与椭圆有关的范围问题
人教A版 椭圆专题(二)弦长、面积与范围【答案】

1人教A 版解析几何专题 (弦长、面积与范围) (解析) 一、典型例题:1.已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ,O 为坐标原点。
(Ⅰ)求过点O 、F ,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围.2.已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求∆AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).1二、课后巩固:1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点F(2,0),P 为抛物线上的任一点,过点P 作圆E:x 2+y 2−12x +34=0的切线,切点分别为M,N ,则四边形PMEN 的面积最小值为( ) A . √30 B . 2√30 C . √15 D . 2√152.设A ,B 是抛物线y 2=2x 上异于原点的不同两点,则OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为( )A . 1B . -1C . -2D . -43.设椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点,点C 是AB 的中点,若|AB |=22,OC 的斜率为22,则椭圆的方程是 .4.如图,直线y =kx +b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S .(I)求在k =0,0<b <1的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB |=2,S =1时,求直线AB 的方程.15、已知某椭圆的焦点是1(4,0)F -.2(4,0)F ,过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B,且12||||10FB F B +=,椭圆上不同的两点11(,)A x y ,22(,)C x y 222||,||,||F A F B F C 成等差数列.(I)求该椭圆方程; (II)求弦AC 中点的横坐标;(III)设弦AC 的垂直平分线的方程为y kx m =+,求m 的取值范围.6.已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点,过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点,且AC ⊥BD ,垂足为P .1(Ⅰ)设P 点的坐标为),(00y x ,证明:1232020<+y x ;(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值.7. (选做).如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC=2AB ,求直线AB 的方程.1已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线y=mx+12对称. (1)求实数m 的取值范围;(2)求∆AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).19. (1)m <或m >2解析:(1)由题意知0m ≠ ,可设直线AB 的方程为1y x b m =-+ ,由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ,得211()2m +22210b x x b m -+-= ,因直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点,所以224220b m∆=-++> .将AB 的中点2222(,)22mb m b M m m ++ 代入直线方程12y mx =+ 解得2222m b m +=-代入上式得m <或m > ; (2)令16((0,)t m =∈ ,则||2AB t =+,且点O 到直线AB的距离21t d +=,设AOB ∆ 的,面积为()S t ,所以()S t1221112||(2()2222AB d t ==--+≤ ,当且仅当212t = 时,等号成立,故AOB ∆面积的最大值为22解析几何专题(弦长、面积与范围)一、典型例题:1.如图,直线y =kx +b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S .(I)求在k =0,0<b <1的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB |=2,S =1时,求直线AB 的方程.2.已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ,O 为坐标原点。
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a (其中2a>F1F2)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
当椭圆焦点在x轴上时,标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
当椭圆焦点在y轴上时,标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a,-b≤y≤b。
椭圆有x轴和y轴两条对称轴,对称中心为坐标原点O(0,0)。
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。
椭圆的顶点坐标为(±a,0),(0,±b)。
椭圆的焦点坐标为(±c,0),其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a(其中0<e<1)。
a、b、c、e的几何意义:a叫做长半轴长;b叫做短半轴长;c叫做半焦距;a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率,e可以刻画椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁,e 越小,椭圆越圆。
对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F,PF_max=a+c,PF_min=a-c。
当点P在短轴端点位置时,∠F1PF2取最大值(余弦定理)。
椭圆方程常用三角换元为x=acosθ,y=bsinθ。
弦长公式为:设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)(k≠0)。
判断点P(x,y)是否在椭圆内,当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为c/a,短轴长为4√2,则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部,点$A(a,1)$,则$a$的取值范围是$-2<a<2$。
2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$,焦点为$F_1,F_2$,点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。
椭圆题型完美归纳(经典)

椭圆题型概括一、知识总结1.椭圆的定义:把平面内与两个定点F1 , F2的距离之和等于常数(大于F1 F2)的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) .2.椭圆的标准方程:x 2 y 21( a >b>0)y 2 x 21 ( a >b>0)a 2b 2 a 2 b2y yM F 2cc cO c xF 1 O F 2 x MF 1焦点在座标轴上的椭圆标准方程有两种情况,可设方程为 mx2 ny2 1(m 0, n 0) 不用考虑焦点地点,求出方程。
3.范围 . 椭圆位于直线 x=± a 和 y=± b 围成的矩形里. |x|≤a,|y|≤ b.4.椭圆的对称性椭圆是对于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴.原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.5.极点椭圆有四个极点: A1(-a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, -b)、B2(0, b).线段 A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。
长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.|B 1F 1|=|B 1F 2|= |B 2F 1|= |B 2F 2|=a .在 Rt △OB 2F 2 中, |OF 2|2= |B 2F 2|2-|OB 2|2,即 c 2=a 2-b 2.yB 2A 1ba A 2cF 2xF 1 OB 16.离心率 ec(0 e 1)a7. 椭圆x 2y 2 1 (a > > 0) 的左右焦点分别为 1, F 2 ,点 P 为椭圆上随意一点a 2b 2 bFF 1PF 2,则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b 2 tan .128. 椭圆x 2y 2 1 ( > > )的焦半径公式a 2b 2 a b 0| MF 1 | a ex 0 , | MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9. AB 是椭圆x 2y 2 1的不平行于对称轴的弦 , Ma 2b 2(x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则kOMkABb 2 ,即K ABb 2 x 0 。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考

椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值,可直接求导. 但是解析几何中的最值,直接求导,暴力求解最值的较少,更多的是化简函数表达式,根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域),必然要有定义域,所以寻找函数的定义域是非常重要的,而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解,判别式就是很重要的一个点,也就是定义域的一个重要来源,有些题目甚至是唯一来源.与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数,然后运用基本不等式或者函数有关的问题,运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标,通过数量积转化为函数问题,然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数,可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为32,且过点⎝⎛⎭⎫3,12,点P 在第四象限, A 为左顶点, B 为上顶点, PA 交y 轴于点C ,PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 求 △PCD 面积的最大值.例2、如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 设A 为椭圆C 的左顶点,P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点,直线P A 交y 轴于点M ,过点F 作MF 的垂线,交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时,求△FMN 的外接圆的方程; ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ,求△APQ 的面积的最大值.例3、如图所示,椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为22,右准线方程为x =4,过点P(0,4)作关于y 轴对称的两条直线l 1,l 2,且l 1与椭圆交于不同两点A ,B ,l 2与椭圆交于不同两点D ,C.(1) 求椭圆M 的方程;(2) 证明:直线AC 与直线BD 交于点Q(0,1);(3) 求线段AC 长的取值范围.例4、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为32,且过点⎝⎛⎭⎫3,12,点P 在第四象限, A 为左顶点, B 为上顶点, PA 交y 轴于点C ,PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 求 △PCD 面积的最大值.。
点差法巧解椭圆中的范围问题

(λx0 )2 +2(λy0 +2 -2λ) 2 =2.
消去
x0 ,得
λ =5
3 -4
y0
.而
-1
≤
y0
≤ 1,则
1 3
≤ λ≤ 3,
又且 M 在 DN 之间,则 λ<1.
所以 λ的取值范围为 1 ≤ λ<1. 3
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题,
运用点差法简化 了 解 题 过 程.在 处 理 解 析 几 何 中 的 范 围 问 题
2.根据待证不等式所含“ 元” 的个数 我们提出“元” 数分析法,这里的“ 元” 指独立变化的字母,
当一个字母能用另一个字母表示时,只能算一个元. 以上我们介绍了用“构造函数法” 证明不等式时构造辅助
函数的六种方法,指向性十分明确.如果面对的是另类的陌生 情境,题目本身没有给出所用方法的暗示,那么我们就需要根 据问题的特征机智巧妙地选择证法.总之,在面对一个个具体 问题时,我们不应肓目地套用已有模式,而应根据题目,灵活变 通,多管齐下,多法并用.
路,迅速建立参数与坐标之间的函数关系,从而迅速解决我们
学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题,是点差法的一种巧用.
磼 1.从待证不等式形式变化的角度 前文已总结出 6 种方法,即直接法、换元法、和谐法、主元
法、转化法、联想法.其中直接法、主元法、联想法操作性最强, 换元法、和谐法次之,转化法对含有指数式或超越式的不等式, 提出了具体的操作方法.
的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,作差,求出直线的
斜率,然后利用中点求出直线方程.其特点是计算简便,尤其是
在椭圆中,运用起来方便、快捷,可以达到“ 设而不求” 的目的,
同时降低解题的运算量,优化解题过程.该方法的原型为:
椭圆中的取值范围问题

椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型:
对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等
式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解 .二常见方法
(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。
(2)用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围(3)利用圆锥曲线上点的坐标的范围. 1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ,且
3AP PB =,求m 的取值范围.
2.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为
3.(1)求椭圆的方程.
(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m
的 取值范围.
3.E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B
)0,2(H .
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.
4、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -
⋅-≤≤,求直线l 的斜率的取值范围.。
椭圆中的参数范围及最值问题(教师版)

椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点,已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1.如图,点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点,过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ,过A 、B 作圆O 的切线交于点M .(1)求点M 的轨迹方程;(2)求△OPM 面积的最大值.【答案】(1)x 28+y 216=1;(2)22【解析】(1)设P m ,n ,则AB :mx2+ny =1,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则MB :x 1x +y 1y =4,MA :x 2x +y 2y =4,设M s ,t ,则x 1s +y 1t =4,x 2s +y 2t =4,故AB :sx +ty =4即AB :s 4x +t4y =1,所以s 4=m2t 4=n即s 2=m t 4=n所以s 28+t 216=1即M 的轨迹方程为:x 28+y 216=1.(2)由(1)可得M 2m ,4n ,故直线OM :2nx -my =0.P 到OM 的距离为2nm -mn4n 2+m 2=nm4n 2+m 2,故△OPM 面积S =12×nm 4n 2+m 2×2×4n 2+m 2=nm ,因为m 22+n 2=1,故1≥2m 2n 22即mn≤22,当且仅当m =±1,n =±22时等号成立,故△OPM 面积的最大值为22.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的离心率为223,且经过点6,33 .(1)求C 的方程;(2)动直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切,与C 交于M ,N 两点,求O 到线段MN 的中垂线的最大距离.【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)43【解析】(1)由题知:e =c a =2236a 2+13b 2=1a 2=b 2+c 2,解得a =3b =1c =22.所以C 的方程为x 29+y 2=1.(2)当l 的斜率不存在时,线段MN 的中垂线为x 轴,此时O 到中垂线的距离为0.当l 的斜率存在时,设l :y =kx +m (k ≠0),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 .因为l 与圆x 2+y 2=1相切,则O 到l 的距离为|m |1+k2=1,所以m 2=k 2+1.联立方程x 29+y 2=1y =kx +m,得1+9k 2 x 2+18kmx +9m 2-9=0,则x 1+x 2=-18km 1+9k 2,可得MN 的中点为-9km 1+9k 2,m1+9k 2.则MN 的中垂线方程为y =-1k x +9km 1+9k 2 +m 1+9k 2,即x +ky +8km1+9k 2=0.因此O 到中垂线的距离为d =8km1+9k 21+k 2=|8k |1+9k 2=89|k |+1|k |≤43(当且仅当k =13,m =103时等号成立).综上所述,O 到线段MN 的中垂线的最大距离为43.3.在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到直线x =2的距离和点P 到点C 1,0 的距离的比为2,记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程;(2)若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ,N 两点,且∠OCM =∠xCN ,求△CMN 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)24【解析】(1)设P x ,y ,P 到直线x =2的距离记为d ,则dPC=2,依题意,2-x =2x -1 2+y 2,化简得x 2+2y 2=2,即x 22+y 2=1.(2)设直线l :x =my +t ,t ≠1,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,由x =my +tx 22+y 2=1得:m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0,则Δ=(2mt )2-4m 2+2 t 2-2 =8m 2+2-t 2 >0,可得m 2+2>t 2,所以y 1+y 2=-2mt m 2+2,y 1y 2=t 2-2m 2+2.法一:由∠MCO =∠xCN ,则k CM +k CN =y 1x 1-1+y 2x 2-1=0,所以x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2,即2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0,所以2m t 2-2 m 2+2+t -1-2mt m 2+2=0,可得t =2,所以直线l 经过定点T 2,0 .因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ,所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2=2-4m 2+2 2+1m 2+2,当1m 2+2=18,即m =±6时,S 有最大值为24.法二:作M 点关于x 轴的对称点M x 1,-y 1 ,因为∠OCM =∠xCN ,则∠OCM =∠xCN ,故∠OCM +OCN =180°,所以M ,C ,N 三点共线,所以CM⎳CN ,因为CM =x 1-1,-y 1 ,CN =x 2-1,y 2 ,所以x 1-1 y 2--y 1 x 2-1 =0,即x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2,所以2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0,则2m t 2-2 m 2+2+t -1(-2mt )m 2+2=0,可得t =2,所以直线l 经过定点T 2,0 ,因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ,所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2,设m 2-2=u ,则m 2=u 2+2,则S =2u u 2+4=21u +4u≤24,当u =2,即m =±6时,S 有最大值为24.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2,点P 1,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两个动点,O 为坐标原点,且直线PM ,PN 的倾斜角互补,求△OMN 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)3【解析】(1)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2,因为焦距为2,P 1,32所以2c =2且PF 1⊥x 轴,故b 2a =32又由于a 2=b 2+c 2=b 2+1,所以解得a =2,b =3故椭圆C 方程为x 24+y 23=1;(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,直线MN 的方程为y =kx +m ,由于直线PM ,PN 的倾斜角互补,故k PM +k PN =0联立方程y =kx +m x 24+y 23=1,整理得3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0,故Δ=8km 2-43+4k 2 4m 2-12 =483+4k 2-m 2 >0,即m 2<3+4k 2且x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2k PM +k PN =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=2k +k +m -32 1x 1-1+1x 2-1=2k +k +m -32 x 1+x 2-2x 1x 2-x 1+x 2 +1=2k -k +m -32 8k 2+8km +64m 2+4k 2+8km -9 =2k -8k 2+8km +622m +2k +3 =12k -622m +2k +3=0,所以k =12,故MN 的方程为y =12x +m ,且0≤m 2<3+4k 2=4所以弦长MN =1+12 2x 1-x 2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=52×34-m 2原点到直线MN :x -2y +2m =0的距离为d =2m5,所以S △OMN =12MN d =32m 24-m 2 =32-m 2-2 2+4≤3 故当且仅当m =±2时,△OMN 的面积的最大值为 3.5.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,且经过点A (-2,0),B(2,0),过点M -23,0 作直线l 与椭圆交于点P ,Q (点P ,Q 异于点A ,B ),连接直线AQ ,PB 交于点N .(1)求椭圆的方程;(2)当点P 位于第二象限时,求tan ∠PNQ 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)0,13.【解析】(1)由题意知,a =2,又a 2=b 2+c 2,e =c a =32,所以c =3,b =1,故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1;(2)设直线PB 倾斜角为α,斜率为k 1,直线AQ 倾斜角为β,斜率为k 2,直线PQ 的方程为:x =my -23,则x 24+y 2=1x =my -32,消去x ,得(m 2+4)y 2-43my -329=0,Δ=169+4×329(m 2+4)>0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,y 1+y 2=4m 3(m 2+4),y 1y 2=-329(m 2+4),有my 1y 2=-83(y 1+y 2),所以k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1-2=y 2(x 1-2)y 1(x 2+2)=y 2my 1-23-2 y 1my 2-23+2 =my 1y 2-83y 2my 1y 2+43y 1=-163y 2-83y 1-83y 2-43y 1=2,即k 2=2k 1,则tan ∠PNQ =tan (α-β)=tan α-tan β1+tan α⋅tan β=k 1-k 21+k 1k 2=k 1-2k 11+2k 12=-k 11+2k 12=-11k 1+2k 1,因为点P 位于第二象限,则k 1∈-12,0 ,所以1k 1+2k 1∈(-∞,-3),故tan ∠PNQ =-11k 1+2k 1∈0,13 .6.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63,左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A ,B 两点,且△ABF 1的周长为4 6.(1)求Γ的方程;(2)若AM ⊥x 轴于点M ,BN ⊥x 轴于点N ,直线AN 与BM 交于点C ,求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)x 26+y 22=1;(2)34【解析】(1)由椭圆定义可知△ABF 1的周长为4a =46,即a =6,因为离心率e =c a =63,所以c =2,又因为b 2=a 2-c 2,所以b 2=2,故Γ的方程为x 26+y 22=1.(2)依题意,设直线AB 方程为x =my +2(m ≠0).联立x =my +2x 26+y 22=1,得m 2+3 y 2+4my -2=0,易知Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-4m m 2+3,y 1⋅y 2=-2m 2+3.因为AM ⊥x 轴,BN ⊥x 轴,所以M x 1,0 ,N x 2,0 .所以直线AN :y =y 1x 1-x 2x -x 2 ①,直线BM :y =y 2x 2-x 1x -x 1 ②,联立①②解得x C =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+2 y 2+my 2+2 y 1y 1+y 2=2+2my 1y 2y 1+y 2=3.因为S △ABC =12|BN |⋅x C -x 1 =12y 2 ⋅3-x 1 =12y 2-my 1y 2 ,又my 1y 2y 1+y 2=12,则S △ABC =12y 1-y 1+y 22=14y 1-y 2 =14y 1-y 2 2=62m 2+1m 2+3,设m 2+1=t >1,则S △ABC =62⋅t t 2+2=62⋅1t +2t≤34,当且仅当t =2t,即m =±1时,等号成立,故△ABC 面积的最大值为34.7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ,过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ,求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)5,254【解析】(1)由题意,得a =2c ,b =3c ,则椭圆E 为x 24c 2+y 23c 2=1,由x 24+y 23=c 2x 4+y 2=1 ,得x 2-2x +4-3c 2=0,因为直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ,所以Δ=4-44-3c 3 =0,解得c 2=1,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知:M 1,32 ,P 0,2 ,所以PM 2=54,PF 2=5,当直线l 与x 轴垂直时,PA ⋅PB =2+3 2-3 =1,由PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ,得λ=254.当直线l 与x 轴不垂直时,设直线方程为y =kx +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =kx +23x 2+4y 2-12=0,得3+4k 2 x 2+16kx +4=0,则x 1x 2=43+4k2,Δ=484k 2-1 >0,即k 2>14.所以,PA ⋅PB =1+k 243+4k 2=254λ,所以λ=2541-14+4k 2,因为k 2>14,所以,5<λ<254.综上,实数λ的取值范围为5,254 .8.定义:若点(x 0,y 0),(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上,并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0,则称这两点是关于M 的一对共轭点,或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1,O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标;(2)设点P ,Q 在M 上,且PQ ∥OA,求点A 关于M 的所有共轭点和点P ,Q 所围成封闭图形面积的最大值.【答案】(1)A 13,-3 或A 2-3,3 ;(2)83【解析】(1)设点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1的共轭点为(x ,y ),则3x 12+y 4=0,且x 212+y 24=1,解得x =3y =-3 或x =-3y =3 ,所以点A 关于M 的所有共轭点的坐标为A 13,-3 或A 2-3,3(2)因为PQ ∥OA ,k OA =13,所以设直线PQ 的方程为y =13x +m ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),,将y =13x +m 代入x 212+y 24=1中,化简得4x 2+6mx +9m 2-36=0,由Δ=36m 2-16(9m 2-36)>0,得0≤m 2<163,x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=9m 2-364,所以PQ =1+19(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1039m 24-9m 2+36=10216-3m 2,设A 1,A 2到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2,因为PQ ∥OA ,所以d 1+d 2等于A 1,A 2到直线OA :y =13x 的距离和,所以d 1+d 2=3+33 1+9+-3-33 1+9=8310,所以S =S △A 1PQ +S △A 2PQ =12d 1+d 2 PQ=12×10216-3m 2×8310=23×16-3m 20≤m 2<163 ,令t =m 2,则y =16-3t 在0≤t <163上单调递减,所以当t =0时,即m =0时,y 取最大值16,所以当m =0时,S 的最大值为23×16=839.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ,离心率为63,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设点P 3,m m >0 ,过F 作PF 的垂线交椭圆于A ,B 两点.求△OAB 面积的最大值.【答案】(1)x 26+y 22=1;(2) 3.【解析】(1)由右焦点为F 2,0 ,可得c =2,又离心率为63,∴a =6,b 2=a 2-c 2=6-4=2,∴椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1.(2)由题可知k PF =m3-2=m ,∴k AB =-1m,故直线AB 为y =-1mx -2 ,即x =-my +2,由x 26+y 22=1x =-my +2,可得3+m 2 y 2-4my -2=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1+y 2=4m 3+m 2,y 1y 2=-23+m 2,∴y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=4m 3+m 2 2-4⋅-23+m 2=261+m 23+m 2,∴△OAB 面积为S =12×OF ×y 1-y 2 =261+m 23+m 2,令t =1+m 2>1,∴S =26t 2+t 2=262t+t ≤2622=3,当且仅当2t =t ,即t =2,m =1时取等号,∴△OAB 面积的最大值为 3.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12,点A -1,32 在椭圆C 上,点P 是y 轴正半轴上的一点,过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求PM +PNPF的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)85,4 .【解析】(1)由题意知c a =121a 2+94b 2=1c 2+b 2=a 2,∴a =2b =3 ,椭圆C 标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1),其中k <0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)y =k (x -1)3x 2+4y 2=12⇒3x 2+4k 2(x 2-2x +1)=12∴(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,Δ=64k 4-4(3+4k 2)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2-123+4k 2,∴PM =1+k 2x 1 ,PN =1+k 2⋅x 2 ,PF =1+k 2∴PM +PNPF=x 1 +x 2若k ≤-3,则x 1≥0,x 2>0,∴x 1 +x 2 =x 1+x 2=8k 23+4k 2=83k 2+4∈85,4若-3<k <0,则x 1<0,x 2>0,∴x 1 +x 2 =x 2-x 1=12k 2+13+4k 2令k 2+1=m ,∴1<m <2,∴x 2-x 1=12m 3+4(m 2-1)=12m 4m 2-1=124m -1m,因为y =124m -1m 在(1,2)单调递减,所以x 2-x 1=124m -1m∈85,4 综上:PM +PN PF 的取值范围为85,4 .11.已知O 坐标原点,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ,右顶点为B ,△AOB 的面积为22,原点O 到直线AB 的距离为63.(1)求椭圆C 的方程;(2)过C 的左焦点F 作弦DE ,MN ,这两条弦的中点分别为P ,Q ,若DE ⋅MN=0,求△FPQ 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)19【解析】(1)解:由题意,S △AOB =12ab =22①∵A (0,b ),B (a ,0),则直线AB 的方程为:xa +y b=1,即为bx +ay -ab =0,∵原点到直线AB 的距离为63,∴ab a 2+b2=63,∴3a 2b 2=2(a 2+b 2),②∵b 2+c 2=a 2,③由①②③得:a 2=2,b 2=1,所以椭圆C 的标准方程为:x 22+y 2=1;(2)由(1)可知F -1,0 ,因为DE ⋅MN=0,所以DE ⊥MN ,若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在,那么P 、Q 中一点与F 重合,故斜率一定存在,设DE :y =k x +1 ,则MN 的斜率为-1k,由x 22+y 2=1y =k (x +1)可得:(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0,设D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2,所以x P =x 1+x 22=-2k 21+2k 2y P =k x P +1 =k -2k 21+2k 2+1 =k 1+2k 2,即P -2k 21+2k 2,k1+2k 2,同理将-1k 代入得Q -22+k 2,-k2+k 2,所以PF =-1+2k 21+2k 2 2+k 1+2k 2 2=1+k 21+2k 2,QF =-1--22+k 2 2+-k2+k 2 2=k 1+k 22+k 2,所以S △QFP =12PF ⋅QF =12×1+k 21+2k 2×k 1+k 22+k 2=12×k 1+k 22k 4+5k 2+2=12×k 21+2k 2+k 4 2k 4+5k 2+2=12×k 41k 2+k 2+2 k 22k 2+5+2k2 =12×1k 2+k 2+22k 2+5+2k 2令t =1k 2+k 2+2,则t ≥2,当且仅当1k 2=k 2即k =±1时取等号,所以1k 2+k 2=t 2-2,所以S △QFP =12×t 2t 2+1=12×12t +1t,因为函数y =2x +1x 在2,+∞ 上单调递增,所以当x =2时y min =92,所以S △QFP max =19,即△FPQ 面积的最大值为19;12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点M (0,3),离心率为22.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l :y =kx -1与椭圆C 相交于A 、B 两点,求MA ⋅MB 的最大值.【答案】(1)x 218+y 29=1;(2)32.【解析】(1)由已知得9b 2=1,a 2-b 2a 2=12, 解得a =32,b =3,因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1;(2)由x 218+y 29=1,y =kx -1,整理得2k 2+1 x 2-4kx -16=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=4k 2k 2+1,x 1x 2=-162k 2+1,因为MA ⋅MB=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+kx 1-4 kx 2-4=k 2+1 x 1x 2-4k x 1+x 2 +16=-16k 2+1 2k 2+1-4k ×4k 2k 2+1+16=0,所以MA ⊥MB ,三角形MAB 为直角三角形,设d 为点M 到直线l 的距离,故MAMB =AB ⋅d ,又因为d =41+k 2,AB =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2 4k 2k 2+1 2-4×-162k 2+1=41+k 2 9k 2+4 2k 2+1,所以MA MB =169k 2+42k 2+1,设2k 2+1=t ,则MA MB =16818-121t -92 2,由于1t∈0,1 ,所以MA MB ≤32,当1t=1,即k =0时,等号成立.因此,MA MB 的最大值为32.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知F (1,0),动点P 到直线x =6的距离等于2PF +2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)已知A (2,0),过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ,D 两点,记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2,求S 1+S 2的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)最大值为3.【解析】(1)设点P (x ,y ),当x ≥6时,P 到直线x =6的距离显然小于PF ,故不满足题意;故|x -6|=2(x -1)2+y 2+2(x <6),即4-x =2(x -1)2+y 2,整理得3x 2+4y 2=12,即x 24+y 23=1,故曲线C 的方程为x 24+y 23=1;(2)由题意可知直线l 的斜率不为0,则可设直线l 的方程为x =my +1,B x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立x =my +1x 24+y 23=1,整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0,Δ>0显然成立,所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,所以y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4,故S 1+S 2=12OA y 1 +12OA y 2 =12OA y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4,设t =m 2+1,t ≥1,则m 2=t 2-1,则S 1+S 2=12t 3t 2+1=123t +1t,因为t ≥1,所以3t +1t≥4(当且仅当t =1时,等号成立).故S 1+S 2=123t +1t≤3,即S 1+S 2的最大值为3.14.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2,3),点A 为其左顶点,且AM 的斜率为12,(1)求C 的方程;(2)点N 为椭圆上任意一点,求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1;(2)18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为:y -3=12(x -2),即x -2y =-4.当y =0时,解得x =-4,所以a =4,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2,3),可得416+9b2=1,解得b 2=12.所以C 的方程:x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为:x -2y =m ,如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ,此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1,可得:3m +2y 2+4y 2=48,化简可得:16y 2+12my +3m 2-48=0,所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0,即m 2=64,解得m =±8,与AM 距离比较远的直线方程:x -2y =8,直线AM 方程为:x -2y =-4,点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得:d =8+41+4=1255,由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=3 5.所以△AMN 的面积的最大值:12×35×1255=18.15.如图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =22,过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A 两点,AA =4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求△PP Q 的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.【答案】(1)x 216+y 28=1;(2)答案不唯一,具体见解析【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ,左焦点F 1-c ,0 ,将x =-c 代入椭圆方程,得y =±b 2a,由题意可得b 2a =2c a=22a 2=b 2+c 2 ,解得a =4b =c =22 ,所以椭圆方程为x 216+y 28=1.(2)解:当点Q 在y 轴的右侧时,设Q t ,0 t >0 ,圆的半径为r ,直线PP 方程为x =m m >t ,则圆Q 的方程为x -t 2+y 2=r 2,由x -t2+y 2=r 2x 2+2y 2=16得x 2-4tx +2t 2+16-2r 2=0,由Δ=16t 2-42t 2+16-2r 2 =0,即,得t 2+r 2=8,①把x =m 代入x 216+y 28=1,得y 2=81-m 216 =8-m 22,所以点P 坐标为m ,8-m 22,代入x -t 2+y 2=r 2,得m -t 2+8-m 22=r 2,②由①②消掉r 2得4t 2-4mt +m 2=0,即m =2t ,S △PPQ =12PP m -t =8-m 22×m -t =8-2t 2⋅t =2⋅4-t 2 t2≤2×4-t 2+t22=22,当且仅当4-t 2=t 2时,即当t =2时取等号,圆Q 的标准方程为x -2 2+y 2=6.在椭圆上任取一点E x ,y ,其中-4≤x ≤4,则y 2=8-x 22,所以,EQ =x -2 2+y 2=x 2-22x +2+8-x 22=x 22-22x +10=12x -22 2+6≥6,当且仅当x =22时,等号成立,故椭圆上除P 、P '外的点在圆Q 外,所以△PP Q 的面积的最大值为22,当圆心Q 、直线PP 在y 轴左侧时,由对称性可得圆Q 的方程为x +2 2+y 2=6,△PP Q 的面积的最大值仍为22.16.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ,椭圆C的离心率为12,B 0,3 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于M 、N 两点(不同于点A ),且AD ⊥MN ,D 为垂足,求三角形ABD 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)37+337【解析】(1)由题意得c a =12b =3b 2=a 2+c2 ,解得a =2b =3c =1,所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)当MN 垂直于x 轴时,则M 、N 关于x 轴对称,设点M 在x 轴上方,因为AM ⊥AN ,易知直线AM 的倾斜角为π4,所以,直线AM 的方程为y =x +2,联立y =x +23x 2+4y 2=12x ≠-2,可得x =-27y =127,即点M -27,127 ,则N -27,-127 ,可得D -27,0 ,此时,S △ABD =12⋅-27+2 ⋅3=637;当MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为y =kx +t ,设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ,联立y =kx +t3x 2+4y 2=12,可得3+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-12=0,Δ=64k 2t 2-44k 2+3 4t 2-12 >0,可得t 2<4k 2+3,由韦达定理可得x 1+x 2=-8kt 4k 2+3,x 1x 2=4t 2-124k 2+3,AM =x 1+2,y 1 =x 1+2,kx 1+t ,AN =x 2+2,kx 2+t ,因为AM ⊥AN ,则AM ⋅AN=x 1+2 x 2+2 +kx 1+t kx 2+t =k 2+1 x 1x 2+kt +2 x 1+x 2 +t 2+4=k 2+1 4t 2-12 -8kt kt +24k 2+3+t 2+4=0,整理可得4k 2-16kt +7t 2=0,即2k -t 2k -7t =0,所以,t =2k 或t =2k 7.若t =2k ,则直线MN 的方程为y =k x +2 ,此时直线MN 过点A ,则M 、N 必有一点与点A 重合,不合乎题意;若t =27k ,则直线MN 的方程为y =k x +27 ,此时直线MN 过定点E -27,0 ,合乎题意.因为AD ⊥DE ,且线段AE 的中点坐标为-87,0 ,AE =127,所以,△AED 的外接圆为x +87 2+y 2=3649,因为AB 直线方程为x-2+y 3=1,即3x -2y +23=0,且AB =3+4=7,因为D 到直线AB 的最大距离为-837+233+4+67=42+62149,所以△ABD 的面积S △ABD ≤12⋅7⋅42+62149=37+337.综上所述,△ABD 面积的最大值为37+337.17.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为63,且经过点P 1,3 .(1)求椭圆C 的方程;(2)A 、B 为椭圆C 上两点,直线PA 与PB 的倾斜角互补,求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)y 26+x 22=1;(2)3﹒【解析】(1)由题意得:e =c a =633a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2,解得:a =6,b =2,∴y 26+x 22=1.(2)由题意可知直线AB 的斜率一定存在,设直线AB 的方程为y =kx +t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,将y =kx +t 代入y 26+x 22=1得:k 2+3 x 2+2ktx +t 2-6=0,∴x 1+x 2=-2kt k 2+3,x 1x 2=t 2-6k 2+3,则y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k x 1+x 2 +2t =6tk 2+3,x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t =kt x 1+x 2 +2ktx 1x 2=-12kk 2+3,∵直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,∴k PA =-k PB ⇒y 1-3x 1-1=-y 2-3x 2-1,化简可得:23+x 1y 2+x 2y 1=y 1+y 2 +3x 1+x 2 ,即23+-12k k 2+3=6t k 2+3+3⋅-2ktk 2+3,即k -3 k +t -3 =0,∵直线AB 不过点P ,∴k =3,∴x 1+x 2=-3t 3,x 1x 2=t 2-t6,则AB =1+3 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=2312-t 23,又点P 到直线AB 的距离为t2,∵Δ=12t 2-24t 2-6 >0,∴-23<t <23,∴S =12⋅2312-t 23⋅t 2=3612-t 2 t 2≤3,当且仅当t =±6时等号成立,∴△PAB 面积最大值为3.18.已知O 为坐标原点,定点F 1,0 ,M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点,圆O 与以线段FM 为直径的圆内切.(1)求动点M 的轨迹方程;(2)若直线l 与动点M 的轨迹交于P ,Q 两点,以坐标原点O 为圆心,1为半径的圆与直线l 相切,求△POQ 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1且x ≠±2;(2)263.【解析】(1)令M (x ,y ),又F 1,0 在圆O :x 2+y 2=4内,且圆O 与以线段FM 为直径的圆内切,所以线段FM 为直径的圆心为x +12,y 2 ,则12(x -1)2+y 2=2-(x +1)24+y 24,整理有(x -1)2+y 2=4-(x +1)2+y 2,则x 2-2x +1+y 2=4-x 2+2x +1+y 2,所以x 24+y 23=1,又M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点,故x ≠±2,故M 的轨迹方程为x 24+y 23=1且x ≠±2.(2)由题意知:O 到直线l 的距离为1,要使△POQ 面积最大,只需|PQ |最大,若直线l 斜率不存在时,直线l :x =±1,此时P ,Q 为1,±32 或-1,±32,所以|PQ |=3,则△POQ 面积为32;若直线l 斜率存在时,令直线l :y =kx +b ,而|b |1+k2=1,即b 2=1+k 2,联立直线与M 的轨迹,x 24+y 23=1y =kx +b,整理有(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2-12=0,则x P +x Q =-8kb 4k 2+3,x P x Q =4b 2-124k 2+3,所以|PQ |=1+k 2⋅|x P -x Q |=1+k 2⋅(x P +x Q )2-4x P x Q =4(1+k 2)(12k 2+9-3b 2)4k 2+3,则|PQ |=43⋅(1+k 2)(3k 2+2)4k 2+3,令t =4k 2+3≥3,则|PQ |=3⋅-1t2+2t +3=3⋅-1t-1 2+4,而0<1t ≤13,所以|PQ |max =463,此时△POQ 最大面积为263;综上,△POQ 最大面积为263.19.如图,已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32,直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ,N 两点,MN =455.(1)求椭圆E 的方程;(2)A ,B 为椭圆E 的上、下顶点,过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ,交椭圆E 于点Q (P ,Q 位于y 轴的右侧),直线BP ,BQ 的斜率分别记为k 1,k 2,试用k 表示k 1+14k 2,并求当k 1+14k 2∈2,52时,△BPQ 面积的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)1285,65 .【解析】(1)圆心O 到直线l 1的距离为d =b 2-2552=12b1+122,解得b 2=1,由题设,b =1c a =32c 2=a 2-b2 ,解得a =2c =3 ,故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知,A 0,1 ,B 0,-1 ,直线l 2为y =kx +1k <0 ,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,联立y =kx +1x 2+y 2=1,得1+k 2 x 2+2kx =0,所以x 1=-2k k 2+1,y 1=kx 1+1=-k 2+1k 2+1,联立y =kx +1x 24+y 2=1得:4k 2+1 x 2+8kx =0,所以x 2=-8k 4k 2+1,y 2=kx 2+1=-4k 2+14k 2+1,k 1+14k 2=y 1+1x 1+x 24y 2+1=2k 2+1-2k k 2+1+-8k 4k 2+184k 2+1=-1k -k .由-1k-k ∈2,52 ,得:k ∈-2,-12 ,S △BPQ =S △ABQ -S △ABP =12AB x 2-x 1 =x 2-x 1=-8k 4k 2+1--2kk 2+1=-6k4k 2+1 k 2+1.令f k =-6k 4k 2+1 k 2+1 ,则fx =612k 4+5k 2-1 4k 2+1 k 2+12>0,所以函数f k 在-2,-12 上单调递增,f -2 =1285,f -12 =65,所以△BPQ 面积的取值范围为1285,65 .20.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,其离心率e =22,过点F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ,Q 两点,PQ =2.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若椭圆的下顶点为B ,过点D (2,0)的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ,N ,直线BM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1+k 2的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)k 1+k 2∈-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ 【解析】(1)由题可知e =c a =22PQ=2b 2a =2a 2=b 2+c 2,解得a =2b =1c =1.所以椭圆Γ的方程为:x 22+y 2=1.(2)由题可知,直线MN 的斜率存在,则设直线MN 的方程为y =k (x -2),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由题可知x 22+y 2=1y =k (x -2),整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-2=0Δ=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-1)=-8(2k 2-1)>0,解得k ∈-22,22.由韦达定理可得x 1+x 2=8k 22k 2+1,x 1x 2=8k 2-22k 2+1.由(1)知,点B (0,-1)设椭圆上顶点为A ,∴A (0,1),k ≠k DA =-12且k ≠k DB =12,∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k x 1-2 +1x 1+k x 2-1 +1x 2=2k +1-2k x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-2k⋅8k 21+2k 28k 2-21+2k 2=2k -4k 22k +1=2k 2k +1=1-12k +1∈2+2,+∞ ∪-∞,12 ∪12,2-2∴k 1+k 2的取值范围为-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ .21.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)0,22【解析】(1)由对称性可知:P 3,P 4都在椭圆C 上,对于椭圆在第一象限的图像上的点x ,y ,易知y 随x 的增大而减小,故P 1,P 2中只有P 2符合.所以P 2,P 3,P 4三点在椭圆上,故b =1,将P 3代入椭圆方程得a =2,所以椭圆方程为:x 22+y 2=1(2)(3)由已知直线l 斜率不为0,故设方程为:x =my +2设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x =my +2x 22+y 2=1联立方程得:(m 2+2)y 2+4my +2=0∴Δ=16m 2-8(m 2+2)=8(m 2-2)>0,即m 2>2y 1+y 2=-4m m 2+2;y 1y 2=2m 2+2;S △OMN =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16m 2(m 2+2)2-8m 2+2=22m 2-2m 2+2;令m 2-2=t >0,则m 2=t 2+2令S △OMN =22t t 2+4=22t +4t ≤222t ⋅4t=22,当且仅当t =2,m 2=6时取等号∴△OMN 面积的取值范围为0,2222.已知椭圆E :x 22+y 2=1的右焦点为F ,椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 .(1)求Γ的离心率;(2)如图:直线l :x =my -1交椭圆Γ于A ,D 两点,交椭圆E 于B ,C 两点.①求证:AB =CD ;②若λ=5,求△ABF 面积的最大值.【答案】(1)22;(2)①证明过程见解析;② 2.【解析】(1)椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 的标准方程为:x 22λ+y 2λ=1,则椭圆Γ的离心率为2λ-λ2λ=22(2)对于①,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,直线l :x =my -1与x 22+y 2=λ联立整理得2+m y2-2my +1-2λ=0则y 1+y 2=2m 2+m 2,y 1y 2=1-2λ2+m 2则AD 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2同理可知BC 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2 .所以AD 与BC 中点重合,故AB =CD .对于②,由①知,直线l 被椭圆截得弦长为1+m 2y 2-y 1 =21+m 22λm 2+4λ-22+m 2把λ=5代入得,AD =21+m 210m 2+182+m 2把λ=1代入得,BC =21+m 22m 2+22+m 2F 1,0 到l 的距离为d =21+m 2,则△ABF 面积为:S =12×12×AD -BC ×d =10m 2+18-2+2m22+m 2=810m 2+18+2+2m 2∴当m =0时,△ABF 的面积最大值是 2.23.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A :x 2+y 2-4x+3=0的圆心,且圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为255+1.(1)求C 的方程;(2)过点(3,0)的直线l 2与C 相交于P ,Q 两点,点M 在C 上,且OM =λ(OP+OQ ),弦PQ 的长度不超过3,求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)-33,-12 ∪12,33 .【解析】(1)圆A 化为标准方程:(x -2)2+y 2=1,圆心A (2,0),半径r =1,∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0),即a =2,∵圆心A (2,0)到直线l 1:bx -ay =0的距离d =2ba 2+b 2,∴圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为d +r =2ba 2+b 2+1=255+1,∴2b 4+b 2=255,解得b =1,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由题意可知,直线l 2的斜率一定存在,设直线l 2的方程为y =k (x -3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立方程y =k (x -3)x 24+y 2=1,消去y 得(1+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-4=0,∴Δ=576k 4-4(1+4k 2)(36k 2-4)=16-80k 2>0,解得0≤k 2<15,∴x 1+x 2=24k 21+4k 2,x 1x 2=36k 2-41+4k 2,∴y 1+y 2=k x 1+x 2-6 =k ⋅24k 21+4k 2-6 =-6k1+4k 2,因为PQ =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2⋅16-80k 21+4k 2≤3所以可解得k 2≥18,所以15>k 2≥18设PQ 中点N ,所以N 12k 21+4k 2,-3k1+4k 2 ,∴OP +OQ =2ON =24k 21+4k 2,-6k 1+4k 2,∴k ON =-3k1+4k 212k 21+4k 2=-14k ,∴直线ON 的方程为y =-14kx ,∵OM =λ(OP +OQ ),∴M 为直线ON 与椭圆的交点,联立方程y =-14k x x 24+y 2=1 ,解得x =±16k 21+4k 2,∴M 16k 21+4k 2,-14k 16k 21+4k 2 或M -16k 21+4k 2,14k 16k 21+4k 2,∴OM =16k 21+4k 2,-14k 16k 21+4k 2 或OM -16k 21+4k 2,14k 16k 21+4k 2,∴±16k 21+4k 2=λ⋅24k 21+4k 2,∴16k 21+4k 2=λ2⋅24k 21+4k 22,∴λ2=16k 21+4k 2⋅1+4k 224k 2 2=136k2+19,又∵18≤k 2<15,∴13≥136k 2+19>14,∴13≥λ2>14,∴12<λ≤33或-33≤λ<-12即实数λ的取值范围为-33,-12 ∪12,3324.已知椭圆C :x 24+y 2=1,点P 为椭圆C 上非顶点的动点,点A 1,A 2分别为椭圆C 的左、右顶点,过点A 1,A 2分别作l 1⊥PA 1,l 2⊥PA 2,直线l 1,l 2相交于点G ,连接OG (O 为坐标原点),线段OG 与椭圆C 交于点Q ,若直线OP ,OQ 的斜率分别为k 1,k 2.(1)求k1k 2的值;(2)求△POQ 面积的最大值.【答案】(1)14;(2)35【解析】(1)由题意知,A 1-2,0 ,A 22,0 ,设P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠±1 ,设直线l 1的方程为:y =-x 0+2y 0x +2 ,设直线l 2的方程为:y =-x 0-2y 0x -2 ,所以解得点G -x 0,-4y 0 ,所以k 1=y 0x 0,k 2=4y 0x 0,即k 1k 2=14.(2)由(1)知,设直线OP 的方程为:y =k 1x ,直线OQ 的方程为:y =4k 1x ,由y =k 1xx 24+y 2=1,得4k 21+1 x 2=4,又对称性,设x P >0,所以P 24k 21+1,2k 14k 21+1,所以OP =2k 21+14k 21+1,由(1)知x P 和x Q 异号,由y =4k 1xx 24+y 2=1,得64k 21+1 x 2=4,所以Q -264k 21+1,-8k 164k 21+1,点Q 到直线y =k 1x 的距离为:d =6k 1k 21+1×64k 21+1,即S △POQ =12×OP ×d =12×2k 21+14k 21+1×6k 1 k 21+1×64k 21+1=6k 1 4k 21+1×64k 21+1=6×k 214k 21+1 ×64k 21+1 =6×k 21256k 41+68k 21+1=6×1256k 21+68+1k 21≤6×168+2256k 21×1k 21=35等号成立条件为,当且仅当256k 21=1k 21即k 1=±14等号成立,故△POQ 面积的最大值为:35.25.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32,过C 的右顶点A的直线l 与C 的另一交点为P .当P 为C 的上顶点时,原点到l 的距离为255.(1)求C 的标准方程;(2)过A 与l 垂直的直线交抛物线y 2=8x 于M ,N 两点,求△PMN 面积的最小值.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)9【解析】(1)由题意知:A a ,0 ,若P 为C 的上顶点,则P 0,b ,∴l :xa +y b=1,即bx +ay -ab =0,∴原点到l 的距离d =ab a 2+b2=255,又离心率e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a =2,b =1,∴椭圆C 的标准方程为:x 24+y 2=1.(2)由题意知:直线l 斜率存在;①当直线l 斜率为0时,l :y =0,P -2,0 ;此时直线MN :x =2,则M 2,4 ,N 2,-4 ,∴S △PMN =12MN ⋅PA =12×8×4=16;②当直线l 斜率存在且不为0时,l :y =k x -2 ,由y =k x -2x 24+y 2=1得:1+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-4=0,又A 2,0 ,∴x P =8k 2-21+4k 2,则y P =-6k 1+4k 2,∴P 8k 2-21+4k 2,-4k1+4k 2;又直线MN :y =-1kx -2 ,由y =-1k x -2y 2=8x得:x 2-8k 2+4 x +4=0,∴x M +x N =8k 2+4;∵y 2=8x 的焦点为A 2,0 ,∴MN =x M +x N +4=8k 2+8,又AP =8k 2-21+4k 2-2 2+-4k 1+4k 2 2=4k 2+11+4k 2,∴S △PMN =12AP ⋅MN =16k 2+1 ⋅k 2+11+4k 2,设k 2+1=t >1,则k 2=t 2-1,∴S △PMN =16t 34t 2-3t >1 ,令f t =16t 34t 2-3,则ft =48t 24t 2-3 -16t 3⋅8t 4t 2-3 2=16t 22t +3 2t -3 4t 2-3 2,∴当t ∈1,32 时,f t <0;当t ∈32,+∞ 时,f t >0;∴f t 在1,32 上单调递减,在32,+∞ 上单调递增,∴f t min =f 32=9,即S △PMN min =9;综上所述:△PMN 面积的最小值为9.26.已知曲线C 由C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,x ≥0)和C 2:x 2+y 2=b 2(x <0)两部分组成,C 1所在椭圆的离心率为32,上、下顶点分别为B 1,B 2,右焦点为F ,C 2与x 轴相交于点D ,四边形B 1FB 2D 的面积为3+1.(1)求a ,b 的值;(2)若直线l 与C 1相交于A ,B 两点,AB =2,点P 在C 2上,求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)2;1;(2)2.【解析】(1)由题意知c a =3212b +c ⋅2b =3+1a 2=b 2+c 2⇒a =2b =1 ;(2)①当AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,y =kx +m x 2+4y 2=4⇒1+4k 2x 2+8kmx +4m2-4=0 ,Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =164k 2-m 2+1 >0,且-8km 1+4k 2>04m 2-41+4k 2≥0⇒m ≥1 ,AB =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2=2⇒12k 2-4m 2-4k 2m 2+3=0,计算可得m 2=34k 2+14k 2+1,故原点O 到直线AB :y =kx +m 的距离d =m 1+k 2=34k 2+121+k 2 ≤3+4k 2+141+k 2=1,当3=4k 2+1时,即k =22m =-62或k =-22m =62时取等号,故原点O 到直线AB 的距离d 的最大值为1,则点P 到直线AB 的距离h ≤d+1≤2,故S △PAB =12AB h =h ≤2,∴△PAB 面积最大值2;②当AB 斜率不存在时,A 0,-1 ,B 0,1 ,此时S △PAB =12×2×1=1<2.综上:△PAB 面积的最大值为2.27.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ,左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ,△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点P -1,-1 ,且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1,求四边形MSNT 的面积;②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.【答案】(1)x 28+y 24=1;(2)①3269;②2.【解析】(1)因为△F 1BF 2是等腰直角三角形,且BF 1 =BF 2 =a ,F 1F 2 =2c ,由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1F 2 2,即2a 2=4c 2,则a =2c ,因为△F 1BF 2的周长为2a +2c =22+1 c =4+22,可得c =2,a =22,b =a 2-c 2=2,因此,椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.。
椭圆 几何性质

椭圆的简单几何性质【知识点】知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标【问题1】观察椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的形状(如图),你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?(1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;(2)对称性:椭圆关于x轴、y轴、原点都对称;(3)特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).【问题2】在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些?在画椭圆时,可先画一个矩形,矩形的顶点为(-a,b),(a,b),(-a,-b),(a,-b).椭圆的简单几何性质(±c,0)(0,±c)知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度?用离心率刻画扁圆程度,e 越接近于0,椭圆越接近于圆,反之,越扁.(1)椭圆的焦距与长轴长的比____ca____称为椭圆的离心率.(2)对于x 2a 2+y 2b 2=1,b 越小,对应的椭圆越____扁____,反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆,于是,当且仅当a =b 时,c =0,两焦点重合,图形变成圆,方程变为x 2+y 2=a 2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质【例1】求椭圆9x 2+16y 2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解 已知方程化成标准方程为x 216+y 29=1,于是a =4,b =3,c =16-9=7,∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a =8和2b =6, 离心率e =c a =74,又知焦点在x 轴上,∴两个焦点坐标分别是(-7,0)和(7,0), 四个顶点坐标分别是(-4,0),(4,0),(0,-3)和(0,3). 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2+16y 2=1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219+y 2116=1, 于是a =13,b =14,c =19-116=712. ∴长轴长2a =23,短轴长2b =12,离心率e =c a =74.焦点坐标(-712,0)和(712,0),顶点坐标(±13,0),(0,±14).反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a ,b ,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量.【变式1】求椭圆9x 2+y 2=81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的标准方程为x 29+y 281=1,则a =9,b =3,c =a 2-b 2=62,长轴长2a =18; 短轴长2b =6;焦点坐标(0,62),(0,-62);顶点坐标(0,9),(0,-9),(3,0),(-3,0). 离心率e =c a =223.类型二 椭圆的几何性质简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 如图所示,已知椭圆的中心在原点,它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1,B 2的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10-5,求这个椭圆的方程. 解 依题意,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由椭圆的对称性知|B 1F |=|B 2F |, 又B 1F ⊥B 2F ,∴△B 1FB 2为等腰直角三角形, ∴|OB 2|=|OF |,即b =c , |F A |=10-5,即a -c =10-5,且a 2=b 2+c 2,将上面三式联立,得⎩⎪⎨⎪⎧b =c ,a -c =10-5,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =10,b = 5.∴所求椭圆方程为x 210+y 25=1.反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ,b ,c 所应满足的关系式,进而求出a ,b ,在求解时,需注意椭圆的焦点位置.【变式2】根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);(2)焦点在x 轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时,设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b =a ,4a 2+36b 2=1,解得⎩⎨⎧a =237,b =37,∴椭圆方程为x 2148+y 237=1.同样地可求出当焦点在y 轴上时, 椭圆方程为x 213+y 252=1.故所求的椭圆方程为x 2148+y 237=1或x 213+y 252=1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b =c ,c =6,∴b =c =6,∴a 2=b 2+c 2=72, ∴所求的椭圆方程为x 272+y 236=1.命题角度2 对称性问题例3 讨论方程x 3y +x 2y 2+xy 3=1所表示的曲线关于x 轴,y 轴,原点的对称性.解 用“-y ”代替方程x 3y +x 2y 2+xy 3=1中的“y ”,得-x 3y +x 2y 2-xy 3=1,它改变了原方程,因此方程x 3y +x 2y 2+xy 3=1所表示的曲线不关于x 轴对称.同理,方程x 3y +x 2y 2+xy 3=1所表示的曲线也不关于y 轴对称.而用“-x ”代替原方程中的“x ”,用“-y ”代替原方程中的“y ”,得(-x )3(-y )+(-x )2(-y )2+(-x )(-y )3=1,即x 3y +x 2y 2+xy 3=1,故方程x 3y +x 2y 2+xy 3=1所表示的曲线关于原点对称.反思与感悟 研究曲线关于x 轴,y 轴,原点的对称性,只需用“-y ”代替方程中“y ”,用“-x ”代替方程中的“x ”,同时代替,若方程不变,则得到相应的对称性. 跟踪训练3 曲线x 2-2y +1=0的对称轴为( B ) A .x 轴 B .y 轴 C .直线y =x D .无法确定【变式3】最值问题例4 椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e =32,已知点P (0,32)到椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程.解 设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).∵b a = a 2-c 2a 2=1-e 2=12, ∴a =2b .∴椭圆方程为x 24b 2+y 2b2=1.设椭圆上点M (x ,y )到点P (0,32)的距离为d ,则d 2=x 2+(y -32)2=4b 2(1-y 2b 2)+y 2-3y +94=-3(y +12)2+4b 2+3.(*)(1)当-b ≤-12,即b ≥12时,d 2max =f (-12)=4b 2+3=7, 解得b =1,∴椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)当-12<-b ,即b <12时,d 2max =f (-b )=7,解得b =7-32>12,与b <12矛盾.综上所述,所求椭圆方程为x 24+y 2=1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 【变式4】已知椭圆x 2m 2-2m +y 2m 2-2m -1=1(3≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A ,B ,C ,D ,记f (m )=||AB |-|CD ||. (1)求f (m )的解析式;(2)求f (m )的最大值和最小值.解 (1)设点A ,B ,C ,D 在x 轴上的射影分别为A ′(x 1,0),B ′(x 2,0),C ′(x 3,0),D ′(x 4,0), 则|AB |=2|x 2-x 1|, |CD |=2|x 4-x 3|. 又∵x 1+x 4=0, 且x 1<x 2<x 3<x 4, ∴||AB |-|CD || =2||x 2-x 1|-|x 4-x 3|| =2|(x 2-x 1)-(x 4-x 3)| =2|x 2+x 3|.将直线y =x +1代入椭圆方程,整理得[2(m 2-2m )-1]·x 2+2(m 2-2m )x +2(m 2-2m )-(m 2-2m )2=0, ∴x 2+x 3=-2(m 2-2m )2(m 2-2m )-1,∴f (m )=22(m 2-2m )2(m 2-2m )-1=2+22(m -1)2-3,m ∈[3,5].(2)∵f (m )在[3,5]上是减函数,∴f (m )的最大值为f (3)=625,最小值为f (5)=30229.类型三 椭圆的离心率的求解例5 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1,F 2,斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ,B ,与y 轴的交点为C ,且B 为线段CF 1的中点,若|k |≤142,求椭圆离心率e 的取值范围. 解 依题意得F 1(-c,0),直线l :y =k (x +c ),则C (0,kc ). 因为点B 为CF 1的中点, 所以B (-c 2,kc2).因为点B 在椭圆上, 所以(-c 2)2a 2+(kc 2)2b 2=1,即c 24a 2+k 2c 24(a 2-c 2)=1. 所以e 24+k 2e 24(1-e 2)=1,所以k 2=(4-e 2)(1-e 2)e 2.由|k |≤142,得k 2≤72,即(4-e 2)(1-e 2)e 2≤72,所以2e 4-17e 2+8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1,所以12≤e 2<1,即22≤e <1.反思与感悟 求e 的取值范围有以下几个步骤:(1)切入点:已知|k |≤142,求e 的取值范围,需建立关于e 的不等式.(2)思考点:①e 与k 有什么关系?②建立e 与k 的等量关系式;③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点,构建关于e 与k 的等式;④如何求e 的范围?先用e 表示k ,再利用|k |≤142,求e 的取值范围.(3)解题流程:先写出l 的方程,求出B 点的坐标,由点B 在椭圆上,建立e 与k 的关系式,再求e 的范围.【变式5】已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若△PF 1F 2的内切圆的半径为32,则此椭圆的离心率为____35____.知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24+y 2=1的位置关系.当x =1时,得y 2=34,故y =±32,而2>32,故点在椭圆外.思考2 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的位置关系的判定吗?当P 在椭圆外时,x 20a 2+y 20b 2>1;当P 在椭圆上时,x 20a 2+y 20b 2=1;当P 在椭圆内时,x 20a 2+y 20b 2<1.梳理 设P (x 0,y 0),椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则点P 与椭圆的位置关系如下表所示:知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系? 有三种位置关系,分别有相交、相切、相离.思考2 如何判断y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的位置关系?联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线和椭圆相交;若Δ=0,则直线和椭圆相切;若Δ<0,则直线和椭圆相离. (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l :y =kx +m (k ≠0,m 为常数)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交,两个交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦,线段AB 的长度叫做弦长.下面我们推导弦长公式:由两点间的距离公式,得|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2,将y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式,得|AB |=(x 1-x 2)2+(kx 1-kx 2)2=(x 1-x 2)2+k 2(x 1-x 2)2=1+k 2|x 1-x 2|,而|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,所以|AB |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2,其中x 1+x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的,判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如,直线l :y =k (x -2)+1和椭圆x 216+y 29=1.无论k 取何值,直线l 恒过定点(2,1),而定点(2,1)在椭圆内部,所以直线l 必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1),椭圆x 29+y 24=1,点在椭圆外,则实数k 的取值范围为____________.(-∞,-332)∪(332,+∞)解析 据题知k 29+14>1,解得k <-332或k >332.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.【变式1】已知点(3,2)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上,则( C )A .点(-3,-2)不在椭圆上B .点(3,-2)不在椭圆上C .点(-3,2)在椭圆上D .以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断【例2】(1)直线y =kx -k +1与椭圆x 22+y 23=1的位置关系是( A )A .相交B .相切C .相离D .不确定(2)在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围.解 由已知条件知直线l 的方程为y =kx +2,代入椭圆方程得x 22+(kx +2)2=1.整理得⎝⎛⎭⎫12+k 2x 2+22kx +1=0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ=8k 2-4⎝⎛⎭⎫12+k 2=4k 2-2>0,解得k <-22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-∞,-22∪⎝⎛⎭⎫22,+∞.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点.(2)Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点.(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.【变式2】(1)已知直线l 过点(3,-1),且椭圆C :x 225+y 236=1,则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为(C )A .1B .1或2C .2D .0(2)若直线y =kx +2与椭圆x 23+y 22=1相切,则斜率k 的值是( C ) A.63 B .-63 C .±63 D .±33类型二 弦长及中点问题【例3】已知椭圆x 216+y 24=1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1),求直线AB 的方程.解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性,知直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y -1=k (x -2).将其代入椭圆方程并整理,得(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x +4(2k -1)2-16=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两根,于是x 1+x 2=8(2k 2-k )4k 2+1.又M 为线段AB 的中点,∴x 1+x 22=4(2k 2-k )4k 2+1=2,解得k =-12.故所求直线的方程为x +2y -4=0.方法二 点差法设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点,∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2.又A ,B 两点在椭圆上,则x 21+4y 21=16,x 22+4y 22=16,两式相减,得(x 21-x 22)+4(y 21-y 22)=0,于是(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-44×2=-12,即k AB =-12. 故所求直线的方程为x +2y -4=0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于点M (2,1)为线段AB 的中点,则另一个交点为B (4-x,2-y ).∵A ,B 两点都在椭圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=16, ①(4-x )2+4(2-y )2=16. ② ①-②,得x +2y -4=0.即点A 的坐标满足这个方程,根据对称性,点B 的坐标也满足这个方程,而过A ,B 两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x +2y -4=0.引申探究在本例中求弦AB 的长.解 由上例得直线AB 方程为x +2y -4=0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -4=0,x 216+y 24=1,消去y 并整理,得x (x -4)=0,得x =0或x =4, 得两交点坐标A (0,2),B (4,0),故|AB |=(0-4)2+(2-0)2=2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题,一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题,即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题,一般应用弦长公式.而用弦长公式时,若能结合根与系数的关系“设而不求”,可大大简化运算过程.【变式3】已知椭圆x 236+y 29=1和点P (4,2),直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点. (1)当直线l 的斜率为12时,求线段AB 的长度; (2)当点P 恰好为线段AB 的中点时,求l 的方程.解 (1)由已知可得直线l 的方程为y -2=12(x -4), 即y =12x .由⎩⎨⎧ y =12x ,x 236+y 29=1,消去y 可得x 2-18=0,若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则x 1+x 2=0,x 1x 2=-18.于是|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+14(x 1-x 2)2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =52×62=310. 所以线段AB 的长度为310.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎨⎧ x 2136+y 219=1,x 2236+y 229=1,两式相减得x 22-x 2136+y 22-y 219=0, 整理得k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-9(x 2+x 1)36(y 2+y 1),由于P (4,2)是AB 的中点,∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,于是k AB =-9×836×4=-12, 于是直线AB 的方程为y -2=-12(x -4),即x +2y -8=0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m .(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2+y 2=1,y =x +m 得5x 2+2mx +m 2-1=0,因为直线与椭圆有公共点, 所以Δ=4m 2-20(m 2-1)≥0,解得-52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,由(1)知:5x 2+2mx +m 2-1=0,所以x 1+x 2=-2m 5,x 1x 2=15(m 2-1), 所以|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2(x 1-x 2)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=2⎣⎡⎦⎤4m 225-45(m 2-1) =2510-8m 2. 所以当m =0时,|AB |最大,此时直线方程为y =x .反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |+|PB |的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时|P A |+|PB |取得最值.(2)求解形如|P A |的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如ax +by 的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.【变式4】 已知动点P (x ,y )在椭圆x 225+y 216=1上,若点A 的坐标为(3,0),|AM →|=1,且PM →·AM →=0,求|PM →|的最小值.解 由|AM →|=1,A (3,0),知点M 在以A (3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,∵PM →·AM →=0且P 在椭圆上运动,∴PM ⊥AM ,即PM 为⊙A 的切线,连接P A (如图),则|PM →|=|P A →|2-|AM →|2 =|P A →|2-1, ∴当|P A →|min =a -c =5-3=2时,|PM →|min = 3.。
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已知椭圆 C:
x2 y2 1 4
,如图,F1,F2 是椭圆的左
右焦点,A、B 是椭圆的上下顶点,D、E 是左右顶 点,动点 P ( x, y ) . 问题 3 过 D, F1, A 分别作一条动直线, 观察直线 的变化,试着读出弦长的范围.
已知椭圆 C:
x2 y2 1 4
右焦点,A、B 是椭圆的上下顶点,D、E 是左右顶 点,动点 P ( x, y ) . 问题 2
y 3 求 x 2 的范围,求 x2 y 2 的范围.
y 3 分析 设 k,则y kx 2k 3 x2 代入椭圆方程,得关于x的一元二次 方程, 0,求得的范围.
x y | OP | [1, 4]
,如图,F1,F2 是椭圆的左
右焦点,A、B 是椭圆的上下顶点,D、E 是左右顶 点,动点 P ( x, y ) . 问题 4 试求 DPO, DPA, QPA 面积的范围.
ห้องสมุดไป่ตู้
Q
问题 5 且 | AB |
3
已知椭圆
x2 2 y 1, C: 3 A, B
是椭圆 C 上的两点,
,求 AOB 面积的取值范围.
与椭圆有关的 范围问题
台州一中 林雅闻
已知椭圆 C:
x2 y2 1 4
,如图,F1,F2 是椭圆的左
右焦点,A、B 是椭圆的上下顶点,D、E 是左右顶 点,动点 P ( x, y) .
问题 1 求 x y 的范围.
已知椭圆 C:
x2 y2 1 4
,如图,F1,F2 是椭圆的左
解决椭圆中的范围问题主要方法:
1 利用圆锥曲线定义、几何性质解题
2 明确变量,通过代数运算 ,将求解目标变 为某个变量的函数或不等式
难点 变量的确定 运算
作业: 1 已知椭圆
x2 2 y 1,A,B C: 3
是椭圆 C 上的两点,且
| AB | 3
,求 AOB 面积的取值范围. 2 已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F, 过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两 点,设 M 在线段 AB 上运动,原点 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值.