椭圆大题定值定点取值范围最值问题总结
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椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组;
4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型:
①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论k 是否存在)
121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>; ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =); ④“共线问题”
(如:AQ QB λ=⇔u u u r u u u r
数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A O B ,,三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系;
⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略;
①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想:
1.“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2.“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3.证明定值问题的方法:
(1)常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关; (2)也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明. 4.处理定点问题的方法:
(1)常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点; (2)也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,
5.求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;
6.转化思想:有些题思路易成,但难以实施.这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;
椭圆中的定值、定点问题.
一、常见基本题型:
在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的. (1)直线恒过定点问题
1.已知点00()P x y ,是椭圆E :2212
x y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x x
y y +=,直线0l 过P 点与直
线l 垂直,点(10)M -,关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标. 解:直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --=
设(10)M -,关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ,,
则0000001
212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩,,
解得()32
00020432
000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩
所以直线PN 的斜率为()
432
000003200004288
234n y x x x x k m x y x x -++--==---+, 从而直线PN 的方程为:()
()4320000003
200
4288
234x x x x y y x x y x x ++---=
---+
即()32
000432000023414288
y x x x y x x x x --+=+++--
从而直线PN 恒过定点(10)G ,.
2.已知椭圆两焦点12F F ,
在y 轴上,短轴长为22,离心率为2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,且121PF PF ⋅=u u u r u u u r
,过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ,分别交椭圆于A B ,两点.
(1)求P 点坐标;
(2)求证直线AB 的斜率为定值;
解:(1)设椭圆方程为22
221y x a b
+=,由题意可得2222a b c ===,
,, 所以椭圆的方程为22
142
y x +=, 则12(02)(02)F F -,,
,,设()()000000P x y x y >>,, 则()()
10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r
,,,,
所以()
22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ,
因为点()00P x y ,在曲线上,则22
00
124
x y +=,
所以22
00
42y x -=,从而()2
2
004212
y y ---=
,得0y =,
则点P
的坐标为(1.
(2)由(1)知1PF //x 轴,直线PA PB ,斜率互为相反数,
设PB 斜率为0)k k >(,则PB
的直线方程为:(1)y k x =-,
由22(1)124
y k x y x ⎧-⎪
⎨+=⎪⎩,
,得(
)
22222))40k x k k x k +++-=,
设()B B B x y ,
,则1B x ==
同理可得A x
A B
x x -, ()()28112A B A B k y y k x k x k
-=----=+,
所以直线AB
的斜率A B
AB A B
y y k x x -=
-
3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C :22155
3
y x +=相交于A B ,两点,已知点()
703M -,
, 求证:MA MB ⋅u u u r u u u r
为定值.
解:将(1)y k x =+代入22155
3
y x +=中得()
2222136350k x k x k +++-=, 所以()()
4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>,
22
1212226353131
k k x x x x k k -+=-=++,
所以(
)()()()1122121277773333
MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r
,, ()()()()2
1
2
1
2
771133
x x k x x =+++++
()()()2
2
2
121
2
749139
k x x k x x k =++++++
()()()2
2
2
2
2
2
2
3576491393131
k k k k k k k -=+++-++++
4
222
31654949931
k k k k ---=++=+. 4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :2
213
x y +=.如图所示,斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ,两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3)D m -,. (1)求22m k +的最小值;