2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.

过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭

圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．

本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．

(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y

轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →

为定值；

(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R

.

图34-1

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T

的方程为x 2

2＋y 2＝1.

设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM

→

＝cos θOA →＋sin θOB →

.

(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；

(2)求OA 2＋OB 2的值．

(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2

9＋y 2

5＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.

图34-2

求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距

离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．

图34－3

(1)求椭圆C的方程；

(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；

(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．

(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.

①若m＝0，求k1k2的值；

②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 2

3＝1；

(2)①－34；②m ＝1.

因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2

c ＝

8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2

＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)

①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，

由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204

…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)

所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20

－4＝－34.

…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．

设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，

联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23

＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12

＝0，

所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21

，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)

所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21

， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21

).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21

，－12k 11＋12k 21

).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →

，

即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21

－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，

所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23

＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－

12＝0，

所以x 1＋x 2＝8mk 2

3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2

…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2

＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4

＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k

2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，