1a =-或34a =”，故选C. 考点：充分必要条件，两直线位置关系.【题型】选择题【难度】一般6 【答案】B【解析】0a b ⋅>推不出向量,a b 的夹角为锐角，因为向量,a b 夹角为0︒时，也满足0a b ⋅>，反之，由“向量,a b 的夹角为锐角”能推出“0a b ⋅>”，所以是必要不充分条件. 考点：必要不充分条件.【题型】选择题【难度】一般【解析】222tan 2tan 21tan 1t t ααα==--（设tan ,0t t α=>），2t a n 21t t α∴=-；若2,t >则113222t t -<-=-，∴4t a n 203α-<<；若4t a n 203α-<<，则2210,2320,t t t ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩又02t t >∴>，.故选C.考点：充分必要条件，两角和的正切公式.【题型】选择题【难度】较难8 【答案】C【解析】0a >且1a ≠，1b a >，如果1a >，那么0b >，则()10a b ->，如果01a <<，那么0b <，则()10a b ->，所以“1ba >”是“()10ab ->”的充分条件；反过来，若()10a b ->，则1,0a b >⎧⎨>⎩或01,0,a b <<⎧⎨<⎩这时能推出1b a >，所以“1b a >”是“()10a b ->”的必要条件.故选C.考点：充分条件与必要条件．【题型】选择题【难度】较难9 【答案】充要【解析】△ABC 中，角,,A B C 成等差数列⇒2A C B +=⇒π3B =，所以“角,,A BC 成等差数列”是“π3B =”的充分条件；π2π233B AC B =⇒+==，角,,A B C 成等差数列，必要性成立．所以条件是结论的充要条件．考点：充分必要条件，三角函数.【题型】填空题【难度】较易10 【答案】充分不必要【解析】条件:p k =213,q k ⇔=⇔=，故p q ⇒，/q p ⇒，则p 是q的充分不必要条件.考点：充分必要条件.【题型】填空题【难度】一般11 【答案】充分不必要 【解析】由余弦定理可知22222cos 22a b c ab c C ab ab +--=?21222ab ab c ab ab ab +-=>=，所以π3C <，故满足充分性，取5,3,4a b c ===，则3cos 5C =，满足π3C <，但是，2531516ab c =⨯=<=，所以不满足必要性，故为充分不必要条件.考点：余弦定理，不等式，充分必要条件.【题型】填空题【难度】较难12 【答案】详见解析【解析】证明：（1）必要性：由11<x y ，得110x y-<，即0y x xy -<， 由x y >，得0y x -<，所以0xy >．（2）充分性：由0xy >及x y >，得x y xy xy>，即11x y <． 综上所述，11<x y的充要条件是0xy >． 考点：充分必要条件，不等式的性质．【题型】解答题【难度】一般13 【答案】充要条件【解析】当1n >时，12n n n a S S An B A -=-=+-；当1n =时，11a S A B ==+，适合2n a An B A =+-．因为2n a An B A =+-是等差数列，所以充分性成立．当{}n a 成等差数列时，有1(1)2n n n S na d -=+，即2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 设2d A =，12d B a =-，即得2n S An Bn =+，因此，必要性成立． 所以2n S An Bn =+是数列{}n a 成等差数列的充要条件．考点：充分必要条件，等差数列.【题型】解答题【难度】一般14 【答案】119a ≤<【解析】当2450a a +-=时，可得1a =或5a =-.①当1a =时，()3f x =，它的图象全在x 轴的上方，符合题意；②当5a =-时，()f x 的图象不全在x 轴的上方；③当2450a a +-≠时，2450,0,a a ⎧+->⎨∆<⎩解得51,119,a a a <->⎧⎨<<⎩或所以119a <<.综上，使函数()()22()45413f x a a x a x =+---+的图象全在x 轴的上方成立的充要条件是119a ≤<.考点：充分必要条件，二次函数图象判断.【题型】解答题【难度】较难。
新教材高中数学基础练7充要条件含解析新人教A版必修第一册
充要条件(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．“x ＝3”是“x 2＝9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】选A.当x ＝3时，x 2＝9；但x 2＝9，有x ＝±3.所以“x ＝3”是“x 2＝9”的充分不必要条件．2．“x >5”是“x >10”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.因为x >5推不出x >10，故充分性不成立，x >10推得出x >5，所以必要性成立，所以“x >5”是“x >10”的必要不充分条件．3．已知a ∈R ，则“a >2”是“a 2>2a ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选 A.由“a >2”可推出“a 2>2a ”，由“a 2>2a ”不能推出“a >2”，所以“a >2”是“a 2>2a ”的充分不必要条件．4．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】选B.当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．5．设集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，那么“x ∈A 或x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.(A ∩B )⊆(A ∪B )，即“x ∈A ∩B ”⇒“x ∈A 或x ∈B ”．所以“x ∈A 或x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的必要不充分条件．6．(多选题)已知实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，下列结论正确的是( )A ．Δ＝b 2－4ac ≥0是这个方程有实根的充要条件；B ．Δ＝b 2－4ac ＝0是这个方程有实根的充分条件；C ．Δ＝b 2－4ac ＞0是这个方程有实根的必要条件；D ．Δ＝b 2－4ac ＜0是这个方程没有实根的充要条件．【解析】选A 、B 、D.Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，A 对； Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，B 对；Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒/ Δ＞0，C 错； Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，D 对．二、填空题(每小题5分，共10分)7．条件p ：x >a ，条件q ：x ≥2.(1)若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________.【解析】设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2；(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.答案：(1)a ≥2 (2)a <28．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．【解析】函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴为x ＝－m 2 ，由题意：－m 2＝1，所以m ＝－2. 答案：m ＝－2三、解答题(每小题10分，共20分)9．下列各题中，证明p 是q 的充要条件(1)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形三边成比例；(2)p ：x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根；q ：a ＋b ＋c ＝0(a ≠0).【解析】(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例，因为“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p ，q 能等价互推，所以p 是q 的充要条件．(2)p ：x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，q ：a ＋b ＋c ＝0(a ≠0).将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0得a ＋b ＋c ＝0(a ≠0)，即 “若p ，则q ” 为真命题，若a ＋b ＋c ＝0(a ≠0)，则x ＝1时，方程左式＝a ×12＋b ×1＋c ＝a ＋b ＋c ＝0，即x ＝1适合方程，x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，故“若q ，则p ”为真命题，即p ，q 能等价互推，所以p 是q 的充要条件．10．已知p ：x ≤2，q ：x ≤a ，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围．(1)p是q的充分条件．(2)p是q的必要条件．【解析】记P＝{x|x≤2}，Q＝{x|x≤a}，(1)由p是q的充分条件，得P⊆Q，得a≥2，所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．(2)由p是q的必要条件，得P⊇Q，得a≤2，所以实数a的取值范围是{a|a≤2}．。
充要条件高考试题汇编
充要条件1．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则”“3=a 是”“B A ⊆的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的 ( ) A ．充分而不必条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 6．“(21)0x x -=”是“0x =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 8．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是( )A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞9．已知1a ，2a ，3a 是三个相互平行的平面．平面1a ，2a 之间的距离为1d ，平面2a ，3a 之间的距离为2d ．直线l 与1a ，2a ，3a 分别相交于1p ，2p ，3p ，那么“12PP =23P P ”是“12d d =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜”是11a b b a＜或＞的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件12．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内。
充要条件的测试题及答案
充要条件的测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项正确描述了充要条件？A. 条件A是条件B的充分条件B. 条件A是条件B的必要条件C. 条件A是条件B的充要条件D. 条件A是条件B的既不充分也不必要条件答案：C2. 如果A⇒B，B⇒A，则A和B的关系是：A. A是B的充分条件B. A是B的必要条件C. A是B的充要条件D. A与B互为独立条件答案：C二、判断题1. 如果A是B的充分条件，那么B也是A的必要条件。
（）答案：错误2. 如果A是B的必要条件，那么B是A的充分条件。
（）答案：正确三、简答题1. 解释什么是充要条件，并给出一个例子。
答案：充要条件指的是两个条件之间存在一种相互依赖的关系，即一个条件的存在必然导致另一个条件的存在，反之亦然。
例如，一个数是偶数（条件A）是它能够被2整除（条件B）的充要条件。
2. 区分“充分条件”和“必要条件”并给出各自的例子。
答案：充分条件指的是一个条件的存在足以保证另一个条件的存在，但不是唯一的保证。
例如，一个数是偶数是它能够被2整除的充分条件。
必要条件指的是一个条件的存在是另一个条件存在所必需的，但不是充分的。
例如，一个数能够被2整除是它为偶数的必要条件。
四、应用题1. 如果x > 0是x² > 0的充分条件，判断x < 0是否是x² > 0的必要条件。
答案：不是。
因为x < 0时，x²仍然是正数，但x > 0是x² > 0的充分条件，意味着x² > 0时，x一定大于0，但x < 0时x² > 0并不成立，所以x < 0不是x² > 0的必要条件。
2. 证明如果A是B的充要条件，那么B也是A的充要条件。
答案：如果A是B的充要条件，根据充要条件的定义，A⇒B且B⇒A。
这意味着如果A成立，则B必然成立；反之，如果B成立，则A也必然成立。
2024_2025学年新教材高中数学课时检测7充要条件含解析新人教A版必修第一册
充要条件[A级基础巩固]1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．2．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B 由A∩B＝A∩C，不肯定有B＝C，反之，由B＝C，肯定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.3．已知命题p：－1<x<1，命题q：x≥－2，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A 依题意可知p⇒q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选A.4．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A．ab＝0 B．ab＞0C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0解析：选D a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.5．(多选)下列说法中正确的是( )A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件解析：选ABC 由A∩B＝B得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，所以A正确；“x＝3”可推出“x2－2x－3＝0”，反之不肯定成立，所以B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不肯定成立，所以C正确；由“|x|＝1”，推不出“x ＝1”，“x＝1”可推出“|x|＝1”，故“|x|＝1”是“x＝1”的必要不充分条件，所以D错．故选A 、B 、C.6．已知x ，y 为两个正整数，p ：x ＝2且y ＝3，q ：x ＋y ＝5，则p 是q 的________条件． 解析：若x ＝2且y ＝3，则x ＋y ＝5成立；反之当x ＝1，y ＝4时，满意x ＋y ＝5，但x ＝2且y ＝3不成立，即p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．对于集合A ，B 及元素x ，若A ⊆B ，则x ∈B 是x ∈(A ∪B )的________条件． 解析：由x ∈B ，可得x ∈(A ∪B )；反之，因为A ⊆B ，A ∪B ＝B ，所以由x ∈(A ∪B )可得x ∈B ，故x ∈B 是x ∈(A ∪B )的充要条件．答案：充要8．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x 2－1＝0”是“|x |－1＝0”的________； (2)“x ＜5”是“x ＜3”的________．解析：(1)设A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，B ＝{x ||x |－1＝0}＝{－1，1}，所以A ＝B ，即“x 2－1＝0”是“|x |－1＝0”的充要条件．(2)设A ＝{x |x ＜5}，B ＝{x |x ＜3}，因为A ⃘B ，所以“x ＜5”是“x ＜3”的必要不充分条件．答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件9．已知集合A ＝{x ∈R|0＜ax ＋1≤3}(a ≠0)，集合B ＝{x ∈R|－1＜x ≤2}．若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意得AB .由集合A 得，－1＜ax ≤2.(*) ①当a ＞0时，由(*)得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1a ＜x ≤2a ，因为AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1a≥－1，2a ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧－1a ＞－1，2a ≤2，解得a ＞1. ②当a ＜0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ＜－1a ，因为AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－1，－1a ≤2，解得a ＜－2.综上，实数a 的取值范围是{a |a ＜－2或a ＞1}．10．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数的充要条件． 解：由方程ax 2＋2x ＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数的元素，得 若a ＝0，则x ＝－12，符合题意．若a ≠0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1， 当a ＝1时，方程有两个相等的负实数根x 1＝x 2＝－1，符合题意． 当a ＜1且a ≠0时，若方程有且最多有一个负实数根，则1a＜0，即a ＜0.所以当a ≤0或a ＝1时，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数元素．综上“方程ax 2＋2x ＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数元素”的充要条件为“a ≤0或a ＝1”．[B 级 综合运用]11．(多选)下列结论中正确的是( ) A ．“x 2＞4”是“x ＜－2”的必要不充分条件B ．在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件 C ．若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件 D ．“x 为无理数”是“x 2为无理数”的必要不充分条件解析：选ACD x ＜－2⇒x 2＞4，但x 2＞4⇔x ＞2或x ＜－2，不肯定有x ＜－2.故A 正确．AB 2＋AC 2＝BC 2⇒△ABC 为直角三角形，反之，若△ABC 为直角三角形，当B ，C 为直角时，不能推出AB 2＋AC 2＝BC 2，故B 错误．a 2＋b 2≠0⇒a ，b 不全为0，反之，由a ，b 不全为0⇒a 2＋b 2≠0，故C 正确．当x 2为无理数时，x 为无理数，反之不成立，故D 正确．故选A 、C 、D.12．已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |4－m ≤x ≤4＋m ，m ＞0}．若p 是q 的充要条件，则实数m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 由已知得p ：{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充要条件得{x |－2≤x ≤10}＝{x |4－m ≤x ≤4＋m ，m ＞0}，因此⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，4－m ＝－2，4＋m ＝10，解得m ＝6，故选C.13．若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空：(1)“使a ，b 都为0”的必要条件是________； (2)“使a ，b 都不为0”的充分条件是________； (3)“使a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________． 解析：①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0；④ab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b ＜0；则a ，b 都不为0.答案：(1)①②③ (2)④ (3)①14．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac ＜0. 证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根，所以x 1x 2＝c a＜0(x 1，x 2为方程的两根，x 1≠x 2)，所以ac ＜0.所以必要性成立． 充分性：由ac ＜0，可推得b 2－4ac ＞0，及x 1x 2＝c a＜0(x 1，x 2为方程的两根且x 1≠x 2)，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．所以充分性成立．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac ＜0.[C 级 拓展探究]15．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三条边，且a ≤b ≤c .则△ABC 为直角三角形的充要条件是a 2＋b 2＝c 2.试用边长a ，b ，c 探究△ABC 为锐角三角形的一个充要条件，并证明．解：△ABC 为锐角三角形的充要条件为a 2＋b 2＞c 2.证明：充分性．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 不是直角三角形，假如△ABC 为钝角三角形，则∠C ＞90°，过点B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D (如图①)，由勾股定理知c 2＝BD 2＋(b ＋CD )2＝BD 2＋CD 2＋b 2＋2·CD ·b＝a 2＋b 2＋2·CD ·b ＞a 2＋b 2冲突，故△ABC 为锐角三角形．必要性：过点A 作边BC 的垂线，垂足为D (如图②)，由勾股定理知，c 2＝AD 2＋BD 2＝AD 2＋(a －CD )2＝b 2－CD 2＋(a －CD )2＝a 2＋b 2－2·CD ·a ＜a 2＋b 2.故必要性成立，故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2.。
新人教高考数学专题复习《充要条件 》测试题
第五课时：§1.5充要条件教学目的：①知识目标：理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义；能够判断给定的两个命题的充要关系。
②能力目标：能够利用本节知识解决和代数、几何、三角等高中数学有关的问题；③情感目标：进一步培养逻辑思维能力，理解数学的严谨性。
教学重点、难点及其突破：高考对本节内容的考查，主要是以代数、几何、三角等高中数学的各个方面内容为载体，判断两个命题间的充要关系，这也就是节课的重点，也是难点。
学习中要注意各知识点的联系。
教学方法：讲授法。
高考要求及学法指导：基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具．高考中主要考查命题与命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，这里尤其要重视反证法的应用。
教学过程：一、知识点复习：（一）判断命题充要条件有如下三种常用方法：1、定义法；2、等价法：即利用与非B非A；B A与非A非B；A B与非B非A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法：3、利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q 的元素构成集合B：(1)若A B，则p是q成立的充分条件．(2)若A=B，则p是q成立的充要条件．(3)若A B，则p是q成立的充分不必要条件．(4)若A B，且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．（二）四种命题1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q(p q)；逆命题：若q则p(q)；否命题：若则 ()逆否命题：若则 ()2、四种命题的关系3、一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：(Ⅰ)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(Ⅱ)原命题为真，它的否命题不一定为真；(Ⅲ)原命题为真，它的逆否命题一定为真；(Ⅳ)逆命题为真，否命题一定为真；（三）充要条件1、如果p成立则q成立，即，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果p成立则q成立，且q成立则p成立，即，则称p是q的充分必要条件．2、充要关系的判断我们常用推出符号“”来判断两个命题之间的充要关系。
1.4.2充要条件-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习
充要条件巩固练习一、选择题1.“x=1”是“x2−2x+1=0”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件2.下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是（）A. a>b+1B. a>b−1C. a2>b2D. a>b>03.设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.“a<0”是函数“函数f(x)=|x−a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.关于x的方程x2−(2a+l)x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（）D. a≥−4A. a>1B. a>−2C. a≥−147.a、b均为实数，则a<b<0是a2>b2的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.对于下列四个命题：①若m>0，则函数f(x)=x2+x−m有零点；②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的必要不充分条件；③“a<2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x−1|≥a恒成立”的充要条件；④“0<m<1“是“方程mx2+(m−1)y2=1表示双曲线”的充分必要条件．其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49.已知a∈R，则“a<2”是“|x−2|+|x|>a恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.设a∈R，则“a=−2”是“直线l1：ax+2y−1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11.“函数f(x)=x2+4x+a有零点”是“a<4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题12.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0解集为R的充要条件是______(用a，b，c的关系式表示)．13.“−3<k<2”是“方程x23+k +y22−k=1表示椭圆”的______ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”)14.如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的______ 条件．15.已知“关于x的不等式x2−ax+2x2−x+1<3对于∀x∈R恒成立”的充要条件是“a∈(a1,a2)”，则a1+a2=______ ．三、计算题16.已知p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a<0，q：实数x满足23x+1>2−x−7，且p是q的充分条件，求a的取值范围．17.设数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为S n，若数列{a n}中任意不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列为“F数列”．(1)若a1=4，d=2，判断该数列是否为“F数列”．(2)若a1，d∈N，是否存在这样的“F数列”，使S10≤70？若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)试问：数列{a n}为“F数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．18.设命题p：实数x满足2x2−5ax−3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足．(1)若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知两个集合A={x|m<1−xx }，B={x|log 12x>2}p：实数m为小于5的正整数，q：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．(1)若p是真命题，求A∩B；(2)若p且q为真命题，求m的值．答案和解析1.A解：由x2−2x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x2−2x+1=0”的充要条件，2.A解：a>b+1⇒a>b；反之，例如a=2，b=1满足a>b，但a=b+1，即a>b推不出a>b+1，故a>b+1是a>b成立的充分不必要的条件．易判断BCD不符合题意．3.C解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．4.B解：当a=5，b=0时，满足a+b>4，但a>2且b>2不成立，即充分性不成立；若a>2且b>2，则必有a+b>4，即必要性成立，故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件，5.A解：若a<0时，当x≥0时，f(x)=x−a+x=2x−a为增函数，此时充分性成立，当a=0时，f(x)=2|x|，满足当x≥0时，函数为增函数，但a<0不成立，则“a<0”是函数“函数f(x)=|x−a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件，6.A解：关于x的方程x2−(2a+l)x+a2=0有实数根⇔△=(2a+1)2−4a2≥0，解得a≥−1．4∴关于x的方程x2−(2a+l)x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是a>1．7.B解：a<b<0⇒a2>b2，反之不成立，例如取a=3，b=2．∴a<b<0是a2>b2的充分不必要条件．8.B解：①若m >0，则函数f(x)=x 2+x −m ，△=1+4m >0，因此函数f(x)一定有零点，正确；②由于E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，⇒命题乙：直线EF 和GH 不相交，反之不成立，可能EF//GH.因此甲是乙成立的充分不必要条件，故不正确；③∵对任意的实数x ，|x +1|+|x −1|≥|x +1−(x −1)|=2，∴“a <2”是“对任意的实数x ，|x +1|+|x −1|≥a 恒成立”的充分不必要条件，不正确；④方程mx 2+(m −1)y 2=1表示双曲线，则m(m −1)<0，解得0<m <1，因此“0<m <1“是“方程mx 2+(m −1)y 2=1表示双曲线”的充分必要条件，正确． 其中正确命题的个数为2．9.C解：函数y =|x −2|+|x|的值域为[2,+∞) 则当a <2时，|x −2|+|x|>a 恒成立反之若，|x −2|+|x|>a ，则说明a 小于函数y =|x −2|+|x|的最小值2恒成立，即a <2故“a <2”是“|x −2|+|x|>a 恒成立”的充要条件10.A解：当a =−2时，两直线方程分别为l 1：−2x +2y −1=0与直线l 2：x −y +4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a =1时，满足直线l 1：x +2y −1=0与直线l 2：x +2y +4=0平行，∴必要性不成立，∴“a =−2”是“直线l 1：ax +2y −1=0与直线l 2：x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件，11.B解：∵函数f(x)=x 2+4x +a 有零点，∴△=16−4a ≥0，解得a ≤4． “函数f(x)=x 2+4x +a 有零点”是“a <4”的必要不充分条件． 故选：B ．函数f(x)=x 2+4x +a 有零点，可得△=16−4a ≥0，解得a ≤4.即可判断出． 本题考查了函数有零点与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，属于基础题．12.{a <0b 2−4ac <0解：关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c <0解集为R ， 则满足{a <0△<0，解得{a <0b 2−4ac <0．13.必要不充分解：∵“方程x23+k +y22−k=1表示椭圆”，∴{3+k>02−k>03+k≠2−k，解得：−3<k<2且k≠−12，故“−3<k<2”是“−3<k<2且k≠−12”的必要不充分条件，14.充要解：如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件，15.6解：∵x2−x+1>0，∴原不等式化为x2−ax+2<3x2−3x+3，即2x2+(a−3)x+ 1>0．∵∀x∈R时，2x2+(a−3)x+1>0恒成立，∴△=(a−3)2−8<0．∴3−2√2<a<3+2√2，∴a1+a2=6．16.解：由p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a<0，解得3a<x<a．q：实数x满足23x+1>2−x−7，∴3x+1>−x−7，解得x>−2．∵p是q的充分条件，∴−2≤3a，a<0，解得−23≤a<0．∴a的取值范围是[−23,0)．17解(1)由题意，a n=2n+2，对于任意m，n有a m+a n=2(m+n+1)+2，因m+n+ 1∈N∗，于是令P=m+n+1，则有a p=2p+2∈{a n}，所以数列{a n}为“F数列”.------------(4分)(2)假设存在数列{a n}满足条件，即10a1+45d≤70，则a1和d的可能值①d=0，a1=0，1，2，3，4，5，6，7，此时a n=0是“F数列”②d=1，a1=0，1，2 此时a n=n−1，a n=n，a n=n+1均为“F数列所以满足条件的数列通项公式为a n=0，a n=n−1，a n=n，a n=n+1-----------------(8分)(3)结论：数列{a n}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥−1使a1=md------(10分)证明：ⅰ)充分性若存在整数m≥−1使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)因s+t≥3，m≥−1所以s+t+m−1为≥1的正整数，于是a s+a t=a1+(s−1)d+md+(t−1)d=a1+(s+t+m−2)d=a m+s+t−1∈{a n}-------(12分)ⅰ)必要性任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)，若存在a k使得a s+a t=a k则2a1+(s+t−2)d=a1+(k−1)d，于是a1=(k−s−t+1)d，故存在m=k−s−t +1∈Z使a 1=md ，下面证明m ≥−1． 当d =0，显然成立当d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥−2，对不同的两项a 1，a p ，存在a q 使a 1+a p =a q ． 即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ，可得qd =0，这与q >0，d ≠0矛盾 故存在整数m ≥−1使a 1=md -----------------------------------------(16分)18.解：(1)若a =2，则2x 2−5ax −3a 2<0可化为x 2−5x −6<0，解得：−1<x <6． 由得{2kπ+π6<x <2kπ+5π6,k ∈Z−1<x <2，∴不等式的解集为{x|π6<x <2}．若p ∧q 为真，则p ，q 均为真，∴由{−1<x <6π6<x <2可得．(2)解2x 2−5ax −3a 2<0得：−12a <x <3a ．若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件． 设A ={x|−12a <x <3a}，B ={x|π6<x <2}，则B ⫋A ．解得a ≥23，∴实数a 的取值范围是[23,+∞)．19.解：(1)由p 为真命题，得0<m <5，m ∈N +，则集合A ={x|m <1−x x}={x|0<x <1m+1}．又B ={x|log 12x >2}={x|0<x <14}.当0<m <4，m ∈N +时，B ⊆A ， ∴A ∩B =B ={x|0<x <14}.当m =4时，A ⊆B ，所以A ∩B =A ={x|0<x <15}． (2)∵p 且q 为真命题， ∴p 为真命题，q 为真命题，即“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， ∴集合B 是集合A 的真子集， ∴1m+1>14且0<m <5，m ∈N +， 解得：m =1或m =2．。
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第五课时：§充要条件教学目的：①知识目标：理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义；能够判断给定的两个命题的充要关系。
②能力目标：能够利用本节知识解决和代数、几何、三角等高中数学有关的问题；③情感目标：进一步培养逻辑思维能力，理解数学的严谨性。
教学重点、难点及其突破：高考对本节内容的考查，主要是以代数、几何、三角等高中数学的各个方面内容为载体，判断两个命题间的充要关系，这也就是节课的重点，也是难点。
学习中要注意各知识点的联系。
教学方法：讲授法。
高考要求及学法指导：基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具．高考中主要考查命题与命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，这里尤其要重视反证法的应用。
教学过程：一、知识点复习：（一）判断命题充要条件有如下三种常用方法：1、定义法；2、等价法：即利用与非B非A；B A与非A非B；A B与非B非A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法：3、利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B：(1)若A B，则p是q成立的充分条件．(2)若A=B，则p是q成立的充要条件．(3)若A B，则p是q成立的充分不必要条件．(4)若A B，且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．（二）四种命题1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q(p q)；逆命题：若q则p(q)；否命题：若则 ()逆否命题：若则 ()2、四种命题的关系3、一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：(Ⅰ)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(Ⅱ)原命题为真，它的否命题不一定为真；(Ⅲ)原命题为真，它的逆否命题一定为真；(Ⅳ)逆命题为真，否命题一定为真；（三）充要条件1、如果p成立则q成立，即，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果p成立则q成立，且q成立则p成立，即，则称p是q的充分必要条件．2、充要关系的判断我们常用推出符号“”来判断两个命题之间的充要关系。
(1)且，则p是q的充分非必要条件；(2)且，则p是q的必要非充分条件；(3)且，则p是q的既非充分也非必要条件；(4)且(即)，则p是q的充要条件．5、对充分必要条件理解“充分条件”和“必要条件”是数学中重要的概念之一，它讨论“若p 则q”的命题中的条件和结论的逻辑关系．因此，必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决有关问题．(1)当时，称条件p 是条件q 的充分条件，意指为使q 成立，具备条件p 就足够了，“充分”即“足够”的意思．当时，也称条件q 是条件p 的必要条件，因为等价于非非q 即若不具备q ，则p 必不成立，所以，要使p 成立，必须具备q ．“必要”即“必须具备”的意思．“若p 则q 形式的命题，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系有四种可能： ① 且不一定成立：这时，p 是q 的充分而不必要条件； ② 且不一定成立：这时，称p 是q 的必要而不充分条件； ③且：这时，称p 是q 的充分且必要条件；④ p ⇒q 不一定成立且不一定成立：这时，称p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化应用该命题的逆否命题进行判断．(3)一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个．二、例题分析： （一）基础知识扫描1、如果“p q”那么p 是q 的_____________条件，q 是p 的___________条件，如果“p q”，那么p 是q 的____________条件．2、“x>7”的一个必要非充分条件是( )A ．x>9B ．x>4C ．x<8D ．x>993、设命题甲：12=x ，命题乙：x=1，则：①甲是乙的充分条件；②甲是乙的必要条件；③乙是甲的充分条件；④乙是甲的必要条件．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4、三个实数a ，b ，c 不全为零的充要条件是( )A ．a ，b ，c 都不是零B ．a ，b ，c 中至多有一个是零C ．a ，b ，c 中只有一个是零D ．a ，b ，c 中至少有一个不是零 5、设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x 那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6、如果p 是q 的充分条件，s 是q 的必要条件，那么( ) A ．p 是s 的充分条件 B ．s 是p 的充分条件C ．q 是p 的充分条件D ．p 是s 的充要条件（二）典型例题分析题型1充要关系的判断首先要确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件结论，结论条件；判断条件是结论的什么条件．例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)。
(1)在,△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x+y≠8，q ：x≠2或y ≠6；(3)在△ABC 中，p : sinA > sinB ，q : tanA >tanB ；(4)已知x ，y∈R，p ：0)2()1(22=-+-y x ，q:(x- 1)(y-2) = 0. 解 (1)在△ABC 中，显然有A>B BC > AC ，∴p 是q 的充要条件；(2)∵逆否命题：x = 2且y = 6 x + y = 8，∴p 是q 的充分不必要条件； (3)取A=120°，B=30°，p q ，又取A=30°，B=120°，q P ， ∴p 是q 的既不充分又不必要条件．(4)满足p 的集合A={(1，2)} 满足q 的集合{}21),(===y x y x B 或，∴A B ，∴p 是q 的充分不必要条件。
点评 条件 结论为充分性，结论 条件为必要性，要判断充分还是必要，首先得分清哪是条件，哪是结论．例2 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 、r 、p 分别是q 的什么条件分析 根据三种条件的定义及推出符号“”的传递性，借助于图形更直观得出结果． 解 根据题设条件，作出右图因为s r ，r q 故s q ， 又因为q s ，所以s 是q 的充要条件，同理，是q 的充要 条件．又因为q S ，S r ，r p ，所以q p ，但p q ，故p 是q 的必要但不充分条件． 题型2： 充要关系的证明证明充要条件，既要证明充分性，又要证明必要性，其实质是证明两个互逆的命题，证明方法可以用直接法，也可以穿插反证法． 例3 设x 、y ∈R ，求证： 成立的充要条件是xy≥0． 分析 充分性是证：xy ≥0必要性是证：证明 充分性：如果xy = 0，那么，①x = 0，y ≠0；②y=0，x≠0；③x=0，y=0．于是，如果xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0，当x>0，y>0时，当x<0，y<0时，总之，当xy ≥0时，有必要性：由及x ，y ∈R ，得，即 ，点评 充要条件的证明关键是根据定义确定哪是条件，哪是结论，然后搞清充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题． 题型3：求充要条件的问题例4 求，至少有一负根的充要条件。
解 由题设知，方程无零根．(1)方程有一正根和一负根(2)方程有两个负根 综合(1)(2)可知：方程至少有一负根的充要条件是a<0或0<a ≤1．例5 已知关于x 的一元二次方程(m∈Z)，①， ②求方程①和②的根都是整数的充要条件。
分析 根据方程①和②有实根且实根为整数，先求出整数m ，然后再确定它是否具有充分性． 解 方程①有实数根的充要条件△=16－4×4m ≥0．解得m ≤1． 方程②有实数根的充要条件是，解得45-≥m所以145≤≤-m ，而m ∈Z ，故m=－1或m = 0或m = 1． 当m=－1时，方程①为 ，无整数根； 当m=0时，方程②为 ，无整数根；当m=1时，方程①为，方程②为，①和②均有整数根。
从而，①和②均有整数根 m=1；反之，m=1，方程①为，方程②为，①和②均有整数根．∴m=1 ①和②均有整数根。
所以方程①和②均有整数根的充要条件是m=1.点评 对于求充要条件问题，一般地是先求出必要条件后，再证明具有充分性． 题型4:：充要条件的应用例6 已知p ：2311≤--x ，q ： ≤0(m>0)，若是 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围。
分析 根据已知条件先写出和，然后由，但，求得m 的取值范围。
解 由311--x ≤2，得－2≤x ≤10，所以“”：A={x|x>10或x<－2}．由≤0，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．所以“”：B={x|x>1+m 或x<1－m ，m>0}，因为是的充分而不必要条件，∴A B ．结合数轴有解得0<m ≤3。
点评 本题是的充分而不必要条件，求实数m ，还可用它的等价命题，q 是p 的充分而不必要条件求实数m 的取值范围，请同学们试一试．三、本节所涉及的数学思想·规律·方法1、充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识．所谓“p q”是指“若p 则q”命题为真，若命题为假，则“p q”，注意“”具有传递性．2、充分、必要条件问题涉及的知识面广，要求考生不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念；3、从集合的角度考查充分、必要条件，不仅为判定此类问题提供了一种新的解题途径，而且开阔了视野，深化了对集合及充要条件这两个重要概念的理解；4、确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明；5、等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系。
四、作业：《威州中学课时作业》 五、课后记：。