程序设计基本算法和应用

递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问
题的方法。 斐波那契（Fibonacci）数列：数列1、1、2、3、 5……，是著名的斐波那契数列，其递推通项公式为： f(0)＝0; f(1)=1; f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>1) ，请编写程序输出 斐波那契数列的前20项。
8.2 递推法：斐波那契数列 #define N 20 main() { long f[N]={0,1}; int i; for(i=2;i<N;i++) { f[i]=f[i-2]+f[i-1]; printf(“Fibonacci[%d]=%ld\n”,i,f[i]); } }
8.3 递归法：斐波那契数列
一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接 调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题 层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求 解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所 需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。 一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归 返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条 件满足时，递种选优搜索法，按选 优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时， 发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新 选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满 足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。 1、问题描述 从出发点（入口）开始，在给定的空间中，沿可 行的路径进行探索，直到达到目标（出口）。 在资源勘探中，在战争或游戏中，都会有类似的 情景，在给定的空间中，如森林、山洞、沙漠等，搜 索特定目标，如出路、人或物等。 这类问题都可以归结为迷宫问题。
8.5 回朔法：迷宫问题
2、 需要解决的问题 如何表示给定的空间和可行的路径？ 如何表示入口和出口？ 当有多条可行的路径时如何选择？ 当某条路径在某一点再没有可行之路时如何处理？ 前两个问题属于数据结构选择和设计， 后两个问题涉及算法设计。
8.3 递归法：斐波那契数列
注意：任何一个递归都包含两部分的内容： ★递归体：递归所进行的操作。 ★递归出口 ：为了防止递归调用无终止地进行，必 须在函数内有终止递归调用的手段。常用的办法是加 条件判断，满足某种条件后就不再作递归调用，然后 逐层返回。
8.3 递归法：斐波那契数列
long fib(int n) { if(n==0) return 0; if(n==1) return 1; if(n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); }
8.1 迭代法：方程求根（牛顿迭代法）
迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。 运用迭代法的基本步骤： （1）确定迭代的变量
（2）建立迭代关系
（3）对迭代过程进行控制
8.1 迭代法：方程求根（牛顿迭代法）
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值， 过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程 为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐 标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。 过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切 线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2 为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列 ，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
8.2 递推法：斐波那契数列
依次类推可以列出下表： 所经过月数：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、 10、11、12 兔子对数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55 、89、144、233 表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个序 列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻 两项之和，构成了后一项。
8.1 迭代法：方程求根（牛顿迭代法）
#include "math.h" #include "stdio.h" float fun(float a,float b,float c,float d) { float x=0.5,y; do { y=x; x=x-(((a*x+b)*x+c)*x+d)/((3*a*x+2*b)*x+c); }while(fabs(x-y)>=0.0000001); return x; }
8.1 迭代法：方程求根（牛顿迭代法） main() { float a,b,c,d; printf("\nplease input a,b,c,d:"); scanf("%f%f%f%f",&a,&b,&c,&d); printf("x=%10.7f\n",fun(a,b,c,d)); }
8.2 递推法：斐波那契数列
8.2 递推法：斐波那契数列
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力 ，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔 都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对 ;
两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还 没有繁殖能力，所以一共是三对;
#define N 20 main() { int i; for(i=0;i<N;i++) printf(“Fib[%d]=%ld\n”,i,fib(i)); }
8.4 穷举法：水仙花数
穷举法是对可能是解的所有候选解进行逐一 检验，从中找出满足要求的解。
main() { int i,j,k,n; printf("'water flower'number is:"); for(n=100;n<1000;n++) { i=n/100;/*分解出百位*/ j=n/10%10;/*分解出十位*/ k=n%10;/*分解出个位*/ if(i*100+j*10+k==i*i*i+j*j*j+k*k*k) printf("%-5d",n); } }