三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

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三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-⋅+=- 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*。

和差化积化和差万能公式

三角函数重要公式一、正弦、余弦的和差化积1、基本公式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】2、证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]二、正切的和差化积1、基本公式tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)2、证明过程左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立三、积化和差公式1、基本公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/22、证明过程积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

三角函数的和差化积与积化和差公式的证明

三角函数的和差化积与积化和差公式的证明三角函数的和差化积公式是指将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数与余（或正）三角函数的乘积形式。

而积化和差公式则是将两个三角函数的乘积表示为一个三角函数的和（或差）形式。

这两个公式在解决三角函数间的复杂数学问题时起到了至关重要的作用。

本文将对这两个公式进行证明，并且探讨其应用。

一、和差化积公式的证明为了证明和差化积公式，我们首先回顾一下两个重要的三角函数关系：1. 正弦函数关系：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2. 余弦函数关系：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB现在，我们来尝试通过这两个三角函数关系来证明正弦函数的和差化积公式。

假设有两个角度A和B，我们希望将它们的正弦和表示为两个三角函数的乘积。

我们可以推导如下：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB （根据正弦函数关系）sin(A - B) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B) （将B替换为-B）由于cos(-B) = cosB和sin(-B) = -sinB，我们可以将上述两个等式合并为：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB= sinAcosB - cosAsin(-B)= sinAcosB - cosAsinB因此，我们得到了正弦函数的和差化积公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB类似地，我们可以通过余弦函数关系来证明余弦函数的和差化积公式。

二、积化和差公式的证明现在我们来证明积化和差公式，即将两个三角函数的乘积表示为一个三角函数的和或差。

我们仍然回顾一下之前提到过的正弦函数关系和余弦函数关系。

对于正弦函数的关系sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，我们将其稍作变形，得到如下等式：sinAcosB = (1/2)[sin(A + B) + sin(A - B)] （∗）现在，我们尝试使用等式（∗）将sinAcosB表示为一个三角函数的和。

和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·s in[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

和差化积积化和差万能公式

和差化积积化和差万能公式Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】正、余弦和差化积公式指三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程si n α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

和差化积积化和差万能公式

和差化积积化和差万能公式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编辑本段正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

和差化积、积化和差、万能公式

是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。

余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。

但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。

项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

万能公式【词语】：万能公式【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2} tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2} 将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，这种代换称为万能置换。

和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin［（α+β）/2]·cos[(α-β）/2]sin α-sin β=2cos［（α+β）/2]·sin［（α—β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β）/2]·cos［（α-β）/2］cos α-cos β=-2sin[(α+β）/2］·s in［（α—β）/2］【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[（α+β）/2］·cos［（α—β)/2]的证明过程因为sin(α+β）=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β—cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加,得sin(α+β)+sin（α-β)=2sin αcos β,设α+β=θ,α-β=φ那么α=（θ+φ）/2，β=(θ—φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[（θ+φ）/2］cos［（θ—φ)/2］正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ）（附证明）cotα±cotβ=sin（β±α）/（sinα·sinβ）tanα+cotβ=cos（α-β）/（cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/（cosα·sinβ）证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/（cosα·cosβ）=sin(α±β）/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

三角函数积化和差和差化积公式推导

三角函数积化和差和差化积公式推导三角函数积化和差和差化积公式推导定义：三角函数积化和差和差化积公式是将两个不同的三角函数之间的积分式变化成一项和或差。

三角函数积化和/差公式：（1）sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] （2）cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]三角函数差化积公式：（1）sinαcosβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)] （2）cosαcosβ=1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]推导： 1. 三角函数积化和/差公式推导：（1）sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 令u=α+β，v=α-β，得：sinαcosβ=1/2[sinu+sinv]将sinu+sinv展开，得：sinαcosβ=1/2[sinu+sin(π-u)]由此，可得：sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]（2）cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] 令u=α+β，v=α-β，得：cosαcosβ=1/2[cosu+cosv]将cosu+cosv展开，得：cosαcosβ=1/2[cosu+cos(π-u)]由此，可得：cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]2. 三角函数差化积公式推导：（1）sinαcosβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)] 令u=α+β，v=α-β，得：sinαcosβ=1/2[sinu-sinv]将sinu-sinv展开，得：sinαcosβ=1/2[sinu-sin(π-u)]由此，可得：sinαcosβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]（2）cosαcosβ=1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 令u=α+β，v=α-β，得：cosαcosβ=1/2[cosu-cosv]将cosu-cosv展开，得：cosαcosβ=1/2[cosu-cos(π-u)]由此，可得：cosαcosβ=1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]综上所述，三角函数积化和差和差化积公式推导就完成了。

三角函数的积化和差与和差化积

三角函数的积化和差与和差化积三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数。

在三角函数中，有两个重要的性质是积化和差与和差化积。

这两个性质在解决三角函数的运算问题时起到了关键的作用。

本文将详细介绍三角函数的积化和差与和差化积的定义、推导以及其在实际问题中的应用。

一、积化和差积化和差是指将两个三角函数的乘积表示为两个不同三角函数的和或差。

具体而言，对于任意两个三角函数sinθ与cosθ，其积可以表示为以下公式：sinθ·cosθ = 1/2[sin(θ+θ') + sin(θ-θ')]其中，θ与θ'可以是任意实数。

这个公式就是积化和差公式，它将两个三角函数的乘积转化为两个和差的三角函数。

我们可以通过推导来证明积化和差公式。

首先，根据三角函数的定义，可以得到以下等式：sin(θ+θ') = sinθ·cosθ' + cosθ·sinθ'sin(θ-θ') = sinθ·cosθ' - cosθ·sinθ'将这两个等式相加，并应用正弦函数的和角公式，可得：sin(θ+θ') + sin(θ-θ') = 2sinθ·cosθ'将等式两边除以2，即可得到积化和差公式：sinθ·cosθ = 1/2[sin(θ+θ') + sin(θ-θ')]通过积化和差公式，我们可以将一个三角函数的积化简为两个和差的三角函数，从而更方便地进行计算和推导。

二、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和或差表示为一个三角函数的乘积。

具体而言，对于任意两个三角函数sinθ和sinθ'，其和可以表示为以下公式：sinθ + sinθ' = 2sin(θ/2 + θ'/2)·cos(θ/2 - θ'/2)这个公式就是和差化积公式，它将两个三角函数的和转化为一个三角函数的乘积。

三角函数的和差化积与积化和差

三角函数的和差化积与积化和差三角函数是数学中重要的一部分，应用广泛且具有深厚的理论基础。

在解决三角函数相关问题时，和差化积与积化和差是非常有用的技巧。

本文将介绍和差化积与积化和差的概念及其具体应用。

1. 和差化积三角函数的和差化积是指将两个三角函数的和（差）转化为一个三角函数的乘积。

具体而言，我们有以下公式：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsinycos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsinytan(x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)通过和差化积，我们可以将含有三角函数和（差）的复杂表达式转化为只含有乘积的形式，从而更容易进行计算和化简。

这在求解一些三角方程、证明三角恒等式等问题中非常有帮助。

2. 积化和差积化和差是和差化积的逆过程，即将一个三角函数的乘积转化为两个三角函数的和（差）。

以下是具体的公式：sinxsiny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]cosxcosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]sinxcosy = 1/2[sin(x + y) + sin(x - y)]sinxtany = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)] / [sin(x + y) + sin(x - y)]通过积化和差，我们可以将含有三角函数乘积的表达式转化为只含有和（差）的形式，这对于求解三角方程、证明三角恒等式以及进一步分析或化简问题非常有帮助。

3. 应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明和差化积与积化和差的应用。

例一：证明三角恒等式我们希望证明恒等式sin2x = 2sinxcosx。

首先，考虑左边的等式sin2x，根据和差化积的公式，我们有sin2x = sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx。

和差化积公式积化和差公式记忆口诀

和差化积公式积化和差公式记忆口诀在咱们学习数学的过程中，和差化积公式与积化和差公式那可真是让人又爱又恨。

爱的是，一旦掌握了它们，解题的时候那叫一个顺畅；恨的是，要记住这些公式可真不容易。

今天，我就来跟大家分享一些记忆这些公式的口诀和小窍门。

先来说说和差化积公式，这几个公式是：sinα + sinβ = 2sin[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]sinα - sinβ = 2cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]cosα + cosβ = 2cos[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]cosα - cosβ = -2sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]为了记住这些公式，我给大家编了个小口诀：“正弦加正弦，正余积一半；正弦减正弦，余正积一半；余弦加余弦，余余积一半；余弦减余弦，负正积一半。

” 这口诀读起来是不是还挺顺口的？记得我当年上高中的时候，有一次数学考试，就考到了和差化积公式的运用。

我当时心里那个紧张啊，就怕自己记错了公式。

题目是这样的：已知 sin15°和 sin75°，求 sin15° + sin75°的值。

我心里默念着口诀，先把角度算出来，然后按照公式一步步地计算。

当我算出正确答案的时候，心里那叫一个激动，感觉自己像是打了一场胜仗。

咱们再来说说积化和差公式，它们是：sinαcosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)]/2cosαsinβ = [sin(α + β) - sin(α - β)]/2cosαcosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)]/2sinαsinβ = -[cos(α + β) - cos(α - β)]/2对于这几个公式，咱们也有口诀：“积化和差要记牢，正余正余正加正，余正余正负减负，余余正正负加负，正正余余负减正。

”我曾经给我的学生们讲过这两个公式，有个学生特别有意思。

三角函数积化和差和差化积公式推导

三角函数积化和差和差化积公式推导三角函数的和差化积公式和差化积公式是用于化简扩展的三角函数表达式的常用工具。

通过使用这些公式，我们可以将一个三角函数的和、差或者积，转换为一个或多个三角函数的基本运算。

下面我们将详细推导三角函数的和差化积公式和差化积公式。

1.三角函数的和差化积公式：首先，我们来推导正弦函数的和差化积公式。

考虑两个角度A和B，我们有以下等式：sin(A ± B) = sin A * cos B ± cos A * sin B要推导这个公式，我们引入两个单位向量i和j，使得向量A = cos A * i + sin A * j和向量B = cos B * i + sin B * j。

然后，我们使用向量叉乘的恒等式，将左边展开为两个向量的乘积：sin(A ± B) = (cos A * cos B - sin A * sin B) * i + (sin A * cos B ± cos A * sin B) * j这里，右边的第一项可以通过余弦函数角的差的公式cos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B得到。

因此，我们可以将右边的两个项目写为：sin(A ± B) = cos(A - B) * i + sin(A - B) * j将单位向量i和j替换回它们的三角函数形式，我们最终得到了正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sin A * cos B ± cos A * sin B接下来，我们来推导余弦函数的和差化积公式。

使用类似的方法，我们可以得到：cos(A ± B) = cos A * cos B ∓ sin A * sin B将sin函数的和差化积公式中的正负号相互交换，我们就得到了余弦函数的和差化积公式。

2.三角函数的差化积公式：三角函数的差化积公式是和差化积公式的特殊形式。

三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀

三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀和差化积记忆口诀1：正和正在先,sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2正差正后迁,sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余和一色余,cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2余差翻了天,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2前提是角度α+β/2在前,α-β/2在后的标准形式和差化积记忆口诀2：正加正,正在前：sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2余加余,余并肩：cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2正减正,余在前：sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余减余,负正弦,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2和差化积：有相关的口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行;若是异名,必须用化为同名；若是高次函数,必须用降幂公式降为一次口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然;生动的口诀3：和差化积帅+帅=帅哥1帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然;语文老师教的口诀4：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2前提是角度α+β/2在前,α-β/2在后的标准形式：语文老师教的口诀5：正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2正弦减正弦,余弦在前面,sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余弦加余弦,余弦全部见,cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2余弦减余弦,余弦负不想见,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2记忆方法和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法;如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个;而第二个公式中的-si nβ=sinβ+π,也就是sinα-sinβ=sinα+sinβ+π,这就可以用第一个公式解决;同理第四个公式中,cosα-cosβ=cosα+cosβ+π,这就可以用第三个公式解决;如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把cos全部转化为sin,那样就只记住第一个公式就行了;用的时候想得起一两个就行了;结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断;sin和cos的值域都是-1,1,其积的值域也应该是-1,1,而和差的值域却是-2,2,因此乘以2是必须的;也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如：cosα-β-cosα+β=cosαcosβ+sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ=2sinαsinβ故最后需要乘以2;只有同名三角函数能和差化积无论是还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积;这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法下去了;乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开;熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是α+β/2和α-β/2,也就是乘积项中角的形式;注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”;使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”α-β/2的三角函数名;是否同名乘积,仍然要根据证明记忆;注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积;所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积;α-β/2的三角函数名规律为：和化为积时,以cosα-β/2的形式出现；反之,以sinα-β/2的形式出现;由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的;如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把α-β/2替换为β-α/2,结果应当是一样的,从而α-β/2的形式是cosα-β/2；另一种情况可以类似说明;余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况,完全可以死记下来;当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如0,π内余弦函数的单调性;因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ;但是这时对应的α+β/2和α-β/2在0,π的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号;。