苏教版九年级上册一元二次方程错题集(有答案)
九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word版 含答案)
九年级数学上册 一元二次方程易错题（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ， 即886-=t DE， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ，∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t（3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ， 在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ，2573256+=-t （舍）所以当57325-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2-7x +12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．（1）求AB 与BC 的长；（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP 长为10时运动时间t 的值；（3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) AB ＝3，BC ＝4;(2) t ＝4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可；（3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解. 试题解析：(1)∵x 2－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0 ∴1x ＝3或2x ＝4 . 则AB ＝3，BC ＝4(2)由题意得()223t-310?+=（） ∴14t =，22t =(舍去) 则t ＝4时，AP ＝10.(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形. ①当PC ＝PD ＝3时， t ＝3431++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4. ∴AC＝2234+ ＝5，CP 1＝ 12AC ＝2.5 ∴t＝34 2.51++ ＝9.5(秒) ③当PD ＝CD ＝3时，作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯，22129355PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ∴PC＝2PQ ＝185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形.3．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式；(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+；(3)203S =.【解析】 【分析】(1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，分别代入，利用待定系数法进行求解即可；(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)5m +，再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=， ∴B(0，，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，)分别代入，得05k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线解析式为y =+ (2)∵CP//OD ，OP//CD ，∴四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°， ∴PC=OD=5+m ，∠PCH=30°， 过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 PH=52m +，由勾股定理得)5m +， ∴S=12AB •CH=110(5)2222m m ⨯⨯+=+；(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°， ∴∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α， 在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ， ∵∠DAK=60°， ∴△ADK 是等边三角形， ∴AD=DK=PE ，∠ODK=∠APC ， ∵PC=OD ， ∴△PEC ≌△DKO ，∴OK=CE ，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α， ∠AKD= ∠APC=60° ， ∴∠OPK= ∠OKB ， ∴OP=OK=CE=CD ， 又∵∠ECD=60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∴CE=CD=DE ，连接OE ，∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ， ∴△OPE ≌△EDA ， ∴AE=OE ， ∠OAE=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，∵四边形ADCE 的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=172m-， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=，即22253517()()()222m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)， ∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ， （1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围； ②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）. 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．5．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）①求a的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值； 【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】 【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3， 解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4， ∴a 的值是﹣2或﹣4； ②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3 ∴a ＝﹣2舍去， ∴a ＝﹣4， ∴﹣4≤x ≤﹣3， ∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9. 【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.6．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ， 解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=， 解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．7．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2﹣5a +7）+4 （3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2+4x +3）＝3 【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2【解析】 【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t 代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a 2﹣5a ＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把t 换为a ．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x 2+4x ＝t 代入原方程，即得到关于t 的一元二次方程，得到t 的两个解后要代回去求出4个x 的解． 【详解】 （1）令+＝t ，则： 原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+＝（2）令a 2﹣5a ＝t ，则：原式＝（t +3）（t +7）+4＝t 2+7t +3t +21+4＝t 2+10t +25＝（t +5）2＝（a 2﹣5a +5）2 （3）令x 2+4x ＝t ，则原方程转化为：（t +1）（t +3）＝3t 2+4t +3＝3t （t +4）＝0∴t 1＝0，t 2＝﹣4 当x 2+4x ＝0时，x （x +4）＝0解得：x 1＝0，x 2＝﹣4当x 2+4x ＝﹣4时，x 2+4x +4＝0（x +2）2＝0解得：x 3＝x 4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．8．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根．（1）求弦AB 的长度；（2）计算S △AOB ；（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当S △POA =S △AOB 时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）．【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π． 【解析】试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；（2）作出△AOB 的高OC ，然后求出OC 的长度即可求出面积；（3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等．试题解析：（1）由题意知：OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根，∴OA+AB=﹣41-=4，∵OA=2，∴AB=2；（2）过点C作OC⊥AB于点C，∵OA=AB=OB=2，∴△AOB是等边三角形，∴AC=12AB=1，在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=3，∴S△AOB=12AB﹒OC=12×2×3=3；（3）延长AO交⊙O于点D，由于△AOB与△POA有公共边OA，当S△POA=S△AOB时，∴△AOB与△POA高相等，由（2）可知：等边△AOB的高为3，∴点P到直线OA的距离为3，这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1，∴∠BOP1=60°，∴此时点P经过的弧长为：1202180π⨯=43π，②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称，∴∠P2OD=60°，∴此时点P经过的弧长为：2402180π⨯=83π，③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称，∴∠P3OP2=60°，∴此时P经过的弧长为：3002180π⨯=103π，综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．9．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长为10．【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．10．如图，某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym （其中y ≥4），另两边的篱笆长分别为xm ．（1）求y 关于x 的函数表达式，并求x 的取值范围．（2）若仅用现有的11m 长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y ＝；1.5≤x ≤3；（2）长为8m ，宽为1.5m ．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式，结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围； （2）由篱笆的长可得出y ＝（11﹣2x ）m ，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
苏科版九年级上册数学第1章 一元二次方程 含答案
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A.(2x－2)(3x－4)=0 , ∴2x－2=0或3x－4=0B.(x+3)(x－1)=1 ,∴x+3=0或x－1=1 C.(x－2)(x－3)=2×3 , ∴x－2=2或x－3=3 D.x(x+2)=0 ,∴x+2=02、用配方法解一元二次方程x2－3＝4x，下列配方正确的是（）A.(x＋2) 2＝2B.(x－2) 2＝7C.(x＋2) 2＝7D.(x－2) 2＝13、是关于的一元一次方程的解，则（）A.-2B.-3C.4D.-64、用配方法解方程时，配方后所得的方程为（）A. B. C. D.5、定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（）A. 或B. 或C. 或D. 或6、关于的一元二次方程有一个实数根，则下面关于该方程的判别式的说法正确的是( ）A. B. C. D.无法确定7、关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的取值范围是（）A. B. 且 C. D. 且8、已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＜﹣2B.k＜2C.k＞2D.k＜2且k≠19、下列方程中没有实数根的是（）A.x 2+x-1=0B.x 2+8x+1=0C.x 2+x+2=0D.x 2-2 x+2=010、某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A.25(1＋x) 2＝64B.25(1＋x 2)＝64C.64(1－x) 2＝25 D.64(1－x 2)＝2511、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是（）A. B. 且 C. D. 且12、关于x的方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④抛物线的顶点在第四象限。
苏科版九年级上册数学第1章 一元二次方程 含答案
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是（）A. k＞-4B. 且C. 且D. k≤12、已知2是关于的方程的根，则的值为（）A.-4B.4C.2D.3、三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）．A.8B.8或10C.10D.8和104、已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. k＞﹣B. k＜C. k＞﹣且k≠0D. k＜且k ≠05、若（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A.m=±2B.m=2C.m=﹣2D.无法确定6、已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（）A.3B.4C.5D.67、菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（）A.10cmB.12 cmC.16cmD.12cm或16cm8、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.169、已知m＞n＞0，且m2+n2=4mn，则的值等于（）A. B. C. D.210、一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A.（x+4）2=17B.（x﹣4）2=17C.（x+4）2=15D.（x﹣4）2=1511、已知a、b、2分别为三角形三边，且a、b为方程(3x2-4x-1)(3x2-4x-5)=12的根，则三角形周长只可能为（）．A. 或B. 或C. 或D. 或12、已知方程2x2+4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1•x2的值等于（）A.-3B.-C.3D.13、制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，•现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（）．A.2 0%B.15%C.10%D.5%14、下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（）A. B. C. D.15、关于x的两个方程x2-x-2=0与有一个解相同，则a的值为（）A.−2B.−3C.−4D.−5二、填空题(共10题，共计30分)16、关于x的方程的一个根是＝0，则另一个根＝________.17、若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是________（写出一个即可）．18、某款式手机第一季度每部售价为900元,经两次降价后,第三季度每部售价为600元．设平均每次降价的百分率为x,则依题意列出方程为________ ．19、已知关于 x的一元二次方程的一个根为0 ，则________．20、一元二次方程x2﹣2x=0的解是________．21、已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为________．22、已知3是关于x的方程x2﹣2x﹣n＝0的一个根，则n的值为________.23、已知方程x²+mx+3=0的一个根是1，则m的值是________。
苏教版九年级上册一元二次方程错题集(有答案)
苏教版九年级上册一元二次方程错题集（有答案）一、单选题（共10题；共20分）1.设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（）A. 3B. 9C.D. 152.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣53.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 64.关于x的一元二次方程有两个实数根，那么实数k的取值范围是（）A. B.且 C. 且 D.5.若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（）A. 2007B. 2005C. ﹣2007D. 40106.如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（）A. 1B. 5C. 7D. 3或77.已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.已知为方程的两实根，则的值为（）A. B. －28 C. 20 D. 289.设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A. －2014B. 2014C. 2013D. －201310.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为（）.A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（共8题；共16分）11.如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式=________12.已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=________．13.附加题：（本题5分）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是________．14.设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=________．15.若是方程的两个实数根，且，则的值为________.16.在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程有两个相等的实数根，则该三角形的面积是________17.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=________秒时，△PCQ的面积等于8cm2．18.若分式的值为0，则x的值为________.三、解答题（共3题；共20分）19.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长20.关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．21.关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为、，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】A二、填空题11.【答案】202612.【答案】3913.【答案】m=1或m>214.【答案】1015.【答案】116.【答案】6或17.【答案】2或4或18.【答案】-2三、解答题19.【答案】1420.【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．21.【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞（2）解：存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：k=4。
九年级上册数学 一元二次方程易错题(Word版 含答案)
程，
，P 不返回，Q 返回，表示好 PB，CQ 的长，用面积公式列方程，
，两点都返回，表示好 PB，CQ 的长，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）
，
.
根据三角形的面积公式，得
，
即
，
整理，得
，
解得
，
.
故当 为 5 或 7 时，
的面积等于 35 .
（2）根据勾股定理，得
，
整理，得
，
解得
，
平方，把方程②分解因式，建立方程求 n，要注意 n 的值要使方程②的根是整数.
【详解】
若存在 n 满足题意.
设 x1，x2 是方程①的两个根，则 x1+x2=2n，x1x2= 3n 2 ，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2， 4
由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
①若 4n2+3n+2=-n+1，解得 n=- 1 ，但 1-n= 3 不是整数，舍.
九年级上册数学 一元二次方程易错题（Word 版 含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P、 Q 分 别从 A、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．
①当 x≥40 时， (x 24)480 20(x 40) 7680 ，
解得： x1 40, x2 48;
②当 x 40 时， (x 24)480 40(40 x) 7680，
完整word版-初三上学期数学错题集(一二)及答案
初三上学期数学错题集（一元二次方程）（一） 2012.09.09已打印1、若方程（m-2）x㎡-2+mx2=7是关于x的一元二次方程，则m的值为。
2、根据题意，列出方程：（不必求解，写出一般形式）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的平均增长率。
3、方程x2=0的实数根有（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个4、下列二次三项式中，是完全平方式的是（填序号）。
①9x2-12xy+4y2；②4y2-4y-1；③x2-25x+5；④2x2-4x+1；5、写出一个一元二次方程，使它的两根：一根是正数，另一根在-2与-1之间。
6、方程（x-2）(x+3)=6的解是（）A．x1=-4,x2=3 B．x1=2,x2=3C．x1=2,x2=-3 D．x1=4,x2=-37、用因式分解法解方程5（x+3)-2x（x+3)=0，可把它化为两个一元一次方程、求解。
初三上学期数学错题集（一元二次方程）（二）2012.09.15已打印1、解方程：（1）3y(y-1)2=2-2y （2）7 x2=21x （3）（x2+1）2-3(x2+1)-28=02、若△ABC的边长都是方程x2-10x+21=0的根，求△ABC的周长。
3、若△ABC 的边长都是方程x 2-7x+12=0的根，求△ABC 的周长。
4、已知P=157m-1,Q= m 2-158m(m 为任意实数)，则P 、Q 的大小关系为 （ ） A ．P<Q B. P=Q C. P>Q D.不能确定 5、关于x 的方程（k+1）x 2+2(k+1) x+k=0无实数根，则k 的取值范围是 。
6、已知a 是整数，满足⎩⎨⎧>->+023013a a 试解关于x 的一元二次方程x 2-4=x(ax-3).7、k 为何值时，关于x 的方程（k-1）x 2-(2k+1) x+k+1 = 0（1）有一解？（2）有两个不相等的实数根？8、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+1) x+k(k+1) = 0的两个实数根，第三边BC 的长为5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的边长。
九年级数学一元二次方程易错题(Word版 含答案)
九年级数学一元二次方程易错题（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析【解析】【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒，BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=，即54t -=，1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间，1.54AM t ==，4CD =，AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ，90ABC BCD ∠=∠=︒，180ABC BCD ∴∠+∠=︒，//AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，在AOM 和COD △中，AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-，ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．3．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，∴四边形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．4．阅读以下材料，并解决相应问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程42210x x -+=，就可以令21x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：……………………………………（1）利用换元法解方程：()()222312313+-++-=x x x x（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c【答案】（1）3172x -+=或3172x -= 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2【解析】【分析】（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可．【详解】（1）解：令t=x 2+3x-1则原方程为：t 2+2t=3解得：t=1 或者 t=-3当t=1时，x 2+3x-1=1 解得：3172x -+= 或3172x -= 当t=-3时，x 2+3x-1=-3解得：x=-1或x=-2 ∴方程的解为：3172x -+= 或3172x -= 或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n =n-1(1)(2)2n n n b --= (2)(3)2n n n c --= ∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1=（n2-5n+4）2+2（n2-5n+4）+1=（n2-5n+5）2【点睛】本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．5．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题6．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x 千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用7．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣18．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．9．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．10．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的顶点C 的坐标是（6，4），动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO 运动，当Q 到达O 点时，P ，Q 同时停止运动，运动时间是t 秒（t ＞0）．（1）如图1，当时间t ＝ 秒时，四边形APQO 是矩形；（2）如图2，在P ，Q 运动过程中，当PQ ＝5时，时间t 等于 秒；（3）如图3，当P ，Q 运动到图中位置时，将矩形沿PQ 折叠，点A ，O 的对应点分别是D ，E ，连接OP ，OE ，此时∠POE ＝45°，连接PE ，求直线OE 的函数表达式．【答案】（1）t ＝2；（2）1或3；（3）y ＝12x ． 【解析】【分析】 先根据题意用t 表示AP 、BQ 、PC 、OQ 的长．（1）由四边形APQO 是矩形可得AP ＝OQ ，列得方程即可求出t ．（2）过点P 作x 轴的垂线PH ，构造直角△PQH ，求得HQ 的值．由点H 、Q 位置不同分两种情况讨论用t 表示HQ ，即列得方程求出t ．根据t 的取值范围考虑t 的合理性． （3）由轴对称性质，对称轴PQ 垂直平分对应点连线OC ，得OP ＝PE ，QE ＝OQ ．由∠POE ＝45°可得△OPE 是等腰直角三角形，∠OPE ＝90°，即点E 在矩形AOBC 内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t（1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5=∴HQ3①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝43∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．。
数学九年级上册 一元二次方程易错题(Word版 含答案)
数学九年级上册 一元二次方程易错题（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式；(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+(2)S=5325322m +；(3)203S =. 【解析】 【分析】(1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)352m +，再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=53，∴B(0，53)，设AB解析式为y kx b=+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得0553k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴353kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线解析式为353y x=-+；(2)∵CP//OD，OP//CD，∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=52m+，由勾股定理得CH=()35m+，∴S=12AB•CH=135325310(5)2m m⨯⨯+=+；(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，∴∠PEC=∠ADC，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，∵∠DAK=60°，∴△ADK是等边三角形，∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，∵PC=OD，∴△PEC≌△DKO，∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，∴∠OPK= ∠OKB，∴OP=OK=CE=CD，又∵∠ECD=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=DE ，连接OE ，∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ， ∴△OPE ≌△EDA ， ∴AE=OE ， ∠OAE=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，∵四边形ADCE 的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=172m-， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=， 即22253517()()()22m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)， ∴S=153253+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长． 【答案】（1）k ＞34；（215【解析】 【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0， ∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0， 设方程的两个根为m ，n ， ∴m ＋n ＝5，mn ＝5，==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x1=30，x2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80% 400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．4．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ的长度等82cm？（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？【答案】（1）t为5或7；（2）t为45或4；（3）t为4或16【解析】【分析】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【详解】解：（1），.根据三角形的面积公式，得，即，整理，得， 解得，.故当为5或7时，的面积等于35.（2）根据勾股定理，得，整理，得，解得，.故当为或4时，的长度等于.（3）①当时，，，由题意，得，解得：，（舍去）.②当时，，，由题意，得，次方程无解.③当时，，， 由题意，得，解得：（舍去），.综上所述，当为4或16时，的面积等于. 【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间界点，才能正确的表示PB ，CQ 的长．5．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】若存在n满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=324n+-，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14 (舍)，综上所述，n=0.6．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.7．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG•G P，∴GP=16，∵△CPE与△PCQ是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，∴Q（10，﹣12），如图②作MN∥x轴，交EG于点N，EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴CE=15，∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3），考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.8．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．9．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．10．如图1，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC ⊥s 时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为1372-cm 2． 【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出AP AB =AQ AC ，代入得出10210t -=28t ，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案. （3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ 、OD 、和PD 的长度；然后在Rt△PQD 中，根据勾股定理列出方程（8-185t ）2-（6-65t ）2=（2t ）2，求得时间t 的值；最后根据菱形的面积等于△AQP 的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t ，则AP=10﹣2t ． ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC， ∴AP AB =AQ AC ， 即10210t -=28t ， 解得：t=209, ∴当t=209时，PQ∥BC. （2）如答图1所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =． 216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D ，即COD ∆，解得：OC ，h ，∴QD=AD﹣AQ=t ．在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，即h ，化简得：13t 2﹣90t+125=0，解得：t 1=5，t 2=t ，∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=52． 由（2）可知，S △AQP =54∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×258=32+cm 2．所以存在时刻t ，使四边形cm 2． “点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.。
九年级上册数学 一元二次方程易错题(Word版 含答案)
九年级上册数学 一元二次方程易错题（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可； （2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴矩形的对角线长为：()222215m n m n mn +=+-=. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，得出BE ＝OB−OE ＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m 2−4m （m ＞8）即可；b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，BE ＝OE−OB ＝8−m ，由三角形的面积公式得出S ＝−0.5m 2＋4m （0＜m ＜8）即可；c 、当点B 与E 重合时，即m ＝8，△BCD 不存在；②当S ＝6，m ＞8时，得出0.5m 2−4m ＝6，解方程求出m 即可；当S ＝6，0＜m ＜8时，得出−0.5m 2＋4m ＝6，解方程求出m 即可．【详解】（1）∵点A （0，8），∴AO=8，∵△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得△ACD ，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C （8，8）， 故答案为（8，8）；（2）①延长DC 交x 轴于点E ，∵点B （m ，0），∴OB=m ，∵△AOB 绕点A 逆时针旋转90°得△ACD ，∴DC=OB=m ，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE 是矩形，∴DE ⊥x 轴，OE=AC=8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，如图1所示：则BE=OB ﹣OE=m ﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m （m ﹣8），即S=0.5m 2﹣4m （m ＞8）； b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，如图2所示：则BE=OE ﹣OB=8﹣m ，∴S=0.5DC•BE=0.5m （8﹣m ），即S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）； c 、当点B 与E 重合时，即m=8，△BCD 不存在；综上所述，S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②当S=6，m ＞8时，0.5m 2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27； 当S=6，0＜m ＜8时，﹣0.5m 2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B 的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值．【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根， ()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m =>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.5．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216- 【解析】【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4； （2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形，又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形，∴DF=BF=BC=4，又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE∴BH=BF=4，在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，∵BE=BE ，BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103 S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ， 则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m 整理得：223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0∴216≥y即△ABE 的面积最小值为16216．【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0， 解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．7．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A 型空气净化器和B 型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B 型空气净化器的进货量不少于A 型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.8．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．9．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在； 探究四：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为n ，所以EF =FG =GH =HE =n ，设EB =x ，则BF =n ﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ，∴BF =AE =n ﹣x ，在Rt △AEB 中，由勾股定理，得，x 2+（n ﹣x ）2=12，整理得2x 2﹣2n x +n ﹣1=0，b 2﹣4ac =8﹣4n ＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .（1）当32BG = 时，求AE 的长；（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC⊥时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，当FG BC⊥时，点E与点B重合，此时四边形AEGF是正方形，∴折痕226662EF=+=.（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC时，如图2，过F作FH⊥CG于H，则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH在Rt△CFH中∵CF2=CH2+FH2∴x2=62+（10-x）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。
苏科版九年级上册数学第二次月考易错试题汇总(含答案)
苏科版九年级上册数学第二次月考易错试题汇总（含答案）一、选择题1．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－32．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80°3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ） A ．42 B ．45 C ．46D ．484．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =-5．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．30B ．42︒C ．46︒D ．52︒6．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A ．方差 B ．平均数C ．众数D ．中位数7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．168．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．169．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 10．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．611．sin60°的值是( ) A ．B ．C ．D ．12．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-13．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1214．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的15．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．23(1)3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++二、填空题16．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．17．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .18．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.19．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．20．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=-1，x 2=2 ，则二次函数y=x 2+mx+n 中，当y ＜0时，x 的取值范围是________； 21．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，则tanA 等于 ． 22．如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分，曲线BC 是双曲线ky x=的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程，形成一组波浪线，点P （2018，m ）与Q （2025，n ）均在该波浪线上，则mn ＝_____．23．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．24．点P 在线段AB 上，且BP APAP AB=.设4AB cm =，则BP =__________cm .25．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.26．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．27．一元二次方程x 2﹣3x+2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝______．28．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”） 29．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．30．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．三、解答题31．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点，取EF 中点G ，连接DG 并延长交AB 于点M ，延长EF 交AC 于点N 。
苏科版九年级上册数学第1章 一元二次方程 含答案
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若关于x的一元二次方程（k-1）x2+x+2=0有实数根，则k应满足( )A.k≤B.k≤且k≠1C.k≤且k≥0D.0≤k≤且k ≠12、下列方程中，没有实数根的是 ( )A. B. C. D.3、已知，则的值是（）A.-3B.4C.-3或4D.3或-44、若关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（a﹣b）x+c﹣a=0有两个相等的实数根，则a、b、c之间的关系是（）A.a=B.b=C.c=D.a+b+c=05、关于x的方程x2+4x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可能为（）A.3B.4C.5D.66、方程3x2-4x+1=0 （）A.有两个不相等的实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根7、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（）A.10%B.15%C.20%D.25%8、若α、β为实数，且|α+β-3|+|αβ-2|=0，则下列方程中以α、β为根的一元二次方程正确的是（）A.x 2+3x+2=0B.x 2-3x-2=0C.x 2+3x-2=0D.x 2-3x+2=09、我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（）A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想10、二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠011、若m为不等于零的实数，则关于x的方程x2+mx﹣m2=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不等的实数根C.有两个实数根 D.无实数根12、用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0，原方程应变形为( )A.( x+1) 2＝3B.( x﹣1) 2＝3C.( x+1) 2＝1D.( x﹣1) 2＝113、用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，经过配方，得到（）A.（x+1）2=3B.（x﹣1）2=2C.（x﹣1）2=3D.（x﹣2）2=514、方程x2＝x的解为（）A.x＝1B.x＝±1C.x＝0或1D.x＝015、关于的方程ax2+bx+c=2与方程(x+1)(x-3）=0的解相同，则a-b+c的值等（）A.-2B.0C.1D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是________。
苏科版九年级上册数学第1章 一元二次方程 含答案
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则p、q的值分别是（）A.-3、2B.3、2C.-2、3D.2、32、已知关于x的一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0有一根为0，则k=（）A.1B.-1C.±1D.03、方程的解是（）A.4B.±2C.2D.-24、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k > 1B.C.k < 1D.k < 1且5、下列关于的方程中，有实数根的是（）A.x²+2x+3=0B.C.D. +3=06、爷爷的生日晚宴上，餐桌上大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有（）人参加了这次宴会？A.8B.9C.10D.117、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到比翻两番．在本世纪的前20年（2001～），要实现这一目标，以10年为单位计算，设每10年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（）A.（1+x）2=2B.（1+x）2=4C.1+2x=2D.（1+x）+2（1+x）=48、在下列各式中：①x2+3=x②2x2﹣3x=2x（x﹣1）﹣1③3x2﹣4x﹣5④x2= +2是一元二次方程的共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个9、方程（x﹣1）（x+3）=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值为（）A.1、2、﹣15B.1、﹣2、﹣15C.﹣1、﹣2、﹣15D.﹣1、2、﹣1510、某超市一月份的营业额为100万元，三月份的营业额为144万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）A.10%B.15%C.20%D.25%11、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分率为（）A.10%B.19%C.9.5%D.20%12、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A.k＞B.k≥C.k＞且k≠1D.k≥且k≠113、下面各对数值中，属于方程x2﹣3y=0的解的一对是（）A. B. C. D.14、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是（）A. B. 且 C. D. 且15、下列方程有实数根的有（）①x2+x+4=0；②x2+4x+4=0；③x2+4x﹣2=0．A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(共10题，共计30分)16、若0是关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4=0的一个根，则k=________．17、某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为________ ．18、方程（x﹣1）2=4的根是________．19、已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两根x1、x2满足x12+x22=14，则m=________20、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________.21、如果关于的方程，的两个实数根分别为，，那么的值为________.22、一元二次方程x2=4x的根是________．23、商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若售价单价为________元，商场每天盈利达1500元；该商场销售这种商品日最高利润为________元．24、方程（x﹣1）（x+2）=0的解是________．25、若代数式的值为0，则x的值是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：（y﹣1）2+3（y﹣1）=0．27、关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．28、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件每件商品？应定价多少？29、小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a 的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．30、已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、B3、B4、D5、B6、C7、B8、B9、A10、C11、A12、C13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
第一章一元二次方程易错题练习苏科版九年级数学上册
一元二次方程易错题练习1．某钢铁厂一月份的产量为5000t ，三月份上升到7200t ，则这两个月平均增长的百分率为（ ） A ．12%B ．2%C ．1.2%D ．20%2．若m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣2021＝0的两个实数根，则2m +2n ﹣mn 的值为（ ） A ．2021B ．2019C ．2017D ．20153．若方程x 2﹣22x +1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22的值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．24．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方20000元下降到3月份的每平方16200元，且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，则4月份的房价单价为每平方（ ） A ．14380元 B ．14300元C ．14400元D ．14580元5．已知M ＝57t ﹣2，N ＝t 2﹣53t （t 为任意实数），则M ，N 的大小关系为（ ） A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定6．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关7．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ≥﹣41 B ．k ≥﹣41且k ≠0 C ．k ＜﹣41 D ．k ＞﹣41且k ≠09．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，AB 的长是方程x 2﹣9x +20＝0的一个根，则△ABC 的周长为（ ） A ．16B ．16或18C ．17D ．1810．已知关于x 的不等式组()a x x x x 21213223≤⎪⎩⎪⎨⎧+-->有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有实数根的所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．3B ．5C ．9D ．1011．某兴趣学习小组组织一次跳棋比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28场比赛．设参赛的人数为x ，则x 满足的关系式为（ ） A ．x （x ﹣1）＝28 B ．x （x +1）＝28C ．21x （x +1）＝28 D ．21x （x ﹣1）＝28 12．若（a 2+b 2）（a 2+b 2﹣3）＝4，则a 2+b 2的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．﹣1D ．4或﹣113．已知α，β是方程x 2+2017x +1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（ ） A ．4B ．9C ．12D ．1514．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：m ⊗n ＝⎩⎨⎧<++≥++时，，当时，当n m n m n n m n m m 22,，若x ⊗（﹣2）＝10，则实数x 等于（ ） A ．3B ．﹣4C ．8D ．3或815．已知关于x 的一元二次方程x 2+4x +m ﹣3＝0有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ） A ．16B ．13C ．10D ．716．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12﹣2x 1＝1，x 22﹣2x 2＝1，那么x 12+x 22等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．617．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x 2﹣7x +k ＝0的两个根，则k 的值为（ ） A ．10B ．449C ．10或449 D ．2718．关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k +2）x +k 2+2k ＝0有两个实数根x 1，x 2，则代数式x 12+x 22﹣x 1x 2+1的最小值是（ ） A ．﹣8B ．﹣5C ．1D ．219．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+4（x 2﹣2x +1）﹣5＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣5或1 B ．﹣1或5 C ．1 D ．5 A ．2sB ．3sC ．4sD ．5s20．已知：m 2+2m ﹣4＝0，n 2+2n ﹣4＝0，则nn mn 4++的值为 ． 21．关于x 的方程x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）＝0，则k 的值是 ．22．若m 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m 2﹣m ）（m ﹣m 5+1）的值为 ． 23．已知a 是方程x 2﹣2021x +1＝0的一个根，则a 3﹣2021a 2﹣120212+a ＝ ．24．设m ，n 为方程x 2+4x +2＝0的两个实数根，则m 2﹣mn +n 2＝ ，m 3+14n +50＝ ． 25．已知关于x 的一元二次方程kx 2+x ﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足（x 1+x 2）2+x 1•x 2＝4，求k 的值．26．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣m ）2+6x ＝4m ﹣3有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x 1与x 2若x 1x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣7，求m 的值．27．已知关于x 的方程x 2﹣4x +k +1＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1，x 2，且2155x x +＝x 1x 2﹣1，求实数k 的值．28．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x 1，x 2，若21x 1＝3﹣21x 2，求方程的两个根．29．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2m ﹣1＝0有x 1，x 2两实数根． （1）若x 1＝1，求x 2及m 的值；（2）是否存在实数m ，满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝56m ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．30．若方程x 2+（m ﹣4）x +413﹣m ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，且x 1+x 2＞﹣3，x 1x 2＜421，则m 的取值范围为多少？。
数学九年级上册 一元二次方程易错题(Word版 含答案)
数学九年级上册一元二次方程易错题（Word版含答案）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 47758．【解析】【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝12×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝12t2+12×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79，∴12t2+12×6×（6﹣t）＝18×79，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣12t2＝72t2＝8，解得：t1＝477，t2＝﹣477（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝12×6×6﹣12t2﹣12（6﹣2t）2＝12t﹣25t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝45（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝126×6﹣12t2＝8，解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），综上，t的值为477或25时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克, b元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ； （2）逆向发散:当运动时间为2s 时，P ，Q 两点的距离为多少？当运动时间为4s 时，P ，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P 沿着AO→OC→CB 移动，点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点Q 从点C 移动到点B 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ 的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，∴四边形APEB是矩形，∴PE＝AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=, ∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形， ∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4 ∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4， 根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=, P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ， 当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t-⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．5．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．【详解】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，解得y≤20．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．6．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ的长度等2cm？（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？【答案】（1）t为5或7；（2）t为45或4；（3）t为4或16【解析】【分析】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【详解】解：（1），.根据三角形的面积公式，得，即，整理，得，解得，.故当为5或7时，的面积等于35.（2）根据勾股定理，得，整理，得，解得，.故当为或4时，的长度等于.（3）①当时，，，由题意，得，解得：，（舍去）.②当时，，，由题意，得，次方程无解.③当时，，，由题意，得，解得：（舍去），.综上所述，当为4或16时，的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间界点，才能正确的表示PB ，CQ 的长．7．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0． 解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0． 则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣18．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程()2x 31x 30-++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ：AC=1：2（1）求A 、C 两点的坐标；（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解()2x 31x 30-++=得（x ﹣3）（x ﹣1）=0，解得x 1=3，x 2=1。
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苏教版九年级上册一元二次方程错题集（有答案）
一、单选题（共10题；共20分）
1.设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（）
A. 3
B. 9
C.
D. 15
2.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则
+ 的值是（）
A. 3
B. ﹣3
C. 5
D. ﹣5
3.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
4.关于x的一元二次方程有两个实数根，那么实数k的取值范围是（）
A. B.
且 C. 且 D.
5.若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（）
A. 2007
B. 2005
C. ﹣2007
D. 4010
6.如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（）
A. 1
B. 5
C. 7
D. 3或7
7.已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.已知为方程的两实根，则的值为（）
A. B. －28 C. 20 D. 28
9.设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）
A. －2014
B. 2014
C. 2013
D. －2013
10.已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为（）.
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
二、填空题（共8题；共16分）
11.如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式
=________
12.已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=________．
13.附加题：（本题5分）
关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是________．14.设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=________．
15.若是方程的两个实数根，且，则的值为
________.
16.在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程有两个相等的实
数根，则该三角形的面积是________
17.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=________秒时，△PCQ的面积等于8cm2．
18.若分式的值为0，则x的值为________.
三、解答题（共3题；共20分）
19.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长
20.关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
21.关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为、，存不存在这样的实数k，使得？若存在，
求出这样的k值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
二、填空题
11.【答案】2026
12.【答案】39
13.【答案】m=1或m>2
14.【答案】10
15.【答案】1
16.【答案】6或
17.【答案】2或4或
18.【答案】-2
三、解答题
19.【答案】14
20.【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
21.【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，
解得：k＞
（2）解：存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：k=4。