第一次校内赛论文

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

住房投资分析

摘要

随着中国金融体制的完善，越来越多的普通家庭选择投资商品房作为增加收入的手段。为了得到使投资收益最大化的模型，我们先对房价和租金进行了拟合与预测，然后利用模型对可能的投资方案进行收益率分析。通过对1998年到2008年房屋销售价格指数的分析，采用了三次样条插值法对数据进行了预处理。在房价模型的建立与求解中，我们引入了“社会最大容忍度”和“震荡因子”两个参数分别刻画了房屋价格指数的有界性与波动性，利用微分方程和matlab中的polyfit工具，建立了改进后的logistic 模型并进行预测，得到了较好的结果。然后我们从房价租金比的概念出发，利用房价租金指数比建立了关于房租的回归模型。在该模型的建立过程中，我们引入了正弦函数对数据的不稳定性与非线性进行模拟，最终取得与事实相符的结论。接着，我们建立了“出租——出售”最优化模型，对买房后先出租再出售的模式进行最优化分析，得出了出手房屋的最佳时机。最后，给出“出租——出售”模型与“空置”模型的比较，当给定相关变量的值时，便可以从中选出较好的一种。

本模型最大的特点是没有简单的使套用诸如微分方程、回归分析等预测方法，而是综合考虑了真实生活中的制约因素，并引入了多个参数表征其对模型的影响，最终获得了理想的结论。

关键词：回归分析；有界性与波动性；微分方程；最优化模型；非线性拟合；

一．问题重述

1.1 问题背景

在缺乏可靠投资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱或贷款购置房屋进行投资。为了降低投资风险、最大化投资收益，投资者需要对房价、租金的走势有准确的判断，进而选择适当的投资方案。

1.2 目标任务

问题：根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等因素，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。

二．问题分析

针对本问题进行分析之后，我们可以看出问题的难点在于对未来一段时间房屋价格与租赁价格变化情况进行预测。在其基础上，我们还要考虑不同投资方式对最后收益的影响，从而得出最优方案。为此，我们把该问题的解决分为两个部分：

一、建立时间序列模型，预测未来一段时间房价、房租的变化情况。

二、考虑不同的投资方式与按揭方式，使得收益最大化。

三、模型的假设

1）假设国家统计局所提供的数据能够真实正确反映我国普遍房价水平。

2）忽略在房产交易中发生的手续费等小额费用，假设政府效率极高，在需要售出房屋时视为立即售出。

3）假设地震海啸等不可抗因素不会对经济和房价租金等造成影响。

四、符号说明

五、数据与处理

5.1房价数据

原始数据如下图：

通过上图我们可以发现，1998年——2008年，房屋销售价格指数都呈较稳定的上升趋势。同时，我们也发现1999年，2004年，2006年这三年的数据与其他数据偏差较大。经查阅资料发现，这三年的前一年都有重要的政府政策出台，如1999年房屋销售价格指数的大跌是在1998年“23号文件”停止住房福利实物分配的背景下的。为此，我们采用如下方法来对原始数据进行处理：将1999年，2004年，2006年的数据舍去，然后根据其他几年的数据采用三次样条插值的方法对这三年进行估算，从而得到三个更为符合整体趋势的数据，具体结果如下：

5.2 房价租金

指数比

原始数据如下图：

与房价数据相似的，我们发现1999年与2004年的数据与总体趋势有较大偏差，所以我们采用了与5.1相似的处理方法：想将1999年与2004年的数据剔除，使用余下的

点进行三次样条差值，再用得到的函数对这两点进行估算结果如下：

六、模型建立与求解

6.1房价的预测

6.1.1房价增长指数的多项式拟合

对于房价的预测，我们首先根据历史房屋销售价格指数，进行了多项式拟合:

用插值法处理过后的的数据

年份19981999200020012002200320042005200620072008房屋价格指

101.4101.25 101.1 102.2103.7 104.8 106.2 107.6 105.5 107.6 106.5 数

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利用Excel 软件，经过多次调试，我们最终得到的方程的取得了较好的拟合效果：

32h(t) 0.0274t 0.458t 1.3393t 102.19=-+-+

决定系数：2

R 0.9324=

时间变量t 解释了93.24%，即几乎全部的数据偏差。

但之后使用该模型进行预测时，我们发现随着要预测的未来时间越来越远，预测误差越来越大。