关系数据库关系代数运算
数据库系统2-7：关系代数的等价变换规则
数据库系统2-7：关系代数的等价变换规则前面介绍的三种关系运算的能力是等价的，它们之间都可以相互等价转换，也都可以转换成关系代数表达式，所以研究关系运算等价变换原则可以从关系代数表达式开始。
关系代数的变换规则记为：E1oE2。
关系代数表达式经过等价变换后，其结果与变换前的关系表达式等价。
常用等价变换规则：1．连接、笛卡儿积的交换律E1XE2o E2XE1E1 >< E2o E2 >< E1 自然连接E1 >F< E2o E2 >F< E1 其中F为连接运算条件2．连接、笛卡儿积结合律设E1、E2、E3为关系代数表达式，F1、F2为连接运算条件。
则（E1XE2）XE3o E1X（E2 XE3）（E1 >< E2）>< E3o E1 >< （ E2 >< E3）（E1 > < F1 E2）>< F2E3o E1 >< F1（ E2 >< F2E3）3．投影的串接定律设E为关系代数表达式，Ai（i=1,2,3….n），Bj（j=1,2,3,….m）是属性名，且AiíBj 则 ?A1,A2,…An（?B1,B2,….Bm（E））o?A1,A2,….An（E）4．选择的串接律设E为关系代数表达式，F1、F2为选择条件。
σ-F1(σ-F2( E ) ) o σ-F1ùF2( E )5．选择和投影的交换律a)选择条件只涉及属性Ai（i=1,2,3….n）σ-F(?A1,A2,…An ( E ) ) o?A1,A2,…An（σ-F( E ) )b)选择条件涉及的属性有不属于A1,A2,…An的属性B1,B2,….Bm ，则规则为：?A1,A2,…An( σ-F( E ) ) o?A1,A2,…An( σ-F(?A1,A2,…An，B1,B2,….Bm( E )) ) ?A1,A2,…An（σ-F( E ) )不能等于σ-F(?A1,A2,…An ( E ) )，因为投影时属性A1,A2,…An不包含B1,B2,….Bm ，致使选择时缺乏有关属性B1,B2,….Bm 。
第四章 数据库设计基础——关系运算
3. 交（Intersection） ）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t ∈ R∧t ∈S } R∩S = R –(R-S）
An Introduction to Database System
交 (续) 续
An Introduction to Database System
(c)
An Introduction to Database System
1. 选择（Selection） 选择（ ）
1) 选择又称为限制（Restriction） 2) 选择运算符的含义 在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|t∈R∧F(t)= '真'} F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
学生-课程数据库: 学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
学号 Sno 200215121 200215122 200215123 200215125 姓名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性别 Ssex 男 女 女 男 (a) 年龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sdept CS IS MA IS
An Introduction to Database System
(b)
专门的关系运算(续 专门的关系运算 续)
SC
学号 Sno 200215121 200215121 200215121 200215122 200215122 课程号 Cno 1 2 3 2 3 成绩 Grade 92 85 88 90 80
200215121 200215121 200215122 200215122
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
数据库关系代数表达式学习
数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
关系运算----关系代数
R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S} 式中“－”为差运算符，t 为元组变量，结果 R-S 为一个新的与 R、S 同类的关系，该 关系是由属于 R 而且不属于 S 的元组构成的集合，即在 R 中减去与 S 中相同的那些元组。
c1
d1
a1
b1
c2
d2
a3
b3
c1
d1
a3
b3
c2
d2
图 2.12 关系 P1×R、P2×R 和 P3×R
3. 关系的联结——广义笛卡尔乘积运算
查询常常需要由多个关系生成一个新的关系。为了有效处理这种情况，引入广义笛卡尔 乘积运算。
设有关系 R、S，其中关系 R 有 r 个属性分量、m 个元组，关系 S 有 s 个属性分量、n 个元组，则二者的广义笛卡尔乘积(Cartesian Product)运算定义为：
2. 关系元组选定——选择运算
为了完成关系元组的选择，引入选择运算。 选择(Selection)也是一元关系运算，用于选取某个关系上我们感兴趣的某些行(满足一定 的条件的行)，并且将它们组成一个新的关系。
Sn
Sa
刘刚
21
Class 2003A
王建
22
张华
21
李倩
20
2003A 2003A 2003A
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
a2
b2
c1
a2
b2
数据库中的关系模型与关系代数运算
数据库中的关系模型与关系代数运算在计算机科学中，数据库是管理和组织数据的重要工具。
为了有效地操作和查询数据库中的数据，数据库系统采用了关系模型和关系代数运算。
一、关系模型关系模型是一种结构化的数据库模型，通过使用表格（称为关系）来表示和组织数据。
每个关系由若干个属性组成，而属性对应于表格中的列。
表格中的每一行都是一个记录，表示具体的数据实体。
关系模型的特点包括：1. 表达能力强：关系模型可以灵活地表示各种类型的数据以及数据之间的关系。
2. 数据操作简单：使用关系模型可以方便地对数据进行增删改查等操作。
3. 数据独立性：关系模型可以使数据与物理存储方式相互独立，便于数据的维护和更新。
二、关系代数运算关系代数是一种基于关系模型的数据操作语言，用于查询和操作数据库中的数据。
关系代数运算包括以下几种基本操作：1. 选择（Selection）：根据指定的条件选择符合条件的元组。
例如，从一个学生关系中选择年龄大于20的学生。
2. 投影（Projection）：选择关系中的部分属性，形成一个新的关系。
例如，从一个学生关系中选择姓名和年龄两个属性。
3. 连接（Join）：将两个关系按照某个条件进行连接，形成一个新的关系。
例如，将学生关系和课程关系按照学生的学号进行连接，得到学生选课关系。
4. 并（Union）：将两个关系的元组进行合并，产生一个包含两个关系中所有元组的新关系。
例如，将两个学生关系合并，得到所有学生的关系。
5. 差（Difference）：从一个关系中减去另一个关系中的元组，得到差集。
例如，从所有学生关系中减去已选课程关系中的学生，得到未选课学生的关系。
6. 交（Intersection）：取两个关系中共有的元组，形成一个新的关系。
例如，取两个学生关系的交集，得到同时存在于两个关系中的学生。
关系代数的运算可以根据需要进行组合和嵌套，实现复杂的数据查询和操作。
总结：数据库中的关系模型和关系代数运算是数据库领域中两个重要的概念。
数据库关系代数
R S {trts | tr R ts S}
RS
AB
C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a2 b2 c1
a1 b3 c2
码．
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
2)在学以生上号S码-C．数据Sno库( 中C，no查= ‘询1’选v 修Cno了=‘13’号课程或3号课程的
(SC))
Sno( Cno = ‘1’ (SC)) U
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
关系代数：综合应用
2)查询选修了２号课程的学生的学号
19
IS
95004 张立 男
19
IS
Sno Sname Ssex Sage Sdept
95002 刘晨 女
19
IS
95003 王敏 女
18
MA
95004 张立 男
19
IS
关系代数：投影
定义：从关系R中选择出满足条件F的若 干属性列并组成新的关系，列选
F(R) {t[A] | t R}
A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或域列 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上
诸分量的集合
A 则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}
后剩余的属性组
传统的集合运算 若R和S是同类关系(即它们都具有n个属性且相应属性
第四步：判断包含关系
关系代数表达式总结-数据库
关系代数表达式总结一、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。
分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号.本例也可以使用或条件来表示。
πSno（σCno=’1’（SC))∪πSno(σCno='2’（SC））或πSno(σCno=’1'∨ Cno='2’(SC))二、交例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。
分析：方法一:只涉及到一个表,但不能直接用∧（为什么？)特别注意，本例不能写为：πSno（σCno=’2’∧ Cno=’3’（SC)）因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2,又为3。
第一步：转换（SC×SC）笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。
SC1 SC2选修课程号为2和3的学生：σ1=4∧2=’2’∧ 5=’3’（SC×SC)最后取出学生的学号:π1（σ1=4∧2=’2'∧ 5=’3'（SC×SC）)方法二：πSno(σCno=’2’(SC））∩πSno(σCno=’3’（SC））三、差例3 将学生信息(‘95001’，’李勇’,‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。
分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。
因此,该删除操作可表示为：Student-{‘95001’,’李勇'，‘男’,20，‘CS’}注意:但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了,就要用到差操作或除操作。
例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。
分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为2的学生学号。
由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的,故应当先投影，再进行差运算。
πSno(Student）—πSno(σCno=’2’(SC）)特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC)）。
关系数据库关系代数
关系数据库关系代数之前在学习数据库时接触过关系代数，只是在经过很长⼀段时间不应⽤之后，不能很快从⼤脑中将知识调出来，今天就来了个再次学习总结加深⾃⼰的印象。
关系代数：是⼀种抽象的查询语⾔，⽤对关系的运算来表达查询。
关系代数运算的是关系，运算结果亦是关系。
关系代数的基本关系包括：并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接、除法运算。
由于并、交、差运算很简单，这⾥不再赘述，只说明了⼏个容易遗忘和混淆的运算。
1、笛卡尔积计算两个关系R和S的笛卡尔积，R的元数为r，S的元数为s，则R×S是⼀个（r+s）元的元组集合，如下例所⽰：结果：由结果分析：笛卡尔积得到的结果元数为r+s即：3+3=6；记录数为：R中的记录数与S中的记录数相乘，即：3×2=6。
2、选择选择是根据某些条件对关系做⽔平切割，例如δ2 > '4'（R），表⽰从R中挑选第⼆个分量值（也就是R中B列的值）⼤于4的元组所构成关系。
结果：3、投影π投影与选择正好相反，是对关系的⼀种垂直切割，消去某列，并重新安排列的顺序。
投影⽤（π）表⽰。
例如：π3,1（R）表⽰的结果如下：由结果可以看出：查询表达式中的下标可以⽤数字表⽰，也可以⽤列的名字表⽰，返回列的名字，⽽其他的列在结果关系中被去掉，也可以通过投影来重新布局关系的排列。
4、连接连接运算：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满⾜⼀定条件的元组，⽤(R ⋈ S）表⽰，连接分为两种，⼀种是等值连接（有的书上写的是连接），另⼀种是⾃然连接。
等值连接：条件AθB中的θ为‘=’的连接；⾃然连接：关系R与S选取A、B属性值相等的那些元组。
看个例⼦就很容易明⽩了：等值连接：如下有关系R和S，则是什么呢？结果：⾃然连接：⼀般⾃然连接使⽤在R和S有公共属性时，如果没有公共属性，⾃然连接就转为笛卡尔积操作。
例如：关系R和S，则⾃然连接的结果呢？结果：5、除法例⼦：R÷SR： S：结果：计算过程：（1）T=π1,2（R），从R中选取除去与S中相同的属性，即选择S#，SName（2）W=(T ×S)-R，将上⾯得到的T与S进⾏笛卡尔积，再减去R，即计算T×S中不在R的元组（3）V=π1,2（W），从W中选取1,2对应的属性列，即：S#，SName（4）R ÷ S = T-V总结：经过总结之后，发现其实关系之间的运算并不难，关键在于要认真分析，将符号与我们的实际找到联系，只有对各种符号印象深刻之后，这些关系之间的运算也就变得很简单。
关系代数的除运算
关系代数的除运算
关系代数是数据库领域中的一种基本理论，它用来描述数据之间的关系和操作。
除运算是关系代数中的一种运算，它用来求两个关系的差集，并返回差集结果关系。
具体来说，如果有两个关系A和B，它们具有相同的属性集合，即A和B的每个属性都是相同的。
则A除去B的运算定义如下：
A -
B = { t | t ∈ A ∧ t B}
其中，t是A和B中的元组，∈表示属于，∧表示逻辑与，表示不属于，即t属于A但不属于B。
例如，如果有两个关系R和S，其中R包含属性A、B、C，S包含属性B、C、D，则R除去S的结果为：
R - S = { (a, b, c) | (a, b, c) ∈ R ∧ (b, c, d) S } 其中，(a, b, c)是R中的一个元组，(b, c, d)是S中的一个元组，∈表示属于，∧表示逻辑与，表示不属于，即(a, b, c)属于R 但(b, c, d)不属于S。
除运算常常与其他关系代数运算一起使用，例如交、并、选择、投影等，来实现复杂的查询和操作。
在实际应用中，除运算也具有重要的应用价值，例如在数据清洗、数据集成、信息抽取等领域中都有广泛的应用。
- 1 -。
数据库基础-第二章 关系数据模型与关系运算
2.2 关系代数
数据查询基本运算
❖1．关系属性的指定——投影运算 这个操作是对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并 重新安排列的顺序。
i1,i2,,in(R) {t | t ti1,ti2,,tin t1,t2,,tk R}
例子2-3
❖2．关系元组选定——选择运算 选择操作是根据某些条件对关系做水平分割，即选取符合 条件的元组。
R S {t | t R t S}
式中“－”为差运算符，t为元组变量，结果R-S为一个新的与R、S兼
容的关系，该关系是由属于R而且不属于S的元组构成的集合，即 在R中减去与S中相同的那些元组。
关系 R
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a2
b2
c1
关系 R∪S
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a2
b2 c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
图 2.9 关系 R 和关系 S 及其交运算
2.2 关系代数
2.除法运算
设关系R和S的元数分别为r和s（设r>s>0），那么R÷S是一个（r-s）元的 元组的集合。（R÷S）是满足下列条件的最大关系：其中每个元组t与S中 每个元组u组成的新元组<t，u>必在关系R中。
S# (S) S# (SC)
例2-7 在关系C中增加一门新课程（C13, ML, C3， null）： 如果令这门新课程元组所构成的关系为R，则有： R=（C13，ML，C3,null），这时结果为：C∪R。
学生关系：S (S# ，Sn， Sex，Sa ，Sd) ； 课程关系：C (C# ，Cn ，P#，Tn) ； 选课关系：SC (S#， C# ，G)，
数据库关系代数
并、差、笛卡儿积、投影、选择是关系代数的5种基本的运算,其他运算，即交、连接、除都可以通过基本的运算推导运算出。
1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合；2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X 与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。
数据库系统（二）--关系型数据库之关系代数关系型数据库-关系操作集合1、基本的关系操作关系模型中常用的关系操作包括查询(Query)操作和插入(Insert)、删除(Delete)、修改(Update)操作两大部分。
查询操作分为：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积等；五种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合、这种操作方式也称为一次一集合的方式。
2、关系数据语言的分类关系操作是通过关系语言来实现的。
关系语言的特点是高度非过程化，即：（1）用户不必请求数据库管理员为其建立特殊的存取路径，存取路径的选择由 DBMS 的优化机制来完成；（2）用户也不必求助于循环和递归来完成数据的重复操作。
关系操作的能力可以用两种方式来表示：代数方式和逻辑方式。
关系代数、元组关系演算和域关系演算均是抽象的查询语言。
结构化查询语言SQL充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关于数据库的标准语言。
关系数据语言可以分为三类：关系代数语言、关系演算语言以及兼具两者双重特点的语言。
三类语言的共同特点是语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能够独立使用也可以嵌入高级语言中使用。
3、关系代数操作包含三大要素：操作对象、操作符、操作结果。
数据库关系代数运算
数据库关系代数运算转⾃（1）基本概念① 属性和域：每个事物有很多属性，每个属性对应的取值范围叫做域，所有对域都是原⼦数据（第⼀范式）② 相关名词n元关系：R(D1,D2,D3...Dn)是n元关系，其中关系属性的个数称为“元数”，元组的个数称为“基数”，也就是记录值。
候选码：若关系中某⼀个属性或者属性组的值可以唯⼀的标识⼀个元组，则称为候选码主码：可以选择任意⼀个候选码作为主码主属性：包含在任何候选码中的属性叫作主属性全码：关系模型中所有属性都是这个关系模型的候选码，称为全码外码：关系模式中的属性⾮该关系的码，则称为外码③ 三种类型：基本表：实际存在的表查询表：查询结果对应的表视图表：由基本表和其他视图表导出的表，不是实际存在数据库中④ 完整性约束：实体完整性：主属性A不能为空值参照完整性：⽤实体之间的关系来描述，若F是关系R的外码，则F或者是空值，或者是某个元组的主码值⽤户定义完整性：根据具体关系数据的约束条件，⽐如数据范围等（2）关系五种基本运算① 并：R,S具有相同的关系模式（元素相同，结构相同），记为R U S,返回由R或者S元组构成的集合组成② 差：R,S具有相同的关系模式（元素相同，结构相同），记为R-S，右属于R但不属于S的元组组成③ ⼴义笛卡尔积：R×S由n⽬和m⽬的关系R,S组成⼀个（n+m）列的元组集合，若R有K1个元组，S有K2个元组，则R×S有K1*K2个元组④ 投影（π）：从关系的垂直⽅向开始运算，选择关系中的若⼲列组成新的列。
⑤ 选择（σ）：选择从关系的⽔平⽅向进⾏元算，选择满⾜给定条件的元组组成新的关系。
（3）扩展的关系代数运算① 交：R∩S=R-(R-S),R,S具有相同的关系模式② 链接：链接分为θ链接，等值链接和⾃然链接θ链接：从R,S的笛卡尔积中选择满⾜⼀定条件的元组等值链接：当θ为“=”时为等值链接⾃然链接：是⼀种特殊的等值链接，⽐较的分量必须是相同的属性组，并在结果集中去掉重复列，如果没有重复列，⾃然链接就转换为笛卡尔积③ 除：同时从⽔平⽅向和垂直⽅向进⾏运算，给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，X,Y,Z为属性组，R÷S应当满⾜在X上的分量值x的像集Yx包含关系S在属性组Y上的投影集合：例如：R是：A B C Da b c da b e fa b h kb d e fb d d lc k c dc k e fS是:C Dc de f则R÷S：A Ba bc k④ ⼴义投影：⼴义投影运算容许在投影列表中使⽤算法运算，实现对投影运算的扩充，投影出的列不⼀定是原来的列，可以是通过计算出来的列。
数据库关系代数除法讲解
【数据库原理】关系代数篇——除法讲解陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 }a1值对应的象集为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }a2值对应的象集为{ (b3,c7) , (b2,c3) }a3值对应的象集为{ (b4,c6) }a4值对应的象集为{ (b6,c6) }关系S在B、C上的投影为{ (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) }只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为Aa1【例题一】为了更好的理解除法的实际作用，请看下面的例题设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决)学生信息关系student（sno，sname，age，sex）学生选课关系sc（sno，cno，score）学校课程关系course（cno，cname）Student表sno sname age sexS001 陈晓16 男S002 周倩21 女S003 华南19 男S004 曹匀21 女S005 郑威20 男Course表cno cnameC001 计算机科学C002 诗歌鉴赏C003 资本论SC表sno cno scoreS001 C001 88S001 C002 95S001 C003 99S002 C001 97S002 C003 84S003 C002 69S005 C002 77S005 C003 98SQL语言中没有全称量词，具体实现时可以把带有全称量词的谓词转换为等价的带有存在量词的谓词。
解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists来实现带全称量词的查询解决所谓forall的问题。
数据库 第二章 关系代数
名称 奶粉 火腿 白糖
厂家 地北 西山 北山
不合格商品表Ｓ
表 本店商品表Ｒ
2013-5-22 18
① 本店中的合格商品表
品牌 106001 205008 302034
名称 奶粉 白糖 食盐
表 新关系Ｒ－Ｓ
厂家 天南 南山 西山
2013-5-22
19
② 本店内不合格的商品表
品牌 103026
名称 奶粉
2013-5-22
37
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
S
AθB
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和 列的角度进行运算。
2013-5-22 38
例：
A a1 a1 a2 a2
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3
b3 b5 S
E 3 7 10
2 2
R
2013-5-22
2013-5-22
7
例：
通过并运算，可以实现关系数据库中记录的插入
2013-5-22 8
参加并操作的两个关系必须满足如下条件： 两个关系具有相同数目的属性，即属性集相同 两个关系的各个属性的类型（即域）必须匹配 两个关系的属性次序完全相同。如果它们的次 序不同，那么在进行并操作之前，必须对两个 关系的列进行排序。
2.7.4
投影（Projection）
关系R上的投影运算：从R中选择若干属性列形成 新的关系，即对关系R进行垂直分割，获取一个 可能包含有重复行的表，然后删去重复的元组， 形成新的关系，其结果关系是列的子集。 A(R) = {t[A]|t∈R} 其中A为R关系属性集的子集
数据库关系代数
关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,O,GRADE)课程关系C(O,AME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE O='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ O='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与XX------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND SC.O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ O='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
第2章 关系代数与关系数据库理论
01 传统的集合运算（举例）
R和S ➢ 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） ➢ 相应的属性取自同一个域
23
01 传统的集合运算（举例）
24
关系代数及其运算
关系的数学定义 关系代数概述 传统的集合运算 专门的关系运算
01
PART ONE
01 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。 为了叙述上的方便，先引入几个记号： (1)设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R， t∈R 表示t是R的一个元组，t[Ai]表示元组t中相应于属性Ai 上的一个分量。 (2)若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1， A2，…，An中的一部分，则A称为字段名或域列。 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组 t 在字段名 A 上诸 分量的集合。 Aഥ 表示{A1，A2，…，An)中去掉{Ai1，Ai2，…， Aik}后剩余的属性组。
10
01 关系的数学定义
➢ 基数（Cardinal number） • 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为 mi（i＝1，2，…，n} • 则D1×D2×…×Dn的基数M为：
➢ 笛卡尔积的表示方法 • 笛卡尔积可表示为一个二维表。 • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一 个域。
11
例1：查询学生的学号和姓名。 ➢πSno，Sname(Student)或π1，2(Student) ➢ 查询结果：
37
01 专门的关系运算
连接（Join） ➢ 连接也称为θ连接 ➢ 连接运算的含义： • 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组 • A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 • θ：比较运算符 ➢ 从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值 与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。
关系代数的五种基本运算
关系代数的五种基本运算
五种基本关系代数运算是并、差、投影、交、选择、投影。
1、并：设有两个关系R和S，它们具有相同的结构。
R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合，运算符为∪。
记为T=R∪S。
2、差：R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，运算符为－[1]。
记为T=R－S。
3、交：R和S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合，运算符为∩[1]。
记为T=R∩S。
R∩S=R－（R－S）。
4、选择：从关系中找出满足给定条件的那些元组。
其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取。
这种运算是从水平方向抽取元组。
5、投影：从关系模式中挑选若干属性组成新的关系。
这是从列的角度进行的运算，相当于对关系进行垂直分解。
扩展资料：
选择和投影运算都是属于一目运算，它们的操作对象只是一个关系。
连接运算是二目运算，需要两个关系作为操作对象。
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• 是一种抽象的查询语言
SQL
• 介于关系代数和关系演算之间 • 集DDL、DML和DCL一身的关系数据语言
2.2 关系数据结构的形式化定义
关系模型建立在集合代数基础上，从集合论角度讨论 关系的形式化定义
定义1：域(Domain)－形式化表示为D
• 一组具有相同数据类型的值的集合，如整数、实数等。定义
张三 女
802
李四 男
803
王五 男
804
赵六 女
805
钱七 男
01
19
01
20
01
20
02
20
02
19
专业号 01 02 03
专业名 信息 数学 计算机
关系间的引用
例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 课程（课程号，课程名，学分） 选修（学号，课程号，成绩）
外码说明
关系R和S不一定是不同的关系 目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必
须定义在同一个（或一组）域上 关于取名
外码并不一定要与相应的主码同名 当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取
相同的名字，以便于识别
参照完整性举例
例１：学生实体与专业实体间的关系： 外码 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 专业（专业号，专业名）
04
90
04
88
关系间的引用
例3 学生实体及其内部的领导联系(一对多)
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
学号
801 802 803 804 805
姓名
张三 李四 王五 赵六 钱七
性别
女 男 男 女 男
专业号 年龄
01
19
01
20
01
20
02
20
02
19
班长 802
802 805
外码（Foreign Key）
关系完整性约束
• 实体完整性、参照完整性、用户定义完整性
关系的两个不变性, 由系统自动支持
由应用语 义约束
关系语言
关系操作特点
操作对象和结果都是集合 高度非过程化的语言，不必借助循环结构就可以完成
数据操作，能嵌入高级语言中使用
三种语言在表达能 力上完全等价
关系代数语言 关系数据语言 关系演算语言
关系模式与关系
关系模式是型，是对关系的描述，是静态的，稳定的 关系是值，由赋予它的元组语义来确定的，是动态的，不断变化的,
是关系模式在某一时刻的状态或内容
★实际应用中常常将关系模式和关系都称为关系
关系数据库
在给定应用领域中，所有表示实体及实体之间联 系的关系的集合构成一个关系数据库
关系数据库也有型和值之分
元素的数量是集合的基数
– 若Di的基数为Mi，则笛卡尔集的基数M为
n
M mi i 1
笛卡尔积
计算实例 例1：D1={甲,乙}, D2={1,2}, D3={a,b,c} 1）D1,D2,D3基数分别是多少？ 2）D1×D2＝？（基数？） 3）D1×D2×D3＝？（基数？） 笛卡尔集可表示为一个二维表
专业
计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息 计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息
研究生
李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏 李勇 刘晨 王敏
D1,D2,D3的笛卡尔积（上图）
关系数据结构的形式化定义
定义3：关系
D1×D2×···×Dn的子集叫做在D1, D2, …, Dn上的关 系，表示为 R(D1, D2, …, Dn)
选修（学号，课程号，成绩）
“学号”和“课程号”是选修关系中的主属性， 按照实体完整性和参照完整性规则，它们只能取 相应被参照关系中已经存在的主码值
参照完整性规则举例
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
“班长”属性值可以取两类值：
空值，表示该学生所在班级尚未选出班长，或 该学生本人即是班长；
R＝(导师，专业，研究生) •一个研究生只能有一个专业，如李 勇和王敏是计算机专业、刘晨是信 息专业
现在导师与研究生是什么关系？
限定一个学生只能有一个导师， 如张是计算机导师，刘是信息 专业导师
导师S
张清正 张清正 张清正 张清正 张清正 张清正 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸
专业SP
计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息 计算机 计算机 计算机 信息 信息 信息
元组关系演算语言 域关系演算语言
例如ISBL 例如APLHA, QUEL 例如QBE
具有关系代数和关系演算双重特点的语言 例如SQL
关系模型语言
关系代数语言
• 把关系当作集合，用集合运算和特殊的关系运算来表达查询
要求和条件
• 是一种抽象的查询语言
关系演算语言
• 用谓词来表达查询要求和条件 • 谓词变元的基本对象可以是元组变量或域变量，故可分为元
n：关系的度或目，表的列数，一般称n元关系
相关术语
候选码：能够唯一标识一个元组的属性组
• 一个关系可以有多个候选码
主码：一个关系中选定的一个候选码
主属性：主码的各个属性
非主属性（非码属性）：不包含在任何候选码中的属
性
全码：若关系模式的所有属性组是这个关系模式的候
选码
请举例
三类关系
基本关系（基本表或基表）
请将例子表示为二维表
例2．已知三个域
D1=导师集合＝{张清正,刘逸} D2=专业集合＝{计算机,信息} D3=学生集合＝{李勇,刘晨,王敏}
计算思考
1）基数？ 2）计算D1×D2×D3＝？基数？ 3）计算结果中的元组有无实际意 义？
导师
张清正 张清正 张清正 张清正 张清正 张清正 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸 刘逸
实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
查询表
查询结果对应的表
视图表
由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不 对应实际存储的数据
例．已知三个域
D1=导师集合S＝{张清正,刘逸} D2=专业集合SP＝{计算机,信息} D3=学生集合P＝{李勇,刘晨,王敏}
计算思考
从笛卡尔集中取出一个子集，选择 有意义的结果组成关系
任意两个元组不能完全相同，由笛卡尔积的性质 决定
但许多关系数据库产品没有遵循这一性质，例如 Oracle，FoxPro等都允许关系表中存在两个完全相同 的元组，除非用户特别定义了相应的约束条件
举例
行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
遵循这一性质的数据库产品(如ORACLE)，插 入一个元组时永远插至最后一行
关系数据库的型称为关系数据库模式，是对关系数据 库的描述
• 若干域的定义 • 在这些域上定义的若干关系模式
关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关 系的集合，通常简称为关系数据库
课堂思考
给出导师、学生、专业三个实体可能组成 的关系数据库及其概念模型（ER图）
2.3 关系的完整性
实体完整性
属性被赋予不同的属性名 列的次序可以任意交换 任意两个元组不能完全相同 行的次序可以任意交换 分量必须取原子值，即不可再分
在许多实际关系数据库产品中，基本表并不完全具有这六条性质。
举例
列的顺序无所谓，次序可以任意交换
遵循这一性质的数据库产品(如ORACLE)，增加新属 性时，永远是插至最后一列
但也有许多关系数据库产品没有遵循这一性质，例如 FoxPro仍然区分了属性顺序
非空值，这时该值必须是本关系中某个元组的 学号值
用户定义的完整性
用户定义的完整性是针对某一具体关系数 据库的约束条件，反映某一具体应用所涉 及的数据必须满足的语义要求
参照关系 被参照关系
关系参照图
学生关系 专业号 专业关系
例２：学生，课程，学生与课程之间的多对多联系：
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
被参照关系
课程（课程号，课程名，学分）
被参照关系
选修（学号，课程号，成绩）
参照关系主码？外码？关系来自照图学号课程号
学生关系
选修关系
课程关系
参照完整性举例
例３：学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
外码
设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的 码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是基 本关系R的外码
FKr 基本关系R(F ， …)
基本关系S（Ks，…）
参照关系 Referencing
Relation
被参照关系 Referenced Relation
或：目标关系 Target Relation
参照完整性
关系间的引用 外码 参照完整性规则
关系间的引用
在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来 描述的，因此可能存在着关系与关系间的引用
例1 学生实体、专业实体以及专业与学生间的一对多联系 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 专业（专业号，专业名）
学号 姓名 性别 专业号 年龄
801
2：笛卡尔积(Cartesian Product) P47
• 一组域D1,D2,…Dn的笛卡尔积
D 1 D 2 . . . D n { ( d 1 , d 2 , . . . d n ) |d i D i , i 1 , 2 , . . . n }
• (d1,d2,d3,…dn)称为一个元组，di称为一个分量，集合中唯一
参照关系
被参照关系
外码
学号
801 802 803 804 805
姓名
张三 李四 王五 赵六 钱七
性别
女 男 男 女 男
专业号 年龄
01