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数据库关系代数

例题
• 设一个关系模式为R(A,B,C)，对应的关系内容为 R={{1,10,50}, {2,10,60}, {3,20,72}, {4,30,60}}，则ПB(δC<70(R))的运算结果中包含有________ 个元组，每个元组包含有________个分量。设有以下关系模式 Student(sno,sname,sage,ssex,sdept) Course(cno,cname,ccredit,teacher) S-c(sno,cno,grade) • 检索程军老师所授课程的课号与课名 • 检索年龄大于21岁的男生学生的学号与姓名
连接(续)
等值连接 R
S 的结果如下：
R.B=S.B
自然连接 R
S的结果如下：
连接(续)
一般连接: R S的结果如下：
C＜E
2.2关系代数
二、专门的关系运算
3。连接
例:Student(sno,sname,sex,sclass) SC(sno,cno,grade) Course(cno,cname,credit)

2.1 关系数据结构及形式化定义 5。关系数据库
–在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库
• 关系数据库的型与值
–关系数据库的型：关系数据库模式
对关系数据库的描述。
–关系数据库的值 : 关系模式在某一时刻对应的关系的

关系代数讲解与例题

关系代数

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。

关系代数的9种操作：

并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。

五个基本操作：

选择(π)

并(∪) 差(-)

笛卡尔积（×）投影(σ) 选择

四个组合操作：

交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷)

关系代数表达式：

由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。

关系代数表达式举例

用关系代数表示数据查询的典型例子

[例]设教学数据库中有3个关系：

学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。

πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC))

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名

πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC))

由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：

πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）

这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。

关系代数表达式总结-数据库

关系代数表达式总结

一、并

例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。

分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号.本例也可以使用或条件来表示。

πSno（σCno=’1’（SC))∪πSno(σCno='2’（SC））或πSno(σCno=’1'∨ Cno='2’(SC))

二、交

例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。

分析：

方法一:只涉及到一个表,但不能直接用∧（为什么？)

特别注意，本例不能写为：

πSno（σCno=’2’∧ Cno=’3’（SC)）

因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2,又为3。

第一步：转换（SC×SC）

笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。

SC1 SC2

选修课程号为2和3的学生：

σ1=4∧2=’2’∧ 5=’3’（SC×SC)

最后取出学生的学号:

π1（σ1=4∧2=’2'∧ 5=’3'（SC×SC）)

方法二：πSno(σCno=’2’(SC））∩πSno(σCno=’3’（SC））

三、差

例3 将学生信息(‘95001’，’李勇’,‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。

分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。

因此,该删除操作可表示为：

Student-{‘95001’,’李勇'，‘男’,20，‘CS’}

注意:但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了,就要用到差操作或除操作。

例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。

关系数据库关系代数运算

任意两个元组不能完全相同，由笛卡尔积的性质决定
但许多关系数据库产品没有遵循这一性质，例如 Oracle，FoxPro等都允许关系表中存在两个完全相同的元组，除非用户特别定义了相应的约束条件
举例
行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
遵循这一性质的数据库产品(如ORACLE)，插入一个元组时永远插至最后一行
关系数据库的型称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述
• 若干域的定义 • 在这些域上定义的若干关系模式
关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常简称为关系数据库
课堂思考
给出导师、学生、专业三个实体可能组成的关系数据库及其概念模型（ER图）
2.3 关系的完整性
实体完整性
外码说明
关系R和S不一定是不同的关系目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必
须定义在同一个（或一组）域上关于取名
外码并不一定要与相应的主码同名当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取
相同的名字，以便于识别
参照完整性举例
例１：学生实体与专业实体间的关系：外码学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）专业（专业号，专业名）
请将例子表示为二维表
例2．已知三个域
D1=导师集合＝{张清正,刘逸} D2=专业集合＝{计算机,信息} D3=学生集合＝{李勇,刘晨,王敏}

数据库关系代数表达式学习

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础

一、关系代数的9种操作：

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：

并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)

四个组合操作：

交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)

注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列

二、关系代数表达式：

三、举例说明：

设教学数据库中有3个关系：

学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩

------------------------------------

SELECT SNO,GRADE

FROM SC

WHERE CNO='C2'

------------------------------------

π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))

************************************

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名

------------------------------------

用关系代数式表示查询语句

关系代数式用于表示数据库查询语句，以下是一些常见的关系代数式：

1. 选择（Select）：σ<条件>(关系)表示从关系中选择符合条件的元组。

例如，σ年龄>18 (学生) 表示选择学生关系中年龄大于18的学生。

2. 投影（Project）：π<属性列表>(关系)表示从关系中选择指定的属性。

例如，π姓名, 年龄 (学生) 表示选择学生关系中的姓名和年龄属性。

3. 连接（Join）：ρ属性名1.属性名2(关系1 ⨝条件关系2)表示根据条件连接两个关系的元组。

例如，ρS.学号(E ⨝ S.学号=E.学号) 表示根据学号将学生和成绩关系连接起来，得到学生关系中每个学生的成绩。

4. 自然连接（Natural Join）：ρ属性名(关系1 ⨝关系2)表示根据两个关系的公共属性自动连接。

例如，ρS(E ⨝ S) 表示根据学号连接学生和成绩关系，得到学生关系中每个学生的成绩。

5. 差集（Difference）：关系1 - 关系2表示关系1中去除与关系2中相同元组的结果。

例如，学生 - 选课表示去除已选课学生的学生关系。

6. 笛卡尔积（Cartesian Product）：关系1 ×关系2表示关系1和关系2的所有可能组合。

例如，学生 ×选课表示学生关系和选课关系的笛卡尔积。

这些关系代数式可以组合使用，构建复杂的查询语句。

数据库关系代数

关系代数是关系数据库系统查询语⾔的理论基础

⼀、关系代数的9种操作：

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、⾃然联接等操作。

五个基本操作：

并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)

四个组合操作：

交(∩)、联接(等值联接)、⾃然联接(R S)、除法(÷)

注2：等值连接表⽰先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进⾏选择或等值关联后的结果(仅筛选⾏、不筛选列)

注2：⾃然连接表⽰两个关系中若有相同名称的属性，则⾃动作为关联条件，且仅列出⼀列⼆、关系代数表达式：

由关系代数运算经有限次复合⽽成的式⼦称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是⼀个关系。可以⽤关系代数表达式表⽰对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：

设教学数据库中有3个关系：

学⽣关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

(1) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与成绩

------------------------------------

SELECT SNO,GRADE

FROM SC

WHERE CNO='C2'

------------------------------------

π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))

************************************

(2) 检索学习课程号为C2的学⽣学号与姓名

------------------------------------

数据库关系代数运算例题

关系代数是一种用于操作关系数据库的形式化查询语言。它包

括一组基本运算符，如选择、投影、并、差、笛卡尔积和连接等，

通过这些运算符可以对关系进行操作和组合，从而实现复杂的查询。

下面我将给出一些关系代数运算的例题，以便更好地理解和应

用这些运算符。

1. 选择运算符（σ）：

假设有一个关系表R，包含属性A、B和C，我们希望选择满足

条件A=1的元组。则选择运算可以表示为，σ(A=1)(R)。

2. 投影运算符（π）：

假设有一个关系表R，包含属性A、B和C，我们希望只保留属

性A和B，可以使用投影运算符进行处理，π(A,B)(R)。

3. 并运算符（∪）：

假设有两个关系表R和S，具有相同的属性集合，我们希望将

两个表中的元组合并成一个表，可以使用并运算符，R∪S。

4. 差运算符（-）：

假设有两个关系表R和S，我们希望从R中删除与S中相同的

元组，可以使用差运算符，R-S。

5. 笛卡尔积运算符（×）：

假设有两个关系表R和S，我们希望将两个表中的元组进行组合，生成一个新的表，可以使用笛卡尔积运算符，R×S。

6. 连接运算符（⋈）：

假设有两个关系表R和S，具有一个共同的属性A，我们希望根

据属性A将两个表中的元组进行连接，可以使用连接运算符，R⋈S。

以上是关系代数的一些基本运算符和例题，通过这些运算符的

组合和应用，可以实现复杂的查询和操作。在实际应用中，还可以

使用更多的运算符和技巧来处理更复杂的问题。关系代数是数据库

领域重要的概念和工具，对于数据库的设计和查询优化都具有重要的意义。

关系代数知识点总结

一、基本概念

1. 关系

在关系代数中，关系是元素的集合。在数据库中，关系通常是二维表格，每一行代表一个

元组，每一列代表一个属性。例如，一个包含学生信息的关系可以包括学生的学号、姓名、年龄等属性。关系可以表示为R(A1, A2, …, An)，其中R是关系的名称，A1, A2, …, An是关系的属性。

2. 元组

在关系中，元组是一个有序的元素序列，其中每个元素对应关系的一个属性。在对关系进

行操作时，我们通常需要操作整个元组或者选取符合特定条件的元组。

3. 属性

关系的每一列都是一个属性，用来描述元组的特定信息。属性可以有不同的数据类型，例

如整数、字符、日期等。在数据库中，属性通常用来对关系进行分类和索引。

4. 关系键

关系键是一组属性的集合，用来唯一确定关系中的元组。在数据库中，关系键通常用来在

关系中快速定位元组，以及对关系进行连接操作。

5. 关系模式

关系模式是关系的结构描述，它包括了关系的名称、属性以及属性的数据类型等信息。通

过关系模式，我们可以了解一个关系的结构和特性。

6. 域

在关系代数中，域指的是关系的属性值的集合。每个属性都有自己的域，例如整数属性的

域包括所有整数，而日期属性的域包括所有日期。

二、基本操作

在关系代数中，有一系列基本的操作，包括选择、投影、连接、并集、差集和笛卡尔积等。这些操作可以对关系进行组合和转换，从而实现对数据的查询和处理。

1. 选择

选择操作是从关系中选择满足特定条件的元组。例如，我们可以对一个包含学生信息的关

系进行选择操作，找出所有年龄大于20岁的学生。

数据库原理重点提示之关系代数

关系代数与关系数据库操作

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。

关系代数的9种操作：

并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。

五个基本操作：

并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π)

四个组合操作：

交(∩) 联接（等值联接）自然联接(R S) 除法(÷)

关系代数表达式：

关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。

关系代数表达式举例

用关系代数表示数据查询的典型例子

[例]设教学数据库中有3个关系：

学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。

πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC))

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名

πSNO，SNAME(σCNO='C2'(S SC))

由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：

πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）

这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

数据库关系代数表达式学习

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础

一、关系代数的9 种操作：

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：

并(u )、差(-)、笛卡尔积(为、投影(b、)选择(n )

四个组合操作：

交(Q)联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(予

注2:等值连接表示先做笛卡尔积(马之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列

二、关系代数表达式:

三、举例说明:

设教学数据库中有 3 个关系:

学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

(1) 检索学习课程号为C2 的学生学号与成绩

SELECT SNO,GRADE

FROM SC

WHERE CNO='C2'

n SNO, GRADE ( b CN0='C2' (SC))

************************************

(2) 检索学习课程号为C2 的学生学号与姓名

SELECT SC.SNO,S.SNAME

FROM SC,S

WHERE SC.SNO=S.SNO

AND O='C2'

n SNO,SNAME ( a CN0='C2' (S SC))

数据库关系代数

关系运算及运算符

一、基本代数运算

1并

相同的合并成一列，不同的并起来成为RS

操作示意图：

2差

以R为基准，选择S没有的元组。S中R中没有的不算。操作示意图：

3笛卡尔

关系R为n列，k1元组、关系S为m列，k2元组。R中每个k1与S每个k2组成新的关系。

4投影

二、扩展代数运算

1交

选择R和S相同的值。操作示意图：

Θ相当与运算符，可以认为笛卡儿积是无条件连接，其他的是有条件连接。等值连接的条件就相当于θ=“=”

Θ连接逻辑上是table之间先做笛卡儿积，再做对应选择操作

2.1等值连接

2.2自然连接

特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须相同属性组，将重复属性（字段）去掉

3除

同时从关系的水平方向和垂直方向同时运算操作示意图：

4外连接

如果把舍弃的元组保存在结果关系中，而其他属性填空值（null）

4.1左外连接

把左边关系R中要舍弃的元组保留。先自然连接，成为ABCE。以左边的为基准，所以B列的b5没了。

4.2右外连接

把右边关系S中要舍弃的元组保留。先自然连接，以右边的S为基准，保留B列共同的值，R中的b4没有所以删除了。

4.3全外连接

不满足R.B=S.B的元组保留。

代数表达式

数据库关系代数表达式

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。很有必要学习一下，有些是用代数表达式很方便的东西，用SQL写出来还是挺麻烦的，并不是想象当中那么直接。

一、关系代数的9种操作：

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

•

五个基本操作：

并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)[Where]、选择(π)[Select]

四个组合操作：

交(∩)、

联接(等值联接)：等值连接表示(1)先做笛卡尔积(×)之后,(2)对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)

(仅筛选行、不筛选列):即只作用于行上不作用于列上。

如例子：(σ1=4∧2='C2’∧5=‘C4’（SC×SC）) 1.先（SC×SC）2.作用于列

σ1=4∧2='C2’∧5=‘C4’

自然联接(RcrossS)：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性(列)，则自动作为关联条件，且仅列出一列。

如例子：(σCNO=‘C2’(ScrossSC))中的(ScrossSC)

除法(÷)

通过下面的例子可以看出，(ScrossSCcrossC)(RcrossS)，这样的写法，说明默认肯定了cross的定义为连接表有相同名称的属性(即列）

π列（σ(条件）（from后面的表））

∨[or]

π 1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）)

π SNO(σ CNO='C2'∨CNO='C4'(SC))

二、关系代数表达式：

数据库关系代数表达式

数据库关系代数表达式是一种简单的数学表达式，它可以用来描述数据库表之间的关系，以及它们之间的操作。它可以被用来查询或更新数据库，并且能够让数据库变得容易管理和操作。

数据库关系代数表达式主要包括6种基本操作：选择（select），投影（project），交集（intersect），并（union），差（difference）和笛卡尔积（cartesian product）。

选择操作可以从数据库中提取满足特定条件的记录。投影操作可以从数据表中抽取特定的属性，以便只展示需要的信息。交集操作可以将两个表中的重复的记录提取出来。并操作可以将两个表中的内容进行合并，以查看它们的所有内容。差操作则可以排除两个表中的重复记录，以便分离出不同的记录。最后，笛卡尔积操作可以将两个表中的记录进行全部组合，以便更好地查看它们之间的关系。

数据库关系代数表达式的最大优势在于它的灵活性，它可以被用来实现各种各样的操作，并且能够被用来构建复杂的查询和更新数据库的功能。此外，它还可以被用来实现多表查询，以及查询结果的进一步操作，这使得它十分强大。

数据库关系代数表达式是一种十分实用的数据库操作工具，它可以帮助开发人员更轻松地管理数据库，而且能够实现多种复杂的操作。因此，它是数据库开发过程中非常重要的一部分，应该被充分利用。

数据库关系代数表达式学习

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础

一、关系代数的9种操作：

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：

并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)

四个组合操作：

交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)

二、关系代数表达式：

三、举例说明：

设教学数据库中有3个关系：

学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩

------------------------------------

SELECT SNO,GRADE

FROM SC

WHERE CNO='C2'

------------------------------------

π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))

************************************

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名

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数据库关系代数

并、差、笛卡儿积、投影、选择是关系代数的5种基本的运算,其他运算，即交、连接、除都可以通过基本的运算推导运算出。

1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合；

2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；

3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X 与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；

4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；

5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。数据库系统（二）--关系型数据库之关系代数

关系型数据库-关系操作集合

1、基本的关系操作

关系模型中常用的关系操作包括查询(Query)操作和插入(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)操作两大部分。

查询操作分为：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积等；

五种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；

关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合、这种操作方式也称为一次一集合的方式。

2、关系数据语言的分类

关系操作是通过关系语言来实现的。关系语言的特点是高度非过程化，即：

（1）用户不必请求数据库管理员为其建立特殊的存取路径，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成；

（2）用户也不必求助于循环和递归来完成数据的重复操作。

关系操作的能力可以用两种方式来表示：代数方式和逻辑方式。关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言。结构化查询语言SQL充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关于数据库的标准语言。