椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结

一、直线与椭圆问题的常规解题方法：

1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；

4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)

121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”

(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r

数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；

⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：

1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：

(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：

(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，

5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转

化”的经验；

椭圆中的定值、定点问题．

一、常见基本题型：

在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题

1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212

x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直

线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=

设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，

则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，

解得()32

00020432

000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪

⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()

432

000003200004288

234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()

()432

000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=

---+

即()32

000432000023414288

y x x x y x x x x --+=+++--

从而直线PN 恒过定点(10)G ，．

2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且

121PF PF ⋅=u u u r u u u r

，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；

(2)求证直线AB 的斜率为定值；

解：(1)设椭圆方程为22

221y x a b

+=，由题意可得2222a b c ===，

，， 所以椭圆的方程为22

142

y x +=， 则12(02)(02)F F -，，

，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()

10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r

，，，，

.

所以()22

120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，

因为点()00P x y ，在曲线上，则22

00

124

x y +=，

所以22

00

42y x -=，从而()2

2

004212

y y ---=

，得0y =，

则点P

的坐标为(1．

(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，

设PB 斜率为0)k k >(，则PB

的直线方程为：(1)y k x -，

由22(1)124

y k x y x ⎧-⎪

⎨+=⎪⎩，

，得(

)

22222))40k x k k x k ++-+--=，

设()B B B x y ，

，则1B x -

同理可得A x

A B

x x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k

-=----=+，

所以直线AB

的斜率A B

AB A B

y y k x x -=

=-

3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：22155

3

y x +=相交于A B ，

两点，已知点()

703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r

为定值．

解：将(1)y k x =+代入22155

3

y x +=中得()

2222136350k x k x k +++-=， 所以()()

4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，

22

1212226353131

k k x x x x k k -+=-=++，

所以()()()()112212

12

7777333

3MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r

，， ()()()()2

1

2

1

2

771133

x x k x x =+++++

()()()222

1212

749139

k x x k x x k =++++++

()()()2

2

2

2

2

22

3576491393131

k k k k k k k -=+++-++++

4

222

31654949931

k k k k ---=++=+．