专题一 第2讲 函数的图像与性质
函数图象与性质总结
函数的图像和性质专题 第1讲 函数的基本性质总结（一）、函数单调性 1、函数单调性的定义 （1）、设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。
区间D 称为y=f(x)的单调增区间（2）、如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：（1） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2） 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) 。
2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (1) 定义法：1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；2 作差f(x 1)－f(x 2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (2)图象法(从图象上看升降)_(3)要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意(0,0)by ax a b x=+>>型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b ba a-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b ba a-(4)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f [g(x)] 增 减 减 增 例、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2+∞）； 注意：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．例、若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,23)）（二）、函数的奇偶性1、函数的奇偶性 （1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：（1） 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
初三数学第2讲(教师版)：二次函数的图象与性质
第2讲二次函数的图象与性质1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线c bx ax y ++=2的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.其中ab ac k a b h 4422-=-=，.2、抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧。
简称为左同右异（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴.3、抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..1、用配方法导出一般二次函数的顶点式，并能利用顶点式解决问题。
2、会用配方法求二次函数的对称轴和顶点。
3、能根据抛物线图形判定c b a 、、的符号，能根据c b a 、、的符号确定抛物线的大概位置。
4、能灵活利用抛物线的对称性解决问题例1、把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．解析：配方法求一般二次函数的顶点公式，利用图象判定二次函数的增减性。
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
高一数学第2课-函数的基本性质
第2讲 函数的基本性质一、要点精讲1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 = 0，则f (x )是奇函数。
（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称； 2．单调性（1）定义：注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是 或是 ，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有 ，区间D 叫做y =f (x )的 。
（3）判断函数单调性的方法（ⅰ）定义法：利用定义严格判断（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数，则①()f x +)(x g 为 ；②1()f x 为 （()f x ＞0）；为 （()f x ≥0）；④-()f x 为 （ⅲ）利用复合函数【y = f （u ），其中u =g(x ) 】的关系判断单调性：复合函数的单调性法则是“ ” （ⅳ）图象法（ⅴ）利用奇偶函数的性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； 3．最值：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 4．周期性（1）定义：如果存在一个 常数T ，使得对于函数定义域内的 ，都有 ，则称f (x )为周期函数；（2）f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
函数的图像与图像的性质
方程解在函数图像上表示方法
方程解与函数图像交点
方程的解对应于函数图像与x轴的交 点，即函数值为0的点。
交点坐标与解的关系
交点的横坐标即为方程的解，纵坐标 为0。
利用函数图像求解方程近似解
观察法
通过观察函数图像与x轴的交点位置，可以大致估计方程的近 似解。
数值计算法
利用计算机或计算器进行数值计算，通过逼近法得到方程的 近似解。
02
二次函数图像
二次函数的图像是一条抛物线，开口 方向、顶点和对称轴是抛物线的主要 特点。
01
三角函数图像
三角函数的图像包括正弦函数、余弦 函数和正切函数等，它们具有周期性 、振幅和相位等特点。
05
03
指数函数图像
指数函数的图像是一条从左到右上升 的曲线，底数决定了曲线的增长速度 。
04
对数函数图像
判断方法
通过计算$f(-x)$并与$f(x)$比较 ，或者利用图像关于原点或$y$轴 的对称性来判断。
周期性识别及周期计算
周期函数定义
若存在正数$T$，使得对于函数 $f(x)$的定义域内任意$x$，都 有$f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为 周期函数，$T$为$f(x)$的周期
。
最小正周期
连线
用平滑的曲线将各点连接起来 ，得到函数的图像。
变换法绘制复杂函数图像
基本函数图像
01
掌握一些基本函数的图像，如一次函数、二次函数、指数函数
、对数函数等。
函数的四则运算
02
通过函数的四则运算（加减乘除）将复杂函数拆分为简单函数
进行图像绘制。
函数的复合
03
将复杂函数拆分为内外两个函数，先画出内函数的图像，再根
函数的基本性质ppt课件
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的基本性质ppt课件
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
高三数学一轮复习 1.2 函数、基本初等函数的图象与性质学案
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。
（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。
（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。
（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。
3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。
（4）了解指数函数xy a=与对数函数log ay x=互为反函数（0,1a a>≠且）。
4．幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象了解它们的变化情况。
【核心要点突破】要点考向一：基本初等函数问题考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。
2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。
2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。
例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是（A）y=1xe+-1(x>0) (B) ）y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D）y=1x e-+1 (x ∈R)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。
第2讲函数基本初等函数的图像与性质课件课件
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高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。
函数及其图像总结知识点
函数及其图像总结知识点函数的图像是函数表示的一种形式，它是函数在坐标系中的图形表示。
函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的特点和性质。
在学习函数的过程中，函数的图像是一个非常重要的知识点。
本文将总结函数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握这一重要的数学概念。
一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。
如果存在一种依赖关系，使得除了x以外，对每个x都只有唯一的y和y唯一对应某个x，那么就称这种依赖关系为函数。
函数的符号表示通常是f(x)或者y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
二、常见函数1. 线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线的截距。
线性函数是最简单的函数之一，它们在数学建模中有着广泛的应用。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。
二次函数在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线。
指数函数在自然科学和经济学中有着广泛的应用。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条渐进线，对数函数能够将指数函数的性质转化为更容易理解的形式。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在物理学、工程学和天文学中有着重要应用。
以上函数是常见的、在数学教育中重点研究的函数。
这些函数具有各自的特点和性质，通过学习这些函数，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且为进一步学习高等数学课程打下扎实的基础。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过奇偶函数的性质，我们可以推导出一系列关于函数图像的对称性质，以及某些函数值的简化表示。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
a>1时，在定义域内单调递增；0<a<1时，在定义域内单 调递减。
06
值域为(0, +∞)。
对数函数图像及性质
对数函数定义：形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称 为对数函数。
对数函数性质
对数函数图像：当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的 增大，y值无限增大；当0<a<1时，图像在x轴上方， 且随着x的增大，y值无限减小。
正弦函数、余弦函数图像及性质
图像特点
正弦函数$y = sin x$和余弦函数$y = cos x$的图像都是周期性的波浪形曲线，振幅为1，周期为$2pi$。正弦函 数图像关于原点对称，余弦函数图像关于$y$轴对称。
性质
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有周期性、奇偶性和有界性等性质。其中，正弦函数是奇函数，余弦函数 是偶函数。
变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
运算规则
复合函数的运算遵循“由内到外”的原则，即先求出内层函数的值，再代入外层函数中 计算。
复合函数图像变换规律
平移变换
若f(x)的图像向左（右）平移a个单位得到g(x)的图像，则g(x)=f(x+a)（a>0向左，a<0向 右）。
奇偶性
设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
函数周期性
周期函数的定义
对于函数y = f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，f（x + T） = f（x）都成立，那 么就把函数y = f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这 个函数的周期。
2025届高考数学二轮精讲三角与向量第2讲三角函数的图像与性质含解析
第2讲三角函数的图像与性质学问与方法本专题主要学问为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、相识性质,并要驾驭好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的探讨,教材实行先探讨某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法支配内容. 1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线探讨正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点探讨函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);（2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特殊留意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线,2x k k ππ=+∈Z 所隔开的多数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要留意以下几点.(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.(2)理解并驾驭函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.详细: : (0) (0)sin sin() || y x y x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度()()011sin()1y x ωωωϕω<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）()()101sin()A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）留意,若周期变换在前,则一般公式为 sin sin[()]sin(), ||y xy x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度sin sin sin()y xy x x ϕωωωϕϕωω⎡⎤⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T πω=叫做周期,1f T=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要娴熟把握三角函数图使的形态特征,并能借典型例题【例1】求函数y .【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.【解析】利用cos y x =的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期[,]ππ-内,满意1cos 2x 的解为33x ππ-,故所求函数的定义域为 {}|22,33x k x k k ππππ-++∈Z .图1图2【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义x 的的取值范围,易错误提示：当列出有关tan x 的式子时,应留意其中隐含的条件. 如解3tan 3x,利用tan y x =的图象(图3)或单位圆(图4)得,,62x k k k ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭Z【例2】函数()(1)cos f x x x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如()sin()f x A x ωϕ=+的式子在某一区间上的值域.【解析】由已知得()(1)cos cos 2sin6f x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭. 因为33x ππ-,所以662x πππ-+,所以1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所求值域为[1,2]-.【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要留意定义域的范围和A 的符号.【例3】已知1sin sin 3x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数sin y -2cos x 的值域问题.一般解法为消元,依据已知条件将sin y 用sin x 表示,利用三角函数的基本关系式将2cos x 用sin x 表示,所求的式子昁般化为关于sin x 的二次式,其中整理得到22111sin cos sin 212y x x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭,最终利用sin x 的取值范围,结合二次函数图象进行求解. 【解析】因为1sin sin 3x y +=,所以1sin sin 3y x =-.函数()222212111sin cos sin 1sin sin sin sin 33212y x x x x x x ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭.又因为1sin 1y -,所以121sin 1,sin 133x x ---.当2sin 3x =-时,2sin cos y x -取最大值49.【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式2sin cos y x -转化为关于sin x 的二次式,这里确定sin x 的取値范围2sin 13x -是一个易错点.事实上sin 1x =-不成主,否则sin y 413=>,冲突.【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.【分析】令sin cos x x t +=,借助sin ,cos x x 的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于t 的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.【解析】令sin cos x x t +=,则[4t x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.对sin cos x x t +=平方,得212sin cos x x t +=,所以21sin cos 2t x x -=.所以2211(1)122t y t t -=+=+-,值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】三角函数运算中和(sin cos )x x +、差(sin cos )x x -、积(sin cos )x x 存在着亲密的联系.如2222(sin cos )12sin cos ,(sin cos )(sin cos )2,(sin cos )x x x x x x x x x x ±=±++-=+2(sin cos )4sin cos x x x x --=等.在做题时要害于视察,进行相互转化.本题在换元时,留意[t ∈. 【例5】函数sin 2cos xy x=+的最大值是_______.【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数sin cos a x b y c x d +=+,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解. 【解析】解法1：（反解与有界性)去分母可得2cos sin y y x x +=,所以sin cos 2x y x y -=,)2,sin()x y x ϕϕ+=+=其中tan y ϕ=-.由三角函数的有界性知|sin()|1x ϕ+,1,解得33y.解法2：斜率的几何意义) 将sin 2cos xy x =+化为sin 0cos (2)x y x -=--,y 可看作动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,0)A -连线的斜率k .易得(cos ,sin )P x x 在单位圆221x y +=上,且2yk x =+, 单位圆221x y +=的圆心O 到直线(2)y k x =+的距离1d =, 可得2133,333k k-.解法3：(代数法)由22(2),1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214410k x k x k +++-=. 令()()4221641410k k k ∆=-+-,可得2133,333kk-.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式)因为()22222222sin cos 2sin cos 2tan sin 222222cos 3cos sin 3tan 2sin cos cos sin 2222222x x x x xx y x x xx x x x x ====+++++-. (分子分母同除以2cos 2x )要使函数sin 2cos xy x =+最大,则tan 02x >.从而22tan 2223233tantan 22tan 2xy xx x===++当且为当tan 2x =.故所求的解法5：由【解析】4得22tan 23tan 2xy x=+,将其化为2tan 2tan 3022x x y y -+=.当0y =时,tan 02x =,成立;当0y ≠时,tan 2x ∈R ,则4430y y ∆=-⋅,得213y .【点睛】本题考查分式型函数sin cos a x b y c x d +=+最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.【分析】本题探讨三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质,在求单调区间时,一般将ωτϕ+看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时留意,A ω的符号对增减的影响.【解析】(1)原函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,求函数()f x 的单调递减区间等价于求y =sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.令222,232k x k k πππππ--+∈Z ,解得5,1212k x k k ππππ-+∈Z .故函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)函数()f x 的单调递䧕区间与区间[,0]π-取交集即可.函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,经分析可得k 只能取0和1-.故()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式()sin()f x A x ωϕ=+,应留意ω>0,把x ωϕ+看作一个整体,依据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（）A.12x π= B.6x π= C.512x π= D.3x π= 【分析】本题已知函数()f x 的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步探讨其图象对称轴方程的求法.【解析】1结合函数()f x 的周期公式22T πω=,得1ω=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人()f x 的【解析】式检验即可,故选 C. 【解析】2由【解析】1知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令2()32x k k πππ-=+∈Z ,解得5()212k x k ππ=+∈Z .所以直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴,故选 C.【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是干脆求出对称轴方程;另一种是依据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______.【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.【解析】解法1：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即12=+,解得a =解法2:若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则21(0),132f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得a解法3：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.又()(sin cos )cos sin f x a x x a x x '=+'=-,即cos sin 033a ππ-=,解得a .故【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求a 的值,由图象关于直线x =3π对称得33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求求a 的值,过程比较困难.若换用特殊值点来求,小2(0)3f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,留意()()f a x f b x -=+,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称;而()y f a x =-与()y f b x =+的图象关于直线2a bx -=对称. 【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于随意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12x x -的最小值为（）A.4πB.2πC.1D.2【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算实力和理解实力.【解析】由题意知()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值,故12x x -的最小值为函数的半周期.又周期2T =,故12x x -的最小值为1.答案为C .的最小值就是函数的半周期,求解即可.*一般地,函数12()sin sin f x x x ωω=+的周期为112T πω=和222T πω=的最小公倍数,但函数()sin 2sin f x x x π=+不是周期函数,不存在周㖵.易错警示:考虑到|sin |,|cos |x x 的周期均为π,则|sin ||cos |y x x =+的周期为π.此为错误会法.【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的图象.(3)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到? 【分析】熟识三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.【解析】(1)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅为2、周期为π、初相为3π. (2)列表如下.所作图象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解法2：(先伸缩后平移)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将图象向右平移12π个单位长度,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象,以“五点法”作图求解最为便利,但必需清晰它的图象与函数sin ,cos y x y x ==图象问的关系,弄清怎样由函㪇sin ,cos y x y x ==图象变换得到.要留意,在不同的变换中依次可以不同,平移的单位长度可能不同.【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.【分析】本题为已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求ϕ.【解析】(1)由图象知振幅32A =,周期T π=,所以22T πω==,所以3sin(2)2y x ϕ=+.代人初始点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得22,2,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z .又||2πϕ<,所以3πϕ=,函数的解析式为3sin 223y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)令232x k πππ+=+,得212k x ππ=+,对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z . 令23x k ππ+=,得26k x ππ=-,对称中心坐标为,0()26k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (3)令222232k x k πππππ-++,得51212k x k ππππ-+.所以函数的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令3222232k x k πππππ+++,得71212k x k ππππ++.所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,留意,A ω对ϕ影响,进而由sin y x =探讨sin()y A x ωϕ=+的性质. 【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=________________.【分析】由三角函数的图象和性质确定参数的值.【解析】因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,所以36Tππ-,故26ππω,所以12ω.又直线4x π=为函数()f x 图象的一条对称轴,且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故2432k πππωπ+=-,所以()1083k k ω=-∈Z . 结合012ω<知,143ω=. 【点睛】由三角函数的图象和性质确定参数的值,留意区间范围.【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+-,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2D.[]2,4【分析】由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.【解析】解法1：画出函数()4sin 21y x =+与y x =的图象,它们在区间[]4,2--上没有交点.故选A.解法2：考虑方程()4sin 21x x +=在指定区间上是否有解.令21x t +=,则12t x -=. 考虑方程1sin 8t t -=在区间][][][7,3,3,1,1,5,5,9⎡⎤---⎣⎦上是否有解.作图发觉函数sin y t =和18t y -=的图象在区间[]7,3--上无交点,从而方程()4sin 21x x +=在区间[]4,2--上无解.故选A.【点睛】将求方程()()0f x g x -=的根变换为求()y f x =和()y g x =图象的交点.强化训练1.求函数lg(sin )y x =-.【解析】定义域为sin 0,tan 1.x x <⎧⎨⎩由sin 0x <得角x 的终边位于图中的x 轴下方;由tan 1x 得角x 的终边位于图中的阴影部分(包含y x =).2.在函数的一个周期[)0,2π内,满意以上两个条件的x 的范围是53,242xx ππππ<<<. 故定义域为5224xk x k ππππ⎧+<+⎨⎩∣或3222,2kx k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭Z2.已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值.【解析】当0b <时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b -=+=-, 解得1,12a b ==-. 当0b >时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b +=-=-,解得1,12a b ==. 当0b =时,cos3y a b x =-不满意条件. 综上所述,1,12a b ==-或1,12a b ==. 3. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为___________.【答案】4,09【解析】由223sin 2sin 2sin x y x +=得223sin sin sin 2y x x=-所以2222111sin sin sin sin (sin 1)222x y x x x +=-=--+. 由于223sin sin sin 02y x x =-,由已知条件知sin 0x ,所以32sin 10,sin 0,23x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 故222114sin sin (sin 1)0,229x y x ⎡⎤+=--+∈⎢⎥⎣⎦4. 函数sin cos (0)sin cos 1x x y x x x π=<<-+的值域是________.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】令sin cos x x t -=,则4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0x π<<,所以3444x πππ-<-<,sin 124x π⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,则12t -<.对sin cos x x t -=平方得212sin cos x x t -=,所以21sin cos 2tx x -=.所以()211212t t y t --==+,值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.5. 函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域是________.【答案】13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】解法1:(反解表示与有界性)去分母可得sin 22sin 1y x y x -=+,即12sin 2yx y +=-. 由三角函数的有界性知,1212yy +-,整理得23830y y +-,解得133y-.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：(常数分别法)函数2sin 152sin 2sin 2x y x x +==+--.因为1sin 1x -,所以3sin 21x ---,111sin 23x ---,则133y -.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.6. 已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.【解析】解法1:函数2sin y x ω=在区间,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,故0ω>且23ππω,从而302ω<.解法2：由题意知0ω>.因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以,32,,,3422,42x ωππωπωπππωωππ⎧--⎪⎪⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩即3,22,ωω⎧⎪⎨⎪⎩故302ω<. 7.若函数()sin ([0,2))3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（）A.2πB.23πC.32πD.53π【答案】C【解析】()f x 为偶函数,函数()f x 的图象关于直线0x =对称,则()3,3322k k k ϕπππϕπ=+=+∈Z . 又[)0,2ϕπ∈,得32πϕ=.故选C.8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4x π=处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-图象的对称轴是直线4x π=,则()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,得b a -=,所以()sin cos sin 4f x a x a x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭为奇函数且其图象关于点(),0π对称. 故选C9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________. 【答案】1972π【解析】至少须要1494个周期,即11972197491,442T ππωω⨯=⨯. 10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不行能是（）【答案】D【解析】对于选项A ,可得振幅01a <<,则周期22T aππ=>;对于选项B ,可得当振幅1a >时,周期2T π<;对于选项C ,可得0a =,图象符合;选项D 不符合要求,它的振幅1a >,则2T π<,但周期反而大于了2π.故选D.11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.A.向右平移4π个单位长度B.向左平移4π个单位长度C.向右平移12π个单位长度D.向左平移12π个单位长度【分析】本题为已知三角函数()1sin y A x ωϕ=+与()2sin y A x ωϕ=+,探讨两者图象间的变换问的.【解析】sin3cos333412y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.先将函数名变为相同,3326y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,再将其图象向右平移12π个单位长度即可.答案为 C.【点睛】将sin y x ω=变换为sin()y x ωϕ=+时,留意先提取ω,得x x ϕωϕωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即ysin()sin x x ϕωϕωω⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,函数名化相同.进行平移变换应留意平移对象、函数名和平移量.12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是________________. 【答案】302ω-< 【解析】由题意知0ω<,且一个单调递减区间为,22ππωω⎛⎫-⎪⎝⎭,故23ππω-.于是302ω-<.13.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则123x x x ++=________________.【答案】73π【解析】2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ,结合函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象可知,当a =时,恰有三个解.不妨设123x x x <<,其中12,x x 关于直线6x π=对称,32x π=,所以12373x x x π++=.。
高考数学专题：三角函数的图象与性质
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
函数的性质ppt课件
在社会学中，函数被用于描述和分析各种社会现象。例如，犯罪率是社会环境和政策的函数，教育程度 是个人背景和社会环境的函数等。
05
总结与展望
总结
函数的导数
函数的导数是指函数在某一点处的切线斜 率，可以反映函数的变化速率和方向。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间上的函数 值变化趋势，可以分为单调递增和单调递 减两种情况。
周期性的判断
可以通过寻找是否存在这样的T来 判断函数是否具有周期性。
凹凸性
凹函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都大 于0，则称f(x)为凹函数。
凸函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都小 于0，则称f(x)为凸函数。
凹凸性的判断
可以通过计算二阶导数来 判断函数的凹凸性。
函数的值域是指因变 量取值范围。
02
函数的性质
奇偶性
奇函数
如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。
偶函数
如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。
奇偶性判断
根据奇偶函数的定义，可以通过计 算f(-x)与f(x)的关系来判断函数的奇 偶性。
单调性
概率统计
在概率统计中，函数用于描述随机变量的概率分布和统计特征。通过函 数，我们可以表示和解决许多实际问题，如概率密度函数和分布函数等 。
函数在自然科学中的应用
物理学
在物理学中，函数被广泛应用于描述物体的运动、力的相互作用、电磁场等。例如，牛顿 第二定律 F=ma 就描述了力与加速度之间的关系，而加速度是速度的函数。
函数的表示方法
01
02
03
大学数学(高数微积分)专题一第2函数基本初等函数的图像性质(课堂讲义)
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
5．与周期函数有关的结论 (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一 个周期是T＝|a－b|.
本 讲 栏 目 开 关
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期 是T＝2a. 1 1 (3)若f(x＋a)＝ 或f(x＋a)＝－ ，则f(x)是周期函数， fx fx 其中一个周期是T＝2a. 提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x a＋b ＝ 对称. 2
热点分类突破
解析
(1)f(log23)＝f(log23＋3)
log2 24 2 ＝f(log224)＝ ＝24.
(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
本 2 讲 ＝log2 3x＋6log3x＋6＝(log3x＋3) －3， 栏 目 2 因为 1 ≤ x ≤ 9 ，且 1 ≤ x ≤9，所以1≤x≤3， 开 关
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
热点分类突破
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
本 讲 栏 目 开 关
以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换 函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据 函数的性质解决问题．
热点分类突破
(1)(2013· 天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋
热点分类突破
(1)函数 y＝xln(－x)与 y＝xln x 的图象关于 ( A．直线 y＝x 对称 B．x 轴对称 ( C．y 轴对称 D．原点对称 log2|x| (2)函数 y＝ x 的大致图象是
第2讲 三角函数的图象及性质
结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
核心题型突破 栏目索引
解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
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核心题型突破 栏目索引
题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),
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2014届高考数学（理科）二轮复习专题讲义：专题一 第2讲 函数的图像与性质考点一：函数及其表示一、基础知识要记牢(1)两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．(2)求函数的值域的常用方法有观察法、不等式法、图像法、换元法、单调性法等．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·山东高考)函数f (x )＝ 1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若g (x )＝13x 3－52x 2＋4x ，则g (1＋sin x )的值域为________． [解析] (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0. (2)设t ＝1＋sin x ，易知t ∈[0,2]，所求问题等价于求g (t )在区间[0,2]上的值域．由g (t )＝13t 3－52t 2＋4t ，得g ′(t )＝t 2－5t ＋4＝(t －1)(t －4)．由g ′(t )＝0，可得t ＝1或t ＝4. 又因为t ∈[0,2]，所以t ＝1是g (t )的极大值点．由g (0)＝0，g (1)＝13－52＋4＝116，g (2)＝13×23－52×22＋4×2＝23，得当t ∈[0,2]时，g (t )∈⎣⎡⎦⎤0，116， 即g (1＋sin x )的值域是⎣⎡⎦⎤0，116.[答案] (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0，116(1)求函数定义域的类型和相应方法：①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可.②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.(2)求函数值时应注意：形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案：－2(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.考点二：函数的图像一、基础知识要记牢函数的图像包括作图、识图、用图，其中作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·北京高考)函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1 D. e －x －1(2)函数f (x )的图像是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2] B.⎣⎡⎦⎤0，94 C.⎣⎡⎦⎤0，32 D ．[0,4] [解析] (1)曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.(2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ；而k AB ＝0－23－1＝－1， 所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3， 所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]； 当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94； 当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94.[答案] (1)D (2)B(1)解决“由式作图”问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图像相联系，通过各种图像变换得到要求的函数图像.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质(如单调性、奇偶性、对称性、周期性等)，以此帮助分析函数的图像特征.(2)根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图像判断类试题的基本方法.三、预测押题不能少2．(1)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错．(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )解析：选B 因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数．因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，再结合选项中的图像得出正确选项为B.考点三：函数的性质一、基础知识要记牢(1)单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法．(2)函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·大连模拟)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1 (2)(2013·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 2 10))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4[解析] (1)函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8.③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5. 又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3.[答案] (1)C (2)C(1)判断函数单调性的一般规律：对于选择、填空题若能画出图像一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．(2)函数的奇偶性①奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称．②确定函数的奇偶性，务必先判定函数的定义域是否关于原点对称．③对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．三、预测押题不能少3．(1)定义在R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝2x ，则满足f (1－2x )<f (3)的x 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．[－1,2]D ．(－2,1](2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32 ，且f (1)＝3，则f (2 014)＝________. (3)设函数f (x )的图像关于y 轴对称，又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (－x )＋f (x )x<0的解集为________．解析：(1)选A 依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝f (|x |)，不等式f (1－2x )<f (3)⇔f (|1－2x |)<f (3)⇔|1－2x |<3⇔－3<1－2x <3⇔－1<x <2.(2)解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x ＋3)＝－f (x )，∴f (x )＝f (x ＋3)， ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.答案：3(3)解析：因为函数f (x )的图像关于y 轴对称，所以该函数是偶函数．又f (1)＝0，所以f (－1)＝0.又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数.f (－x )＋f (x )x<0可化为xf (x )<0，所以当x >0时，解集为{x |x >1}；当x <0时，解集为{x |－1<x <0}．综上可知，不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)函数与不等式的交汇函数与不等式的交汇是高考的热点，函数与不等式交汇涉及函数性质与不等式解法、恒成立问题、求参数范围等方面，题目一般有一定难度．一、经典例题领悟好[例1] (2013·四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．学审题 x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ――→偶函数 f (x )的解析式―→f (x )的图像――――→数形结合f (x )<5的解集―→f (x ＋2)<5的解集．用“思想”——尝试用“数形结合思想”解题设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0. 由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＝5，x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3.∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}．[答案] {x |－7<x <3}(1)本题中，作函数f (x )及y ＝5的图像，求出f (x )＝5的x 值，利用图像写出f (x )<5的解集．(2)函数性质中应用数形结合思想的常见题目类型：①已知函数的单调性和周期性，常画出函数的图像求解；②已知函数的奇偶性和相应函数的对称性，常画出函数的图像求解；③求函数的最值或值域时，常结合相应函数在待求区间上图像的最高点、最低点的纵坐标求解．二、预测押题不能少1．已知a 是正实数，函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1，若f (m )<1，比较大小：f (m ＋2)________1.(用“<”，“＝”或“>”连接)解析：根据已知条件画出f (x )图像如图所示．因为对称轴为x ＝－1，所以(0,1)关于x ＝－1的对称点为(－2,1)．因f (m )<1，所以应有－2<m <0，m ＋2>0.因f (x )在(－1，＋∞)上递增，所以f (m ＋2)>f (0)＝1.答案：>新定义下的函数值域创新问题新定义下的函数巧妙与集合知识、函数值域相结合，题型创新、角度出新，其命题思路更加新颖．一、经典例题领悟好[例2] 已知函数f M (x )的定义域为实数集R ，满足f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈M ，0，x ∉M (M 是R 的非空真子集)．在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A ∩B ＝∅，则F (x )＝f A ∪B (x )＋1f A (x )＋f B (x )＋1的值域为________． 学审题——审结论之结论转换求F (x )的值域―→确定f A (x )，f B (x )以及f A ∪B (x )的取值――――→函数定义探讨x 与A ，B ，A ∪B 的关系．[解析] 因为A ，B 是R 的两个非空真子集，且A ∩B ＝∅，画出韦恩图如图所示，则实数x 与集合A ，B 的关系可分为x ∈A ，x ∈B ，x ∉A 且x ∉B 三种．(1)当x ∈A 时，根据定义，得f A (x )＝1.因为A ∩B ＝∅，所以x ∉B ，故f B (x )＝0.又因为A ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A ∪B (x )＝1.所以F (x )＝f A ∪B (x )＋1f A (x )＋f B (x )＋1＝1＋11＋0＋1＝1. (2)当x ∈B 时，根据定义，得f B (x )＝1.因为A ∩B ＝∅，所以x ∉A ，故f A (x )＝0.又因为B ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ，所以f A ∪B (x )＝1.所以F (x )＝f A ∪B (x )＋1f A (x )＋f B (x )＋1＝1＋10＋1＋1＝1. (3)当x ∉A 且x ∉B 时，根据定义，得f A (x )＝0，f B (x )＝0.由图可知，显然x ∉A ∪B ，故f A ∪B (x )＝0，所以F (x )＝f A ∪B (x )＋1f A (x )＋f B (x )＋1＝0＋10＋0＋1＝1.综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}．[答案] {1}该题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算，所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合，再根据图形的直观性进行分类，简单又直接.二、预测押题不能少2．本例中把“A ∩B ＝∅”变为x ∈A ∩B ，其他条件不变，试求之．解：当x ∈A ∩B 时，因为(A ∩B )⊆(A ∪B )，所以必有x ∈A ∪B .由定义，可知f A (x )＝1，f B (x )＝1，f A ∪B (x )＝1，所以F (x )＝f (A ∪B )(x )＋1f A (x )＋f B (x )＋1＝1＋11＋1＋1＝23. 故函数F (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫23. 课时达标自测1．(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2013·湖北高考)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数解析：选D 当x ∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f (x )为周期函数．3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 014)＋f (2 015)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 014)＋f (2 015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 014)＋f (2 015)＝1＋2＝3.4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43解析：选C 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－(1＋h (a ))＝2－f (a )＝2－23＝43. 5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图像在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足①P 、Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，则此函数的“友好点对”有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对解析：选C 不妨设函数y ＝log 2x 的图像上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )．如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图像上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，易知这个方程有两个实数解．7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，故1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，所以a ＝0.答案：08．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的序号是________．解析：由题意知满足条件的图像形状为：故符合图像形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .答案：②④9．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减．给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图像的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图像关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图像关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④10．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．解：(1)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)∵f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3. 11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2，要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时，f ′(x )≥0恒成立，即2x －a x 2≥0，则a ≤2x 3∈[16，＋∞)恒成立．故若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为(－∞，16]．12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )．(1)求f (2 012)的值；(2)求证：函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(3)若f (x )在区间[0,2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小．解：(1)因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]}＝f (x －8)，知函数f (x )的周期为T ＝8.所以f (2 012)＝f (251×8＋4)＝f (4)＝－f (0)．又f(x)为定义在R上的奇函数．所以f(0)＝0，故f(2 012)＝0.(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，知函数f(x)的图像关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．。