专题八 概率与统计

2、方案甲中ξ 取值概率的研究： 、 取值概率的研究： 时学生可以按照等可能性事件概率来处理， 当 ξ 取1，2，3时学生可以按照等可能性事件概率来处理，关键是 ， ， 时学生可以按照等可能性事件概率来处理
ξ 取4时，概率的计算，计算方法是等可能事件概率的计算方式 时 概率的计算，
3 1 A4 ⋅ C2 2 但分子的计算是关键： 但分子的计算是关键： p(ξ = 4) = = 4 A5 5
四、备考建议
审题问题， （1）阅读能力的培养 审题问题，试题难 ）阅读能力的培养—审题问题 量关键是学生审题能力的大小； 度大小的衡 量关键是学生审题能力的大小； （2）解题时正确地用大写字母表示不同的 ） 事件； 事件； （3）必须明确各个事件之间的相互关系； ）必须明确各个事件之间的相互关系； （4）对离散性随机变量 ） 取值的考察； ξ 取值的考察；
1 =10 ( np ) = 10(3 × ) = 3.75 8
的取值为0， 表示补坑的个数， 引入另一个随机变量η表示补坑的个数，则 η 的取值为 ，
η 1，2，3，且概率不变， 的分布列服从二项分布，则 ， ， ，且概率不变， 的分布列服从二项分布，
1 Eη = np = 3× ，又 ξ =10η 8
一、近几年高考概率典型模型： 近几年高考概率典型模型：
一把抓和逐个抓问题（ （1）摸球问题 ）摸球问题——一把抓和逐个抓问题（有序和无 一把抓和逐个抓问题 序的问题）； 序的问题）； 三局两胜、 （2）比赛问题 ）比赛问题——三局两胜、五局三胜问题； 三局两胜 五局三胜问题； 第几次出现正品或次品的问题； （3）检验问题 ）检验问题——第几次出现正品或次品的问题； 第几次出现正品或次品的问题 中奖和不中奖问题； （4）奖券问题 ）奖券问题——中奖和不中奖问题； 中奖和不中奖问题 合格与优秀问题； （5）考试问题 ）考试问题——合格与优秀问题； 合格与优秀问题
2005年全国卷 年全国卷1 年全国卷 9粒种子分种在 个坑内，每坑 粒，每粒 粒种子分种在3个坑内 每坑3粒 粒种子分种在 个坑内， 种子发芽的概率为0.5， 种子发芽的概率为 ，若一个坑内至少 ξ 粒种子发芽， 由1粒种子发芽，则这个坑不需要补种； 粒种子发芽 则这个坑不需要补种； ξ 若一个坑内的种子都不没发芽， 若一个坑内的种子都不没发芽，则这个 坑需要补种，假定每个坑至多补种一次， 坑需要补种，假定每个坑至多补种一次， 每补种一个坑需要10元 每补种一个坑需要 元，用 表示补种 费用， 的分布列并求的数学期望. 费用，写出 的分布列并求的数学期望 精确到0.01） （精确到 ）
2 1 1 C 4 ⋅ 1 C2 ⋅ C2 p (η = 3) = 3 ⋅ C5 A32 1 1 C2 ⋅ C2 其中 的计算是关键，但这个问题实际上同第一问； 的计算是关键，但这个问题实际上同第一问； 2 A3
归纳： 归纳：
（1）解决本题的关键是理解题意，明确ξ 的取值个 ）解决本题的关键是理解题意， 数和是什么; 数和是什么 取值的基础上辨析三个概率的计算合理性； （2）明确ξ 取值的基础上辨析三个概率的计算合理性； ）
2 p (ξ = 4) = 1 − ( p (ξ = 1) + p (ξ = 2) + p (ξ = 3)) = 5 只能够取4个值 这种做法的关键是首先需要明确ξ 只能够取 个值
第二个问题： 第二个问题： 1、方案乙中 η 取值的研究：根据题意， 、 取值的研究：根据题意，
η 只能够取 个值，2和3， 只能够取2个值 个值， 和 ，
特别是相互独立事件和互斥事件的区别最为重要， 特别是相互独立事件和互斥事件的区别最为重要，要注意结 合实际意义判断事件之间的关系. 合实际意义判断事件之间的关系 2）对于摸球或抽奖问题采用等可能性事件概率的计算方法， ）对于摸球或抽奖问题采用等可能性事件概率的计算方法， 分子和分母的表达中重视是否有序（一把抓和逐次抓的区别） 分子和分母的表达中重视是否有序（一把抓和逐次抓的区别）
7 3 1 ( ) +10× C 3 ( 1 )( 7 ) 2 +20× C 32 ( 1 ) 2 ( 7 ) Eξ = 0× 8 8 8 8 8
=3.75
1 3 +30×( ) 8
1 1 7 2 7 3 C 3 ( )( ) +2×C 32 ( 1 ) 2 ( 7 ) +3× ( 1 ) 3) Eξ =10(0×( ) +1× × × × × 8 8 8 8 8 8
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2005年高考湖北卷：某地最近出台一项机动车驾照 年高考湖北卷： 年高考湖北卷 考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试 考试规定：每位考试者一年之内最多有 次参加考试 的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照， 的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再 参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止 次为止， 参加以后的考试，否则就一直考到第 次为止，如果 李明决定参加驾照考试， 李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的 概率依次为0.6， ， ， 概率依次为 ，0.7，0.8，0.9.求在一年内李明参 求在一年内李明参 加驾照考试次数的分布列和期望， 加驾照考试次数的分布列和期望，并求李明在一年 内领到驾照的概率。（ 内领到驾照的概率。（ 1.544；0.9976） ； ）
2、方案乙中 η 取值概率的研究： 、 取值概率的研究：
当η 取2时，第一次化验可以呈现阳性也可以呈现阴性， 时 第一次化验可以呈现阳性也可以呈现阴性， 因此分两个基本事件，概率的计算是两个互斥事件有一个发 因此分两个基本事件， 生的概率，因此结果为： 生的概率，因此结果为： 2 1 3
3 C4 的计算是问题的关键， 其中 3 ⋅1 的计算是问题的关键，即第一次取到的 C5
C4 ⋅ C2 1 C4 p (η = 2) = ⋅ 1 + 3 ⋅1 3 C5 C3 C5
都不是患病的，第二次随意取一个都能化验出患病的是哪一个， 都不是患病的，第二次随意取一个都能化验出患病的是哪一个， 不用再考虑下一次化验，这是和第一问不同的地方， 不用再考虑下一次化验，这是和第一问不同的地方，他们不同 的关键是概率计算方式的不同， 的关键是概率计算方式的不同，第一问题强调的是等可能事件 的概率，分母的计算取了四个，分子也要取4个 的概率，分母的计算取了四个，分子也要取 个，而在第二问 中1是概率的计算，即从剩下的2个种任取一个的概率为 ，这 是概率的计算，即从剩下的 个种任取一个的概率为1， 是概率的计算 个种任取一个的概率为 是以这样处理：
2 1 3 1 C4 ⋅ C2 1 C 4 C2 p (η = 2) = ⋅ 1+ 3⋅ 1 3 C5 C3 C5 C2
时 第一次化验必须呈现阳性， 当η 取3时，第一次化验必须呈现阳性，概率的计算是三个 互斥事件有一个发生的概率，因此结果为： 互斥事件有一个发生的概率，因此结果为：
高考数学二轮专题复习
专题八 概率与统计
年考纲】 【2011年考纲】 年考纲
1、了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合 的基本公式计算一些等可能事件的概率。 2、了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用 互斥事件概率加法公式与相互独立事件概率乘法公 式计算一些事件的概率。 3、会计算在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次 的概率。 4、了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的 离散型随机变量的分布列；了解离散型随机变量的 期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出 期望。
第一个问题： 第一个问题： 1、方案甲中 ξ 取值的研究： 、 取值的研究： 方案甲中ξ 取值只能够取 个，即1，2，3，4，而不能取 ， 取值只能够取4个 ， ， ， ，而不能取5， 学生高考出错的核心是不能很好的理解题意 只会套方法和公式， 的核心是不能很好的理解题意， 学生高考出错的核心是不能很好的理解题意，只会套方法和公式， 实际上，当化验4次时 如果前三次都不患病， 次时， 实际上，当化验 次时，如果前三次都不患病，那么第四次如果患 化验就结束，如果第四次化验的结果还是不患病， 病，化验就结束，如果第四次化验的结果还是不患病，那么剩下 的一个一定是患病的，也不用再化验，这是本题的难点和重点， 的一个一定是患病的，也不用再化验，这是本题的难点和重点，即 ξ 取几个值和都是什么的问题 因此：高考中离散型随机变量取几个值，都取什么的问题 关键 因此：高考中离散型随机变量取几个值，都取什么的问题,关键 是对题意的理解与把握， 是对题意的理解与把握，在平时的备考中要加强学生阅读能力 的提高。 的提高。
η）=10 E（η ） 30 = 3.75. 则E ξ =E（10 （ （ = 8
高考提分增效的一个关键点
就是在后续复习中要提高学生的阅读能力， 就是在后续复习中要提高学生的阅读能力，概 率和期望在高考中一般处在中档题的位置， 率和期望在高考中一般处在中档题的位置，学生丢 分的主要原因首先是阅读能力较差， 分的主要原因首先是阅读能力较差，不明白问题的 本质，同时就是上述几个环节不够专业，因此， 本质，同时就是上述几个环节不够专业，因此，后 续备考阶段要加强对概率问题的研究， 续备考阶段要加强对概率问题的研究，要有充足的 做题时间，要在做题后整理反思的解题思路，要辨 做题时间，要在做题后整理反思的解题思路， 析不同试题之间的关系， 析不同试题之间的关系，要从相同之处抓住该类问 题的本质。 题的本质。
三、把握规律，提升认识，抓住要点， 把握规律，提升认识，抓住要点， 提高能力
1、加强对 ξ 的研究是解决分布列和期望、方差的核心问题 、 的研究是解决分布列和期望、 认真审题， 的本质含义， 认真审题，掌握 ξ 的本质含义，确定 ξ 取值及其个数
2、加强 、
ξ 取值时概率计算的合理性和正确性
1、 取值对应概率计算过程中对事件之间的关系要正确理解， 、 取值对应概率计算过程中对事件之间的关系要正确理解， ξ ）
二、高考典型试题分析
2008年全国卷一：已知5只动物中有 只患有某种疾病，需要 年全国卷一：已知 只动物中有 只患有某种疾病， 只动物中有1只患有某种疾病 年全国卷一 通过化验血液来确定患病的动物． 通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即 为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只 将它们的血液混在一起化验． 方案乙：先任取 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈 阳性则表明患病动物为这3只中的 只中的1只 然后再逐个化验， 阳性则表明患病动物为这 只中的 只，然后再逐个化验，直 到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取 只中任取1 到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 只中任取 只化验． 只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数 的概率； 的概率； （Ⅱ） 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ 表示依方案乙所需化验次数， 的期望． ξ 的期望．