2019-2020年高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积增分练
高考复习数学立体几何初步第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。
2020版高考数学人教版理科一轮复习第七章 立体几何 (2)
1．(方向 1)(2019·洛阳市第一次统考)某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是( B )
15π A. 2
17π C. 2
B．8π D．9π
解析：依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自 用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合 体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分 的底面半径为 1，最短母线长为 3、最长母线长为 5，将这两个截 后所得的部分拼接，恰好可以形成一个底面半径为 1，母线长为 5＋3＝8 的圆柱，因此题中的几何体的体积为 π×12×8＝8π，故 选 B.
又平面 B1D1D∩平面 B1EDF＝B1D，
所以 O1H⊥平面 B1EDF，
所以 O1H 等于四棱锥 C1-B1EDF 的高．
因为△B1O1H∽△B1DD1，
Байду номын сангаас
所以
O1H＝B1OB11·DDD1＝
6 6 a.
方向 3 利用体积法求点面距离 【例 4】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD ⊥底面 ABCD，M，N 分别为 AB，PC 的中点，PD＝AD＝2，AB＝4.
如图，连接 AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥 A′-AB′D′ 是正三棱锥，所以 A′A，A′B′，A′D′与平面 AB′D′所成 的角都相等．分别取 C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′ 的中点 E，F，G，H，I，J，连接 EF，FG，GH，IH，IJ，JE， 易得 E，F，G，H，I，J 六点共面，平面 EFGHIJ 与平面 AB′D′ 平行，且截正方体所得截面的面积最大．又 EF＝FG＝GH＝IH ＝IJ＝JE＝ 22，所以该正六边形的面积为 6× 43×( 22)2＝343， 所以 α 截此正方体所得截面面积的最大值为34 3，故选 A.
2019-2020年新人教A版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第2节空间几何体的表面积与体积课件文
其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图 7-2-1，米堆
为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米
堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多
少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约
为 3，估算出堆放的米约有( )
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
图 7-2-1
A．8＋2 2 C．14＋2 2
图 7-2-3 B．11＋2 2
D．15
(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图 7-2-4，某几何体的三视图是三个半
径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积
是283π，则它的表面积是(
)
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
图 7-2-4
(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直
[规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式 进行求解．
2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的 原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．
3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图， 然后根据条件求解．
[思想与方法] 1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积 时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展 开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此 要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面 图形面积的求法． 2．求体积的两种方法：①割补法：求一些 不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已 知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等 积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提 是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已 知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几 何图形的高或几何体的高．
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1
考 纲 了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求 导 学 记忆公式)。
2
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
3
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
□ □ □ S圆柱侧＝ 1 _2_π_r_l__ S圆锥侧＝ 2 _π_r_l _ S圆台侧＝ 3 _π_(r_＋__r_′__)l
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则SS12＝__________。
解析：(1)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝
1 2
BC
＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
522＋62＝123。
1 2
＋4×2×2＝8π＋
16，故选A。
答案：(1)A (2)A
20
►名师点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积。若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用 公式求解。 (2)求组合体的体积。若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则 常用转换法、分割法、补形法等进行求解。 (3)求以三视图为背景的几何体的体积。应先根据三视图得到几何体的点拨 以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法 (1)恰当分析给出的三视图。 (2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 (3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。
17
通关特训1 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几 何体的表面积是( )
高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件理
所以 S＝πr2＝π×61＝π6. 【答案】 C
第三十三页，共42页。
角度二 直三棱柱的外接球
已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝
3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
第三十四页，共42页。
积为 S2，则SS12＝________. 【解析】 设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4× 43×a2＝ 3a2，
其内切球半径为正四面体高的14，即 r＝14× 36a＝126a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2
＝π6a2，则SS12＝
π63aa22＝6
π
3 .
【答案】
63 π
第三十六页，共42页。
a2＋b2＋c2.
第九页，共42页。
「基础小题练一练」 1．圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形，则圆柱的表面积为( ) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或 8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或 8π(3π＋2)
第十页，共42页。
解析：分两种情况： ①以长为 6π 的边为高时，4π 为圆柱底面周长， 则 2πr＝4π，r＝2， 所以 S 底＝4π，S 侧＝6π×4π＝24π2，S 表＝2S 底＋S 侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)； ②以长为 4π 的边为高时，6π 为圆柱底面周长， 则 2πr＝6π，r＝3.所以 S 底＝9π，S 表＝2S 底＋S 侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选 C. 答案：C
“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点， 通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角 面来作． (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
高考数学一轮复习 第七章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 文
第2讲 空间几何体的表面积与体积
精选课件
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开 图
侧面 积公 式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝Байду номын сангаас
___2_π_rl_____ ___π_r_l_____
S圆台侧＝ __π_(_r＋__r_′)_l__
精选课件
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S
下
球
S＝_4_π_R__2 _____
V＝__S_h__ V＝__13_S_h__ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝___43_π_R__3 ___
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
精选课件
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的 表面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
精选课件
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
A．6
B．3 3
C．2 3
D．3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面
为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视
2019届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积课件 理
4．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为
侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视图的
长为三棱柱的高，故 h＝3，所以该几何体的体积 V＝S·h＝
12×2×
3×3＝3
3.
答案：3 3
侧面积公式 S ＝ 圆柱侧 2πrl S 圆锥侧＝πrl S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
2．空间几何体的表面积与体积公式
几何体
名称
表面积
柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底
锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底
台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋ S下
球
S＝ 4πR2
[冲关演练] 1．(2018·沈阳质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线
画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是( )
A．36＋6 10 C．54
B．36＋3 10 D．27
解析：由三视图知该几何体的表面积为 S＝2×12×(2＋4)×3 ＋2×3＋4×3＋2×3× 10＝36＋6 10. 答案：A
体积
V＝ Sh
V＝
1 3Sh
V＝13(S 上＋S 下＋
S上S下)h
V＝ 43πR3
过基础小题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这
个圆柱的侧面积是 2πS.
()
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．
()
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．
[典题领悟] 1．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线
高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h __＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a,b,c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (4)已知球O 的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π,∴3r 2＝12,∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线长的一半, 即R ＝232＋232＋2322＝3,所以,这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r,则4r 2＝8,即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知,该几何体是上半部分是三棱锥,下半部分是三棱柱,且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知,该几何体是底面为等腰三角形,其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC),如图所示,由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2,S △SAC ＝12×5×1＝52,S △SAB ＝12×5×1＝52,S △SBC ＝12×2×5＝5,所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球,如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥,其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体,其表面积为2π,故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示,该几何体是一个三棱锥,底面是一个底和高均为2的等腰三角形,一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形,另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5, 底边AD 长为22的等腰三角形, 其高为52－22＝3,故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图,某几何体的三视图均为边长为2的正方形,则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4,其侧面展开图为半圆面,则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图,在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱CC 1上一点,且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1,正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V,则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的,如图,三棱锥的高为SO ＝1 cm,底面△ABC 中,AB ＝2 cm,AC ＝1 cm,AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示,所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积,即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163,故选D ．(3)该圆锥母线为4,底面半径为2,高为23, V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a,高AA 1＝b, 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b,VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b,∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16,即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为,则该几何体的体积为_83__,表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83,S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法 对于规则的几何体,利用相关公式直接计算割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算 等体 积法选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题,应先得到直观图,再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,M 、N 分别为BB 1、AB 的中点,则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示,正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 的中点,则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图,∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,M 、N 分别为BB 1、AB 的中点,∴S △ANM ＝12×1×1＝12,∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13,故答案为：13.(2)如题图,在正△ABC 中,D 为BC 的中点,则有AD ＝32AB ＝3,又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC,AD ⊥BC,AD ⊂平面ABC,由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C,即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高,所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1,故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知,几何体是等边圆柱斜切一半,所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P－ABC的底面边长为3,若外接球的表面积为16π,则PA＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π,AB＝BC＝AC＝OO1,则球O的表面积为( A )A．64πB．48πC．36πD．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上,PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E、F分别是PA,PB的中点,∠CEF＝90°,则球O的体积为( D )A．86πB．46πC．26πD．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π,可得其半径为2,设△ABC的中心为O1,则外接球的球心一定在PO1上,由正三棱锥P－ABC的底面边长为3,得AO1＝3,在Rt△AOO1中,由勾股定理可得(PO1－2)2＋(3)2＝22,解得PO1＝3或PO1＝1,又PA2＝PO21＋AO21,故PA＝9＋3＝23或PA＝1＋3＝2,故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π,可得O1A＝2,则ABsin60°＝2O1A＝4,∴AB＝4sin60°＝23,∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23,外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4,球O的表面积为：4×π×42＝64π,故选A．(3)∵PA＝PB＝PC,△ABC为边长为2的等边三角形,∴P－ABC为正三棱锥,∴PB⊥AC,又E,F分别为PA、AB中点,∴EF∥PB,∴EF⊥AC,又EF⊥CE,CE∩AC＝C,∴EF⊥平面PAC,∴PB⊥平面PAC,∴∠APB＝90°, ∴PA＝PB＝PC＝2,∴P－ABC为正方体一部分,2R＝2＋2＋2＝6,即R＝62,∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径,其解题思维流程是：(R—球半径,r—截面圆的半径,h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥,可以补成长方体,它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__.(2)(2021·安徽蚌埠质检)如图,E,F 分别是正方形ABCD 的边AB,AD 的中点,把△AEF,△CBE,△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A,B,D 重合于P 点),则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球, 如图,圆锥母线BS ＝3,底面半径BC ＝1, 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22, 不妨设该内切球与母线BS 切于点D, 令OD ＝OC ＝r,由△SOD ∽△SBC,则OD OS ＝BCBS ,即r22－r ＝13,解得r ＝22,V ＝43πr 3＝23π,故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a,由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直,∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a,下面求内切球的半径r,解法一(直接法)：由几何体的对称性知,内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内,M 、N 、R 、S 为球与各面的切点,又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN,∴tan ∠OHN ＝22＝rNH,∴NH ＝2r, 又PN ＝2r,∴22r ＝PH ＝22a,∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF ),∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2,∴r ＝a 4,故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA ＝ PB ＝ PC ＝3,PA ⊥PB,三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中,AB ＝AC ＝23,BC ＝6,AD ⊥平面ABC,四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上,则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA ＝PB ＝PC ＝3,所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB,所以PA ⊥PC,PC ⊥PB ．以PA,PB,PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示),则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33,所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图,H 为BC 的中点,由题意易知AH ＝3,设△ABC 外接圆圆心为O 1,则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2,∴|O 1C|＝23,又12×6×3×|AD|3＝3,∴|AD|＝1,则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494,∴S 球O ＝4πR 2＝49π,故选B ．(3)如图,将正四面体纳入正方体中,显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上,设正四面体的棱长为a,则|AO|＝64a,又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a,∴内切球半径|OO 1|＝612a,∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12,AB ＝2,若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S,则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a,则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93,解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r,则2r ＝6sin 60°,解得r ＝23,则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2,所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6,所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183,故选B ．(2)设BC ＝x,BB 1＝y,由于V ＝12,所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球, 所以r ＝4＋x 2＋y22,所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π, (当且仅当x ＝y ＝6,等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征,确定取得最值的条件,计算最值．(2)设出未知量建立函数关系,利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图,若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2,BC ＝1,取AD 的中点H,则CH ＝BH ＝3,且AH ⊥平面BCH,又S △BCH ＝114,∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图,若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2,AD ＝BC ＝1,同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中,AC ⊥AD,AB ＝2AC ＝4,BC ＝25,AD ＝22,当四面体的体积最大时,其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2,所以AC ⊥AB,又因为AC ⊥AD,所以AC ⊥平面ABD,四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD,当∠BAD ＝90°时V 最大,把四面体ABCD 补全为长方体,则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线,(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28,所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
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2019-2020年高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积增分练1. [xx·南昌模拟]如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶2答案 A解析 根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A.2．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米xx 斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺答案 B解析 设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝xx×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16B.12C.23D.13 答案 D解析 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＝13.故选D.4．正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 答案 B解析 由正弦定理得3sin60°＝2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r ＝1，∴外接球的半径R ＝12＋12＝2，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选B.5．[xx·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.60 B ．30 C ．20 D ．10 答案 D解析 由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D.6．[xx·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5答案 C解析由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA＝OB＝1，AB＝ 2.又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BD，PB⊥AB，∴PD＝22＋1＝5，PA＝2＋12＝3，从而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，∴该几何体的侧面积S＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.故选C.7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207 B ．216－9π2C ．216－36πD ．216－18π答案 B解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的14圆锥．其体积V ＝63－13×14×π×32×6＝216－9π2.故选B.8.[xx·江苏高考]如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32. 9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．答案 2(π＋3)解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．10．[xx·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．答案1603解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13×12×4×4×4＝64－323＝1603.[B 级 知能提升]1．[xx·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A.113B.83C.163D.223 答案 D解析 根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P －ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选D.2．[xx·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5答案 C解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC )，如图，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C.3．[xx·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案 36π解析 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB .设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 4.如图，△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.求此几何体的体积．解 解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN＝13×12×(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.5．[xx·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333 cm ，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝ D ′D 2－OD －O ′D2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30 ＝1900(cm 3)．故棱台的体积为1900 cm 3.。