2019高考数学考点突破——基本初等函数：对数函数

对数函数
【考点梳理】
1．对数的概念
如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b
log c
a (a ，c 均大于0且不等于1，
b ＞0)．
(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；
②log a M
N ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质
指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 【考点突破】
考点一、对数的运算
【例1】计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．4 [答案] B
[解析] 原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·2lg 3
2lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg
2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 【类题通法】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 【对点训练】
(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. [答案] 2
[解析] 原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
考点二、对数函数的图象及应用
【例2】(1)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )
(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (1) B (2) (1，2]
[解析] (1) 法一：易知函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数f (x )单调递增，所以只有选项B 正确．
法二：函数f (x )＝lg(|x |－1)的图象可由函数y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，然后再关于y 轴对称得到．由y ＝lg x 的图象可知选B.
(2)设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x
恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1，2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．
当0<a <1时，显然不成立；
当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1，所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1，2]．
【类题通法】
1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【对点训练】
1．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
A B C D
[答案] B
[解析] 若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有
一个实根，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (1，＋∞)
[解析] 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中
a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．
考点三、对数函数的性质及应用
【例3】已知x ＝ln π，y ＝log 21
3，z ＝e -12，则x ，y ，z 的大小关系为( )
A ．x <y <z
B ．z <x <y
C ．z <y <x
D ．y <z <x [答案] D
[解析] ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 213<log 21，∴y <0.∵z ＝e -12＝1e >1
4
＝
12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x . 【类题通法】
对数函数值大小比较的方法
已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＝b ＜c
B ．a ＝b ＞c
C ．a ＜b ＜c
D ．a ＞b ＞c
[答案] B
[解析] 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝3
2log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .
【例4】若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1 D ．(0，1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1.
【类题通法】
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【对点训练】
若log a 3
4＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，34
B ．(1，＋∞)
C ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34，1
[答案] C
[解析] 当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34； 当a ＞1时，log a 3
4＜log a a ＝1，∴a ＞1.
即实数a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．
【例5】若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a
2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．
[答案] (1，25)
[解析] 当x 1<x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，a 2上为减函
数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪
⎧
a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2>0，解得1<a <25，所以实数a 的取值范围
为(1，25). 【类题通法】
与对数有关的单调性问题的解题策略 (1)求出函数的定义域．
(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． 【对点训练】
已知y ＝log a (2－ax )在区间[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2) D ．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 因为y ＝log a (2－ax )在[0，1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0，1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.。