22.2.3 公式法
22.2.3人教版_一元二次方程的解法-因式分解法(1)
2
x5x 4 0. x 0, 或5x 4 0. 4 x1 0; x2 . 5
2.x 2 xx 2 0, x 21 x 0.
x 2 0, 或 x 0. 1 x1 2; x2 1.
这个数是0或3.
小亮解方程的过程 中对方程作了怎样 的 变换？
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
温馨提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是把一个一元二次方程左边化为两个一次式 的积，而右边是零. 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
3 9 2
.
x 3.
这个数是3.
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 2 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 3x.
小亮是这样想的 : 小亮是这样解的 :
动脑筋
• 1.解下列方程:
解
1 .x 2 x - 4 0 , 2 . 4 x 2 x 1 3 2 x 1 . : 1 .x 2 0,或 x - 4 0 .
x 1 2; x 2 4 .
2 . 4 x 2x 2x
例题欣赏
☞
分解因式法
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方 程的根.
【华师大版】九上数学：22.2.3公式法ppt教学课件
用计算器求得： 5 2.2361
x1 0.618, x2 1.618.
2.用公式法解元二次方程：
x(1x1) (x2)2 2
解 :去括号，得 1 x2 x x2 4x 4 ， 2
化简，得 1 x2 3x 4 0 ， 2
k bb24ac, k bb24ac.
2a
2a
b b2 4ac b b2 4ac ,
b b,b 0. 又 b2 4ac 0，
ac 0.
课堂小结
一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果 b2 4ac 0 ，那么方程的两个根为
b b2 4ac x
2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
运用公式法解一元二次方程的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出的 b2 4ac值； （3）若 b24ac0 ，把a、b、c及 b2 4ac的值代
入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若 b24ac0，此时方程无实数解.
(x b )2 2a
b24a42ac
x3 10
开方
x b 2a
b2 4ac 4a2
b2 4ac0
x 103
解得
b b2 4ac x
2a
知识要点 一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果 b2 4ac 0，那么方程的两个根为
b b2 4ac x
2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
22.2.3. 用公式法解一元二次方程
画龙点睛
通过上述解答过程，你能总结出用公式法解一 元二次方程的一般步骤吗? 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、 的值。
2、求出
b 4ac 的值
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
温馨提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
举一反三：用公式法解下列方程
(1) x 4 x 7 0
2
2
解： a=1，b=-4，c =-7.
2
这里的a、b、 c的值分别是 什么？
b 4ac (4) 4 1 (7) 16 28 44 0
探究
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
ax2+bx+c=0(a≠0)
当 b 2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
b b 2 4ac . x 2 2a 4a
2
4.成方:左边化为平方式, 右边计算;
当b 2 4ac 0时, 5.开方:根据平方根意义,方程 两边开平方; b b 2 4ac x . 2a 2a b b 2 4ac 2 x .b 4ac 0. 6.写解:写出原方程的解. 2a
x1 x2
22.2.3 因式分解法解一元二次方程
练习
1.解下列方程：
3x 1 x2 x 0； x2 2 3x 0; 3 2 6 x 3； 2 2 2 4 3 4 x2 121 0; 5 x 2 x 1 4 x 2; x 4 5 2 x . 6
解：变形有 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. 因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) 有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， 0. = ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
2 1 x1 , x2 . 3 2
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
独立 作业
知识的升华
1、P43习题22.2 第6题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
小亮是这样解的 :
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3. 小明做得对吗?
小亮做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
动脑筋
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
回顾与复习 1
3.因式分解的方法有那些？ ①提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法 平方差:a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 ③十字相乘法
22.2.3公式法解一元二次方程
22.2.3公式法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．（二）能力培养点通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学设想1．重点：运用公式法解一元二次方程．2．难点：正确确定系数和准确运用公式．3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片2．多媒体课件撷英：http：//【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程（1）用配方法解2x2-8x-9=0．（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）2．课前热身（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x 2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2解得x 1=2+2x 2=2-2． 引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）； 二次项系数化为1得x 2+b a x+c a =0； 移项x 2+b a x=-c a；• 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a即（x+2b a ）2=2244b ac a-． （2）师生互动互动1师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac •≥0•，•那么b 2-4ac<0时会怎样呢？生：当b 2-4ac<0ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，•也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a =所以x=-2b a =2a 即x=2b a-ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．互动2P34例6解下列方程：①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（•1）•把方程化为一般形式，•确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．互动3请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）•当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）•配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）•公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．4．达标反馈选择题：（1）用公式法解方程4x 2+12x+3，得到 （A ）A ．B ．C ．D ． （2）关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B ）A ．有两个正实数根B ．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C ．有两个负实数根D ．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是（C ）A ．k>-14B ．k ≥-14C ．k>-14且k ≠2D ．k ≥-14且k ≠2 （2）解答题：①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16；2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹0.009x 2-3x+6=0；⑺4y 2-）．【答案】 ⑴52，-13⑵± 4②求关于x 的一元二次方程m 2-2m+m （x 2+1）=x 的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】 m ，-1，m 2-m③不解方程，判别下列方程的根的情况．⑴2x 2+3x-4=0； ⑵16y 2+9=24y ； ⑶5（x 2+1）-7x=0．【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根5．学习小结（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b 2-4ac •值的情况可以判别方程根的情况．当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b 2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x 的方程x 2+2（a+1）x+（a 2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a 的值．链接二：根据求根公式b 2-4ac ≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．（1）设x 1、x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①11x +21x ；②2111x x +1211x x ；③（x 1-x 2）2；④x 13+x 23． （2）已知关于x 的方程2x 2-（4m-3）x+m 2-2=0，根据下列条件，分别求出m •的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．2．巩固练习（1）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2x2=8； ②12x 2+7x+1=0；③x 2--1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx 2-（3m 2+2）x+6m=0（m ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=-2②x 1=-13，x 2=-14 ③ ④x=-14 ⑤x 1=2m ，x 2=3m （2）用公式法解下列方程．①2x 2-5x+2=0； 2；③2mnx 2+2m 2x=n 2x+mn （mn ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=12 ②x=2③x 1=2n m ，x 2=-m n （3）求证：方程（x-a ）（x-a-b ）=1有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a ．【答案】 略（4）已知关于x 的方程2x 2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c 和x 的值．【答案】 c=498，x=-74（5）关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是什么？【答案】 k>-1且k ≠0（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；③0.2x 2-5=32x ； ④4（y 2+0.99）=2.4y ；⑤12x 2； ⑥t 2+15）． 【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根7．求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，•所以原方程有两个不相等的实数根．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法3．公式法解一元二次方程公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________六、资料下载已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？已知方程ax 2+bx+c=0，变形为x 2+b a x+c a=0，变形为 （x+2b a ）2=2244b ac a- 依求根公式得它的两根为x 1，x 2＝2b a-± 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．可以算出：x 1+x 2=-b a ；x 1·x 2=c a （根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．例1 已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．解法一 设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-65， ∴x 1=-35， 又-35＋2＝－15k -，∴k-1=-5（-35+2）， k -1=-7，k=-6， 答：方程的另一根是-35，k 的值是-6． 解法二 ∵2是方程5x 2+（k-1）x-6=0的根．∴5×22+（k-1）×2-6=0k=-6又设方程的另一个根是x 2，则2x 2=-65，x 2=-35， 答：方程的另一个根是-35，k 的值是-6． 例2 已知方程2x 2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求参数m 和两个根．解 ∵x 1-x 2=1，∴（x 1-x 2）2=1，（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，（12m-）2－12m+×4=1整理，得m2-10m-11=0，（m-11）（m+1）=0，∴m1=11，m2=-1，当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，解得x1=2，x2=3，当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．解∵3x1-x2=4，∴3（x1+x2）-4x2=4，∵x1+x2=-3，∴3×（-3）-4x2=4，x2=-134，将x2=-134代入原方程，得（-134）2＋3×（-134）+m=0m=－13 16．。
22.2.3 因式分解法解一元二次方程(7)
参考答案：
4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x x) 3( x x); 2 2 6.(x 2) 2x 3 ; 7.(x 2)x 3 12; 8.x 2 5 2 x 8 0.
例5、分别用三种方法解下列一元二次方程 x 6 x 16 0
2
例6、指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适 （1）x 2 9 0 （3）x 2 5 x 6 0 （2）x 2 3x 1 0 （4） x2 2 x 3 0
例7、若关于x的一元二次方程
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
例10、对于实数a、b定义运算a*b 4ab， 解方程x * x 2* x 2*4 0
例11、对正实数a、b作定义：a * b ab a b， 若4*x 44，则x的值是_____
例12、已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程： x2 1 0 x2 x 2 0 x2 2 x 3 0 x 2 (n 1) x n 0 (1)请解上述一元二次方程 (2)请你指出这几个方程的根具有什么共同点，写一条即可
2 2
5.x1 0; x2 4. 1 6.x1 5; x2 . 3 7.x1 1, x2 6. 8.x1 4 2; x2 2.
因式分解法
例1、解方程 （1）3x 5 x 0
2
22.2 一元二次方程的解法3.公式法
22.2.3 公式法知识点1 对求根公式的理解1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________________的形式，确定________，________，________的值，当________时，可得方程的根为______________．2．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是( )A．a＝3，b＝2，c＝3B．a＝－3，b＝2，c＝3C．a＝3，b＝2，c＝－3D．a＝3，b＝－2，c＝33．用公式法解方程(x＋2)2＝6x＋8时，b2－4ac的值为( ) A．52B．32C．20D．－12知识点2 用公式法解一元二次方程4．解下列方程，最适合用公式法求解的是( )A．(x＋2)2－16＝0B．(x＋1)2＝4C.x2＝1D．x2－3x－5＝05．一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是( )A．x1＝x2＝B．x1＝0，x2＝－2C．x1＝，x2＝－3D．x1＝－，x2＝－36．方程x2＋x－1＝0的正根是__________．7．在一元二次方程2x2＋x＝6中，b2－4ac＝________，x1＝________，x2＝________．8．用公式法解下列方程：(1)x2－6x＋1＝0;(2)4x2－12＝2x；(3)x2－2x＋2＝0;(4)2x2＋8x－7＝0.9．已知a是一元二次方程x2－3x－5＝0的较小的根，则a的取值范围是( ) A．－2<a<－1B．2<a<3C．－4<a<－3D．4<a<510．如图22－2－2所示，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE ＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为( )22－2－2A．4＋2B．12＋6C．2＋2D．2＋或12＋611．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的根为( )A．x＝－2B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝，x2＝D．x1＝，x2＝12．若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0的一个根是1，则另一个根是________．13.方程(x＋4)(x－5)＝1的根为____________．14．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋6＝0，若b2－4ac ＝37，则m＝________．15．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是________．16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2－2b＋3，若将实数对(x，－3x)放入其中，得到一个新数5，则x＝________．17．[教材例6(4)变式]用公式法解下列方程：(1)3y(y－3)＝2(y＋1)(y－1)；(2)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.18．当m取何值时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是关于x的一元二次方程？并求出此方程的解．19．设a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，请你求出方程ax2＋bx＋c＝0的根．20．阅读下列材料，解答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0(*)，解此方程得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x＝±，∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)解方程：(x2－x)2－8(x2－x)＋12＝0.21．已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．(1)求a2－4a＋2019的值；(2)化简并求值：－－.详解详析1．ax2＋bx＋c＝0 a b c b2－4ac≥0x＝2．D3．C [解析]注意先把方程化为一般形式．4．D [解析]A．用直接开平方法；B.用直接开平方法；C.变形后用直接开平方法．故选D.5．C 6.7．49 －2 [解析]把原方程化为一般形式为2x2＋x－6＝0，∴a＝2，b＝1，c＝－6，∴b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝49>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝－2.8．解：(1)∵a＝1，b＝－6，c＝1，∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32>0，∴x＝，∴x1＝3＋2，x2＝3－2.(2)原方程可化为2x2－x－6＝0，∴a＝2，b＝－1，c＝－6，∴b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－6)＝49>0，∴x＝，∴x1＝2，x2＝－.(3)∵a＝1，b＝－2，c＝2，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，∴原方程无解．(4)∵a＝2，b＝8，c＝－7，∴b2－4ac＝82－4×2×(－7)＝120>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝.9．A [解析]一元二次方程x2－3x－5＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝－5，∴b2－4ac＝9＋20＝29，∴x＝，则较小的根a＝，则－2<a<－1，故选A.10．A [解析]解一元二次方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，所以AE＝EB＝EC＝1，所以BC＝2，根据勾股定理可得AB ＝，所以▱ABCD的周长为(2＋)×2＝4＋2.11．D12.13．x1＝，x2＝14．±[解析]∵a＝1，b＝m，c＝6，∴b2－4ac＝m2－24＝37，∴m＝±.15．－516．－3±[解析]根据题意，得x2＋6x＋3＝5，即x2＋6x－2＝0.∵a＝1，b＝6，c＝－2，∴b2－4ac＝36－4×1×(－2)＝44>0，则x＝＝－3±.故答案为－3±.17．解：(1)原方程可化为y2－9y＋2＝0，∴a＝1，b＝－9，c＝2，∴b2－4ac＝(－9)2－4×1×2＝73>0，∴y＝，∴y1＝，y2＝.(2)原方程可化为3x2－6x＋2＝0，∴a＝3，b＝－6，c＝2，∴b2－4ac＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝.18．[解析]只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，因而m2＋1＝2且m＋1≠0，即可求得m的值，求得方程，进而求出方程的解．解：由题意得m2＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝1，即当m＝1时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是关于x 的一元二次方程．∴原方程是2x2－2x－1＝0，解得x＝.∴x1＝，x2＝.19．解：∵(2－a)2≥0，≥0，|c＋8|≥0，而(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，∴解得故所求方程为2x2＋4x－8＝0，即x2＋2x－4＝0，∴x＝－1±，即x1＝－1＋，x2＝－1－.20．解：(1)换元转化(2)设x2－x＝y，则原方程可化为y2－8y＋12＝0，解得y1＝2，y2＝6.当y＝2时，x2－x＝2，解得x＝－1或x＝2；当y＝6时，x2－x＝6，解得x＝－2或x＝3，∴原方程的解为x1＝－1，x2＝2，x3＝－2，x4＝3.21．解：(1)∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根，∴a2－4a＋1＝0，∴a2－4a＝－1，∴a2－4a＋2019＝－1＋2019＝2018.(2)原方程的解是x＝＝2±.∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根，∴a＝2－，且a－1<0，∴－－＝－－＝a－1－－＝a－1＋－＝a－1.∵a＝2－，∴原式＝2－－1＝1－.。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法上课课件(新版)华东师大版
3. 公式法
• 学习目标：
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解 公式法的概念.
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.
• 学习重点：
求根公式的推导和公式法的应用.
• 学习难点：
+ x – 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 – 4x – 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 =1 – 8x.
解 （1）a = 2，b = 1，c = – 6， b2 – 4ac = 12 – 4×2×（ – 6） = 1 + 48 = 49 > 0，
思考
根据你学习的体会小结一下：解一元二次方 程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学 交流一下.
直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法
教学反思
在学习活动中，要求学生主动参与，认真 思考，比较观察，交流与表述，体验知识的获 取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的 双边活动，适时调试，从而提高学习效率.
2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
22.2.3用因式分解法解一元二次方程-课件-1 (1)
例题欣赏
☞
1 3 2 (2)5x 2x x 2x 4 4
2
例3 解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0;
解：x( x 2) x 2 0,
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
14
(6)另一解法 : ( x 4) (5 2 x) x 4 (5 2 x)
2 2
x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
15
简记歌诀： 左分解 右化零
两因式
各为零
16
配方法要先配方,再降次;通过配方法 可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要先使方程一边 为两个一次因式等于0.配方法、公式法 适用于所有一元二次方程,因式分解法 用于某些一元二次方程.总之,解一元二 次方程的基本思路是:将二次方程化为 一次方程,即降次.
一元二次方程的解法（3） 用因式分解法解一元二次方程
1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? x2=a (a≥0) 直接开平方法
配方法 公式法
(x+h)2=k (k≥0)
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
2
2、分解因式 的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
①
x 10 4x 0
②
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
22.2.3 因式分解法解一元二次方程--
小明的这样解的:
解: 方一x2 = 3x的 边都同时约去x, 得 . ∴x = 3.
解: x −3x = 0.
2
3± 9 ∴x = . 2
∴这个数的0或 . 3
小颖做得对吗?
∴这个数的 . 3
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等 吗？如果相等，这个数的几？你的怎样 求出来的？
小聪,小明,小亮都设这个数为x,的据题意得 x2 = 3x.
第22章 一元二次方程 章
22.2.3 因式分解法
1.我们已经学过了的方法? 直接开平方法 配方法 x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0)
−b ± b2 − 4ac 2 x= . b − 4ac ≥ 0 . 2a
( 公式法 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
1 3 (10).x1 = ; x2 = − . 4 4
10 .2( x + 3) = x = 9 .
2
(
)
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
我们已经学过一些特殊的一一三项式的分解因 式,如：
x + 6x + 9 = (x + 3) ;
2 2
x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3);⋯
∴ 2 x + 1 = 0, 或4 x − 3 = 0. 1 3 ∴ x1 = − , x2 = . 2 4 ∴ x1 = −2; x2 = 4.
用分解因式法解下列方程
1 . x + (5 − 2 ) x − 5 2 = 0
2
参考答案： 参考答案：
22.2.3一元二次方程 的解法(因式分解法)
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 （常用方法提公因式法，公式法,十字相乘法） 3o至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
∴ x1=2 ,x2=-4
用因式分解法解下列方程：
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得 x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。（常用方法提公因式法，公式法,十字相乘法）
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
十字相乘法
解下列方程
1、x2－3x－10=0
2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+22)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
1.方程右边不为零的化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。（常用方法提公因式法，公式法）
3.至少 有一个 一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
开动大脑
解关于 x的方程 x2 2ax a2 b2 0 1 (a b)
华东师大版九年级数学上册第22章第2节《第3课时 公式法》课件
为相反数？
解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为k，-k, 由求根公式得
k b
b2 4ac ,k b
b2 4ac .
2a
2a
b b2 4ac b b2 4ac ,
b b,b 0. 又 b2 4ac 0，
ac 0.
课堂小结
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2 b x ( b )2 c ( b )2 a 2a a 2a
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
开方
x b b2 4ac b2 4ac 0
2a
4a2
解得
b b2 4ac x
2a
知识要点 一般地，对于一元二次方程
2x2 12x 2 0
并模仿解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
2x2 12x 2 0
x2 6x 1 0
x2 6x 1 x2 6x 9 19
(x 3)2 10 x 3 10
x 10 3
步骤
两边同 除以a 移项
两边同时 加上 ( b0(a 0)
一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果 b2 4ac 0 ，那么方程的两个根为
x b b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
运用公式法解一元二次方程的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出的 b2 4ac值；
ax2 bx c 0(a 0)
如果 b2 4ac 0，那么方程的两个根为
x b b2 4ac 2a
22.2.3公式法
(2)当⊿= 时，一元二次方程 有实数根 ；
(3)当⊿= 时，一元二次方程 无实数根．
一般地,式子 叫做方程 根的判别式.
(1) ；(2) ；(3) .
活动二：
（1） ；（2） ；（3）
活动三：总结
公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式练习ຫໍສະໝຸດ 见学案卷练习小结与检测
见学案卷
作业
必做：
选做：导航能力突破
反思
导学式教学流程
授课时间：月日主备人：张衍荣课型：新授
课题
22.2.2公式法
环节
内容
个备
复案与集备
预习检查
情境导入
1.用配方法解下列方程.
(1) ；(2) ；(3)
学习目标
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
教学环节
活动一：
(1)当⊿= 时，一元二次方程 有实数根
22.2.3公式法
九年级下册数学精品示范教案22.2.3用公式法解一元二次方程备课时间:教学目标1、 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用 公式法解一元二次方程.2、 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax 1 2 3+bx+c=0 (a M 0) ? 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.重点：求根公式的推导和公式法的应用. 难点：一元二次方程求根公式法的推导.【课前预习】 导学过程 阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题1、用配方法解下列方程(1) 6X 2-7X +1=0(2) 4X 2-3X =52总结用配方法解一元二次方程的步骤:2、如果这个一元二次方程是一般形式 法的步骤求出它们的两根？2a分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得： _______________________ ，二次项系数化为1,得 ______________________ 配方，得：___________________________________________ 即2a M 0，二 4a >0，1 b 2-4ac >0,,X 2=3b 2-4ac=0，则 亡笄=0此时方程的根为4a年级： 科目：数学 课型：新授 执笔:审核: 上课时间:a x 2+bx+c=0 (a 工0),你能否用上面配方2问题：已知ax +bx+c=0 ( a 工0)试推导它的两个根x i = -b "—4ag2aX 2=S 三式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:直接开平方，得:即 x=—b±J b2—4ac2a即一元二次程2才_a x +bx+c=O (a M 0)有两个 (3)b 2-4ac <0，则b~4ac <0，此时(x+ —) 2<0，而x 取任何实数都不4a 22a能使(x+ —) 2< 0,因此方程实数根。
初中数学 教案1：22.2.3 公式法
导学：让学生讨论、交流，从中得出结论，当 时，一般形式的一元二次方程 的根为 ，即 。
导做：由以上研究的结果，得到了一元二次方程 的求根公式： （ ）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
课题名称
.3一元二次方程的解法
三维目标
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点目标
对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
导思：让学生反思以上解题过程，归纳得出：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根。
小结:
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。
达标检测
1．完成教材第36页习题22．2第2题（4）、（5）、（6）小题．
难点目标
掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
导入示标
复习旧知，提出问题
1、用配方法解下列方程：
（1） (2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
目标三导
学做思一：探索同底数幂除法法则？
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程 转化为 呢？
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22．2.3 公式法
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
22的根是（ ）．
A ．x 1x 2
B ．x 1=6，x 2
C ．x 1x 2
D ．x 1=x 2 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a
；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100
A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
参考答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3
三、1．x=22
a ±=a ±│
b │ 2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，
∴x 1x 2
∴x 1+x 2b a ，
x 1·x 2=2b a -·2b a
--=c a （2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0 原式=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 22+cx 2
=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A ）·
100A =-1100A 2+910A （2）依题意，得：（80-A ）·
100A =15，A 1=30（舍去），A 2=50。