大学物理-刚体运动动力学2

Mo
O .Biblioteka 二. 刚体对定轴的转动定律
M z J
三. 转动惯量
定义式
F
r
J mi ri
J r 2dm
2
质量不连续分布
质量连续分布
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
J z' J z ML2
z' L
z M
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
对于一有限过程
A dA
1
2
2
1
1 1 2 1 2 2 J 2 J1 Ek d( J ) 2 2 2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的——动能定理
•
刚体的机械能
刚体重力势能
mi
l 解：下摆过程中， mg M ？ 2
取质元
F1
F2

M xdm g g xdm
O
m
C
l
x
M mgxC
1 M mgl cos 2
• 由转动定律：
xdm mx
dm
C
mg
—— 重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。
M 1 3 3 g cos d d mgl cos 2 J 2 2l dt d ml
已知，转动惯量 例 2 一个刚体系统，如图所示，
Ny
1 2 J ml，现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。 解 设轴对棒的作用力为 N 由转动定律 由质心运 动定理
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l F N x macx m 2 l 2 N y mg macy m 0 2
A Md (
积分形式 ） 若 M = C
A M ( 2 1 )
讨论 (1) 合力矩的功 A
(2) 力矩的功就是力的功。
M id i i
1
2
2
1
M i d Ai
i
(3) 内力矩作功之和为零。
三. 转动动能定理 —— 力矩功的效果 d 1 2 )d Jd d( J ) dA Md ( J dt 2

3 g cos d 2l d 0 0

F1
O
F2

m C
l
x
3 g sin l
2
dm
• 法向加速度 （ natural acceleration )：
l 3 g sin an 2 2
2
• 切向加速度 ( tangential acceleration )：
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 21.8 rad/s 2 0.5 10 0.22
dh v，v a d dt dt
mgr 2 a 2 常量 mr J Z mgr 2 2 h 1 at 2 1 2 t 2 2 mr J Z
若滑轮质量不可忽略，怎样？
gt 2 J Z mr 2 ( 1) 2h
例2 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能 设系统包括有 N 个质量元 z m1 , m2 ,......., mi ,......, mN r1 , r2 ,.....ri , .....rN ri O v1 ,v 2 ,......,v i ,......v N
EP 2 mgh
Ek 2 mv 2 / 2 J Z 2 / 2
v (mr J Z ) / (2r )
2 2 2
机械能守恒
mgh v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 ) 0
v 2 (mr 2 J ) mgh 2 Z 2r
mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r
求 它由此下摆 角时的
1 解 M mglcos 2
由动能定理

O

m
l
x

C
mg
l A Md mgcosd 0 0 2 1 2 lmg 1 2 sin 0 J 0 J ml 3 2 2 3gsin 3gsin 1 / 2 2 ( ) l l
2 2
例3 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R m O′ r
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
3mg sin F1 mg sin man 2
mg
l 3 g cos a 2 4
2 2
3 mg cos F2 ma mg cos 4
F2 1 2 F F1 F2 mg 99 sin 1 arctg( ) F1 4
J
0 l
π R 2 dl
2
1 4 R π R l 2
2
空心圆柱绕中心轴的转动惯量为 1 1 4 4 2 J ( π R2 l π R1 l ) m( R2 R12 ) 2 2
例2 求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 解 切为许多垂直于轴的圆环 m
z
C
L :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
z
M
z
L
L 1 ML2 JZ JZ M 2 3
J z 1 / 12ML2
2
z
2. (薄板)垂直轴定理
Jz Jx Jy
x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。
x
y
例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 J z 1 mR 2 z m 圆盘 R y

1 2 mi ri 2 J
2 2

二. 力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
•
dA F dr Fcosds
功的定义

O
d
Frcosd
F rd
Md
力矩作功的微分形式
dr r' . r P
F
•
对一有限过程
2 1
取 mi ,其动能为
vi
P
• mi
1 2 1 Eki miv i mi ri 2 2 2 2
刚体的总动能
各质量元速度不同， 但角速度相同
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯 量与其角速度平方乘积的一半
1 1 2 2 Ek Eki mi ri 2 2
r
dJ r 2 dm
dm 2π r Rd r R sin

R
m 4π R 2
m dm sin d 2 m dJ r dm ( R sin ) sin d 2 π 2 2 m J ( R sin ) sin d mR 2 0 3 2
此题也可用机械能守恒定律方便求解
2 Jz Jx Jy
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
C
x
例1 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 z 解 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 m
R2 R1 l
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为
dm 2 dJ R dm dV π R 2 dl 2 m 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为 2 2 (π R2 π R1 )l
l' F
C
mg
质点系
打击中心
ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) l' l 2 J 2l 3 N y mg 质心运动定理与转动定律联用
Nx 0
例3 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 dm ds 2π rdr

R
dM rdf r gdm
摩擦力矩

M
R
0
2 dM mgR 3 dt 2 1 2 d mgR mR 3 2 dt
3R 0 t 4g
由转动定律 M J d
3R 0 dt 0 4gd
0
t
例4 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动。初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的 ， 以及棒受轴的力。
E EK EP
E p mi ghi
m
C
mi hi mghC mg
质心的势能
hc
hi EP 0
1 2 刚体的 机械能 E 2 J mghC
•
刚体的机械能守恒
1 2 J mghC C 2
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
例1 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕