与椭圆有关的范围问题
人教A版 椭圆专题(二)弦长、面积与范围【答案】
1人教A 版解析几何专题 (弦长、面积与范围) (解析) 一、典型例题:1.已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.2.已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线y=mx+12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求∆AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．1二、课后巩固：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F(2,0)，P 为抛物线上的任一点，过点P 作圆E:x 2+y 2−12x +34=0的切线，切点分别为M,N ，则四边形PMEN 的面积最小值为（ ） A ． √30 B ． 2√30 C ． √15 D ． 2√152．设A ，B 是抛物线y 2＝2x 上异于原点的不同两点，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为( )A ． 1B ． －1C ． －2D ． －43.设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，则椭圆的方程是 ．4.如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ．(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．15、已知某椭圆的焦点是1(4,0)F -．2(4,0)F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B，且12||||10FB F B +=，椭圆上不同的两点11(,)A x y ,22(,)C x y 222||,||,||F A F B F C 成等差数列．(I)求该椭圆方程； (II)求弦AC 中点的横坐标；(III)设弦AC 的垂直平分线的方程为y kx m =+，求m 的取值范围．6.已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P .1（Ⅰ）设P 点的坐标为),(00y x ，证明：1232020<+y x ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值.7. (选做).如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.1已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线y=mx+12对称． (1)求实数m 的取值范围；(2)求∆AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．19. (1)m <或m >2解析:(1)由题意知0m ≠ ,可设直线AB 的方程为1y x b m =-+ ,由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ,得211()2m +22210b x x b m -+-= ,因直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点,所以224220b m∆=-++> .将AB 的中点2222(,)22mb m b M m m ++ 代入直线方程12y mx =+ 解得2222m b m +=-代入上式得m <或m > ; (2)令16((0,)t m =∈ ,则||2AB t =+,且点O 到直线AB的距离21t d +=,设AOB ∆ 的,面积为()S t ,所以()S t1221112||(2()2222AB d t ==--+≤ ,当且仅当212t = 时,等号成立,故AOB ∆面积的最大值为22解析几何专题(弦长、面积与范围)一、典型例题:1.如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ．(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．2.已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。
当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。
椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。
椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b。
椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。
椭圆的焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中0<e<1）。
a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。
对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。
当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值（余弦定理）。
椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。
弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。
判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的取值范围是$-2<a<2$。
2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。
椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型概括一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点F1 , F2的距离之和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) .2.椭圆的标准方程：x 2 y 21（ a ＞b＞0）y 2 x 21 （ a ＞b＞0）a 2b 2 a 2 b2y yM F 2cc cO c xF 1 O F 2 x MF 1焦点在座标轴上的椭圆标准方程有两种情况，可设方程为 mx2 ny2 1(m 0, n 0) 不用考虑焦点地点，求出方程。
3.范围 . 椭圆位于直线 x＝± a 和 y＝± b 围成的矩形里． |x|≤a，|y|≤ b．4.椭圆的对称性椭圆是对于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．5.极点椭圆有四个极点： A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．线段 A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。
长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝ |B 2F 1|＝ |B 2F 2|＝a ．在 Rt △OB 2F 2 中， |OF 2|2＝ |B 2F 2|2－|OB 2|2，即 c 2＝a 2－b 2．yB 2A 1ba A 2cF 2xF 1 OB 16.离心率 ec(0 e 1)a7. 椭圆x 2y 2 1 (a ＞ ＞ 0) 的左右焦点分别为 1， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点a 2b 2 bFF 1PF 2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b 2 tan .128. 椭圆x 2y 2 1 （ ＞ ＞ ）的焦半径公式a 2b 2 a b 0| MF 1 | a ex 0 , | MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9. AB 是椭圆x 2y 2 1的不平行于对称轴的弦 ， Ma 2b 2(x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点，则kOMkABb 2 ，即K ABb 2 x 0 。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考
椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。
点差法巧解椭圆中的范围问题
（λｘ０ ）２ ＋２（λｙ０ ＋２ －２λ） ２ ＝２．
消去
ｘ０ ，得
λ ＝５
３ －４
ｙ０
．而
－１
≤
ｙ０
≤ １，则
１ ３
≤ λ≤ ３，
又且 Ｍ 在 ＤＮ 之间，则 λ＜１．
所以 λ的取值范围为 １ ≤ λ＜１． ３
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，
运用点差法简化 了 解 题 过 程．在 处 理 解 析 几 何 中 的 范 围 问 题
２．根据待证不等式所含“ 元” 的个数 我们提出“元” 数分析法，这里的“ 元” 指独立变化的字母，
当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元． 以上我们介绍了用“构造函数法” 证明不等式时构造辅助
函数的六种方法，指向性十分明确．如果面对的是另类的陌生 情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根 据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体 问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变 通，多管齐下，多法并用．
路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们
学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．
磼 １．从待证不等式形式变化的角度 前文已总结出 ６ 种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元
法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强， 换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式， 提出了具体的操作方法．
的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的
斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是
在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“ 设而不求” 的目的，
同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：
椭圆中的取值范围问题
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等
式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 .二常见方法
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
（2）用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围（3）利用圆锥曲线上点的坐标的范围. 1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且
3AP PB =，求m 的取值范围．
2.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为
3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m
的 取值范围.
3.E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B
)0,2(H .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.
4、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -
⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.。
椭圆中的参数范围及最值问题(教师版)
椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1．如图，点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求△OPM 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 216=1;(2)22【解析】(1)设P m ,n ，则AB :mx2+ny =1，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则MB :x 1x +y 1y =4，MA :x 2x +y 2y =4，设M s ,t ，则x 1s +y 1t =4,x 2s +y 2t =4，故AB :sx +ty =4即AB :s 4x +t4y =1，所以s 4=m2t 4=n即s 2=m t 4=n所以s 28+t 216=1即M 的轨迹方程为：x 28+y 216=1.(2)由(1)可得M 2m ,4n ，故直线OM :2nx -my =0.P 到OM 的距离为2nm -mn4n 2+m 2=nm4n 2+m 2，故△OPM 面积S =12×nm 4n 2+m 2×2×4n 2+m 2=nm ，因为m 22+n 2=1，故1≥2m 2n 22即mn≤22，当且仅当m =±1,n =±22时等号成立，故△OPM 面积的最大值为22.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的离心率为223，且经过点6,33 ．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)43【解析】(1)由题知：e =c a =2236a 2+13b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =3b =1c =22.所以C 的方程为x 29+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在时，线段MN 的中垂线为x 轴，此时O 到中垂线的距离为0．当l 的斜率存在时，设l :y =kx +m (k ≠0)，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ．因为l 与圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 的距离为|m |1+k2=1，所以m 2=k 2+1．联立方程x 29+y 2=1y =kx +m，得1+9k 2 x 2+18kmx +9m 2-9=0，则x 1+x 2=-18km 1+9k 2，可得MN 的中点为-9km 1+9k 2,m1+9k 2．则MN 的中垂线方程为y =-1k x +9km 1+9k 2 +m 1+9k 2，即x +ky +8km1+9k 2=0．因此O 到中垂线的距离为d =8km1+9k 21+k 2=|8k |1+9k 2=89|k |+1|k |≤43(当且仅当k =13，m =103时等号成立)．综上所述，O 到线段MN 的中垂线的最大距离为43．3.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x =2的距离和点P 到点C 1,0 的距离的比为2，记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，且∠OCM =∠xCN ，求△CMN 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)24【解析】(1)设P x ,y ，P 到直线x =2的距离记为d ，则dPC=2，依题意，2-x =2x -1 2+y 2，化简得x 2+2y 2=2，即x 22+y 2=1.(2)设直线l ：x =my +t ，t ≠1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +tx 22+y 2=1得：m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，则Δ=(2mt )2-4m 2+2 t 2-2 =8m 2+2-t 2 >0，可得m 2+2>t 2，所以y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2.法一：由∠MCO =∠xCN ，则k CM +k CN =y 1x 1-1+y 2x 2-1=0，所以x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，即2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，所以2m t 2-2 m 2+2+t -1-2mt m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 .因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2=2-4m 2+2 2+1m 2+2，当1m 2+2=18，即m =±6时，S 有最大值为24.法二：作M 点关于x 轴的对称点M x 1,-y 1 ，因为∠OCM =∠xCN ，则∠OCM =∠xCN ，故∠OCM +OCN =180°，所以M ，C ，N 三点共线，所以CM⎳CN ，因为CM =x 1-1,-y 1 ，CN =x 2-1,y 2 ，所以x 1-1 y 2--y 1 x 2-1 =0，即x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，所以2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，则2m t 2-2 m 2+2+t -1(-2mt )m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 ，因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2，设m 2-2=u ，则m 2=u 2+2，则S =2u u 2+4=21u +4u≤24，当u =2，即m =±6时，S 有最大值为24.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，点P 1,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求△OMN 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)3【解析】(1)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，因为焦距为2，P 1,32所以2c =2且PF 1⊥x 轴，故b 2a =32又由于a 2=b 2+c 2=b 2+1，所以解得a =2，b =3故椭圆C 方程为x 24+y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，由于直线PM ，PN 的倾斜角互补，故k PM +k PN =0联立方程y =kx +m x 24+y 23=1，整理得3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，故Δ=8km 2-43+4k 2 4m 2-12 =483+4k 2-m 2 >0，即m 2<3+4k 2且x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2k PM +k PN =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=2k +k +m -32 1x 1-1+1x 2-1=2k +k +m -32 x 1+x 2-2x 1x 2-x 1+x 2 +1=2k -k +m -32 8k 2+8km +64m 2+4k 2+8km -9 =2k -8k 2+8km +622m +2k +3 =12k -622m +2k +3=0，所以k =12，故MN 的方程为y =12x +m ，且0≤m 2<3+4k 2=4所以弦长MN =1+12 2x 1-x 2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=52×34-m 2原点到直线MN ：x -2y +2m =0的距离为d =2m5，所以S △OMN =12MN d =32m 24-m 2 =32-m 2-2 2+4≤3 故当且仅当m =±2时，△OMN 的面积的最大值为 3.5.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且经过点A (-2,0)，B(2,0)，过点M -23,0 作直线l 与椭圆交于点P ，Q (点P ，Q 异于点A ，B )，连接直线AQ ，PB 交于点N .(1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan ∠PNQ 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)0,13.【解析】(1)由题意知，a =2，又a 2=b 2+c 2，e =c a =32，所以c =3，b =1，故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1;(2)设直线PB 倾斜角为α，斜率为k 1，直线AQ 倾斜角为β，斜率为k 2，直线PQ 的方程为：x =my -23，则x 24+y 2=1x =my -32，消去x ，得(m 2+4)y 2-43my -329=0，Δ=169+4×329(m 2+4)>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1+y 2=4m 3(m 2+4)，y 1y 2=-329(m 2+4)，有my 1y 2=-83(y 1+y 2)，所以k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1-2=y 2(x 1-2)y 1(x 2+2)=y 2my 1-23-2 y 1my 2-23+2 =my 1y 2-83y 2my 1y 2+43y 1=-163y 2-83y 1-83y 2-43y 1=2，即k 2=2k 1，则tan ∠PNQ =tan (α-β)=tan α-tan β1+tan α⋅tan β=k 1-k 21+k 1k 2=k 1-2k 11+2k 12=-k 11+2k 12=-11k 1+2k 1，因为点P 位于第二象限，则k 1∈-12,0 ，所以1k 1+2k 1∈(-∞,-3)，故tan ∠PNQ =-11k 1+2k 1∈0,13 .6.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A ，B 两点，且△ABF 1的周长为4 6.(1)求Γ的方程；(2)若AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，直线AN 与BM 交于点C ，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1;(2)34【解析】(1)由椭圆定义可知△ABF 1的周长为4a =46，即a =6，因为离心率e =c a =63，所以c =2，又因为b 2=a 2-c 2，所以b 2=2，故Γ的方程为x 26+y 22=1．(2)依题意，设直线AB 方程为x =my +2(m ≠0)．联立x =my +2x 26+y 22=1，得m 2+3 y 2+4my -2=0，易知Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3,y 1⋅y 2=-2m 2+3．因为AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，所以M x 1,0 ,N x 2,0 ．所以直线AN ：y =y 1x 1-x 2x -x 2 ①，直线BM ：y =y 2x 2-x 1x -x 1 ②，联立①②解得x C =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+2 y 2+my 2+2 y 1y 1+y 2=2+2my 1y 2y 1+y 2=3．因为S △ABC =12|BN |⋅x C -x 1 =12y 2 ⋅3-x 1 =12y 2-my 1y 2 ，又my 1y 2y 1+y 2=12，则S △ABC =12y 1-y 1+y 22=14y 1-y 2 =14y 1-y 2 2=62m 2+1m 2+3，设m 2+1=t >1，则S △ABC =62⋅t t 2+2=62⋅1t +2t≤34，当且仅当t =2t，即m =±1时，等号成立，故△ABC 面积的最大值为34．7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)5,254【解析】(1)由题意，得a =2c ，b =3c ，则椭圆E 为x 24c 2+y 23c 2=1，由x 24+y 23=c 2x 4+y 2=1 ，得x 2-2x +4-3c 2=0，因为直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ=4-44-3c 3 =0，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知：M 1,32 ，P 0,2 ，所以PM 2=54，PF 2=5，当直线l 与x 轴垂直时，PA ⋅PB =2+3 2-3 =1，由PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，得λ=254.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为y =kx +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +23x 2+4y 2-12=0，得3+4k 2 x 2+16kx +4=0，则x 1x 2=43+4k2，Δ=484k 2-1 >0，即k 2>14.所以，PA ⋅PB =1+k 243+4k 2=254λ，所以λ=2541-14+4k 2，因为k 2>14，所以，5<λ<254.综上，实数λ的取值范围为5,254 .8.定义：若点(x 0,y 0)，(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1，O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ ∥OA，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.【答案】(1)A 13,-3 或A 2-3,3 ;(2)83【解析】(1)设点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1的共轭点为(x ,y )，则3x 12+y 4=0，且x 212+y 24=1，解得x =3y =-3 或x =-3y =3 ，所以点A 关于M 的所有共轭点的坐标为A 13,-3 或A 2-3,3(2)因为PQ ∥OA ，k OA =13，所以设直线PQ 的方程为y =13x +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，，将y =13x +m 代入x 212+y 24=1中，化简得4x 2+6mx +9m 2-36=0，由Δ=36m 2-16(9m 2-36)>0，得0≤m 2<163，x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=9m 2-364，所以PQ =1+19(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1039m 24-9m 2+36=10216-3m 2，设A 1，A 2到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2，因为PQ ∥OA ，所以d 1+d 2等于A 1，A 2到直线OA :y =13x 的距离和，所以d 1+d 2=3+33 1+9+-3-33 1+9=8310，所以S =S △A 1PQ +S △A 2PQ =12d 1+d 2 PQ=12×10216-3m 2×8310=23×16-3m 20≤m 2<163 ，令t =m 2，则y =16-3t 在0≤t <163上单调递减，所以当t =0时，即m =0时，y 取最大值16，所以当m =0时，S 的最大值为23×16=839.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，离心率为63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 3,m m >0 ，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求△OAB 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1；(2) 3.【解析】(1)由右焦点为F 2,0 ，可得c =2，又离心率为63，∴a =6，b 2=a 2-c 2=6-4=2，∴椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1.(2)由题可知k PF =m3-2=m ，∴k AB =-1m，故直线AB 为y =-1mx -2 ，即x =-my +2，由x 26+y 22=1x =-my +2，可得3+m 2 y 2-4my -2=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4m 3+m 2,y 1y 2=-23+m 2，∴y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=4m 3+m 2 2-4⋅-23+m 2=261+m 23+m 2，∴△OAB 面积为S =12×OF ×y 1-y 2 =261+m 23+m 2，令t =1+m 2>1，∴S =26t 2+t 2=262t+t ≤2622=3，当且仅当2t =t ，即t =2,m =1时取等号，∴△OAB 面积的最大值为 3.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，点A -1,32 在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求PM +PNPF的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)85,4 .【解析】(1)由题意知c a =121a 2+94b 2=1c 2+b 2=a 2，∴a =2b =3 ，椭圆C 标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1)，其中k <0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)y =k (x -1)3x 2+4y 2=12⇒3x 2+4k 2(x 2-2x +1)=12∴(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，Δ=64k 4-4(3+4k 2)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0，x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2-123+4k 2，∴PM =1+k 2x 1 ，PN =1+k 2⋅x 2 ，PF =1+k 2∴PM +PNPF=x 1 +x 2若k ≤-3，则x 1≥0，x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 1+x 2=8k 23+4k 2=83k 2+4∈85,4若-3<k <0，则x 1<0,x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 2-x 1=12k 2+13+4k 2令k 2+1=m ，∴1<m <2，∴x 2-x 1=12m 3+4(m 2-1)=12m 4m 2-1=124m -1m，因为y =124m -1m 在(1,2)单调递减，所以x 2-x 1=124m -1m∈85,4 综上：PM +PN PF 的取值范围为85,4 .11.已知O 坐标原点，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ，右顶点为B ，△AOB 的面积为22，原点O 到直线AB 的距离为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN=0，求△FPQ 面积的最大值．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)19【解析】(1)解：由题意，S △AOB =12ab =22①∵A (0,b )，B (a ,0)，则直线AB 的方程为：xa +y b=1，即为bx +ay -ab =0，∵原点到直线AB 的距离为63，∴ab a 2+b2=63，∴3a 2b 2=2(a 2+b 2)，②∵b 2+c 2=a 2，③由①②③得：a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由(1)可知F -1,0 ，因为DE ⋅MN=0，所以DE ⊥MN ，若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在，那么P 、Q 中一点与F 重合，故斜率一定存在，设DE ：y =k x +1 ，则MN 的斜率为-1k，由x 22+y 2=1y =k (x +1)可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2-21+2k 2，所以x P =x 1+x 22=-2k 21+2k 2y P =k x P +1 =k -2k 21+2k 2+1 =k 1+2k 2，即P -2k 21+2k 2,k1+2k 2，同理将-1k 代入得Q -22+k 2,-k2+k 2，所以PF =-1+2k 21+2k 2 2+k 1+2k 2 2=1+k 21+2k 2，QF =-1--22+k 2 2+-k2+k 2 2=k 1+k 22+k 2，所以S △QFP =12PF ⋅QF =12×1+k 21+2k 2×k 1+k 22+k 2=12×k 1+k 22k 4+5k 2+2=12×k 21+2k 2+k 4 2k 4+5k 2+2=12×k 41k 2+k 2+2 k 22k 2+5+2k2 =12×1k 2+k 2+22k 2+5+2k 2令t =1k 2+k 2+2，则t ≥2，当且仅当1k 2=k 2即k =±1时取等号，所以1k 2+k 2=t 2-2，所以S △QFP =12×t 2t 2+1=12×12t +1t，因为函数y =2x +1x 在2,+∞ 上单调递增，所以当x =2时y min =92，所以S △QFP max =19，即△FPQ 面积的最大值为19；12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点M (0,3)，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l :y =kx -1与椭圆C 相交于A 、B 两点，求MA ⋅MB 的最大值.【答案】(1)x 218+y 29=1；(2)32.【解析】(1)由已知得9b 2=1,a 2-b 2a 2=12, 解得a =32,b =3，因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1；(2)由x 218+y 29=1,y =kx -1,整理得2k 2+1 x 2-4kx -16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+1,x 1x 2=-162k 2+1，因为MA ⋅MB=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+kx 1-4 kx 2-4=k 2+1 x 1x 2-4k x 1+x 2 +16=-16k 2+1 2k 2+1-4k ×4k 2k 2+1+16=0，所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，故MAMB =AB ⋅d ，又因为d =41+k 2，AB =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2 4k 2k 2+1 2-4×-162k 2+1=41+k 2 9k 2+4 2k 2+1，所以MA MB =169k 2+42k 2+1，设2k 2+1=t ，则MA MB =16818-121t -92 2，由于1t∈0,1 ，所以MA MB ≤32，当1t=1，即k =0时，等号成立.因此，MA MB 的最大值为32.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1,0)，动点P 到直线x =6的距离等于2PF +2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2,0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)最大值为3.【解析】(1)设点P (x ,y )，当x ≥6时，P 到直线x =6的距离显然小于PF ，故不满足题意；故|x -6|=2(x -1)2+y 2+2(x <6)，即4-x =2(x -1)2+y 2，整理得3x 2+4y 2=12，即x 24+y 23=1，故曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x =my +1，B x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立x =my +1x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ>0显然成立，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，故S 1+S 2=12OA y 1 +12OA y 2 =12OA y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，设t =m 2+1，t ≥1，则m 2=t 2-1，则S 1+S 2=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，所以3t +1t≥4(当且仅当t =1时，等号成立).故S 1+S 2=123t +1t≤3，即S 1+S 2的最大值为3.14.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4.当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b2=1，解得b 2=12.所以C 的方程：x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=3 5.所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18.15.如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A 两点，AA =4．(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【答案】(1)x 216+y 28=1;(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左焦点F 1-c ,0 ，将x =-c 代入椭圆方程，得y =±b 2a，由题意可得b 2a =2c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a =4b =c =22 ，所以椭圆方程为x 216+y 28=1.(2)解：当点Q 在y 轴的右侧时，设Q t ,0 t >0 ，圆的半径为r ，直线PP 方程为x =m m >t ，则圆Q 的方程为x -t 2+y 2=r 2，由x -t2+y 2=r 2x 2+2y 2=16得x 2-4tx +2t 2+16-2r 2=0，由Δ=16t 2-42t 2+16-2r 2 =0，即，得t 2+r 2=8，①把x =m 代入x 216+y 28=1，得y 2=81-m 216 =8-m 22，所以点P 坐标为m ,8-m 22，代入x -t 2+y 2=r 2，得m -t 2+8-m 22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2-4mt +m 2=0，即m =2t ，S △PPQ =12PP m -t =8-m 22×m -t =8-2t 2⋅t =2⋅4-t 2 t2≤2×4-t 2+t22=22，当且仅当4-t 2=t 2时，即当t =2时取等号，圆Q 的标准方程为x -2 2+y 2=6．在椭圆上任取一点E x ,y ，其中-4≤x ≤4，则y 2=8-x 22，所以，EQ =x -2 2+y 2=x 2-22x +2+8-x 22=x 22-22x +10=12x -22 2+6≥6，当且仅当x =22时，等号成立，故椭圆上除P 、P '外的点在圆Q 外，所以△PP Q 的面积的最大值为22，当圆心Q 、直线PP 在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为x +2 2+y 2=6，△PP Q 的面积的最大值仍为22．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，椭圆C的离心率为12，B 0,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于M 、N 两点(不同于点A )，且AD ⊥MN ，D 为垂足，求三角形ABD 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)37+337【解析】(1)由题意得c a =12b =3b 2=a 2+c2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)当MN 垂直于x 轴时，则M 、N 关于x 轴对称，设点M 在x 轴上方，因为AM ⊥AN ，易知直线AM 的倾斜角为π4，所以，直线AM 的方程为y =x +2，联立y =x +23x 2+4y 2=12x ≠-2，可得x =-27y =127，即点M -27,127 ，则N -27,-127 ，可得D -27,0 ，此时，S △ABD =12⋅-27+2 ⋅3=637；当MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y =kx +t ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，联立y =kx +t3x 2+4y 2=12，可得3+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-12=0，Δ=64k 2t 2-44k 2+3 4t 2-12 >0，可得t 2<4k 2+3，由韦达定理可得x 1+x 2=-8kt 4k 2+3，x 1x 2=4t 2-124k 2+3，AM =x 1+2,y 1 =x 1+2,kx 1+t ，AN =x 2+2,kx 2+t ，因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=x 1+2 x 2+2 +kx 1+t kx 2+t =k 2+1 x 1x 2+kt +2 x 1+x 2 +t 2+4=k 2+1 4t 2-12 -8kt kt +24k 2+3+t 2+4=0，整理可得4k 2-16kt +7t 2=0，即2k -t 2k -7t =0，所以，t =2k 或t =2k 7.若t =2k ，则直线MN 的方程为y =k x +2 ，此时直线MN 过点A ，则M 、N 必有一点与点A 重合，不合乎题意；若t =27k ，则直线MN 的方程为y =k x +27 ，此时直线MN 过定点E -27,0 ，合乎题意.因为AD ⊥DE ，且线段AE 的中点坐标为-87,0 ，AE =127，所以，△AED 的外接圆为x +87 2+y 2=3649，因为AB 直线方程为x-2+y 3=1，即3x -2y +23=0，且AB =3+4=7，因为D 到直线AB 的最大距离为-837+233+4+67=42+62149，所以△ABD 的面积S △ABD ≤12⋅7⋅42+62149=37+337．综上所述，△ABD 面积的最大值为37+337．17.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为63，且经过点P 1,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)A 、B 为椭圆C 上两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，求△PAB 面积的最大值．【答案】(1)y 26+x 22=1；(2)3﹒【解析】(1)由题意得：e =c a =633a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a =6，b =2，∴y 26+x 22=1．(2)由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为y =kx +t ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =kx +t 代入y 26+x 22=1得：k 2+3 x 2+2ktx +t 2-6=0，∴x 1+x 2=-2kt k 2+3，x 1x 2=t 2-6k 2+3，则y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k x 1+x 2 +2t =6tk 2+3，x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t =kt x 1+x 2 +2ktx 1x 2=-12kk 2+3，∵直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，∴k PA =-k PB ⇒y 1-3x 1-1=-y 2-3x 2-1，化简可得：23+x 1y 2+x 2y 1=y 1+y 2 +3x 1+x 2 ，即23+-12k k 2+3=6t k 2+3+3⋅-2ktk 2+3，即k -3 k +t -3 =0，∵直线AB 不过点P ，∴k =3，∴x 1+x 2=-3t 3，x 1x 2=t 2-t6，则AB =1+3 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=2312-t 23，又点P 到直线AB 的距离为t2，∵Δ=12t 2-24t 2-6 >0，∴-23<t <23，∴S =12⋅2312-t 23⋅t 2=3612-t 2 t 2≤3，当且仅当t =±6时等号成立，∴△PAB 面积最大值为3．18.已知O 为坐标原点，定点F 1,0 ，M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线l 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆与直线l 相切，求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1且x ≠±2；(2)263.【解析】(1)令M (x ,y )，又F 1,0 在圆O :x 2+y 2=4内，且圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，所以线段FM 为直径的圆心为x +12,y 2 ，则12(x -1)2+y 2=2-(x +1)24+y 24，整理有(x -1)2+y 2=4-(x +1)2+y 2，则x 2-2x +1+y 2=4-x 2+2x +1+y 2，所以x 24+y 23=1，又M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，故x ≠±2，故M 的轨迹方程为x 24+y 23=1且x ≠±2.(2)由题意知：O 到直线l 的距离为1，要使△POQ 面积最大，只需|PQ |最大，若直线l 斜率不存在时，直线l :x =±1，此时P ,Q 为1,±32 或-1,±32，所以|PQ |=3，则△POQ 面积为32；若直线l 斜率存在时，令直线l :y =kx +b ，而|b |1+k2=1，即b 2=1+k 2，联立直线与M 的轨迹，x 24+y 23=1y =kx +b，整理有(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2-12=0，则x P +x Q =-8kb 4k 2+3，x P x Q =4b 2-124k 2+3，所以|PQ |=1+k 2⋅|x P -x Q |=1+k 2⋅(x P +x Q )2-4x P x Q =4(1+k 2)(12k 2+9-3b 2)4k 2+3，则|PQ |=43⋅(1+k 2)(3k 2+2)4k 2+3，令t =4k 2+3≥3，则|PQ |=3⋅-1t2+2t +3=3⋅-1t-1 2+4，而0<1t ≤13，所以|PQ |max =463，此时△POQ 最大面积为263；综上，△POQ 最大面积为263.19.如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ，N 两点，MN =455．(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 为椭圆E 的上、下顶点，过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ，交椭圆E 于点Q (P ，Q 位于y 轴的右侧)，直线BP ，BQ 的斜率分别记为k 1，k 2，试用k 表示k 1+14k 2，并求当k 1+14k 2∈2,52时，△BPQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)1285,65 .【解析】(1)圆心O 到直线l 1的距离为d =b 2-2552=12b1+122，解得b 2=1，由题设，b =1c a =32c 2=a 2-b2 ，解得a =2c =3 ，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由(1)知，A 0,1 ，B 0,-1 ，直线l 2为y =kx +1k <0 ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +1x 2+y 2=1，得1+k 2 x 2+2kx =0，所以x 1=-2k k 2+1，y 1=kx 1+1=-k 2+1k 2+1，联立y =kx +1x 24+y 2=1得：4k 2+1 x 2+8kx =0，所以x 2=-8k 4k 2+1，y 2=kx 2+1=-4k 2+14k 2+1，k 1+14k 2=y 1+1x 1+x 24y 2+1=2k 2+1-2k k 2+1+-8k 4k 2+184k 2+1=-1k -k ．由-1k-k ∈2,52 ，得：k ∈-2,-12 ，S △BPQ =S △ABQ -S △ABP =12AB x 2-x 1 =x 2-x 1=-8k 4k 2+1--2kk 2+1=-6k4k 2+1 k 2+1．令f k =-6k 4k 2+1 k 2+1 ，则fx =612k 4+5k 2-1 4k 2+1 k 2+12>0，所以函数f k 在-2,-12 上单调递增，f -2 =1285，f -12 =65，所以△BPQ 面积的取值范围为1285,65 .20.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，其离心率e =22，过点F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q 两点，PQ =2．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B ，过点D (2，0)的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为k 1,k 2，求k 1+k 2的取值范围．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)k 1+k 2∈-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ 【解析】(1)由题可知e =c a =22PQ=2b 2a =2a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =1.所以椭圆Γ的方程为：x 22+y 2=1.(2)由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为y =k (x -2)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).由题可知x 22+y 2=1y =k (x -2)，整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-2=0Δ=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-1)=-8(2k 2-1)>0，解得k ∈-22,22.由韦达定理可得x 1+x 2=8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2-22k 2+1.由(1)知，点B (0,-1)设椭圆上顶点为A ，∴A (0,1)，k ≠k DA =-12且k ≠k DB =12，∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k x 1-2 +1x 1+k x 2-1 +1x 2=2k +1-2k x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-2k⋅8k 21+2k 28k 2-21+2k 2=2k -4k 22k +1=2k 2k +1=1-12k +1∈2+2,+∞ ∪-∞,12 ∪12,2-2∴k 1+k 2的取值范围为-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ ．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)0,22【解析】(1)由对称性可知：P 3,P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点x ,y ，易知y 随x 的增大而减小，故P 1,P 2中只有P 2符合.所以P 2,P 3,P 4三点在椭圆上，故b =1，将P 3代入椭圆方程得a =2，所以椭圆方程为：x 22+y 2=1(2)(3)由已知直线l 斜率不为0，故设方程为：x =my +2设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由x =my +2x 22+y 2=1联立方程得：(m 2+2)y 2+4my +2=0∴Δ=16m 2-8(m 2+2)=8(m 2-2)>0,即m 2>2y 1+y 2=-4m m 2+2;y 1y 2=2m 2+2;S △OMN =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16m 2(m 2+2)2-8m 2+2=22m 2-2m 2+2;令m 2-2=t >0，则m 2=t 2+2令S △OMN =22t t 2+4=22t +4t ≤222t ⋅4t=22，当且仅当t =2，m 2=6时取等号∴△OMN 面积的取值范围为0,2222.已知椭圆E :x 22+y 2=1的右焦点为F ，椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 ．(1)求Γ的离心率；(2)如图：直线l :x =my -1交椭圆Γ于A ，D 两点，交椭圆E 于B ，C 两点．①求证：AB =CD ；②若λ=5，求△ABF 面积的最大值．【答案】(1)22;(2)①证明过程见解析；② 2.【解析】(1)椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 的标准方程为：x 22λ+y 2λ=1，则椭圆Γ的离心率为2λ-λ2λ=22(2)对于①，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线l :x =my -1与x 22+y 2=λ联立整理得2+m y2-2my +1-2λ=0则y 1+y 2=2m 2+m 2,y 1y 2=1-2λ2+m 2则AD 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2同理可知BC 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2 .所以AD 与BC 中点重合，故AB =CD .对于②，由①知，直线l 被椭圆截得弦长为1+m 2y 2-y 1 =21+m 22λm 2+4λ-22+m 2把λ=5代入得，AD =21+m 210m 2+182+m 2把λ=1代入得，BC =21+m 22m 2+22+m 2F 1,0 到l 的距离为d =21+m 2，则△ABF 面积为：S =12×12×AD -BC ×d =10m 2+18-2+2m22+m 2=810m 2+18+2+2m 2∴当m =0时，△ABF 的面积最大值是 2.23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A ：x 2+y 2-4x+3=0的圆心，且圆A 上的点到直线l 1：bx -ay =0的距离的最大值为255+1．(1)求C 的方程；(2)过点(3，0)的直线l 2与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且OM =λ(OP+OQ )，弦PQ 的长度不超过3，求实数λ的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)-33,-12 ∪12,33 ．【解析】(1)圆A 化为标准方程：(x -2)2+y 2=1，圆心A (2,0)，半径r =1，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即a =2，∵圆心A (2,0)到直线l 1:bx -ay =0的距离d =2ba 2+b 2，∴圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为d +r =2ba 2+b 2+1=255+1，∴2b 4+b 2=255，解得b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 2的斜率一定存在，设直线l 2的方程为y =k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y =k (x -3)x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-4=0，∴Δ=576k 4-4(1+4k 2)(36k 2-4)=16-80k 2>0，解得0≤k 2<15，∴x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1x 2=36k 2-41+4k 2，∴y 1+y 2=k x 1+x 2-6 =k ⋅24k 21+4k 2-6 =-6k1+4k 2，因为PQ =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2⋅16-80k 21+4k 2≤3所以可解得k 2≥18，所以15>k 2≥18设PQ 中点N ，所以N 12k 21+4k 2，-3k1+4k 2 ，∴OP +OQ =2ON =24k 21+4k 2，-6k 1+4k 2，∴k ON =-3k1+4k 212k 21+4k 2=-14k ，∴直线ON 的方程为y =-14kx ，∵OM =λ(OP +OQ )，∴M 为直线ON 与椭圆的交点，联立方程y =-14k x x 24+y 2=1 ，解得x =±16k 21+4k 2，∴M 16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或M -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴OM =16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或OM -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴±16k 21+4k 2=λ⋅24k 21+4k 2，∴16k 21+4k 2=λ2⋅24k 21+4k 22，∴λ2=16k 21+4k 2⋅1+4k 224k 2 2=136k2+19，又∵18≤k 2<15，∴13≥136k 2+19>14，∴13≥λ2>14，∴12<λ≤33或-33≤λ<-12即实数λ的取值范围为-33,-12 ∪12,3324.已知椭圆C :x 24+y 2=1，点P 为椭圆C 上非顶点的动点，点A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，过点A 1，A 2分别作l 1⊥PA 1，l 2⊥PA 2，直线l 1，l 2相交于点G ，连接OG (O 为坐标原点)，线段OG 与椭圆C 交于点Q ，若直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k1k 2的值；(2)求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)14;(2)35【解析】(1)由题意知，A 1-2,0 ，A 22,0 ，设P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠±1 ，设直线l 1的方程为：y =-x 0+2y 0x +2 ，设直线l 2的方程为：y =-x 0-2y 0x -2 ，所以解得点G -x 0,-4y 0 ，所以k 1=y 0x 0，k 2=4y 0x 0，即k 1k 2=14.(2)由(1)知，设直线OP 的方程为：y =k 1x ，直线OQ 的方程为：y =4k 1x ，由y =k 1xx 24+y 2=1，得4k 21+1 x 2=4，又对称性，设x P >0，所以P 24k 21+1,2k 14k 21+1，所以OP =2k 21+14k 21+1，由(1)知x P 和x Q 异号，由y =4k 1xx 24+y 2=1，得64k 21+1 x 2=4，所以Q -264k 21+1,-8k 164k 21+1，点Q 到直线y =k 1x 的距离为：d =6k 1k 21+1×64k 21+1，即S △POQ =12×OP ×d =12×2k 21+14k 21+1×6k 1 k 21+1×64k 21+1=6k 1 4k 21+1×64k 21+1=6×k 214k 21+1 ×64k 21+1 =6×k 21256k 41+68k 21+1=6×1256k 21+68+1k 21≤6×168+2256k 21×1k 21=35等号成立条件为，当且仅当256k 21=1k 21即k 1=±14等号成立，故△POQ 面积的最大值为：35.25.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，过C 的右顶点A的直线l 与C 的另一交点为P .当P 为C 的上顶点时，原点到l 的距离为255.(1)求C 的标准方程；(2)过A 与l 垂直的直线交抛物线y 2=8x 于M ,N 两点，求△PMN 面积的最小值.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)9【解析】(1)由题意知：A a ,0 ，若P 为C 的上顶点，则P 0,b ，∴l :xa +y b=1，即bx +ay -ab =0，∴原点到l 的距离d =ab a 2+b2=255，又离心率e =c a =32，a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)由题意知：直线l 斜率存在；①当直线l 斜率为0时，l :y =0，P -2,0 ；此时直线MN :x =2，则M 2,4 ，N 2,-4 ，∴S △PMN =12MN ⋅PA =12×8×4=16；②当直线l 斜率存在且不为0时，l :y =k x -2 ，由y =k x -2x 24+y 2=1得：1+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-4=0，又A 2,0 ，∴x P =8k 2-21+4k 2，则y P =-6k 1+4k 2，∴P 8k 2-21+4k 2,-4k1+4k 2；又直线MN :y =-1kx -2 ，由y =-1k x -2y 2=8x得：x 2-8k 2+4 x +4=0，∴x M +x N =8k 2+4；∵y 2=8x 的焦点为A 2,0 ，∴MN =x M +x N +4=8k 2+8，又AP =8k 2-21+4k 2-2 2+-4k 1+4k 2 2=4k 2+11+4k 2，∴S △PMN =12AP ⋅MN =16k 2+1 ⋅k 2+11+4k 2，设k 2+1=t >1，则k 2=t 2-1，∴S △PMN =16t 34t 2-3t >1 ，令f t =16t 34t 2-3，则ft =48t 24t 2-3 -16t 3⋅8t 4t 2-3 2=16t 22t +3 2t -3 4t 2-3 2，∴当t ∈1,32 时，f t <0；当t ∈32,+∞ 时，f t >0；∴f t 在1,32 上单调递减，在32,+∞ 上单调递增，∴f t min =f 32=9，即S △PMN min =9；综上所述：△PMN 面积的最小值为9.26.已知曲线C 由C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,x ≥0)和C 2:x 2+y 2=b 2(x <0)两部分组成，C 1所在椭圆的离心率为32，上、下顶点分别为B 1,B 2，右焦点为F ,C 2与x 轴相交于点D ，四边形B 1FB 2D 的面积为3+1.(1)求a ,b 的值；(2)若直线l 与C 1相交于A ,B 两点，AB =2，点P 在C 2上，求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)2；1；(2)2.【解析】(1)由题意知c a =3212b +c ⋅2b =3+1a 2=b 2+c 2⇒a =2b =1 ；(2)①当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，y =kx +m x 2+4y 2=4⇒1+4k 2x 2+8kmx +4m2-4=0 ，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =164k 2-m 2+1 >0，且-8km 1+4k 2>04m 2-41+4k 2≥0⇒m ≥1 ，AB =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2=2⇒12k 2-4m 2-4k 2m 2+3=0，计算可得m 2=34k 2+14k 2+1，故原点O 到直线AB :y =kx +m 的距离d =m 1+k 2=34k 2+121+k 2 ≤3+4k 2+141+k 2=1，当3=4k 2+1时，即k =22m =-62或k =-22m =62时取等号，故原点O 到直线AB 的距离d 的最大值为1，则点P 到直线AB 的距离h ≤d+1≤2，故S △PAB =12AB h =h ≤2，∴△PAB 面积最大值2；②当AB 斜率不存在时，A 0,-1 ,B 0,1 ，此时S △PAB =12×2×1=1<2.综上：△PAB 面积的最大值为2.27.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ，左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P -1,-1 ，且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1，求四边形MSNT 的面积；②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.【答案】(1)x 28+y 24=1;(2)①3269；②2.【解析】(1)因为△F 1BF 2是等腰直角三角形，且BF 1 =BF 2 =a ，F 1F 2 =2c ，由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1F 2 2，即2a 2=4c 2，则a =2c ，因为△F 1BF 2的周长为2a +2c =22+1 c =4+22，可得c =2，a =22，b =a 2-c 2=2，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.。
椭圆 几何性质
椭圆的简单几何性质【知识点】知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标【问题1】观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．椭圆的简单几何性质(±c,0)(0，±c)知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．(1)椭圆的焦距与长轴长的比____ca____称为椭圆的离心率．(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2116＝1， 于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标(－712，0)和(712，0)，顶点坐标(±13，0)，(0，±14)．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．【变式1】求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18; 短轴长2b ＝6；焦点坐标(0,62)，(0，－62)；顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆的几何性质简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程． 解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ， |F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．【变式2】根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72， ∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 对称性问题例3 讨论方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性．解 用“－y ”代替方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1中的“y ”，得－x 3y ＋x 2y 2－xy 3＝1，它改变了原方程，因此方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线不关于x 轴对称．同理，方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线也不关于y 轴对称．而用“－x ”代替原方程中的“x ”，用“－y ”代替原方程中的“y ”，得(－x )3(－y )＋(－x )2(－y )2＋(－x )(－y )3＝1，即x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1，故方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于原点对称．反思与感悟 研究曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性，只需用“－y ”代替方程中“y ”，用“－x ”代替方程中的“x ”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性． 跟踪训练3 曲线x 2－2y ＋1＝0的对称轴为( B ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．无法确定【变式3】最值问题例4 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a ＝ a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P (0，32)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝4b 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.(*)(1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f (－12)＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 【变式4】已知椭圆x 2m 2－2m ＋y 2m 2－2m －1＝1(3≤m ≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，记f (m )＝||AB |－|CD ||. (1)求f (m )的解析式；(2)求f (m )的最大值和最小值．解 (1)设点A ，B ，C ，D 在x 轴上的射影分别为A ′(x 1,0)，B ′(x 2,0)，C ′(x 3,0)，D ′(x 4,0)， 则|AB |＝2|x 2－x 1|， |CD |＝2|x 4－x 3|. 又∵x 1＋x 4＝0， 且x 1<x 2<x 3<x 4， ∴||AB |－|CD || ＝2||x 2－x 1|－|x 4－x 3|| ＝2|(x 2－x 1)－(x 4－x 3)| ＝2|x 2＋x 3|.将直线y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得[2(m 2－2m )－1]·x 2＋2(m 2－2m )x ＋2(m 2－2m )－(m 2－2m )2＝0， ∴x 2＋x 3＝－2(m 2－2m )2(m 2－2m )－1，∴f (m )＝22(m 2－2m )2(m 2－2m )－1＝2＋22(m －1)2－3，m ∈[3,5]．(2)∵f (m )在[3,5]上是减函数，∴f (m )的最大值为f (3)＝625，最小值为f (5)＝30229.类型三 椭圆的离心率的求解例5 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围． 解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )． 因为点B 为CF 1的中点， 所以B (－c 2，kc2)．因为点B 在椭圆上， 所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.反思与感悟 求e 的取值范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．【变式5】已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为____35____．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？ 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入上式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交．类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．(－∞，－332)∪(332，＋∞)解析 据题知k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．【变式1】已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则( C )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断【例2】(1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．【变式2】(1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为(C )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( C ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33类型二 弦长及中点问题【例3】已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)，故|AB |＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．【变式3】已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度； (2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)， 即y ＝12x .由⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2 ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0， 整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12， 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．【变式4】 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1， ∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.。
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量例题：如图，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k21＋2k2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分例题答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)S∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝⎛⎭⎪⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 12＝22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB2＝ （k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)， S ＝t2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2，令u ＝1t ∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －12＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22. 变式联想变式1 答案： 2.解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 则C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 此时S △ABC ＝12×2×2＝2；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ2（1＋2k 2）， 所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·Δ（1＋2k 2）＝221＋k21＋2k2.(弦长公式)另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k|k 2＋1，∴S △ABC ＝12AB·2d＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·1＋k 21＋2k 2·2|k|k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2＝ 2214－14（2k 2＋1）2＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝12OF·|y 1－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2.这样计算可以简洁一些． 变式2答案：(1)2；(2)6 3.解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 024＋y 02＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 024＋20＝1，所以λ＝2，即OQ OP ＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m|·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1.因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.串讲激活串讲1 答案：43.解析：设S(22，t)，则t≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32（x ＋2），得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2（x －2），可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以 S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠S 12SM ·SN ·sin ∠S ＝SA 1·SA 2SM ·SN＝ |22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝（t 2＋9）（t 2＋1）（t 2＋3）2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S(22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.说明：本题用三角形面积公式S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ，最后得到S 1S 2＝|x S －xA 1||x S －xA 2||x S －x M ||x S －x N |，这样运算就简单了．还有，用直线SA 1的方程求点M 坐标时，要注意方程组一定有一个解x A1，所以，也可以用韦达定理求出x M .串讲2答案：(1)x 24＋y2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.解析：(1)设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法1：依题意，当l⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1，2＝8k±24k 2－31＋4k 2，从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 解法2由题意知直线l 的斜率必存在．则S △OPQ ＝ 12OP 2·OQ 2－（OP →·OQ →）2，设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)．所以S △OPQ ＝12·2·|sin (α－β)|≤1，当sin (α－β)＝±1时，等号成立．此时α－β＝2k π＋π2或α－β＝2k π－π2(k∈Z)．又P (2cos α，sin α)，Q (2cos β，sin β)与A (0，－2)共线，则sin β＋22cos β＝sin α＋22cos αsin(α－β)＝2(cosα－cos β)＝±1cos α－cos β＝±12.又k PQ ＝sin α－sin β2（cos α－cos β）＝±(sin α－sinβ)．①若α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋β＝cos β，同理cos α＝－sin β.所以sin α－sin β＝sin α＋cos α.因为cos α－cos β＝12得到cos α－sin α＝12.且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±72.②同理，当α－β＝2k π－π2(k ∈Z)时，sin α－sin β＝±72，所以k PQ ＝11 ±72.(以下同解法1) 新题在线答案：(0，1)．解析：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且x 1·x 2≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2，得－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 因为m ≠0，所以k 2＝14，所以k ＝±12. 因为Δ＞0，且x 1·x 2≠0，所以0＜m 2＜2且m 2≠1.设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝12d ·1＋k 2|x 1－x 2|＝m 2（2－m 2）＝－（m 2－1）2＋1. 所以△OPQ 面积的取值范围是(0，1)．说明：命题人用直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，是为了告知直线PQ 斜率为±12.。
高考数学讲义椭圆之弦长面积范围问题
2014年二轮复习椭圆之弦长面积范围问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之弦长面积范围问题高考大纲自检自查必考点设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++= 即222222212()10k km m x x a b b b +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.题型一：弦长问题222222121212''11()41()41'''B C AB k x x kx x x x kk A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+注意：',','A B C 对应联立后的一元二次方程的二次项，一次项和常数项的系数.自检自查必考点OyxBA题型二：三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅==焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,FABF ∆的面积为 112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-= 注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数.题型三：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.【例1】 已知圆O ：221x y +=，点O 为坐标原点,一条直线：:(b 0)l y kx b =+>与圆O 相切并与椭圆2212x y +=交于不同的两点A B 、（1）设(k)b f =,求(k)f 的表达式； （2）若23OA OB ⋅=，求直线l 的方程；（3）若23()34OA OB m m ⋅=≤≤，求三角形OAB 面积的取值范围.例题精讲【例2】 已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．【例3】 已知,A B 是椭圆2822=+y x 上两点，O 是坐标原点，定点)0,1(E ，向量OA ．OB 在向量OE 方向上的投影分别是,m n ，且7OA OB mn ⋅=-，动点P 满足OB OA OP += （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点E 的直线l 与C 交于两个不同的点M N ,，求EM EN ⋅的取值范围。
椭圆中的最值和取值范围问题课件
（三）合作探究，强化运用意识
（1）解：由题意，可设直线 AB 的方程为 x=﹣ky+n，代入椭圆方程
，
可得（k2+2）y2﹣2kny+n2﹣2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由题意，△=4k2n2﹣4（k2+2）（n2﹣2）=8（k2﹣n2+2）＞0，
由韦达定理得
设线段 AB 的中点 P（x0，y0），
解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱ 连接 PF1 延长 PF1 交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭圆于点 M2 由三角形三边关系知–︱PF1︱ ︱MP︱-︱MF1︱ ︱PF1︱ 当且仅当 M 与 M1 重合时取右等号、M 与 M2 重合时取左等号。 因为 2a=10, ︱PF1︱=2 所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8
（一）知识回顾，聚焦核心考点
2.椭圆的标准方程 和简单几何性质
|x|≤a，|y|≤b (±a，0)，(0，±b)
|y|≤a，|x|≤b (0，±a)，(±b，0)
x＝0，y＝0 (0，0)
（一）知识回顾，聚焦核心考点
3.弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则
1、 椭圆中的最值问题类型较多, 距离、离心率、弦长、面积，斜率等等， 解法灵活多变, 有函数法、不等式法、定义法、几何法、三角代换 法，设而不求法，等，但总体上主要有两种角度: 一是几何角度,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定 理、性质等进行求解; 二是代数角度,即把几何条件转化为代数表达,然后利用方程法，函
丰富学生思维活动，提升数学核心素养
椭圆中的最值与范围问题
椭圆中的最值与范围问题作者：段开发来源：《金田》2015年第03期摘要：圆锥曲线在新课标考卷中的地位是不言而喻，同时大题的难度也是师生公认的。
对这样的题我们应该从平时做起、从点面做起，不断进行归类总结，逐类、逐点突破，这样才能达到预期的目的。
椭圆又是圆锥曲线的重点，对椭圆的学习就显得十分重要。
下面我从一个侧面谈谈椭圆中的最值和范围问题。
关键词：椭圆；范围；最值与椭圆有关的一些问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题的解题思路可从下面两点说起。
（1）、一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.（2）解决椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中的范围问常用的关系有：①-a≤x≤a，-b≤y≤b；②离心率0例1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解答、（1）由4x2+y2=1y=x+m得5x2+2mx+m2-1=0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ=4m2-20（m2-1）≥0解得-52≤m≤52.（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由（1）知：5x2+2mx+m2-1=0，所以x1+x2=-2m5，x1x2=15（m2-1）所以|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2[（x1+x2）2-4x1x2]= 24m225-45（m2-1）=2510-8m2所以当m=0时，|AB|最大，此时直线方程为y=x.变式练习：在本例中，设直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程解答：可求得O到AB的距离d=|m|2，又|AB|=2510-8m2，∴S△AOB=12|AB|·d=12·2510-8m2·|m|2=25 54-m2m2≤25·54-m2m22=14.当且仅当“54-m2=m2”时，上式取“=”.此时m=±104∈-52，52.∴所求直线方程为x-y±104=0.反思与悟领本题主要运用了方程思想、函数思想和均值不等式思想。
求解椭圆范围问题+专题课件
y0
kx0
m
m 4k 2
1
．∴
kAP
y0 1 m 1 4k2
x0
4km
，
又 AM AN ，∴ AP MN ，则 m 1 4k 2 1 ，即3m 4k2 1，②
4km
k
把②代入①得 m2＜3m ，解得 0＜m＜3 ，由②得 k 2 3m 1 0 ，解得 m 1 ．
4
3
综上可知
m
2k2 1 m2 ，化简，得 2m2k4 7m2k2 3m2 2k4 3k2 1 ，
2k2 1
整理得
m2
k2 k2
1 3
，而 g k
k2 k2
1 3
1
2 k2 3
1
2 3
1 3
（当且仅当 k
0 时等号成立）
所以 m2 1 ，由 m 0 ，得 0 m 3 ，综上， m 的取值范围是 0 m 3 .
1 PF2
8 mn
1 2
.
2 3
.
故选：A.
【例 4】已知椭圆 C：x2 y2 1 ，设经过其右焦点 F 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，线段 MN
43
的垂直平分线交 y 轴于点 P0, y0 ，求 y0 的取值范围.
【例 4】解：当 MN x 轴时，显然 y0 0 .
当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y k(x 1)(k 0) .
0
，或 0
y0
3 12
.
综上：
y0
的取值范围是
3 12
,
3 12
.
【训练
2】如图，椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a>b>0）的左焦点为
椭圆专题(二)弦长、面积与范围
(1)求实数m的取值范围；
(2)求 AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
19.(1) 或 (2)
解析:(1)由题意知 ,可设直线 的方程为 ,由 ,消去 ,得 ,因直线 与椭圆 有两个不同的交点,所以 .将 的中点 代入直线方程 解得 代入上式得 或 ;
(2)令 ,则 ,且点O到直线 的距离 ,设 的,面积为 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立,故 面积的最大值为
石室中学高2020届解析几何专题
(弦长、面积与范围)
一、典型例题:
1.如图，直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为 ，
所以，
四边形ABCD的面积
当k2=1时，上式取等号。
（ii）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4.
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
（Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）四边形ABCD的面积的最小值为
【解析】证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距 .
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，
故 ，
所以，
（Ⅱ）（i）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为 代入椭圆方程
，并化简得
设 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
2．设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则 的最小值为( )
A．1B．－1C．－2D．－4
椭圆的几何性质及其综合问答
椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于53. 【典例2】求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且直线AP ，AQ 的斜率之积为21-，则椭圆C 的离心率为（ ）A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或21(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是练习：如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ=【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 27＝1B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C ．x 216＋y 225＝1D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝12.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(3，163)C ．(0，3)∪(163，＋∞) D ．(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A ．22B ．12C ．32D ．334.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．5.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A,B 两点，若△AF 1B 的周长为34，则C 的方程为（ ）A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．7.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为300的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B. 32C.43D. 548.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若02160=∠PF F ，则椭圆的离心率为（ ）A.25B.33C.21 D.319.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BA BF ⊥，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当A F PF 11⊥，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(12，1)12．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 313．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 216＋y 24＝114.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．15.已知抛物线42x y =与椭圆)0(118222>=+a y ax 在第一象限相交于A 点，F 为抛物线的焦点，AB ⊥y 轴于B 点，当∠BAF =300时，a =16. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．17．椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为( )A ．6B ．3－ 3C ．9D ．12－6 318．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．20.已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．114. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）32若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53B ．23C ．22D ．5922. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，若直线PQ 过原点，且直线,AP AQ 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率等于( )A B ．12 C D ．14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m 为何值时，直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率21=e ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4交于Q ，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤： ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长及1ABF ∆的周长、面积.【典例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．【典例3】已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A ,B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程.变式：过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【典例4】（2015新课标文）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 23O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b )，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y =kx +b ，但要讨论斜率是否存在；②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x =my +a ，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用m1替换. （3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1k2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【本节练习】1.(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B ． 2C ．32 D ． 33．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．5.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，右焦点到直线06=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程；（2）过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，满足57-=，求直线l 的方程.6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且长轴长为12，过点P(4,2)的直线l 与椭圆交于A,B 两点.(1)求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求AB 的值；(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点,且OP 的斜率为21. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程.9. 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .10． 如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q ．(1)如果点Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4．(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ， （文）求线段AB 长度的最小值．（理）试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”.一、 最值问题 【规律方法】：（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见方法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法. （3）圆锥曲线的综合问题要四重视： ①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的作用；③重视根与系数的关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题，范围中的题6、7.1.已知椭圆C ：1222=+y ax （a >0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在原点，分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P （不同于O 点），且以BP 为直径的圆经过点A .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点，求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为（0，1），且离心率为23.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆)0(12222>>=+n m ny m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为12020=+nyy m x x ； （Ⅲ）从圆1622=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.3.已知动点P 到定点F （1，0）和到定直线x =2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆122=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.4. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.5.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C 上，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆144:2222=+b y a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OPOQ 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+= ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()43200000032004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点．(1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---，，，，所以()22120021PF PF x y ⋅=--=，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x =-，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k +++-=，设()B B B x y ，，则1B x ==同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -=-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k-+=+， 即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k=，所以222212m k k k +=+，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y xx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E Dn y y m k ==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k =，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B ，，且3AP PB =， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-，所以112m -<-或112m <， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-或112m <．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--，，，，，． 由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=．(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>． 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k-+--+，解得213k ． (3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅的取值范围． 解：(13)AP =，，设()(31)Q x y AQ x y =--，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅，所以18618xy -．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x 轴上．若右焦点到直线0x y -+的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=． (2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+，所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y += (2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=，所以()()112222x y x y λ-=-，，， 所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x xx x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===，，， 所以113λ<，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点)，当25||3PA PB -<t 取值范围．解：(1)由题意知c e a =，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=． (2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为25||3PA PB-<12x -<，所以()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为(()26223-，，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x ab+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：y m =+．由22124y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得22440xm ++-=，由()22)1640m ∆=-->，得m -<< P 到AB 的距离为d =则1||2PAB S AB d ∆=⋅=，)(2188m -=当且仅当2(m =±∈-取等号，所以三角形P AB ． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t ．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()331122-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=相切，得2||11t k =+，即221t k =+．所以()()()()()222222212122224443||4||1434t t k t AB x x y y k k t k ⎡⎤-⎢⎥=-+-=+-=⎢⎥+++⎣⎦． 因为243||43||233||||t AB t t t ==++，且当3t =±时， 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯，当且仅当3t =±时，AOB ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(03)-，或(03)，．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m的函数，并求AB 的最大值． 解：由题意知，||1m ．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB =； 当1m =-时，同理可得AB =；当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a ba b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为0)，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的，两点(A B=+与椭圆C相交于A B右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1M，，平行于OM(2)的直线l在y轴上的截距为(0)，两个不同点．m m≠，l交椭圆于A B(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA MB，与x轴始终围成一个等腰三角形．。
高中数学 椭圆专题 弦长、面积与范围
石室中学高2020届解析几何专题
(弦长、面积与范围)
一、典型例题:
1.如图，直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
【答案】（1） （2） 或 ．
5、 已知某椭圆的焦点是 ． ，过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 ，椭圆上不同的两点 , 满足条件：
成等差数列．
（Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.
7. (选做).如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
5、 已知某椭圆的焦点是 ． ，过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交点为 ，且 ，椭圆上不同的两点 , 满足条件：
成等差数列．
(I)求该椭圆方程；
(II)求弦 中点的横坐标；
(III)设弦 的垂直平分线的方程为 ，求 的取值范围．
6.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2.过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为 ，
2.2.3椭圆中的范围最值问题
即 y02
ax0
x0 2
，又
x0 2 a2
y02 b2
1
a2 b2
x02
a3x0
a2b2
0，
即 x0 a
a2 b2
x0 ab2
0
x0
ab2 a2 b2
又
0
x0
a 0
则
ab2 a2c2
1,0
4 y12 4 y22
12 12
3x1 x2 x1 x2 4y1 y2 y1 y2 0
x1 x2 2x, y1 y2 2 y, x1 x2 ，
3x 4y
y1 x1
y2 x2
kPQ
1,y 4
3x
由
y
y
3x 4x
m
解得
M
(m,3m)
点 M 在椭圆 C 的内部 m2 3m2 1,
4
3
2 13 m 2 13
13
13
思考：设
P
x2 y2
是椭圆 9 ＋ 5 ＝1
上一点，M,N
分别是两圆：
(x＋2)2＋y2＝1 和(x－2)2＋y2＝1 上的点，
则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为 ( A )
A．4,8
B．2,6
C．6,8
D．8,12
椭圆中的范围最值问题
例 1.若椭圆上存在一点 P 过以椭圆中心和长轴
一个端点为直径的圆，求椭圆离心率的取值范围.
解：不妨设椭圆方程 x2 y 2 1a b 0，
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已知椭圆 C：
x2 y2 1 4
，如图，F1，F2 是椭圆的左
右焦点，A、B 是椭圆的上下顶点，D、E 是左右顶 点，动点 P ( x, y ) . 问题 3 过 D, F1, A 分别作一条动直线， 观察直线 的变化，试着读出弦长的范围.
已知椭圆 C：
x2 y2 1 4
右焦点，A、B 是椭圆的上下顶点，D、E 是左右顶 点，动点 P ( x, y ) . 问题 2
y 3 求 x 2 的范围，求 x2 y 2 的范围.
y 3 分析 设 k，则y kx 2k 3 x2 代入椭圆方程，得关于x的一元二次 方程， 0，求得的范围.
x y | OP | [1, 4]
，如图，F1，F2 是椭圆的左
右焦点，A、B 是椭圆的上下顶点，D、E 是左右顶 点，动点 P ( x, y ) . 问题 4 试求 DPO, DPA, QPA 面积的范围.
ห้องสมุดไป่ตู้
Q
问题 5 且 | AB |
3
已知椭圆
x2 2 y 1， C： 3 A， B
是椭圆 C 上的两点，
，求 AOB 面积的取值范围.
与椭圆有关的 范围问题
台州一中 林雅闻
已知椭圆 C：
x2 y2 1 4
，如图，F1，F2 是椭圆的左
右焦点，A、B 是椭圆的上下顶点，D、E 是左右顶 点，动点 P ( x, y) .
问题 1 求 x y 的范围.
已知椭圆 C：
x2 y2 1 4
，如图，F1，F2 是椭圆的左
解决椭圆中的范围问题主要方法：
1 利用圆锥曲线定义、几何性质解题
2 明确变量，通过代数运算 ，将求解目标变 为某个变量的函数或不等式
难点 变量的确定 运算
作业： 1 已知椭圆
x2 2 y 1，A，B C： 3
是椭圆 C 上的两点，且
| AB | 3
，求 AOB 面积的取值范围. 2 已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F， 过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点，设 M 在线段 AB 上运动，原点 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值.