2019届高考数学一轮复习三考点纵横——6大常考考点之神思妙解增分学案文

三、考点纵横——6大常考考点之神思妙解常考点1 最值问题的5大解法方法1 函数法(1)利用已知函数性质求最值根据已知函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.典例1 函数y=cos 2x+2cos x的最小值是.思路点拨利用余弦倍角公式转化为关于cos x的二次函数在闭区间上的最值.答案-解析y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2-,当且仅当cos x=-时,函数取得最小值-.(2)构建函数模型求最值很多最值问题需要先建立函数模型,然后使用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是一个角度(如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是一个变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.典例2 在△ABC中,点D满足=,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是( )A. B. C. D.思路点拨根据点E在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解.答案 C解析设=x(0≤x≤1),因为=+=+=+(-)=+,所以=x+x,又=λ+μ,且,不共线,所以λ=x,μ=x,所以t=(λ-1)2+μ2=+=(5x2-4x+8),在x=时取得最小值.故选C.方法2 不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.典例3 已知圆O的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点,那么·的最小值为.思路点拨以∠OHM为变量建立求解目标的函数关系后,通过变换使用基本不等式.答案2-3解析连接OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0<θ<,则||=||=,所以·=||·||·cos 2θ======(1-cos 2θ)+-3≥2-3,当且仅当1-cos 2θ=,即cos 2θ=1-时等号成立.(2)建立求解目标的不等式求最值把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.典例4 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是.思路点拨根据直线与圆的位置关系建立关于k的不等式,解不等式得k的取值范围即可得出其最小值.答案-解析圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,由题意知只要圆C的圆心(4,0)到直线kx-y+2=0的距离不大于2即可,即≤2,解得-≤k≤0,故k的最小值为-.典例5 已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),c>0,且c2=a2-b2.若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为.思路点拨根据椭圆与圆的位置关系,建立关于e的不等式即可求出e的最大值.答案解析由题意得可得结合e∈(0,1),可得0<e≤.∴e的最大值为.方法3 导数法(1)直接使用导数求最值三次函数、含有指数、对数与其他函数综合的函数,求最值时要利用导数法.基本步骤:确定单调性和极值,结合已知区间和区间的端点值确定最值.典例6 已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f '(n)的最小值是.思路点拨分别求出f(m), f '(n)的最小值相加即可.答案-13解析 f '(x)=-3x2+2ax,根据已知得f '(2)=0,得a=3,所以f '(x)=-3x2+6x,令f '(x)=0,得x=0或x=2,当x<0时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当0<x<2时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当x>2时, f '(x)<0, f(x)单调递减,所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,又f '(n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增,所以f '(n)的最小值为f '(-1)=-9.故[f(m)+f '(n)]min=f(m)min+f '(n)min=-4-9=-13.(2)构造函数利用导数求最值不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值中导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.典例7 已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x∈(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的最大值.思路点拨2f(x)≥g(x)可变形为a≤2ln x+x+,x∈,由题意可知a小于或等于2lnx+x+的最大值,从而将问题转化为求函数h(x)=2ln x+x+,x∈的最大值问题.解析由题意知2xln x≥-x2+ax-3,x∈,即a≤2ln x+x+,x∈令h(x)=2ln x+x+,x∈,则h'(x)=+1-=,当x∈时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减;当x∈(1,e]时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增.所以h(x)max=max,因为存在x∈,使2f(x)≥g(x)成立,所以a≤h(x)max,又h=-2++3e,h(e)=2+e+,所以h-h(e)=-4+2e->0,故h>h(e),所以a≤+3e-2.即a的最大值为+3e-2.方法4 数形结合法(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数形结合思想的具体体现).典例8 设点P在曲线y=x2+1(x≥0)上,点Q在曲线y=(x≥1)上,则|PQ|的最小值为( )A. B. C. D.思路点拨根据图象的对称性转化为求曲线上的点与直线上的点之间的最近距离.答案 B解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略),可知两个函数的图象关于直线y=x对称.考虑函数y=x2+1(x≥0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标,由y'=2x=1,得x=,进而y=,即函数y=x2+1(x≥0)图象上在点处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=0的距离为=,这个距离的二倍即为所求的最小值,即|PQ|的最小值为.故选B.(2)根据求解目标的几何意义求最值把求解目标的代数表达式赋予其几何意义,就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题.常见的目标函数的几何意义有:两点连线的斜率、两点间的距离等.典例9 (1)(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12(2)已知实数a,b,c,d满足==1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )A.4B.8C.12D.18思路点拨(1)点(x,y)为平面区域内的动点,x2+y2的几何意义是动点到坐标原点的距离的平方.(2)将(a,b),(c,d)看作点的坐标,则这两个点各自在一条曲线与一条直线上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方.答案(1)C (2)B解析(1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.(2)由==1,得b=a-2e a,d=-c+2.(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线y=x-2e x上的点(a,b)与直线y=-x+2上的点(c,d)的距离的平方.对y=x-2e x求导,得y'=1-2e x,令1-2e x=-1,解得x=0,故曲线y=x-2e x在x=0处的切线的斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点到直线y=-x+2的距离即为曲线y=x-2e x与直线y=-x+2上点距离的最小值,此时的最小距离为=2,故所求的最小值为(2)2=8.方法5 构造法(1)构造函数求最值任意实数a,b,当b≠0时,一定存在实数λ,使得a=λb,用它可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不等式.典例10 若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )A.2B.C.D.思路点拨分离参数后转化为函数的最值问题,对含变量x,y的表达式构造函数,求函数最值.答案 D解析不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立等价于a≥恒成立,即a≥.令y=tx,则=.令m=1+2t(m>1),则t=,则===.≤=,故a≥.故a的最小值为,选D.(2)构造模型求最值根据求解目标的特点,通过联想已知知识构造恰当的模型(如正方形、正方体、函数、数列等)求解最值.典例11 函数y=+的最小值为.思路点拨联想两点间的距离公式,构造平面直角坐标系中的一个图形模型,根据几何意义求解.答案解析将函数化为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点距离之和最小的几何模型问题.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的长就是所求的最小值,即|A'B|==.故填.常考点2 范围问题的6大解题妙招方法1 构建函数模型法选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性质得出其取值范围,这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法.典例1 (1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,两曲线在第一象限的交点记为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是( )A. B.C. D.(2)在锐角△ABC中,AC=6,B=2A,则BC的取值范围是.思路点拨(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c,以其为变量建立求解目标的函数关系式,然后求解;(2)求出角A的取值范围,以其为变量表示出BC,利用三角函数性质得出其范围.答案(1)C (2)(2,3)解析(1)根据已知可知|PF2|=2c,在椭圆中,根据定义知2c+10=2a1,a1=c+5,则离心率e1=,在双曲线中,根据定义知10-2c=2a2,a2=5-c,则离心率e2=.由于P,F1,F2三点构成三角形,所以2c+2c>10,即c>,根据10-2c=2a2>0可得0<c<5,故<c<5,所以0<-1<3,所以e1e2==>.故选C.(2)根据正弦定理,得=,又B=2A,所以=,所以BC=.由于△ABC为锐角三角形,所以B=2A<,即A<,又A+B=3A>,所以A>,所以<A<,所以<cos A<,所以<<,所以2<<3,即BC的取值范围为(2,3).方法2 分离参数法在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时,如果参数能够分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其相应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围.典例2 已知f(x)=(-x2+x-1)e x,g(x)=x3+x2+m,若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.思路点拨函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,分离参数之后,即可以将所求解的问题转化为直线y=-m与某函数图象的交点问题进行求解.解析函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,即-m=(x2-x+1)e x+x3+x2有三个不同的实根,亦即直线y=-m与函数h(x)=(x2-x+1)e x+x3+x2的图象有三个不同的交点.对h(x)=(x2-x+1)e x+x3+x2求导,得h'(x)=x(x+1)(e x+1),则函数h(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.所以h(x)极大值=h(-1)=+,h(x)极小值=h(0)=1,结合图象知1<-m<+,解得--<m<-1.故实数m的取值范围为.典例3 已知函数f(x)=x2+aln x(a∈R).当x>1时, f(x)>ln x恒成立,求实数a的取值范围.思路点拨分离参数后,转化为求函数的最值问题.解析依题意知f(x)-ln x>0,即x2+aln x-ln x>0,∴(a-1)ln x>-x2,∵x>1,∴ln x>0,∴a-1>,∴a-1>.令g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=,当1<x<时,g'(x)>0,g(x)在(1,)上单调递增;当x>时,g'(x)<0,g(x)在(,+∞)上单调递减.∴g(x)max=g()=-e,∴a-1>-e,即a>1-e,即a的取值范围是(1-e,+∞).方法3 参数与变量整体处理法当参数与变量交织在一起,分离参数不方便时,把参数作为常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件,得出其取值范围.典例4 已知函数f(x)=x+-2aln x在区间(1,2)内是增函数,则实数a的取值范围是.思路点拨由题意知f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合函数图象分类讨论其成立时a的取值范围.答案解析 f '(x)=1--=.函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,即x2-2ax-3a2≥0在(1,2)上恒成立.令g(x)=x2-2ax-3a2.当a≤1时,g(x)在(1,2)上单调递增,只要g(1)=1-2a-3a2≥0,解得-1≤a≤;当1<a<2时,只要g(a)=-4a2≥0,无解;当a≥2时,g(x)在(1,2)上单调递减,只要g(2)=4-4a-3a2≥0,即3a2+4a-4≤0,解得-2≤a≤,与a≥2矛盾.综上可知,函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时,a的取值范围是.方法4 数形结合法(1)直接使用数形结合法数形结合法是广泛使用的一种数学方法.在求参数范围问题中,使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件,进而得出参数的取值范围.典例5 已知函数f(x)=g(x)=kx+1(x∈R),若函数y=f(x)-g(x)在x∈[-2,3]内有4个零点,则实数k的取值范围是( )A. B.(2,+∞)C. D.(2,4]思路点拨已知函数的零点个数求参数的取值范围,主要考查考生的数形结合思想和分类讨论思想.本题先考虑x=0时的情形,再考虑x≠0时的情形:把函数有四个零点转化为方程有四个实根,化简,构造两个新函数,它们的图象有四个交点,画图得结论.答案 C解析当x=0时,显然有f(x)≠g(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零点.当x≠0时,y=f(x)-g(x)在x∈[-2,3]内的零点个数即方程f(x)=g(x)(-2≤x≤3)的实根的个数.当0<x≤3时,有kx+1=x2+3,即k=x+;当-2≤x<0时,有kx+1=1+4xcos πx,即k=4cos πx.所以y=f(x)-g(x)(-2≤x≤3)的零点个数等价于函数y=k与y=的图象的交点个数,作出这两个函数的图象,如图所示,由图知2<k≤,故选C.(2)根据几何意义构造图形给数学表达式赋予一定的几何意义,把“式”的问题转化为“几何图形”的问题,以形助数是数形结合法的一个重要方面,其关键是熟悉一些数学公式、法则的几何意义.典例6 若不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B. C.(-∞,) D.(-∞,2)思路点拨根据两点间的距离公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义,然后求解.答案 A解析式子(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义是直线y=x上的点(x,x)到曲线y=ln x上的点(a,ln a)距离的平方.y=ln x的导函数为y'=,令=1,得x=1,即曲线y=ln x上横坐标为1的点处的切线平行于直线y=x,此时切点(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为,此即为曲线y=ln x上的点与直线y=x上点的距离的最小值,所以[(x-a)2+(x-ln a)2]min=,不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,只需m<,故m的取值范围是.故选A.方法5 转化为参数与函数值比较法(1)参数与函数的最值比较求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是化为参数与函数最值的比较,得出参数满足的不等式求得其范围.典例7 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2]时, f(x)=当x∈(0,4]时,t2-≤f(x)≤3-t恒成立,则实数t的取值范围是( )A.[1,2]B.C.D.[2,+∞)思路点拨由题意知t2-t≤f(x)min且f(x)max≤3-t.答案 A解析易知函数f(x)在(0,2]上的值域为∪.当x∈(2,4]时,f(x)=2f(x-2)-2,其中x-2∈(0,2],故函数f(x)在(2,4]上的值域为∪[-1,0].综上可知,函数f(x)在(0,4]上的最小值为-,最大值为1.不等式t2-≤f(x)≤3-t对x∈(0,4]恒成立等价于t2-t≤f(x)min且f(x)max≤3-t,即t2-t≤-且1≤3-t,即1≤t≤且t≤2,即1≤t≤2.故实数t的取值范围是[1,2].故选A.(2)参数与函数值域的端点值比较在函数、数列问题中有些函数不存在最值,该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较,值得注意的是“等号”能否取得.典例8 已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,则实数a的取值范围为.思路点拨求出4Tn的范围,解不等式即可.答案(-∞,-1]∪[2,+∞)解析==,所以T n==<,4T n<2,由4T n<a2-a,得2≤a2-a,解得a≤-1或a≥2,即所求实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).(3)参数与临界值比较已知函数零点个数求参数取值范围时,把函数分解为两个函数(其中一个不含参数,另一个含参数),利用数形结合法确定含参数的函数图象与不含参数的函数图象的位置,通过临界位置得出参数满足的条件,即可得出参数的取值范围.典例9 设f(x)=|lg x|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.思路点拨问题转化为函数y=f(x),y=ax的图象在(0,4)上有三个不同交点,作出图象,根据图象确定实数a满足的条件.答案 B解析在同一坐标系中分别作出函数y=f(x),y=ax的图象(如图),函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点等价于上述两个函数的图象在区间(0,4)上有三个交点,结合函数图象可知,只要直线y=ax 的斜率a介于直线OA(A(4,2lg 2))与直线OB(B为切点)之间即可.直线OA的斜率为,当x∈(1,4)时, f '(x)=,设B(x0,lg x0),则直线OB的方程为y-lg x0=(x-x0),该直线过坐标原点,所以0-lg x0=(0-x0),解得x0=e,即直线OB的斜率为,所以实数a的取值范围是.故选B.方法6 不等式法(1)利用二次函数、二次不等式在导数中有一类问题可以化归为二次函数是否存在零点、二次不等式在某区间上恒成立等,可以利用“二次”函数问题得出参数满足的条件,求得参数的取值范围.典例10 已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角的范围为( )A. B. C.D.思路点拨 f '(x)存在变号零点.答案 B解析函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx有极值的充要条件是其导数存在变号零点.f'(x)=x2+|a|x+a·b,则Δ=|a|2-4a·b>0,设a,b的夹角为θ,则4|b|2-4×2|b|·|b|·cos θ>0,即cos θ<,由于θ∈[0,π],所以θ∈.故选B.典例11 若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是.思路点拨 f '(x)有且只有一个变号零点.答案解析 f '(x)=4x3-3ax2+2x=x(4x2-3ax+2),函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且只有一个极值点的充要条件是函数y=4x2-3ax+2不存在变号零点,即9a2-32≤0,解得-≤a≤.(2)利用基本不等式基本不等式是求最值和范围问题最常用的工具之一,在使用时注意使用条件(一正、二定、三相等).典例12 若a>1,设函数f(x)=a x+x-4的零点为m,g(x)=log a x+x-4的零点为n,则+的取值范围是( )A.(3.5,+∞)B.[1,+∞)C.(4,+∞)D.(4.5,+∞)思路点拨利用指数函数与对数函数图象的特点,得出m+n=4,进行常数代换后利用基本不等式求解.答案 B解析直线y=x与直线y=4-x的交点坐标为(2,2),函数y=a x,y=loga x与直线y=4-x的交点关于点(2,2)对称,所以两个函数零点之和为4,即m+n=4,所以+=(m+n)·=≥×(2+2)=1,其中当a=时可以使m=n=2,故可以取得等号,即+的取值范围是[1,+∞).故选B.(3)建立求解目标的不等式(组)建立求解目标的不等式(组),通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题的一个基本方法,很多问题均可使用这个方法解决,如一元二次方程的实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.典例13 (1)已知实数x,y满足若不等式ax-y≤3恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,4]B.C. D.[2,4](2)双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的取值范围是.思路点拨(1)只要ax-y在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可;(2)建立关于双曲线离心率的不等式求解即可.答案(1)B (2)(1,3]解析(1)不等式组表示的是平面直角坐标系中以点(1,1),(1,-1),(2,0)为顶点的三角形及其内部,由题意知,只要ax-y在上述三点处均不大于3即可,所以实数a满足不等式组解得a≤,即实数a的取值范围为.故选B.(2)设F(c,0),则圆心坐标为(c,0),因为圆F过点A,所以半径为a+c,取双曲线的一条渐近线方程bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d==b,则|PQ|=2≥2b,故(a+c)2≥2b2,即c2-2ac-3a2≤0,即e2-2e-3≤0,解得-1≤e≤3,又e>1,所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3].常考点3 数列问题的5大常用技巧技巧1 整体利用数列的性质等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量,解题中可以不必求出每个量,从整体上使用公式.典例1 (1)等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S k S k+1<0的正整数k= .思路点拨(1)可直接把a1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可;也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差数列的前n项和的性质.答案(1)C (2)12解析(1)解法一:因为{an}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.解法二:设等比数列{a n}的公比为q,则a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4===.又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×=2,a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(2)依题意得a6=S6-S5>0,a7=S7-S6<0,a6+a7=S7-S5>0,则S11==11a6>0,S12==>0,S13==13a7<0,所以S12S13<0,即满足S k S k+1<0的正整数k=12.技巧2 奇偶项分类当题中涉及(-1)n或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时,按照n为奇数和偶数分别求解,最后再整合求解结果.典例2 (1)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 016= .(2)若数列{a n}的通项公式为a n=22n+1,令b n=(-1)n-1·,则数列{b n}的前n项和T n= .思路点拨(1)由已知数列的递推关系,利用累加法求出数列的通项公式,然后利用分组求和法进行求和.(2)分n为奇数和偶数分别求和.答案(1)3×21 008-3 (2)-(-1)n解析(1)由an+1·a n=2n,得an+1·a n+2=2n+1,则=2,即=2,所以数列a1,a3,a5,…,a2k+1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,则S2 016=(a1+a3+a5+…+a2 015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=+=3×21 008-3.(2)由题意得b n=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1,当n为偶数时,T n=-+…+-=-, 当n为奇数时,T n=-+…-+=+,所以T n=-(-1)n.技巧3 分裂通项裂项相消法是数列求和的基本方法之一,在通项为分式的情况下,注意尝试裂项,裂项的基本原则是a n=f(n)-f(n+1).典例3 已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=3,若数列{S n+1}是公比为4的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和T n.思路点拨(1)先求Sn,再利用a n=S n-S n-1(n≥2)求a n;(2)把通项分解为两项的差,再消项求和.解析(1)由题意知Sn+1=(S1+1)·4n-1=4n,所以S n=4n-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3×4n-1,且a1=3满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=3×4n-1.(2)b n===,所以T n=b1+b2+…+b n=×+×+…+×==-.技巧4 构造新数列当出现a n=a n-1+m(n≥2)时,构造等差数列;当出现a n=xa n-1+y(n≥2)时,构造等比数列.典例4 (1)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-4a n=3×2n+1,求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.思路点拨(1)(2)构造新数列求解即可.解析(1)由an+1-4a n=3×2n+1得,-=3,设bn=,则b n+1=2b n+3,设b n+1+t=2(b n+t),所以2t-t=3,解得t=3,所以b n+1+3=2(b n+3),所以=2,又b1+3=+3=1+3=4,所以数列{b n+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以b n+3=4×2n-1=2n+1,所以b n=2n+1-3,所以a n=b n·2n=(2n+1-3)×2n=22n+1-3×2n.(2)因为a n+1=(n∈N*),所以=+1,设+t=3,所以3t-t=1,解得t=,所以+=3,又+=1+=,所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,所以+=×3n-1=,所以a n=.技巧5 归纳推理——周期性解数列问题时要注意归纳推理的应用,通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律.典例5 在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos[(n+1)π],记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 015= .思路点拨根据递推式计算数列的前面若干项,发现规律,然后求S2 015的值.答案-1 006解析由a1=1,a n+1+(-1)n an=cos[(n+1)π],得a2=a1+cos 2π=1+1=2,a3=-a2+cos3π=-2-1=-3,a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos 5π=2-1=1,……由此可知,数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2 015=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014+a2 015=503×(-2)+a1+a2+a3=-1 006.常考点4 立体几何问题的4大妙解方法1 模型法(1)模型法判断空间位置关系在进行空间线面位置关系的分析判断时,借助几何体模型能起到非常直观的作用,提高解题的准确率.典例1 已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题为真命题的序号是( )①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β;②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;③若l∥α,α∥β,则l∥β;④若l⊥α,l∥m,α∥β,则m⊥β.A.①④B.①③C.②④D.②③思路点拨长方体中存在各种平行、垂直关系,以长方体为模型,结合选项,考虑线面位置的各种可能,作出判断.答案 C解析命题①,如图(1),显然不正确,排除选项A,B,根据选项C,D可知②一定正确,对于命题③,如图(2),有直线l在平面β内的可能,所以命题③不正确.综上可知,选C.(2)模型法还原几何体空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分,根据题目的实际情况,判断其可能是哪个几何体的一个部分,利用该几何体为模型,可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体.典例2 (1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.(2)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是( )A.2B.2C.D.2思路点拨(1)(2)根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体的一部分,先画出正方体,再根据三视图确定空间几何体.答案(1)A (2)D解析(1)该几何体的直观图如图,其体积为正方体体积的,即该几何体的体积为×1×1×1=.故选A.(2)如图,所求最大面积为△ABC的面积,为×(2)2=2.故选D.方法2 割补法(1)分割法求空间几何体的体积把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体,求出每个规则几何体的体积,然后进行体积求和即可.典例3 如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.思路点拨该几何体为不规则几何体,可将其分割为规则几何体后求体积.解析解法一:如图(1),连接EB,EC,则该多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC.V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.连接AC,有V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=×V四棱锥E-ABCD=4.故该多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.解法二:如图(2),设G,H分别为AB,DC的中点,连接EG,EH,HG,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGH-FBC和四棱锥E-AGHD.由题意得V四棱锥E-AGHD=S矩形AGHD×3=×4×2×3=8.连接CE,BE,BH,则V三棱柱EGH-FBC=3V三棱锥E-BGH=3×V四棱锥E-GBCH=V四棱锥E-AGHD=×8=12.故该多面体的体积V=V四棱锥E-AGHD+V三棱柱EGH-FBC=8+12=20.(2)补形法求空间几何体的体积当求某些几何体的体积较困难时,可以将它放置在我们熟悉的几何体中,如正方体、长方体等对称性比较好的几何体,以此来求几何体的体积.常见情况如下:①将正四面体补为正方体,如图所示.②将对棱长相等的三棱锥补成长方体,如图所示.③将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.④将三棱锥补成三棱柱或平行六面体,如图(1)(2)所示.⑤将三棱柱补成平行六面体,如图所示.⑥将台体补成锥体,如图所示.典例4 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30思路点拨可将该几何体补为三棱柱后再求体积.答案 C解析由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的(如图所示).通过补形得到的三棱柱的体积为×3×4×5=30,而补上的三棱锥的体积为××3×4×3=6,所以该几何体的体积为30-6=24.方法3 展开法涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时,把空间几何体的表面展开.典例5 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.思路点拨解析(1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥A C.因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.(2)因为点C在圆O上,所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=.(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以PB==.同理,PC=,所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.。