九年级数学上册错题集

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九年级上册数学错题集70道

九年级上册数学错题集70道一、一元二次方程部分（1 10题）1. 若关于公式的一元二次方程公式的常数项为公式，求公式的值。

解析：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为公式，即公式，解得公式。

又因为常数项公式，分解因式得公式，解得公式或公式。

综合前面公式的条件，所以公式。

2. 用配方法解方程公式。

解析：在方程两边加上一次项系数一半的平方，即公式。

变形为公式，移项得到公式。

然后开平方得公式，解得公式。

3. 解方程公式。

解析：对于方程公式，分解因式得公式。

则公式或者公式，解得公式或者公式。

4. 关于公式的方程公式的根的情况是（）A. 有两个不相等的同号实数根B. 有两个不相等的异号实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根解析：对于一元二次方程公式，判别式公式，在方程公式中，公式，公式，公式。

则公式。

因为公式，所以公式，方程有两个不相等的实数根。

设方程的两根为公式，公式，根据韦达定理公式，两根异号，所以方程有两个不相等的异号实数根，答案为B。

5. 若公式是方程公式的一个根，则公式____。

解析：把公式代入方程公式，得到公式，即公式。

6. 已知一元二次方程公式的两根是公式，公式，则公式____。

解析：由韦达定理可知，在方程公式中，公式，公式。

公式。

把公式，公式代入得公式。

7. 解方程公式。

解析：移项得公式。

提取公因式公式得公式，即公式。

解得公式或公式。

8. 已知关于公式的方程公式有两个不相等的实数根。

(1)求实数公式的取值范围；解析：对于一元二次方程公式，判别式公式，在方程公式中，公式，公式，公式。

公式展开得公式合并同类项得公式。

因为方程有两个不相等的实数根，所以公式，即公式，解得公式。

(2)设方程的两个实数根分别为公式，公式，是否存在这样的实数公式，使得公式？若存在，求出这样的公式值；若不存在，请说明理由。

解析：由韦达定理得公式，公式，所以公式，公式同号。

当公式，公式时，公式。

公式。

把公式，公式代入得公式。

九年级上册数学易错题目汇总,初三数学易错题集锦及答案解析

九年级上册数学易错题汇总1. 关于X 的方程¥+21-7〃 = 0有两个相等的实数根，则，〃的值是（）A.m = 1 = - 1 = 2 D.〃，=-2【考点】根的判别式.【解答】由题意可知：△=4+4m = 0,in = - 1,故选：B.2. 下列关于X 的方程是一元二次方程的是（）A./+1 =0B.x+1 = 1X （x+l ）（x-l ） *七€+1故本选项符合题意;C. ”+Z ）x+f = O D.【考点】一元二次方程的定义.【解答】刀、是一元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；。

、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A.3.一个容器盛满纯药液63千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液剩下28千克，那么每次倒出的药液是（）A.20千克 B.21千克 C.22千克 D.175千克【考点】一元二次方程的应用.【解答】设每次倒出药液x升，63-x依题意，得：士寻二1-咎63 63整理，得：一i26r+2205=0,解得：XI二21,.K2二105（不合题意，舍去）.故选:B.4.已知关于x的一元二次方程（4 1）r—2x+2=0有两个不相等的实数根,则次的取值范围值是（）A.k＜旦B.k＜2CA〈岂且《兴1DAW岂且上尹L2222［考点】一元二次方程的定义；的判别式.【解答】根据题意得：△二〃-4w=4・8（*1）=12.8左＞0,且X-1产0,:上且左乂1./'JT得故选：C.5.—元二次方程寸一6x一1=0配方后可变形为（）A.(X-3)2=8B.(x-3)2=10 c.(x+3)J8 D.(x+3)2 =10【考点】解一元二次方程•配方法.【解答】・.・*2-6*-1=0,•*-x2-6x=1,.•-（x-3）2=10,故选：8.6.某商品原售价为60元，4月份下降了20%,从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为.「则的值为（）A.15% B.25% C.20% D.30%【考点】一元二次方程的应用.【解答】设5、6月份每个月的平均增长率为X,由题意，得60（1-20%）（1+x）2=755得X=0.25二25%（舍去负值）牧选：B.7.一元二次方程X2-5.X+1=。

浙教版九年级上册数学错题整理集锦(解析版)

错题集锦解析版一、选择1、已知△ABC 和△DEF ，下列条件中一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（） A ． B ． C ．且∠A ＝∠ED ．且∠B ＝∠E【答案】B ．2、已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（） A ．＝2 B ．∥，∥ C ．||＝|| D ．＝，＝2【答案】C ．3、P 是线段AB 上一点，AP >BP ，且满足2AP AB BP =⨯.下列各式不正确的是（） A .51AP AB -= B . 51BP AP -= C . 51BP AB -= D .35BP AB - 【答案】C4、在△ABC 中,D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似,这样的直线可以作（）A . 2条B . 3条C . 4条D . 5条【答案】C5、在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，则下列结论中正确的（） A ．AB AD AC ⋅=2B .BD AD CD ⋅=2C .BD AB BC ⋅=2B .BC AC AD CD ⋅=⋅答案：D6、如图，已知△ABC和△DEF，点E在BC边上，点A在DE边上，边EF和边AC相交于点G．如果AE=EC，∠AEG=∠B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△DEF与△ABC 一定相似的是（）（A）AB DEBC EF=；（B）AD GFAE GE=；（C）AG EGAC EF=；（D）ED EGEF EA=．二、填空题7、如图∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝．【解答】解：∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD＝AB：BC∴BC：BD＝（AD+BD）：BC即BC：4＝（2+4）：BC∴BC＝28、如图，已知点O是△ABC的重心，那么S△BOC：S△ABC＝．【解答】解：延长BO交AC于D，∵点O是△ABC的重心，∴AD ＝DC ，BO ＝2OD ，∴S △ADB ＝S △BDC ＝S △ABC ，S △BOC ＝2S △ODC ， ∴S △BOC ＝S △BDC ， ∴S △BOC ：S △ABC ＝1：3，故答案为：1：3．9、若直角三角形的三边长为3、4、5，那么这个直角三角形的重心到斜边中点的距离为__________ ．答案：35 10、如果一个菱形的边长为10,某一内角的正切为 34,则这个菱形的面积为. 答案：8011、如图,矩形EFGH 内接于△ABC,BC AD 于点D,交EH 于点M,若BC=8cm,AD=8cm,EH=3EF,EH=_________cm. 答案：12、如图,△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6),点M为OB的中点,以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A'OB',点M'为OB'的中点,则MM'的长为. 答案 2.5或7.5解析由A,B,O三点坐标知△AOB为直角三角形,由勾股定理得OB=10,因为M为OB的中点,所以OM=5,由题意及位似图形的性质可知位似图形可以与原图形在位似中心同一侧或异侧,当位似图形与原图形在位似中心的同侧时,点B'与点M重合,点M'为OB'的中点,所以OM'=2.5,所以MM'=5-2.5=2.5;当位似图形与原图形在位似中心的异侧时,MM'=5+2.5=7.5,所以MM'的长为2.5或7.5.三、简答题13、如图，将平行四边形ABCD的边BC延长至点E，使CE＝BC，点F为边AD的中点，连接AE、BF，AE与BF相交于点G，设，，试直接用向量、表示向量、和．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵CE＝BC，∴＝＝＝，∵AF＝FD，∴＝，∴＝+＝﹣+＝+＝+2∵AF∥BE，∴＝＝，∴＝＝﹣（﹣+）＝﹣．14、如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且AE＝3，AC＝6，AD＝2，AB＝4．（1）求证：DE∥BC；（2）若BC＝5，求ED的长．【解答】证明：（1）∵AE＝3，AC＝6，AD＝2，AB＝4，∴，∴，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴△EAD∽△CAB，∴，∵BC＝5，∴，∴ED＝2.5．15、如图所示，在直角梯形ABCD 中90ADC ∠=︒，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，DFC AEB ∠=∠ （1）求证：ADF ∆∽CAE ∆；（2）当AD=8，DC=6，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点时。

九年级上册数学期末精选试卷易错题(Word版含答案)

九年级上册数学期末精选试卷易错题（Word 版含答案）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，4,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒43个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ∆为等腰三角形；(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！【答案】（1）（4，4），（43t ，0）；（2）1101-，4；（3）存在，3109t【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可；（2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求解，即可得出结果；（3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =，则可得224BPx ，43DPx ，453DF,利用1122BDPS DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。

【详解】解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒43个单位长度运动，P 点运动时间为t ，∴P 点坐标为（43t ，0），（2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴4OB =,43OD =, 由勾股定理有：22224441033DB OBOD, 当BDP ∆为等腰三角形时， ①如图所示，当BDBP 时，OD OP =,∴P 点坐标为（43，0）, ∴1t =②如图所示，当BD DP =时，∵4103DB ，OP DP OD∴44410101333OP ,∴101t③如图所示，当BP DP =时，设P 点坐标为：（x ，0）则有：2224BP x，2243DPx， ∴222443xx，解之得：163x = ∴P 点坐标为（163，0）, ∴4t =综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ∆为等腰三角形；（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。

【数学】九年级上册数学易错题汇总

九年级（上）易错题汇总1.关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A.m＝1B.m＝﹣1C.m＝2D.m＝﹣2【考点】根的判别式.【解答】由题意可知：△＝4+4m＝0，∴m＝﹣1，故选：B.2.下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A.x2+1＝0B.x+＝1C.ax2+bx+c＝0D.（x+1）（x﹣1）＝x2+x+1【考点】一元二次方程的定义.【解答】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A.3.一个容器盛满纯药液63千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液剩下28千克，那么每次倒出的药液是（）A.20千克B.21千克C.22千克D.175千克【考点】一元二次方程的应用.【解答】设每次倒出药液x升，依题意，得：＝1﹣，整理，得：x2﹣126x+2205＝0，解得：x1＝21，x2＝105（不合题意，舍去）.故选：B.4.已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围值是（）A. B. C.k＜且k≠1D.k≤且k≠1【考点】一元二次方程的定义；的判别式.【解答】根据题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣8（k﹣1）＝12﹣8k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜且k≠1.故选：C.5.一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（）A.（x﹣3）2＝8B.（x﹣3）2＝10C.（x+3）2＝8D.（x+3）2＝10【考点】解一元二次方程﹣配方法.【解答】∵x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣6x＝1，∴（x﹣3）2＝10，故选：B.6.某商品原售价为60元，4月份下降了20%，从5月份起售价开始增长，6月份售价为75元，设5、6月份每个月的平均增长率为x，则x的值为（）A.15% B.25% C.20% D.30%【考点】一元二次方程的应用.【解答】设5、6月份每个月的平均增长率为x，由（1+x）2＝75题意，得60（1﹣20%）解得x＝0.25＝25%（舍去负值）故选：B.7.一元二次方程x2﹣5x+1＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定【考点】根的判别式.【解答】由题意可知：△＝25﹣4＝21＞0，故选：A.8.若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b 的值是（）A.2011B.2015C.2019D.2020【考点】一元二次方程的解.【解答】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019.故选：C.9.为执行“均衡教育”政策，某区2018年投入教育经费7000万元，预计到2020年投入2.317亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A.7000（1+x2）＝23170B.7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170C.7000（1+x）2＝23170D.7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝2317【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解答】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意得，7000（1+x）2＝23170.故选：C.10.已知二次函数y＝ax2+bx+3自变量x的部分取值和对应函数值y如表：x…﹣2﹣10123…y…﹣503430…则在实数范围内能使得y+5＞0成立的x取值范围是（）A.x＞﹣2B.x＜﹣2C.﹣2＜x＜4D.x＞﹣2或x＜4【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】∵y+5＞0∴y＞﹣5观察表中数据可得该二次函数的对称轴为x＝1∵1﹣（﹣2）＝3，1+3＝4∴当x＝﹣2时的函数值与当x＝4时的函数值相等∵x＝﹣2时，y＝﹣5∴x＝4时，y＝﹣5观察表中数据，可知函数为开口向下的二次函数∴当﹣2＜x＜4时，y＞﹣5，即y+5＞0故选：C.11.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A.abc＞0B.b＝2aC.9a+3b+c＜0D.8a+c＝0【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故A、B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0）∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，故选：D.12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（）A.①③B.①③④C.①②③D.①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②当x＝时，y＝0，即a+b+c＝0，∴a+2b+4c＝0，∴a+4c＝﹣2b，∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，所以②正确；所，③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0）以与x轴的另一个交点为（﹣，0），当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，∴25a﹣10b+4c＝0.所以③正确；④当x＝时，a+2b+4c＝0，又对称轴：﹣＝﹣1，∴b＝2a，a＝b，b+2b+4c＝0，∴b＝﹣c.∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，∴3b+2c＜0.所以④错误.故选：C.13.抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A.y＝3（x+2）2﹣1B.y＝3（x﹣2）2+1C.y＝（x﹣2）2﹣1D.y＝3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换.【解答】抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛，物线顶点坐标为（﹣2，﹣1）所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1.故选：A.14.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y，则下面的四个结论，轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）其中正确的个数为（）①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当y＞0时，﹣1＜x＜4A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点.，对称轴为x＝1，则点A（3，0），【解答】点B坐标为（﹣1，0）①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，故①正确，符合题意；②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，正确，符合题意；③a＜0，c＞0，故ac＜0，故③错误，不符合题意；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④错误，不符合题意；故选：B.15.如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，则下列说法：①bc＜0，②0＜b＜4，③AB＝4，④S△ABD＝8其中正确的结论有（）A.①②B.②③C.②③④D.①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点.【解答】①a＜0，则b＞0，c＞0，故cb＞0，故①错误，不符合题意；②c﹣＝4，而1＜c＜2，故0＜2＜b＜2＜4，故正确，符合题意；③函数的表达式为：y＝﹣（x﹣h）2+4，故x＝h±2，故AB＝x2﹣x1＝4，正确，符合题意；④S △ABD＝×AB×y D＝8，正确，符合题意；故选：C.16.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【考点】轴对称图形；中心对称图形.【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D.17.如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（）A.10°B.15°C.20°D.30°【考点】旋转的性质.【解答】∵在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AB′C′，∴∠CAC′＝40°，∠AC′B′＝∠ACB＝80°，AC＝AC′，∴∠AC′C＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CC′B′＝∠AC′B′﹣∠AC′C＝10°，故选：A.18.下列说法正确的是（）A.成中心对称的两个图形全等B.全等的两个图形成中心对称C.成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称D.关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称【考点】全等图形；轴对称的性质；轴对称图形；中心对称图形.【解答】A.成中心对称的两个图形全等，故本选项正确；B.全等的两个图形不一定成中心对称，故本选项错误；C.成中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，故本选项错误；D.关于某条直线成轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心对称，故本选项错误；故选：A.19.在平面直角坐标系中，有A（2，﹣1），B（0，2），C（2，0），D（﹣2，1）四点，其中关于原点对称的两点为（）A.点A和点BB.点B和点CC.点C和点DD.点D和点A【考点】关于原点对称的点的坐标.，D（﹣2，1）横纵坐标符号相反，【解答】∵A（2，﹣1）∴关于原点对称的两点为点D和点A.故选：D.20.如图，P是正三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P'AB.给出下列四个结论：①PP'＝6，②AP2+BP2＝CP2，③∠APB＝150°；④S △ABC＝36+25.正确结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质.【解答】连接PP′，过点A作AD⊥BP于点D，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AP'B，∴AP＝AP'，P'B＝PC＝10，∵∠P'AP＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝6，故①正确；∵PB＝8，∴P'B2＝PB2+P'P2，∴△PP'B是直角三角形，AP2+BP2＝CP2，故②正确∴∠P'PB＝90°，∵∠P'PA＝60°，∴∠APB＝150°，故③正确；∴∠APD＝30°，∴AD＝AP＝3，PD＝3，∴BD＝8+3，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝100+48，∴S△ABC＝AB2＝36+25，故④正确.故选：D.21.如图，在⊙O中，∠O＝50°，则∠A的度数为（）A.50°B.25°C.20°D.15【考点】圆周角定理.【解答】∠A＝∠BOC＝×50°＝25°.故选：B.22.下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.相等的弦所对的弧相等C.圆内接四边形的对角互补D.三个点确定一个圆【考点】圆内接四边形的性质；确定圆的条件.【解答】A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、相等的弦对的弧不一定相等，故错误，不符合题意；C、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；故选：C.23.如图，在⊙O中，AB是直径，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，则下列结论错误的是（）A.AD＝CDB.＝C.BC＝2EOD.EO＝DE【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.【解答】∵AB是直径，OD⊥AC，∴，AE＝CE，∴AD＝CD，∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝2OE，∴选项A不符合题意、选项B不符合题意、选项C不符合题意；只有当AD＝AO时，EO＝DE，∴选项D符合题意；故选：D.24.如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A.45°﹣αB.αC.45°+αD.25°+α【考点】圆心角、弧、弦的关系.【解答】连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A.25.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则的长为（）A.πcmB.C.D.2πcm【考点】弧长的计算.【解答】连接OC，则OC＝＝，∵∠AOF＝45°，∴的长＝＝π，故选：B.26.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED ＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A.5寸B.8寸C.10寸D.12寸【考点】垂径定理的应用.【解答】设⊙O的半径为r.在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，则有r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙O的直径为10寸，故选：C.27.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是（）A. B. C. D.【考点】列表法与树状图法.【解答】画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率＝＝.故选：D.28.掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（）A.大于4的点数B.小于4的点数C.大于5的点数D.小于5的点数【考点】可能性的大小.【解答】A、P 1＝＝；B、P2＝＝；C、P 3＝；D、P 4＝＝.骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点.故选：D.29.下列说法正确的是（）A.甲组数据的方差S甲2＝0.28，乙组数据的方差S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据稳定B.从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大C.数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3D.若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖【考点】中位数；方差；概率的意义.【解答】A、甲组数据的方差S甲2＝0.28，乙组数据的方差S乙2＝0.25，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误；B、从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，正确；D、若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次可能3次中奖，故此选项错误.故选：C.30.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P （x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点.若存在实数c，使得x1≤c ﹣3，且x2≥c+3成立，则m的取值范围是.【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】∵顶点在x轴上，＝0，∴b＝a2.∴x2﹣2ax+a2＝m，解得x 1＝a﹣，x1＝a+，∴PQ＝2，又x1≤c﹣3，x1≥c+3，∴2≥（c+3）﹣（c﹣3）∴m≥9.故答案为：m≥9.31.二次函数y＝x2﹣4x+m的最小值是2，则m＝.【考点】二次函数的最值.【解答】y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，∵a＝1＞0，∴当x＝2时，y有最小值为m﹣4，∴m﹣4＝2，∴m＝6.故答案为：6.32.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有.（只填序号）【考点】二次函数图象与系数的关系.【解答】①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.∴①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，4ac＜b2.∴②正确；③∵抛物线的对称轴x＜1，即﹣＜1，得2a+b＞0.∴③正确；，④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2.∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤正确；⑥当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0.∴⑥错误.故答案为①②③⑤.33..将A（2，0）绕原点顺时针旋转40°，A旋转后的对应点是A1，再将A1绕原点顺时针旋转40°，A1旋转后的对应点是A2，再将A2绕原点顺时针旋转40°，A2旋转后的对应点是A3，再将A3绕原点顺时针旋转40°，A3旋转后的对应点是A4…，按此规律继续下去，A2019的坐标是.【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转.【解答】由题意：9次应该循环，∵2019÷9＝224余数为3，∴A2019的坐标与A3相同，∵A 3（﹣1，﹣），∴A 2019（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）.34.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝°.【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质.【解答】∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝140°，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，∴∠CDE＝∠B＝70°，BC＝CD，∴∠B＝∠BDC＝70°，∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠1＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100.35.如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过次旋转得到的，旋转角的度数是.【考点】菱形的性质；旋转对称图形.【解答】由图可得，可以看作是由其中一个菱形至少经过5次旋转得到的，旋转角的度数是60°.故答案为：5，60°.36.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2018A2019B2019的顶点A2019的坐标是.【考点】规律型：点的坐标；中心对称；坐标与图形变化﹣旋转.：：【解答】∵△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，∴A 1的坐标为：（1，），B 1的坐标为：（2，0），∵△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，∴点A 2与点A 1关于点B 1成中心对称，∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，∴点A 2的坐标是：（3，﹣），∵△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，∴点A 3与点A 2关于点B 2成中心对称，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，∴点A 3的坐标是：（5，），∵△B 3A 4B 4与△B 3A 3B 2关于点B 3成中心对称，∴点A 4与点A 3关于点B 3成中心对称，∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，∴点A 4的坐标是：（7，﹣），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴A n 的横坐标是：2n ﹣1，A 2n +1的横坐标是：2（2n +1）﹣1＝4n +1，∵当n 为奇数时，A n 的纵坐标是，当n 为偶数时，A n 的纵坐标是：﹣，∴顶点A 2n +1的纵坐标是：，∴△B 2n A 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是：（4n +1，），∴△B 2018A 2019B 2019的顶点A 2019的横坐标是：4×1009+1＝4037，纵坐标是，故答案为：（4037，）.37.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，AC ＝2，BM ＝8，则BC ＝.【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理.【解答】连接AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACB＝∠AMC＝90°，∵∠BAC＝∠CAM，∴△ACM∽△ABC，∴＝，设AM＝x，则AB＝x+8，∴x（x+8）＝（2）2，，解得x＝2或x＝﹣10（舍去）∴AB＝2+8＝10，∴BC＝＝＝4，故答案为4.38.如图，在圆心角为90°的扇形ACB中，半径CA＝6，以AC为直径作半圆O.过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则图中阴影部分的面积是.【考点】扇形面积的计算.【解答】如图，连接CE.∵AC⊥BC，AC＝BC＝2，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝OD＝1，BC＝CE＝2.又∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠COE＝90°.∴在直角△OEC中，OC＝CE，∴∠OEC＝30°，OE＝.∴∠ECB＝∠OEC＝30°，∴S阴影＝S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE＝﹣﹣﹣×1×＝π﹣.故答案为π﹣.39.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED＝35°，则∠ADC＝.【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质.【解答】∵∠CED＝35°，∴的度数是70°，∵点D是的中点，∴的度数也是70°，∴的度数是360°﹣70°﹣70°＝220°，∴圆周角∠ADC的度数是110°，故答案为：110°.40.一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要位.【考点】概率公式.【解答】因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要3位.故答案为：3.41.对某种品牌的一批酸奶进行质量检验，检验员随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验有198瓶合格，若在这批酸奶中任取一瓶，恰好取到合格品的概率约为.【考点】概率公式.【解答】由题意，随机抽取了200瓶该批次的酸奶，经检验有198瓶合格，所以样本中恰好取到合格品的概率约为＝，所以这批酸奶中任取一瓶，恰好取到合格品的概率约为，故答案为.42.已知一次函数y＝（m﹣2）x+n﹣1.，求一次函数的解析式；（1）若一次函数图象经过点（0，3）和（1，5）（2）若把一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y＝3x﹣3，求m和n 的值；3）若一次函数的图象经过二、三、四象限，请判断方程x2﹣5x+2（m+n）（＝0解的情况，并说明理由.【考点】根的判别式；一次函数的性质；一次函数图象与几何变换.，【解答】（1）∵一次函数图象经过点（0，3）和（1，5）∴，解得：，∴一次函数的解析式是y＝2x+3；（2）∵一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y＝3x﹣3，∴原一次函数的是y＝3x﹣6，∴m﹣2＝3，n﹣1＝﹣6，∴m＝5，n＝﹣5；（3）∵一次函数的图象经过二、三、四象限，∴m﹣2＜0，n﹣1＜0，∴m＜2，n＜1，∴方程x2﹣5x+2（m+n）＝0的判别式△＝25﹣4×1×2（m+n）＝25﹣8（m+n）＞0，∴方程x2﹣5x+2（m+n）＝0有两个不相等的实数根.43.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒.（用含t的代数式表示）（1）填空：BQ＝，PB＝；（2）当t为何值时，PQ的长度等于3cm？（3）当t为何值时，五边形APQCD的面积有最小值？最小值为多少？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的最值.【解答】（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，故（6﹣t）.答案为2t，（2）由题意，得.解得（不合题意，舍去），t 2＝3.所以当t ＝3秒时，PQ 的长度等于；（3）存在.理由如下：设五边形APQCD 的面积为S .∵S矩形ABCD ＝6×8＝48（cm 2），∴，∴当t ＝3秒时，五边形APQCD 的面积有最小值，最小值为39cm 2.44.如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为（3，0），顶点C 的坐标为（1，4）.（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q ，且点Q 在第一象限，使△BDQ 中BD 边上的高为？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【解答】（1）∵抛物线的顶点C 的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2+4，∵点B （3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a （3﹣1）2+4，解得a ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+4，即y ＝﹣x 2+2x +3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，，∴D点坐标为（0，3）∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；，M（m，﹣m2+2m+3），（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3）∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD 于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点Q在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）.45.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，（1）旋转中心是，逆时针旋转了度；（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为.【考点】等边三角形的性质；旋转的性质.（1）由△ACD经过旋转后到达△BCE的位置，得，【解答】旋转中心是点C，逆时针旋转了60度，故答案为：点C，60；（2）如果M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到的位置为BE 的中点；故答案为：BE的中点.46.如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点.把∠MCN绕着点C旋转.（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是OC＝OM﹣ON（直接写出结论，不必证明）【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质.【解答】（1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COG＝60°，∴∠OCG＝∠COG，∴OC＝CG，∴△OCG是等边三角形，∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，∵∠MCN＝∠OCG＝60°，∴∠OCN＝∠GCM，在△OCN和△GCM中，，，∴△OCN≌△GCM（ASA）∴ON＝GM，∵OG＝OM+GM，∴OC＝OM+ON；（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COG＝60°，∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，∴OC＝CG，∴△OCG是等边三角形，∴OC＝OG，∠CGO＝60°，∴∠CGM＝120°＝∠CON，∵∠MCN＝∠OCG＝60°，∴∠OCN＝∠GCM，在△OCN和△GCM中，，，∴△OCN≌△GCM（ASA）∴ON＝GM，∵OG＝OM﹣GM，∴OC＝OM﹣ON；故答案为：OC＝OM﹣ON47.如图，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，AF为⊙O的直径，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积.【考点】平行四边形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算.【解答】（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AF为⊙O的直径，∴AF⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠AD⊥AF，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OC，OB，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵AF＝2，∴OB＝OC＝1，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝，连接OE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∵OA＝OE＝1，∴阴影部分的面积＝S 梯形AOED﹣S扇形AOE＝（1+）×1﹣＝﹣.48.如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边上的一个动点（有与A、D重合），以E为圆心，EA为半径的⊙E交CE于G点，CF与⊙E切于F点.AD ＝4，AE＝x，CF2＝y.（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）是否存在x的值，使得FG把△CEF的面积分成1：2两部分？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围；勾股定理；切线的性质.【解答】（1）∵CF与⊙E切于F点，∴EF⊥CF，∵AE＝x，AD＝4，∴DE＝4﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝4，∠ADC＝90°，∴CE2＝DE2+CD2＝（4﹣x）2+16，在Rt△EFC中，CF2＝CE2﹣EF2，∴y＝（4﹣x）2+16﹣x2＝32﹣8x（0＜x＜4）；（2）∵FG把△CEF的面积分成1：2两部分，∴EG＝EC，或EG＝EC，∴x＝，或x＝∴x＝±﹣，或x＝∵0＜x＜4，∴x＝，或x＝.。

九年级数学上册旋转几何综合易错题(Word版含答案)

九年级数学上册旋转几何综合易错题（Wed 版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.直线点A 、B 分别在直线m, n± （点A 在点B 的右侧），点P 在直线mtAP=-AB,连接BP,将线段BP 绕点B 顺时针旋转60。

得到BC,连接AC 交直线n 于点E, 3 连接PC,且A ABE 为等边三角形.（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，与EC 的数疑关系是 _____ .（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，不成立，请说明理由.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到ZABE =60% 60。

，BC=BP ，根据全等三角形的性质得到结论：（2）根据等边三角形的性质得到ZABE = 60°, AB = BE,根据旋转的性质得到ZCBP = 60。

，BC=BP,根据全等三角形的性质得到结论：（3）过点C 作CD 丄m 于D,根据旋转的性质得到APBC 是等边三角形，求得PC = 3,设 AP=CE=t,则AB=AE=3t,得到AC = 2t ，根据平行线的性质得到ZCAD= ZAEB=60°, 解直角三角形即可得到结论.【详解】解：（1） V AABE 是等边三角形，AZABE = 60°, AB=BE,丁将线段BP 绕点B 顺时针旋转60。

得到BC,AZCBP = 60°, BC = BP,••• ZABP=60° - ZPBE, ZCBE = 60° - ZPBE,请直接写出ZABP 与ZEBC 的数量关系是（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若（3）如图②，当点P 在A 的左侧时, 若APBC 的而积为也，求线段AC 的长.图①图② 【答案】(1)ZABP=ZEBC, AP=EC ； (2) 成立，见解析：⑶字AB=BE,根据旋转的性质得到ZCBP =即ZABP=ZEBC,AAABP^AEBC （SAS）,故答案为：ZABP=ZEBC> AP = EC；(2)成立，理由如下，•••△ABE是等边三角形，A ZABE = 60°, AB=BE,丁将线段BP绕点B顺时针旋转60。

浙教九级数学上册错题集

12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式2129y x =-+（答案不唯一）． ①过点(31)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．13．二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是223y x x =--+。

如图所示,已知F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点,A 是BF 的中点,AD ⊥BC 于点D.求证:AD=12BF. 证明：连接OA ，交BF 于点E ，∵A 是弧BF 的中点，O 为圆心，∴OA ⊥BF ，∴BE=12BF ∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD 与△OBE 中，∠ADO=∠BEO=90°∠AOD=∠BOEBO=AO∴△OAD ≌△OBE （AAS ），∴AD=BE ，∴AD=12BF 如图,⊙O 的直径AB 的两侧有定点C 和动点P.已知BC=4,CA=3,点P 在AB 上运动,过点C 作CP 的垂线,与PB 的延长线交于点Q.(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时 ,求C Q 的长.(2)当点P 运动到弧AB 的中点时,求C Q 的长.(3)当点P 运动到什么位置时,CQ 取到最大值,并求此时CQ 的长.解：（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=4，AC=3，∵AC?BC=AB?CD ， ∴CD=125∴PC=245．在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ ，. O D C F BA当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为323.如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q?HT=??（3﹣a）﹣?（3﹣a）?（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=?OT?QT﹣?OK?RH=a?a﹣（1+a﹣）?（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=（﹣a+3）?=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=?KT?A′T﹣A′Q?（xQ﹣xR）=??（3﹣a）﹣?（3﹣a）?（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。

九年级上数学错题整理

1. 关于x 的方程，的解为正数，那么a 的取值范围是。

2. 2015年，宝应县某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售。

因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元。

(1) 求平均每年下调的百分率；(2) 假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）3. 计算、解方程:4. 如图，△ ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙ O 的直径，∠ CAD=∠ABC ，判断直线AD 与⊙ O 的关系，并说明理由。

CA BD O5. 四边形OABC 中，BC ∥OA ，∠ OAB=90°，OA=6，腰AB 上有一点D ，AD=3，四边形ODBC 的面积为18，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数 (x>0)的图象恰好经过点C 和点D ，(1) 求反比例函数关系式；(2) 求出点C 的坐标；(3) 在x 轴上是否在点P ，使得△CDP 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

A O BC D6. 已知⊙ O 的直径为2，则⊙ O 的内接正三角形的边长为。

7. 作图题：如图，已知线段AB 和一点C （点C 不在直线AB 上），求作：⊙ O 使它经过A 、B 、C 三点。

（要求：尺规作图，不写法，保留作图痕迹）8.做一做（投影片3.4）(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过已知点A、B 你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点A、B、C（A、B、C三点在在同一条直线上）。

你是如何作的？你能作出几个这样的圆？思考并回答确定圆的两要素：圆心位置，半径大小。

进一步明确：找到圆心，确定半径的大小是问题的关键。

九年级数学上册易错题—答案版

∵∠FDE 90
∴∠HDG ∠HDF ∠EDF ∠HDF 即∠EDH ∠FDG ……1 分
又∵∠DHE ∠DGF 90
∴ △EDH∽△FDG
……………………………………………………1
分
∴ DE DH 3 …………………………………………………………1 DF DG 4
分
∵∠FDE 90
∴ tan∠DFE DE 3 ……………………1 分 DF 4
8
点 B ，与 y 轴交于点 C 0，-3 ,经过点 A 的射线 AM 与 y 轴相交于点 E ，与抛物线的
另一个交点为 F ，且 AE 1 。
EF 3
（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求 FAB 的余切值；（3）点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且
（2）不变 ……………………………………………………………………………
1分
过点 D 作 DH AC ， DG BC ，垂足分别为点 H 、 G
由（1）可得 DH 3， DG 4
∵ ∠DGC 90
又∵∠ACB 90
∴四边形 DHCG 是矩形
∴∠HDG 90
【答案】（1）∵∠ACB 90 ， cosA 4 5
∴ AC 4 AB 5
∵ AC 8
∴ AB 10 ……………………………1 分
∵ D 是 AB 边的中点
∴ AD 1 AB 5 2
∵ DE AC
∴∠DEA ∠DEC 90
∴ cosA AE 4 AD 5
∴ AE 4 ∴ CE 8 4 4
84
∴ cot FAB AH 2 6 4
FH 6 3
（3）分两种情况： ①如右图，当点 P 在 AF 上方时；由题可得 D 2， 3 ，过点 D 作 DM⊥x 轴，垂足为

九年级数学上册专题07 圆易错题(原卷版)

r=6-42=1r=6+42=5点P 到圆上一点的最大距离是6cm ，最小距离是4cm ，圆的半径是___专题07 圆易错题圆，期末必考。

圆与其它不同是，圆中隐含条件多，圆的题解不出，往往不是由于条件不够，更多的是由于条件太多，而我们由于对模型运用不够熟练，基础知识掌握不牢造成的。

本专题精选期末圆的易错试题，并配以详细的解答，为你复习迎考助力！圆中易错两种情况1.平行弦间距2.点到圆上点的距离最大与最小：3.弦对圆周角：4.相切的上下左右 EF=OE-OF=4-3=1EF=OE+OF=4+3=7AB ∥CD,AB=10,CD=8,圆的半径是5，则AB 与CD 之间的距离是____所以：∠P 2=60°，∠P 1=120°3.可得：BE=3,OB=2易证：∠1=60°，∠AOB =120°1.画出示意图。

2.作OE ⊥AB ，垂足为E 。

在半径是2的⊙O 中，弦AB=23,则AB 所对的圆周角_____.1一．选择题1．如图，△ABC 与△ACD 中，AD =AC =DC =2√3，∠BAC ：∠B ：∠ACB ＝1：2：3，则△ABC 的外心与△ACD 的内心之间的距离为（）A ．2B ．√3+1C ．2√3D ．32．如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝4，BC ＝3，P 是平面上的一个点，连换AP ，BP ，已知∠P 始终为直角，则线段CP 长的最大值为（）A ．6B ．√29C ．√13+2D ．53．给出下列结论：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．简记：上切下切左切右切线段直线分类讨论其中正确命题有（）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点M 是△ABC 的外心，那么MN ：BC 的值为（）A ．23B ．√33C ．14D ．49 5．如图，在平面直角坐标系中，以M （2，3）为圆心，AB 为直径的圆与x 轴相切，与y 轴交于A ，C 两点，则AC 的长为（）A ．4B ．2√5C ．2√13D ．66．如图，AB 是⊙O 的弦，PO ⊥OA 交AB 于点P ，过点B 的切线交OP 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为√5，OP ＝1，则BC 的长为（）A ．2B ．√6C ．52D ．√57．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC 、AD ．若∠BAC ＝28°，则∠D 的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（）A．34°B．56°C．68°D．102°9．如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°10．下列语句：①长度相等的弧是等弧；②过平面内三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④90°的圆周角所对的弦是直径；⑤等弦对等弧．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，点A，B，C，D都在圆上，线段AC与BD交于点M，MB＝MD，当点B，D，M保持不变，点A在圆上自点B向点D运动的过程中（点A不与点B，点D重合），那么线段MA与MC 的乘积（）A．不变B．先变大，后变小C．变大D．先变小，后变大二．填空题（共28小题）12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝时，Rt△ABC 的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．13．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为时，△POA是等腰三角形．14．已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．15．如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是．16．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．若OE＝2√3，DF＝1，则△ABC的周长为．17．如图，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，则AB的长为．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为．19．点M是半径为5的⊙O内一点，且OM＝4，在过M所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为．20．AB＝AC＝AD，∠CAB＝100°，则∠BDC＝．21．如图，AB是⊙O的弦，AB=2√2，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接P A，PB，AC 是△ABP的中线．（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝；（2）AC的最大值＝．22．如图，已知点A（3，0）、B（﹣1，0）点Q是y轴上一点，当∠AQB＝135°时点Q的坐标是．23．已知等腰△ABC的外心是O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则∠ABC＝．24．已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB＝2：3，CP＝2cm，DP＝12cm，则弦AB 的长为cm．25．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r，则r的最小值为．26．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接圆半径的长度为．27．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC ＝6，则△PDC的面积的最小值是．28．如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是．29．如图，点C在以O为圆心的半圆内一点，直径AB＝4，∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，将△BOC 绕圆心逆时针旋转到使点C的对应点C′在半径OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）面积为.（结果保留π）30．如图，C、D是⊙O上两点，位于直径AB的两侧，设∠ABC＝24°，则∠BDC＝°．31．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB＝60°，CD是AB边上的高，且CD＝6，则△ABC的面积最小值是．32．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD的中点，点P是边AB上的一个动点，连接PE，以P 为圆心，PE的长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，则AP的长为．̂上一动点，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于33．如图，在扇形AOB中，OA＝2，点P为AB点D，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的周长为．34．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是．35．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为．36．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．37．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．38．圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角度数为度．39．一圆中两弦相交，一弦长为2a且被交点平分，另一弦被交点分成1：4两部分，则另一弦长为．三．解答题40．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．（1）求∠B的度数；（2）若CE＝4√3，求圆O的半径．41．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．̂的中点；（1）求证：点D为AC（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．42．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．43．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．（1）求证：BC＝DF．（2）若BC＝8，BE＝2，求⊙O的半径．44．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AĈ上任意一点，连接AD，AG，GD．（1）若∠ADC＝70°，求∠AGD的度数；（2）若OE＝3，CD＝8，求⊙O的半径r．45．如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE交弦BG于点D，OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．（1）若∠AGB＝60°，求弦AB的长（用r的代数式表示）；（2）证明：∠E＝∠OBD；（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．46．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C．（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD=√5，求AH的值．47．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；（2）求AD的长．48．已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝36°．（Ⅰ）如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．49．如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．50．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．。

九年级上错题集文档

1、如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC 的边OB 在x 轴上，OB=CB ，OB 边上的高CA 与OC 边上的高BE 相交于点D ，连接OD ，AB=2，∠CBO=045，在直线BE 上求点M ，使△BMC 与△ODC 相似，则点M 的坐标是多少？2、如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF=DE ，连接BF ，交边AC 于点G ，连接CF 。

求证（1）CGEG AC AE =；（2）如果FB FG CF ∙=2，求证：DE BC CE CG ∙=∙。

3、如图，在等腰三角形ABC 中。

AB=AC=5cm ，BC=6cm,点P 从点B 开始沿BC 边以每秒1cm 的速度向点C 运动，点Q 从点C 开始沿CA 边以每秒2cm 的速度向点A 运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交BC 于点E 。

点P ，Q 分别从B ，C 两点同时出发，当点Q 运动到点A 时，点Q ，P 停止运动，设它们运动的时间为t 秒。

（1）当t= 秒时，射线DE 经过点C ；（2）当点Q 运动时，设△PCQ 的面积为2c m S ，求S 于t 的关系式（即：用含t 的代数式表示S ）；（3）当点Q 运动时，是否存在以P 、Q 、C 为顶点的三角形于△PDE 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

4、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为F,连结DF 。

求证:DF=DC5、（满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)6、小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他第一题 Q EC B AD P 第三题 B FE DC A 第四题 CD G F BE A 第二题第五题两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C 点，人在F 点时正好在镜子中看到树尖A ；第二次把镜子放在D 点，人在G 点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m ，量得CD=12m ，CF=1.8m ，DH=3.8m ．请你求出松树的高．7如图，二次函数 x x y 31322-=的图像经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m)，B(n ，n) （1）求点A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C 使点A 、O 、B 、C 为顶点的四边形使平行四边形。

人教版九年级数学上册期末复习(易错题精选、一元二次方程)二套含答案

人教版九年级数学上册期末复习01—易错题精选一、选择题（每小题3分，共24分）1.关于x 的方程22210m x x --+=（）有实数解，那么m 的取值范围是（）A .2m ≠B .3m ≤C .3m ≥D .32m m ≤且≠2.某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（）A .至少有两名学生生日相同B .不可能有两名学生生日相同C .可能有两名学生生日相同，但可能性不大D .可能有两名学生生日相同，且可能性很大3.如图①是33⨯正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A .4种B .5种C .6种D .7种4.如图，在正方体的表面展开图中，要将a -、b -、c -填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（） A .12 B .13C .14D .16 5.有两个一元二次方程：2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中0a c +=，下列四个结论中，错误的是（）A .如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B .如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C .如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =6.如图，在ABC △中，AB AC =，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是（）A .线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B .线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C .线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D .线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点7.已知二次函数2y x bx c =++的图象过点1A m （，），3B m （，），若点12M y -（，），21N y -（，），38K y （，）也在二次函数2y x bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（）A .123y y y ＜＜B .213y y y ＜＜C .312y y y ＜＜D .132y y y ＜＜8.已知抛物线20y ax bx c a =++（＞）过20-（，），23（，）两点，那么抛物线的对称轴（） A .只能是1x =- B .可能是y 轴 C .在y 轴右侧 D .在y 轴左侧二、填空题（每小题4分，共32分）1.请写出一个符合下列全部条件的函数解析式________；（1）图象不经过第三象限；（2）当1x -＜时，y 随x 的增大而减小；（3）图象经过点11-（，）. 2.若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点0A m （，），0B n （，），与y 轴交于点0C c （，），则ABC △称为“抛物三角形”.特别地，当0mnc ＜时，称ABC △为“倒抛物三角形”，此时a ，c 应分别满足条件________.3.已知圆的两条平行弦分别长6dm 和8dm ，若这圆的半径是5dm ，则两条平行弦之间的距离为________.4.如图，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且°45ACB ∠=.若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是________.5.有四张正面分别标有数字3-，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为________.6.如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转°60得到FC ，连接DF .则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________.7.如图，已知二次函数20y ax bx c a =++（≠）的图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -＜＜，212x ＜＜，下列结论：①0abc ＜；②2a b a -＜＜；③284b a ac +＜；④10a -＜＜，其中正确结论的序号是________.8.如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是________.三、解答题（共64分）1.（6分）用四块如图①所示的瓷砖拼铺一个成正方形的地板，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形，请你在图②和③中各画出一种拼法.（要求两种拼法各不相同）2.（8分）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，商量后计划通过转盘游戏来决定，并各自设计了一种方案：张彬：将一个可以自由转动并标有阴影区域面积的转盘（如图①），随意转动，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；王华：将分成4等分且分别标有数字1，2，3，4的转盘，随意转动两次，当指针所指两个数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.（1）使用张彬设计的方案，随机转动转盘一次，指针指向阴影区域的概率是多少？（2）请你运用所学的概率知识，帮助张彬和王华选出公平的游戏方案.3.（11分）如图①所示，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切于点C ，AD EF ⊥，垂足为D .（1）求证：DAC BAC ∠=∠；（2）若把直线EF 向上平行移动，如图②所示，EF 交O e 于G ，C 两点，若题中的其他条件不变，试探究与DAC ∠相等的角是哪一个？说明理由.4.（12分）等腰ABC △的直角边10cm AB BC ==，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，均以1cm /秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D .设P 点运动时间为t ，PCQ △的面积为S .（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S =△△？（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论.5.（13分）已知Rt ABO △中，边1AB OB ==，°90ABO ∠=.【问题探究】（1）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作正方形ABCD ，如图①，则点O 与点D 的距离为________.（2）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作等边三角形ABC ，如图②，求点O 与点C 的距离.【问题解决】（3）若线段1DE =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在射线OA ，OB 上滑动，以DE 为边向外作等边三角形DEF ，如图③，则点O 与点F 的距离有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由.6.（14分）如图，抛物线2:L y x bx c =++经过A （0，3），B （1，0）4两点，点M 为顶点.（1）求b ，c 的值；（2）将OAB △绕点B 顺时针旋转：①当旋转°90时，点A 落在点C 的位置，将抛物线L 通过向上或向下平移后经过点C .求平移后所得抛物线1L 的表达式；②记OAB △绕点B 顺时针旋转过程中点A 的对应点为A '，点O 的对应点为O '，在抛物线1L 上是否存在A '，使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点A '的坐标；若不存在，请说明理由.期末复习—易错题精选参考答案一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D .二、1.【答案】211y x =--（）（答案不唯一） 2.【答案】0a ＜，0c ＞3.【答案】1dm 7dm 或4.【答案】5.【答案】146.【答案】1.57.【答案】①②8.【答案】4144-+-或或三、1.【答案】答案不唯一.2.【答案】解：（1）根据转盘中阴影部分扇形的圆心角度数和°°°10070170+=则P （指针指向阴影区域）°°1701736036==.（2）由（1）得张彬设计的方案中，张彬得到入场券的概率为1736P =，王华得到入场券的概率为171913636P =-=，则张彬的方案不公平. 利用王华的方案画树状图如下：由树状图得，共有16种等可能的结果，两次数字之和为偶数的有8种，则王华得到入场券的概率为81162P ==，张彬得到入场券的概率为12P =，∴王华的设计方案公平. 3.【答案】（1）证明：如图①，连接OC .EF Q 与O e 相切于点C ，OC EF ∴⊥...AD EF AD OC OCA DAC ∴∴∠=∠Q ⊥，∥.OA OC OCA BAC DAC BAC =∴∠=∠∴∠=∠Q ，，（2）解：BAG ∠与DAC ∠相等.理由如下：如图②，连接BC ，则B AGD ∠=∠.AB Q 是直径，AD EF ⊥，°90BCA GDA ∴∠=∠=，°90B BAC ∴∠+∠=，°90AGD DAG ∠+∠=.BAC DAG ∴∠=∠，BAC CAG DAG CAG ∴∠-∠=∠-∠.即BAG DAC ∠=∠.4.【答案】解：（1）当10t ＜秒时，P 在线段AB 上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. 当10t ＞秒时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. （2）1502ABC S AB BC ==Q g △， 211010502PCQ t S t t ∴=-=△当＜秒时，（）. 整理，得2101000t t -+=，无解.当10t ＞秒时，2110502PCQ S t t =-=△（）.整理，得2101000t t --=，解得5t =±.∴当点P 运动5±（秒时，PCQ ABC S S =△△.（3）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.证明：过Q 作QM AC ⊥，交直线AC 于点M .易证APE QCM △≌△，2AE PE CM QM ∴====. ∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半.又EM AC ==Q ，DE ∴=.∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.同理，当点P 在点B 右侧时，DE =综上所述，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.5.【答案】（1（2）过点C 作CD OB ⊥，垂足为点D .连接OC ，则°30CBD ∠=.1AB BC ==Q ，∴在Rt CBD △中，12CD =，BD =，1OD ∴=+.∴在Rt CDO △中，OC ==.（3）点O 与点F 的距离有最大值. 作ODE △的外接圆M e ，连接MD ，ME ，MF ，MO ，OF ，则OF MO MF +≤. 设MF 与DE 交于点N .°°4590AOB DME ∠=∴∠=Q ，.1DE =Q ，∴可得M e 的半径为2MD ME MO ===. MD ME =Q ，DF EF =，MF ∴垂直平分DE .1122MN DE ∴==，22NF EF ==.12OF OM MF ∴+=+≤OF ∴最大值. 6.【答案】解：（1）已知抛物线L 经过点A （0，3），B （1，0），将其代入2y x bx c =++，得310c b c =⎧⎨++=⎩，，解得43.b c =-⎧⎨=⎩，即b ，c 的值分别为4-和3.（2）①根据点A ，B 坐标，可知3OA =，1OB =，如图，将OAB △绕点B 顺时针旋转°90后，可得点C 坐标为（4，1）.当4x =时，由243y x x =-+得3y =，可知抛物线L 经过点（4，3），∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C .∴平移后的抛物线1L 的表达式为241y x x =-+.②存在.如图，OAB △绕点B 旋转过程中，当点A '，B ，A 三点在同一直线上时满足以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.AB A B '=Q ，OB O B '=，∴四边形OAO A ''为平行四边形.根据图形的旋转性质，可知3O A OA ''==，1OB O B '==，且°90AOB A O B ''∠=∠=， ∴点A '的坐标为23-（，）. 又Q 抛物线1L 的表达式为241y x x =-+，∴抛物线1L 的顶点坐标为23-（，）. ∴点A '坐标与抛物线1L 的顶点坐标重合.∴抛物线1L 上存在一点23A '-（，），使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.人教版九年级数学上册期末专项复习02—一元二次方程考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知231m x -=（）是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A .3m ≠B .3m ≥C .2m -≥D .23m m -≥且≠2.已知关于x 的方程211210m xm m x +++--=（）（）.（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1.若一元二次方程2243680a x a x a -+++-=（）（）没有常数项，则a 的值为________.2.已知关于x 的一元二次方程221510m x x m -++-=（）的常数项为0，求m 的值.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1.已知关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），则a b -的值为（） A .1- B .0 C .1 D .22.已知关于x 的一元二次方程2243160k x x k +++-=（）的一个根为0，求k 的值.3.已知实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，求代数式22120152016a a a +--的值.题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1.已知m ，n 是方程2210x x --=的两个根，是否存在实数a 使22714367m m a n n -+--（）（）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.考点2 一元二次方程的解法归类类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如20x m n n +=（）（≥）的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程24250x -=的解为（）A .25x = B .52x = C .52x =± D .25x =±2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A .255x -=B .230x -=C .240x +=D .210x +=（）方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1.用配方法解方程234x x +=，配方后的方程变为（）A .227x -=（）B .221x +=（）C .221x -=（）D .222x +=（）2.解方程：2420x x +-=.3.已知221016890x x y y -+-+=，求x y的值.方法3 能化成形如0x a x b ++=（）（）的一元二次方程用因式分解法求解1.一元二次方程22x x x -=-（）的根是（）A .1-B .0C .1和2D .1-和22．解下列一元二次方程：（1）220x x -=；（2）21690x -=；（3）2441x x =-.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1.用公式法解一元二次方程2124x x =-，方程的解应是（）A .x =B .xC .xD .x2.用公式法解下列方程.（1）23170x x +-=（）；（2）24352x x x --=-.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1.方程24490x -=的解为（） A .27x = B .72x =C .172x =，272x =-D .127x =，227x =- 2.一元二次方程293x x -=-的根是（）A .3B .4-C .3和4-D .3和43.方程135x x +-=（）（）的解是（）A .11x =，23x =-B .14x =，22x =-C .11x =-，23x =D .14x =-，22x = 4.解下列方程.（1）23360y y --=；（2）22310x x -+=.类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1.解方程：2619100x x ++=.2.若m ，n ，p 满足8m n -=，2160mn p ++=，求m n p ++的值.方法2 换元法a .整体换元1.若280a b a b +++-=（）（），则a b +的值为（）A .4-或2B .3或32- C .2-或4 D .3或2- 2.已知22260x xy y x y -++--=，则x y -的值是（）A .2-或3B .2或3-C .1-或6D .1或6-3.解方程：223220x x ---+=（）（）.4.解方程：123448x x x x ----=（）（）（）（）.b .降次换元1.解方程：432635623560x x x x -+-+=.c .倒数换元1.解方程：2322x x x x --=-.方法3 特殊值法1.解方程：2013201420152016x x --=⨯（）（）.考点3 根的判别式的四种常见应用题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于x 的方程2110kx k x +--=（），下列说法正确的是（）A .当0k =时，方程无解B .当1k =时，方程有一个实数解C .当1k =-时，方程有两个相等的实数解D .当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解2.已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数，试判断方程2210x mx m m +++=（）有无实数根.题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.2．已知关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），（1）证明：不论m 为何值，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.题型3 利用根的判别式求代数式的值1.已知关于x 的方程22140x m x +-+=（）有两个相等的实数根，求21212m m m--+（）的值.2.已知关于x 的一元二次方程2200mx nx m +-=（≠）有两个相等的实数根，求222416mn m n ++-（）的值.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.2.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程204a c a c x bx -+++=（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.考点4 一元二次方程与三角形的综合题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1.三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程27120x x -+=的解，则第三边的长为（）A .3B .4C .3或4D .无法确定 2.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.一个三角形两边长分别为3cm 和7cm ，第三边长为cm a ，且整数a 满足210210a a -+=，求三角形的周长.题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程217600x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________.2.已知a ，b ，c 分别是ABC △的三边，当0m ＞时，关于x 的一元二次方程220c x m b x m ++--=（）（）有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由.3.已知ABC △的三边a ，b ，c 中，1a b =-，1c b =+，又已知关于x 的方程2420120x x b -++=的根恰为b 的值，求ABC △的面积.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1.等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根，则k 的值是（）A .27B .36C .27或36D .182.已知关于x 的一元二次方程220a c x bx a c +++-=（）（），其中a ，b ，c 分别为ABC △的三边的长.（1）如果1x =-是方程的根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（3）如果ABC △是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.考点5 根与系数的关系的四种应用类型题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1.设方程24730x x --=的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值. （1）1233x x --（）（）；（2）211211x xx x +++；（3）12x x -.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1.构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是294，求m 的值.2.已知关于x 的方程2220x x a ++-=.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4.已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，是否存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用题型1 营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）题型2 行程问题3.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？应用3 工程问题4.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；（2）若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？考点7 几种常见的热门考点题型1 一元二次方程的根1.若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=________.2.若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一根为1-，且2a =，求20162015a b c+（）的值.题型2 一元二次方程的解法1.用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A .210x +=（）B .210x -=（）C .212x +=（）D .212x -=（）2.一元二次方程2230x x --=的解是（） A .11x =-，23x =B .11x =，23x =-C .11x =-，23x =-D .11x =，23x =3.选择适当的方法解下列方程：（1）21210x x x -+-=（）（）；（2）221327x x x -=+-（）（）.题型3 一元二次方程根的判别式1.若关于x 的方程220x x a ++=不存在实数根，则a 的取值范围是（） A .1a ＜B .1a ＞C .1a ≤D .1a ≥2.已知关于x 的一元二次方程210x m +-=（）有两个实数根，则m 的取值范围是（）A .34m -≥ B .0m ≥ C .1m ≥ D .2m ≥3.在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中5a =，若关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，求ABC △的周长.题型4 一元二次方程根与系数的关系1.已知α，β是关于x 的一元二次方程22230x m x m +++=（）的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（） A .3B .1C .3或1-D .3-或12.关于x 的方程231210ax a x a -+++=（）（）有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有12121x x x x a +-=-，求a 的值.3.设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222420x ax a a +++-=的两个实数根，当a 为何值时，2212x x +有最小值？最小值是多少？题型5 一元二次方程的应用1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？2.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程1cm （）与时间t s （）满足关系：2131022t t t =+（≥），乙以4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm .（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？题型6 新定义问题1.若1x ，2x 是关于x 的方程20x bx c ++=的两个实数根，且122x x k +=（k 是整数），则称方程20x bx c ++=为“偶系二次方程”．如方程26270x x --=，2280x x --=，227304x x +-=，26270x x +-=，2440x x ++=都是“偶系二次方程”.判断方程2120x x +-=是否是“偶系二次方程”，并说明理由.期末专项复习—一元二次方程答案解析考点1 题型1 1.【答案】D【解析】由题意，得3020m m -⎧⎨+⎩≠，≥，解得2m -≥且3m ≠.2.【答案】解：（1）当21210m m ⎧+=⎨+⎩，≠时，它是一元二次方程，解得1m =.当1m =时，原方程可化为2210x x --=.（2）当22010m m ⎧-⎨+=⎩≠，或者当120m m ++-（）≠且211m +=时，它是一无一次方程.解得1m =-或0m =.故当1m =-或0m =时，它是一元一次方程. 题型2 1.【答案】8【解析】由题意得80240.a a -=⎧⎨-⎩，≠解得8a =.2.【答案】由题意，得21010m m ⎧-=⎨-⎩，≠，解得1m =-.题型3 1.【答案】A【解析】∵关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），20a ab a ∴-+=.10a a b ∴-+=（）.0a Q ≠，1.a b ∴-=-2.【答案】解：把0x =代入2243160k x x k +++-=（），得2160k -=，解得14k =，24k =-.40k +Q ≠，4k ∴-≠，4k ∴=.3.【答案】解：∵实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，2201610a a ∴-+=.221201620161a a a a ∴+=-=-，.22222120162015201520152016120162016a aa a a a a a a a a +∴--=--=--=-=-题型41.【答案】解：由题意可知22210210m m n n --=--=，，22227143677232773747m m a n n m m a n n a a ⎡⎤⎡⎤∴-+--=-+--=+-=-+⎣⎦⎣⎦（）（）（）（）（）（）（），由 478a -+=（）得9a =-，故存在满足要求的实数a ，且a 的值等于9-.考点2 类型1 方法1 1.【答案】C 2.【答案】C 方法2 1.【答案】C2.【答案】解：22242042262x x x x x x +-=+=+=+=，，（），1222x x =-=-3.【答案】解：2222221016890102516640580x x y y x x y y x y -+-+=-++-+=-+-=，（）（），（）（），558.8x x y y ∴==∴=，，方法3 1.【答案】D2.【答案】解：（1）21220200 2.x x x x x x -=-===，（），，（2）21233169043430.44x x x x x -=+-==-=，（）（），，（3）2221214414410210.2x x x x x x x =--+=-===，，（），方法4 1.【答案】B2.【答案】解：（1）2231703730x x x x +-=-+=（），，224743313b ac ∴-=--⨯⨯=（），12x x x ∴=∴= （2）2243524430x x x x x --=---=，，224444364b ac x ∴-=--⨯⨯-=∴=（）（），1231.22x x ∴==-，类型2 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B4.【答案】解：（1）22221919133360200442422y y y y y y y y --=--=-+-=-=-=±，，，（），，122 1.y y ∴==-，（2）2223231043421122x x b ac x ±-+=-=--⨯⨯=∴=⨯，（），，即1211.2x x ∴==，类型3 方法11.【答案】解：将原方程两边同乘6，得26196600x x +⨯+=（）（）.解得615x =-或64x =-.1252.23x x ∴=-=-，2.【答案】解：因为8m n -=，所以8m n =+.将8m n =+代入2160mn p ++=中，得28160n n p +++=（），所以228160n n p +++=，即 2240n p ++=（）.又因为240n +（）≥，20p ≥，所以400n p +=⎧⎨=⎩，，解得40.n p =-⎧⎨=⎩，所以84m n =+=，所以4400m n p ++=+-+=（）方法2 a1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】223220.x x ---+=（）（）设2x y -=，原方程化为2320y y -+=，解得121 2.y y ==，当1y =时，213x x -==，，当2y =时，22 4.x x -==，原方程的解为1234x x ==，.4.【答案】解：原方程即[][]142348x x x x ----=（）（）（）（），即22545648x x x x -+-+=（）（）.设255y x x =-+，则原方程变为1148y y -+=（）（）. 解得1277y y ==-，.当2557x x -+=时，解得12x x ==当2557x x -+=-时，254112230∆=--⨯⨯=-（）＜，方程无实数根．∴原方程的根为12x x = b1.【答案】解：经验证0x =不是方程的根，原方程两边同除以2x ，得22356635620x x x x -+-+=，即2211635620x x x x +-++=（）（）. 设1y x x =+，则22212x y x+=-，原方程可变为26235620y y --+=（）. 解得152y =，2103y =. 当152x x +=时，解得12x =，212x =；当1103x x +=时，解得33x =，413x =.经检验，均符合题意.∴原方程的解为12x =，212x =，33x =，413x =. c1.【答案】解：设2x y x-=，则原方程化为32y y -=，整理得2230y y --=，∴13y =，21y =-.当3y =时，23x x -=，∴1x =-. 当1y =-时，21x x-=-，∴1x =.经检验，1x =±都是原方程的根， ∴原方程的根为11x =，21x =-. 方法31.【答案】解：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩，的解一定是原方程的解，解得4029x =.方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，的解也一定是原方程的解，解得2x =-.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为14029x =，22x =-.【解析】解本题也可采用换元法．设2014x t -=，则20131x t -=+，原方程可化为120152016t t +=⨯（），先求出t ，进而求出x . 考点3 题型1 1.【答案】C【解析】当0k =时，方程为一元一次方程，解为1x =；当0k ≠时，因为222141211k k k k k ∆=--⋅-=++=+（）（）（）≥0，所以当1k =时，4∆=，方程有两个不相等的实数解；当1k =-时，0∆=，方程有两个相等的实数解；当0k ≠时，0∆≥，方程总有两个实数解.故选C . 2.【答案】解：220x x m --=Q 没有实数根，2124440m m ∴∆=--⋅-=+（）（）＜，即1m -＜.对于方程2210x mx m m +++=（），2224144m m m m ∆=-⋅+=-（）（）＞，∴方程2210x mx m m +++=（）有两个不相等的实数根. 题型21.【答案】解：（1）根据题意得2444242080b ac k k -=--=-（）＞，解得25k ＜.（2）由k 为正整数，可得1k =或2k =.利用求根公式可求出方程的根为1x =- ∵方程的根为整数，∴52k -为完全平方数， ∴k 的值为2.2.【答案】（1）证明：[]22228442m m m m m ∆=-+-=-+=-（）（）. ∵不论m 为何值，220m -（）≥，即0△≥.∴不论m 为何值，方程总有实数根.（2）解：解关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），得222m m x m +±-=（）.∴12x m=，21x =. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数，∴1m =或2m =.又∵方程的两个根不相等，∴2m ≠，∴1m =. 题型31.【答案】解：∵关于x 的方程22140x m x +-+=（）两个相等的实数根，∴2214140m ∆=--⨯⨯=（），即214m -=±.∴52m =或32m =-. 当52m =时，25111221216514m m m --==-++（）；当32m =-时，231152********m m m ---==--+-（）. 2.【答案】解：由题意可知，22480b ac n m -=+=， ∴28m n =-，∴222222222222222416816168mn mn mn mn mn m n m m n m m n m n n m ====++-+++-++-+（）. ∵0m ≠，2228mn n m m∴==-.题型41.【答案】解：∵一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根， ∴[]2240a b b c b a ---⋅-=（）（）（）， ∴40a b a c --=（）（）， ∴a b =或a c =， ∴此三角形是等腰三角形.2.【答案】解：∵方程204a ca c x bx -+++=（）有两个相等的实数根， ∴2222404a cb ac b a c -∆=-+⋅=--=（）（），即222b c a +=，∴此三角形是直角三角形. 考点4 题型1 1.【答案】C2.【答案】解：由已知可得410a ＜＜，则a 可取5，6，7，8，9.（第一步）当5a =时，代入2210215105210a a -+=-⨯+≠，故5a =不是方程的根. 同理可知6a =，8a =，9a =都不是方程的根，7a =是方程的根．（第二步） ∴ABC △的周长是37717cm ++=（）. 题型2 1.【答案】132.【答案】解：ABC △是直角三角形．理由如下：原方程可化为20b c x cm bm +-+-=（）， 2222444ma m c b c b m a b c ∆--++-=（）（）=（）. ∵0m ＞，且原方程有两个相等的实数根，∴2220a b c +-=，即222a b c +=∴ABC △是直角三角形.3.【答案】解：将x b =代入原方程，整理得2419120b b -+=，解得14b =，234b =.当14b =时，3a =，5c =，∵222345+=，即222a b c +=，∴ABC △为直角三角形，且°90C ∠=.∴1134622ABC S ab ==⨯⨯=△；当234b =时，3104a =-＜，不合题意，舍去.因此，ABC △的面积为6. 题型3 1.【答案】B2.【答案】解：（1）ABC △是等腰三角形.理由如下：把1x =-入原方程，得20a c b a c +-+-=，所以a b =，故ABC △是等腰三角形.（2）ABC △是直角三角形.理由如下：方程有两个相等的实数根，则2240b a c a c ∆=-+-=（）（）（），所以2220b a c -+=，所以222a b c =+，故ABC △是直角三角形.（3）如果ABC △是等边三角形，则a b c ==，所以方程可化为2220ax ax +=，所以210ax x +=（），所以方程的解为10x =，21x =-. 考点5 题型11.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，有1274x x +=，1234x x =-. （1）12121237333939344x x x x x x --=-++=--⨯+=（）（）（）. （2）2222122111212121212122112121212112====111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++-+++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）27372101444=3732144-⨯-+-++（）（）.（3）222121212127397=4=4=4416x x x x x x x x -+--⨯-∴-==Q（）（）（）（），. 题型21.【答案】解：设方程25230x x +-=的两根为1x ，2x ，则1225x x +=-，1235x x =-. 设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y ，2y ，令111y x =-，221y x =-.∴121212*********==3x x p y y x x x x x x +=-+=--=+（）（），12121211153q y y x x x x ==--==-（）（）. ∴所求的方程为225+033y y -=，即23250y y +-=. 题型31.【答案】解：设方程两根为1x ，2x ，由已知得1212=221=.2m x x m x x ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，∵222121212292=4x x x x x x +=+-（），即221292224m m -+-⨯=（）， ∴28330m m +-=. 解得111m =-，23m =.当111m =-时，方程为2211230x x ++=，21142230∆=-⨯⨯＜，方程无实数根，∴11m =-不合题意，舍去；当3m =时，方程为22235034250x x --=∆=--⨯⨯-，（）（）＞，方程有两个不相等的实数根，符合题意. ∴m 的值为3.2.【答案】解：（1）∵224121240a a -⨯⨯-=-（）＞，解得3a ＜. ∴a 的取值范围是3a ＜.（2）设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，，解得113.a x =-⎧⎨=-⎩，题型44.【答案】解：不存在.理由如下：∵一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根，∴0k ≠，且24441160k k k k ∆=--⨯+=-（）（）≥，∴0k ＜.∵1x ，2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根， ∴121x x +=，1214k x x k+=.∴212121212922294k x x x x x x x x k+--=+-=-（）（）（）. 又∵12123222x x x x --=-（）（）， ∴939425k k k +-=-∴=，. 又∵0k ＜，∴不存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立. 考点61.【答案】解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具10x -（）件，由题意得1001500.510x x+=-. 整理得211030000x x -+=，解得150x =，260x =，经检验150x =，260x =都是原方程的解.当50x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为150503÷=（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当60x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为15060 2.5÷=（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件.方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具10x +（）件，由题意得1001500.510x x +=+，整理得29020000x x -+=，解得140x =，250x =，经检验，140x =，250x =都是原方程的解.第一次采购40件时，第二次采购401050+=（件），批发价为150503÷=（元），不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购401060+=（件），批发价为15060 2.5÷=（元），符合题意.因此第二次采购玩具60件. 题型23.【答案】解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶12x +（）千米，依题意得150150251260x x -=+.解得172x =-（不合题意，舍去），260x =.所以1272x +=.∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米. 应用34.【答案】解：（1）设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工30x +（）天完成此项工程，由题意得1120130x x +=+（），整理，得2106000x x --=，解得130x =，220x =-.经检验130x =，220x =-都是分式方程的解，但220x =-不符合题意，应舍去，故30x =，3060x +=. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天. （2）203a -（）（3）由题意得11 2.520643a a +++-（）（）≤，解得36a ≥.故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元. 考点7 题型11.【答案】2015【解析】把1x =-代入方程中得到20150a b +-=，即2015a b +=.2.【答案】解：∵2a =，∴40c -≥且40c -≥，即4c =，则2a =-.又∵1-是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴0a b c -+=，∴242b a c =+=-+=.∴原式201622020154-+==⨯（）.题型2 1.【答案】D 2.【答案】A3.【答案】解：（1）21210x x x -+-=（）（），1120x x x --+=（）（）， 1310x x --=（）（），12113x x ==，.（2）221327x x x -=+-（）（），22441327x x x x -+=+-， 2680x x -+=，1224x x ==，.题型3 1.【答案】B 2.【答案】B3.【答案】解：∵关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，∴22460b b ∆=+--=（）（），∴12b =，210b =-（舍去）.当a 为腰时，ABC △周长为55212=++. 当b 为腰时，225+＜，不能构成三角形． ∴ABC △的周长为12. 题型4 1.【答案】A2.【答案】解：由题意，得1231a x x a ++=，1221a x x a +=（），∴31211a a a a a++-=-（），∴210a -=，即1a =±.又∵方程有两个不相等的实数根，∴[]2314210a a a ∆=-+-⋅+（）（）＞，即210a -（）＞，∴1a ≠，∴1a =-.3.【答案】解：∵方程有两个实数根，∴2224420a a a ∆=-+-（）（）≥，∴12a ≤.又∵122x x a +=-，21242x x a a =+-，∴22221212122224x x x x x x a +=+-=--（）（）. ∵12a ≤，且2220a -（）≥，∴当12a =时，2212x x +的值最小．此时222121122422x x +=--=（），即最小值为12.【解析】本题中考虑0△≥从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略. 题型51.【答案】解：设每件商品降价x 元，则售价为每件60x -（）元，每星期的销量为30020x +（）件. 根据题意，得6040300206080x x --+=（）（）. 解得11x =，24x =.又要顾客得实惠，故取4x =，即销售单价为56元. 答：应将销售单价定为56元.2.【答案】解：（1）当4t =时，221313144142222t t =+=⨯+⨯=. 答：甲运动4s 后的路程是14cm . （2）设它们运动了s m ，根据题意，得21342122m m m ++=.解得：13m =，214m =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s .（3）设它们运动了s n 后第二次相遇，根据题意，得213421322n n n ++=⨯（）. 解得17n =，218n =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s . 题型61.【答案】解：不是.理由如下：解方程2120x x +-=，得14x =-，23x =.12432 3.5x x +=+=⨯.∵3.5不是整数，∴方程2120x x +-=不是“偶系二次方程”.。

部编数学九年级上册专题07圆易错题(解析版)含答案

r=6-42=1r=6+42=5点P 到圆上一点的最大距离是6cm ，最小距离是4cm ，圆的半径是___专题07 圆易错题圆，期末必考。

本专题精选期末圆的易错试题，并配以详细的解答，为你复习迎考助力！圆中易错两种情况1.平行弦间距2.点到圆上点的距离最大与最小：3.弦对圆周角：4.相切的上下左右EF=OE-OF=4-3=1EF=OE+OF=4+3=7AB ∥CD,AB=10,CD=8,圆的半径是5，则AB 与CD 之间的距离是____所以：∠P 2=60°，∠P 1=120°3.可得：BE=3,OB=2易证：∠1=60°，∠AOB =120°1.画出示意图。

2.作OE ⊥AB ，垂足为E 。

在半径是2的⊙O 中，弦AB=23,则AB 所对的圆周角_____.1一．选择题1．如图，△ABC 与△ACD 中，AD =AC =DC =BAC ：∠B ：∠ACB ＝1：2：3，则△ABC 的外心与△ACD 的内心之间的距离为（）A ．2BC ．D ．3试题分析：如图，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，并延长交AB 于点F ，得△ABC 的外心，过点A 作AE 平分∠DAC 交DG 于点E ，则点E 为△ACD 的内心，证明△ACD 和△AEF 是等边三角形，从而可以解答．答案详解：解：如图，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，并延长交AB 于点F ，△ACD 中，AD =AC =DC =∴△ACD 是等边三角形，点G 为AC 中点，过点A 作AE 平分∠DAC 交DG 于点E ，则点E 为△ACD 的内心，∠EAC ＝30°，∵△ABC 中，∠BAC ：∠B ：∠ACB ＝1：2：3，∴∠BAC ＝30°，∠B ＝60°，∠ACB ＝90°，∴BC ∥EF ，∠EAF ＝∠EAC +∠BAC ＝60°，简记：上切下切左切右切线段直线分类讨论实战训练∴∠AFE＝∠B＝60°，∵AG＝CG，∴点F为AB中点，即点F为△ABC的外心，∴△AEF是等边三角形，∵AC=∴在Rt△ABC中，AB＝4，∴EF＝AF＝2．则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2．所以选：A．2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是平面上的一个点，连换AP，BP，已知∠P 始终为直角，则线段CP长的最大值为（）A．6B C+2D．5试题分析：首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC，并延长CO与交⊙O于点P，此时PC最大，利用勾股定理求出OC即可解决问题．答案详解：解：∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC，并延长CO与交⊙O于点P，此时PC最大，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，∴OC=∴PC＝OC+OP=+2，∴PC+2．所以选：C．3．给出下列结论：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中正确命题有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个试题分析：根据圆相关知识点进行判断即可．答案详解：解：①、因为100°是钝角，所以只能是等腰三角形的顶角，则根据三角形的内角和定理，知它们的底角也对应相等，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，则两个等腰三角形相似，故正确；②、三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三条垂直平分线的交点，只有等边三角形的内心和外心才重合，故错误；③、应当是圆心到直线的距离而不是圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，注意两者的说法区别：前者是点到直线的距离，后者是两个点之间的距离，故错误；④、等腰梯形不是中心对称图形，故错误；⑤、平分弦中的弦不能是直径，因为任意的两条直径都是互相平分，故错误；⑥、本题是平行公理，故正确．因此正确的结论是①⑥．所以选：A．4．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的外心，那么MN：BC的值为（）A．23B．3C．14D．49试题分析：延长AM交BC于点D，连接BM，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设MD＝x，则BM＝AM＝2x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．答案详解：解：如图，延长AM交BC于点D，连接BM，∵△ABC是等边三角形，点M是△ABC的外心，∴AD⊥BC，∠ABM＝∠BAM＝30°，AM＝BM，设MD＝x，则BM＝AM＝2x，∴AD＝3x，BD，∴AB＝2BD＝，∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴AB＝BC＝，AM＝MN＝2x，∴MN：BC＝2x：=所以选：B．5．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4B．C．D．6试题分析：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．答案详解：解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，∴AC ＝2AE ，∵⊙M 与x 轴相切于点D ，∴∠MDO ＝90°，∵M （2，3），∴ME ＝2，MD ＝3，∴MA ＝MD ＝3，在Rt △AEM 中，AE ==∴AC ＝2AE ＝所以选：B ．6．如图，AB 是⊙O 的弦，PO ⊥OA 交AB 于点P ，过点B 的切线交OP 的延长线于点C ，若⊙O 的OP ＝1，则BC 的长为（）A ．2BC ．52D 试题分析：根据切线的性质可得∠OBC ＝90°，从而可得∠OBA +∠ABC ＝90°，再根据垂直定义可得∠POA ＝90°，从而可得∠A +∠APO ＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等可得∠ABC ＝∠BPC ，从而可得BC ＝CP ，最后在Rt △OBC 中，利用勾股定理进行计算即可解答．答案详解：解：∵BC 与⊙O 相切于点B ，∴∠OBC ＝90°，∴∠OBA +∠ABC ＝90°，∵PO⊥OA，∴∠POA＝90°，∴∠A+∠APO＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠ABC＝∠APO，∵∠APO＝∠BPC，∴∠ABC＝∠BPC，∴BC＝CP，设BC＝CP＝x，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，2+x2＝（x+1）2，∴BC＝2，所以选：A．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°试题分析：连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．答案详解：解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，所以选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（）A．34°B．56°C．68°D．102°试题分析：连接AD，根据AB是直径可知∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，即可求出∠DAB，根据圆周角定的推论可得∠DAB＝∠BCD，则问题得解．答案详解：解：连接AD，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，又∵∠DAB＝∠BCD，∠ABD＝56°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BCD＝34°．所以选：A．9．如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°试题分析：连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．答案详解：解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC=12∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，所以选：A．10．下列语句：①长度相等的弧是等弧；②过平面内三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④90°的圆周角所对的弦是直径；⑤等弦对等弧．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个试题分析：根据等弧的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．答案详解：解：①长度相等的弧不一定是等弧，本小题说法错误；②过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆，本小题说法错误；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本小题说法错误；④90°的圆周角所对的弦是直径，本小题说法正确；⑤在同圆或等圆中，等弦所对的劣等弧，所对的优弧是等弧，本小题说法错误；所以选：A．11．如图，点A，B，C，D都在圆上，线段AC与BD交于点M，MB＝MD，当点B，D，M保持不变，点A在圆上自点B向点D运动的过程中（点A不与点B，点D重合），那么线段MA与MC 的乘积（）A．不变B．先变大，后变小C．变大D．先变小，后变大试题分析：根据相交弦定理直接解答即可．答案详解：解：∵点A，B，C，D都在圆上，∴MB•MD＝AM•MC，∵MB＝MD，当点B，D，M保持不变，∴MB•MD为定值，∴AM•MC为定值．所以选：A．二．填空题（共28小题）12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝　1s，4s，7s，16s　时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．试题分析：分4种情况讨论：①当圆心O运动到点E与点C重合是时；②当圆心O运动到AC 右侧与AC相切时；③过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝4．答案详解：解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴FO＝6cm；当半圆O与△ABC的边AB相切时，∵圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．所以答案是：1s，4s，7s，16s．13．已知点M （2.0），⊙M 的半径为1，OA 切⊙M 于点A ，点P 为⊙M 上的动点，当P 的坐标为（1，0），（3，0）（32，2）　时，△POA 是等腰三角形．试题分析：根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P 在x 轴上，PA ＝PO ＝1，OA ＝OP ″＝3，当点P 是切点时，AO ＝AP = 答案详解：解：如图，当P 的坐标为（1，0），（3，0），（32，2）时，△POA 是等腰三角形．理由如下：连接AM ，∵M （2.0），⊙M 的半径为1，∴OM ＝2，AM ＝PM ＝1，∴OP ＝1，∵OA 切⊙M 于点A ，∴∠MAO ＝90°，∴∠AOM ＝30°，∴∠AMO ＝60°，∴PA ＝AM ＝PM ＝1，∴OP ＝PA ＝1，∴P （1，0）；当OA ＝OP ′时，连接AP ′交x 轴于点H ，∵OA 切⊙M 于点A ，∴OP ′切⊙M 于点P ′，∴∠P ′OM ＝∠AOM ＝30°，∴∠AOP ′＝60°，∴△AOP ′是等边三角形，∴AP ′＝OA ==∴OH ==32，P ′H =12AP ′∴P ′（32，2）；∵MA ＝MP ″，∠AMO ＝60°，∴∠MAP ″＝∠MP ″A ＝30°，∴∠AOP ″＝∠MP ″A ＝30°，∴OA ＝OP ″，∴P ″（3，0）．综上所述：当P 的坐标为（1，0），（3，0），（32，2）时，△POA 是等腰三角形．所以答案是：（1，0），（3，0），（32，2）．14．已知三角形ABC 是锐角三角形，其中∠A ＝30°，BC ＝4，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是试题分析：做出三角形的外接圆，根据h ≤AO +OP 求解即可．答案详解：解：如图1，作△ABC 的外接圆⊙O ，连接OA ，OB ，OC ，过O 作OP ⊥BC ，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵BC＝4，∴OA＝BC＝4，PO＝∴h≤AO+OP＝如图2，A1B⊥BC，A2C⊥BC，则A1B＝∵三角形ABC是锐角三角形，∴点A在A1A2之间，∴h的取值范围是：h≤所以答案是：h≤15．如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是　203≤CQ≤12　．试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围．答案详解：解：∵Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，∴AB＝13，①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，则OP⊥AB，且AC＝AP＝5，∴PB＝AB﹣AP＝13﹣5＝8；设CO＝x，则OP＝x，OB＝12﹣x；在Rt△OPB中，OB2＝OP2+OB2，即（12﹣x）2＝x2+82，解之得x=10 3，∴CQ＝2x=20 3；即当CQ=203且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．②当203＜CQ≤12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜203时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当203≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形．所以答案是：203≤CQ ≤12．16．如图，点O 为△ABC 的外接圆圆心，点E 为圆上一点，BC 、OE 互相平分，CF ⊥AE 于F ，连接DF ．若OE ＝DF ＝1，则△ABC试题分析：由BC 、OE 互相平分可证明四边形BECO 为平行四边形，由OC ＝OB 可得BECO 为菱形，可得∠BOD ＝60°，∠BAE ＝∠EAC ＝30°，CF ⊥AE 于F ，可证△AGC 为等边三角形，F 为中点，则由中位线性质可得BG ＝2DF ．在Rt △BHC 中利用勾股定理可求GH ，进而得到AB 、AC ，得到△ABC 的周长．答案详解：解：延长CF 交AB 于点G ，过C 作CH ⊥AB 于H ，连BO ．∵BC 、OE 互相平分，∴四边形BECO 为平行四边形，∵OB ＝OC ，∴四边形BECO 为菱形，∴BE =EC ，∵OE ＝∴Rt △BOD 中，tan ∠OBD =OD BD =∴∠OBD ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∴∠BAE ＝∠EAC ＝30°，∵CF ⊥AE ，∴F为GC中点，△AGC为等边三角形，∴BG＝2DF＝2，在Rt△BCH中，BH2+HC2＝BC2，∴（2+GH）2+）2＝62，解得GH GH∴AG＝AC＝﹣1∴△ABC的周长为所以答案是：17．如图，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，则AB的长43　．试题分析：延长ED交AB于点F，连接BD，将线段AB分为AF和BF两部分，分别计算：先证明△ADE≌△ADF，利用勾股定理得AE的长度，即为AF的长度，再证明△BFD∽△DEC，利用相似，列比例式求得BF，两者相加即可．答案详解：解：如图，延长ED交AB于点F，连接BD，∵AD⊥DE∴∠ADE＝∠ADF＝90°∵D为△ABC的内心∴∠DAE＝∠DAF∵AD＝AD∴△ADE≌△ADF（ASA）∵AE＝AF，DE＝DF＝2∴AE∴AF∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝180°−12（∠BAC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠ABC）＝90°+12∠ABC＝90°+∠ABD＝90°+∠CBD＝90°+∠CDE∴∠ABD＝∠CBD＝∠CDE ∵△ADE≌△ADF∠AFD＝∠AED∴∠BFD＝∠DEC∴△BFD∽△DEC∴BFDE=DFCE∴BF2=23∴BF=4 3∴AB＝AF+BF 4 34318．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B 时，线段A'P扫过的面积为　43π−试题分析：依据轴对称的性质，即可得到AC ＝A 'C ，进而得出点A '的运动轨迹为以C 为圆心，AC 长为半径的一段圆弧；再根据扇形面积的计算公式，即可得到线段A 'P 扫过的面积．答案详解：解：∵△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝60°，BC ＝1，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2BC ＝2，AB =如图①所示，点A 关于直线CP 的对称点为A '，∴AC ＝A 'C ，∴点A '的运动轨迹为以C 为圆心，AC 长为半径的一段圆弧，当点P 与点B 重合时，线段A 'P 扫过的区域为弓形，如图②，∠APA '＝180°，∠ACA '＝120°，∴线段A 'P 扫过的面积为120π×22360−12××1=43π−所以答案是：43π−19．点M 是半径为5的⊙O 内一点，且OM ＝4，在过M 所有⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为　8　．试题分析：先求出过M 所有⊙O 的弦的取值范围，再取整数解．答案详解：解：过点M 作AB ⊥OM 于M ，连接OA ，因为OM ＝4，半径为5，所以AM =3，所以AB ＝3×2＝6，所以过点M 的最长弦为5×2＝10，最短弦为6，在6和10之间的整数有7，8，9，由于左右对称，弦的条数有6条，加上AB 和OM ，共8条．20．AB＝AC＝AD，∠CAB＝100°，则∠BDC＝　50°或130°　．试题分析：分两种情况，当点D在优弧BDC上时，当点D′在劣弧BC上时，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．答案详解：解：如图：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB长为半径的圆上，当点D在优弧BDC上时，∵∠CAB＝100°，∴∠BDC=12∠BAC＝50°，当点D′在劣弧BC上时，∵四边形BDCD′是圆内接四边形，∴∠BD′C＝180°﹣∠BDC＝130°，综上所述：∠BDC＝50°或130°，所以答案是：50°或130°．21．如图，AB是⊙O的弦，AB=P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC是△ABP的中线．（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝　2　；（2）AC试题分析：（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝2，再证明H和C重合即可得到答案；（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．答案详解：解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠P，∴△BAC∽△BPA，∴BABP=BCBA，∴BA2＝BC•BP，∵AC是△ABP的中线，∴BP＝2BC，∴（2＝BC•2BC，∴BC＝2，在Rt△ABH中，∠CAB＝∠P＝45°，AB＝∴BH＝AH＝2，又∵BC＝2，∴点H和点C重合，∴AC＝AH＝2．所以答案是：2；（2）如图2，∵点P的运动轨迹是圆，∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，∴当AC'经过圆心O'时最大．∵∠P＝45°，∴∠AOB＝90°，又∵AB＝∴AO＝BO＝2，OO'＝1，∴AO'=∵O'C'＝1，∴AC'＝1+∴AC的最大值为1+所以答案是：1+22．如图，已知点A（3，0）、B（﹣1，0）点Q是y轴上一点，当∠AQB＝135°时点Q的坐标是　试题分析：分两种情况：①如图，当Q在y轴的负半轴上时，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，证明△QEC≌△CFB，设CE＝a，根据三角函数列方程可解答；②同理Q在y轴的正半轴上时，根据对称得出点Q的坐标．答案详解：解：分两种情况：①如图，当Q在y轴的负半轴上时，过点B作BC⊥AQ，交AQ的延长线于C，过点C作EF⊥y 轴于E，过点B作BF⊥EF于F，∵∠AQB＝135°，∴∠CQB＝45°，∵∠BCQ＝90°，∴△BCQ是等腰直角三角形，∴CQ＝CB，∵∠BCF+∠ECQ＝∠ECQ+∠CQE＝90°，∴∠BCF＝∠CQE，∵∠F＝∠CEQ＝90°，∴△QEC≌△CFB（AAS），∴EQ＝CF，CE＝BF，设CE＝a，则CF＝EQ＝3﹣a，BF＝CE＝a，∴OQ＝a﹣（3﹣a）＝2a﹣3，∵∠AQO＝∠CQE，∴tan∠AQO＝tan∠CQE，即AOOQ =CE EQ，∴12a−3=a3−a，解得：a1a2=，当a=OQ＝2a﹣32，∴Q（0，2；②当Q在y轴的正半轴上时，同理可得Q（02）．综上，点Q的坐标为（0，202）．所以答案是：（0，202）．23．已知等腰△ABC的外心是O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则∠ABC＝　25°或65°　．试题分析：画出相应图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．答案详解：解：（1）圆心O在△ABC外部，在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=12∠BOC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=12∠BOC＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°；所以答案是25°或65°．24．已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB＝2：3，CP＝2cm，DP＝12cm，则弦AB 的长为　10　cm．试题分析：根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．答案详解：解：设AP＝2x，由AP：PB＝2：3得PB＝3x，由相交弦定理得：PA•PB＝PC•PD，∴2x•3x＝2×12，x＝2（舍去负值），∴AB＝AP+PB＝5x＝10cm．25．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r，则r的最小值为　5或4　．试题分析：分类讨论：当AD在△ABC内部，利用勾股定理求法可得三角形第3边长，可得三角形的形状为直角三角形，完全覆盖△ABC的圆的最小半径为直角三角形斜边的一半；当AD在△ABC外部，即△ABC是钝角三角，以AC为直径的圆是能完全覆盖△ABC的最小圆．答案详解：解：（1）当AD在△ABC内部，如图：∵AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，∴BD＝3.6，CD＝6.4，∴BC＝10，∵62+82＝102．∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴完全覆盖△ABC的圆的最小半径为10×12=5；（2）当AD在△ABC外部，即△ABC是钝角三角，∵以AC为直径的圆是能完全覆盖△ABC的最小圆，∴能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为8×12=4，所以答案是：5或4．26．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接试题分析：三角形的外心是三边中垂线的交点，设△ABC的外心为M；由A、B、C的坐标知：AB、BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到M（1，0），由勾股定理即可求得⊙M的半径长．答案详解：解：设△ABC的外心为M，如图：∵A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3），∴AB、BC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）；MA就是⊙M的半径长，由勾股定理得：MA即△ABC27．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC＝6，则△PDC的面积的最小值是　4　．试题分析：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，可求得OH，过D作DM⊥BC于点M，可求得CD＝EF＝5，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，可得AE+BF＝EF＝5，可求得OG＝2.5，可求得GH＝2，又OP＝2，且OPPQ=OGGH，可求得PQ＝1.6，可求得△PCD的面积，可得出答案．答案详解：解：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，如图，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH=12（AD+BC）＝4.5，过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC﹣AD＝3，∴CD＝EF＝5，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，∴AE+BF＝EF＝5，∴OG=12（AE+BF）＝2.5，∴GH＝OH﹣OG＝4.5﹣2.5＝2，又∵OP＝2，且OPPQ=OGGH，∴2PQ=2.52，∴PQ＝1.6，∴S△PCD =12PQ•CD=12×1.6×5＝4，所以答案是：4．28．如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是　12　．试题分析：过O作OM⊥AC于M，ON⊥EF于N，连接OC、OF，设OC＝ON＝R，根据等边三角形性质推出∠MCO ＝∠OFN ＝30°，求出OM 、OF 的值，根据勾股定理求出CM 、FN ，根据垂径定理求出AC 、EF 值，即可求出答案．答案详解：解：过O 作OM ⊥AC 于M ，ON ⊥EF 于N ，连接OC 、OF ，设OC ＝ON ＝R ，∵⊙O 既是正△ABC 的外接圆，又是正△DEF 的内切圆，∴∠MCO ＝∠OFN ＝30°，∵∠CMO ＝∠FNO ＝90°，∴OM =12R ，OF ＝2R ，由勾股定理得：CM ==2R ，由垂径定理得：AC ＝2CM =，同理EF ＝2NF ＝，即内外两个正三角形的相似比是AC ：EF ＝1：2=12，所以答案是：12．29．如图，点C 在以O 为圆心的半圆内一点，直径AB ＝4，∠BCO ＝90°，∠OBC ＝30°，将△BOC 绕圆心逆时针旋转到使点C 的对应点C ′在半径OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）面积为 π　.（结果保留π）试题分析：根据直角三角形的性质求出OC 、BC ，根据扇形面积公式计算即可．答案详解：解：∵∠BCO ＝90°，∠OBC ＝30°，∴OC =12OB ＝1，BC则边BC 扫过区域的面积为：120π×22360+12××1−120π×12360−12××1=43π−13π−=π．所以答案是：π．30．如图，C 、D 是⊙O 上两点，位于直径AB 的两侧，设∠ABC ＝24°，则∠BDC ＝　66　°．试题分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB ＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A ＝66°，从而利用同弧所对的圆周角相等即可解答．答案详解：解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝24°，∴∠A ＝90°﹣∠ABC ＝66°，∴∠BDC ＝∠A ＝66°，所以答案是：66．31．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC 的工作面，使得∠ACB ＝60°，CD 是AB 边上的高，且CD ＝6，则△ABC 的面积最小值是试题分析：作△ABC 的外接圆⊙O ，连接OA 、OB 、OC ，作OE ⊥AB 于E ，设OA ＝OC ＝2x ．根据圆周角和等腰三角形的性质得OE =12OA ＝x ，AE =，再由线段的不等关系可得最小值，最后根据三角形面积公式答案．答案详解：解：作△ABC 的外接圆⊙O ，连接OA 、OB 、OC ，作OE ⊥AB 于E ，设OA ＝OC ＝2x ．∵∠AOB ＝2∠ACB ，∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，OA ＝OB ＝R ，OE ⊥AB ，∴AE ＝EB ，∠AOE ＝∠BOE ＝60°，∴OE =12OA ＝x ，AE =，∵OC +OE ≥CD ，CD ＝6，∴3x ≥6，∴x ≥2，∴x 的最小值为2．∵E 为AB 中点，∴AB ＝AE +BE ＝2AE ＝，∵AB 的最小值为∴S △ABC 的最小值=12CD ⋅AB =12×6×=所以答案是：32．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 的中点，点P 是边AB 上的一个动点，连接PE ，以P为圆心，PE 的长为半径作⊙P ．当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，则AP 的长为 32或试题分析：分⊙P 与BC 相切、⊙P 与DC 相切两种情况，根据切线的性质、勾股定理计算即可．答案详解：解：当⊙P 与BC 相切时，PE ＝PB ＝4﹣AP ，在Rt △PAE 中，AP 2+AE 2＝PE 2，即AP 2+22＝（4﹣AP ）2，解得：AP =32，当⊙P 与DC 相切时，PE ＝4，则AP ==综上所述，当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，则AP 的长为32或所以答案是：32或33．如图，在扇形AOB 中，OA ＝2，点P 为AB 上一动点，过点P 作PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD ，当CD 取得最大值时，扇形OAB 的周长为 4+π　．试题分析：∠AOB ＝90°时，CD 最大，由求出扇形的周长即可．答案详解：解：由PC ⊥OA ，PD ⊥OB 可知，∠OCP +∠ODP ＝180°，∴O 、C 、P 、D 四点共圆，CD 为此圆直径时，CD 最大，∴当∠AOB ＝90°时，CD 最大，如图：此时扇形周长为2+2+90⋅π⋅2180=4+π．所以答案是：4+π．34．如图，圆内一条弦CD 与直径AB 相交成30°角，且分直径成1cm 和5cm 两部分，则这条弦的弦心距是　1cm ．试题分析：首先过点O 作OF ⊥CD 于点F ，设弦CD 与直径AB 相交于点E ，由分直径成1cm 和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距．答案详解：解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，∵分直径成1cm和5cm两部分，∴AB＝6cm，∴OA=12AB＝3cm，∴OE＝OA﹣AE＝2cm，∵∠OEF＝30°，∴OF=12OE＝1（cm）．所以答案是：1cm．35．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为　7dm 或1dm　．试题分析：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理得AE＝BE=12AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD，根据垂径定理得CF＝FD=12CD＝4，然后利用勾股定理可计算出OE＝4，OF＝3，再进行讨论：当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD 的距离＝OE﹣OF．答案详解：解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，∴AE＝BE=12AB＝3，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴CF＝FD=12CD＝4，在Rt△OAE中，OA＝5dmOE4，同理可得OF＝3，当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．所以答案是7dm或1dm．36．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有　12　个．试题分析：因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2＝25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．答案详解：解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，=5，即x2+y2＝25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．37．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　60或120　°．试题分析：根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．答案详解：解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．所以答案是：60或120．38．圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角度数为　30或150　度．试题分析：由圆周角定理知，弦所对的优弧上的圆周角是30°；由圆内接四边形的对角互补可知，弦所对劣弧上的圆周角＝180°﹣30°＝150°．因此弦所对的圆周角度数有两个．答案详解：解：如图，∠AOB＝60°；则∠C=12∠AOB＝30°；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠C＝150°；因此弦AB所对的圆周角度数为30°或150°．39．一圆中两弦相交，一弦长为2a且被交点平分，另一弦被交点分成1：4两部分，则另一弦长为　5a2　．试题分析：设另一条弦被分成的两段长分别是x，4x，根据相交弦定理求解．圆内两条相交弦，被交点分成的线段的乘积相等．答案详解：解：设另一条弦被分成的两段长分别是x，4x．根据相交弦定理，得x•4x＝a2，x=a 2．所以5x=52 a．三．解答题40．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．（1）求∠B的度数；（2）若CE＝O的半径．试题分析：（1）根据垂径定理求出BE＝CE，根据线段垂直平分线性质求出AB＝AC，同理得AC ＝BC，则△ABC是等边三角形，从而得结论；（2）求出∠BCD＝30°和OE＝4，根据直角三角形中含30°角的性质求出圆O的半径即可．答案详解：解：（1）如图，∵AO⊥BC，AO过O，∴CE＝BE，∴AB＝AC，同理得：AC＝BC，∴AB＝AC＝BC∴△ABC是等边三角形∴∠B＝60°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∵CE＝在Rt△CEO中，OE＝4，∴OC＝2OE＝8，即圆O的半径为8．41．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA ＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；（2）利用垂径定理可得AF=12AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．答案详解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝∠C＝90°，∴OF⊥AC，∴AD=CD，∴点D为AC的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF=12AC＝8，在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，∴OA2＝64+（OA﹣4）2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．42．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．试题分析：（1）连接CB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝55°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答；（2）利用三角形的外角性质，进行计算即可解答．答案详解：解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ABC＝∠D＝55°，∴∠D的度数为55°；（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，∴∠CEB的度数为100°．43．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．（1）求证：BC＝DF．（2）若BC＝8，BE＝2，求⊙O的半径．试题分析：（1）根据AAS证明△CDB≌△DBF，可得结论；（2）先根据垂径定理可得DE＝4，设⊙O的半径为r，利用勾股定理求解即可．答案详解：（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，∴BD=BF，∴BD=BF=CD，∴BF＝CD＝BD，∠DCB＝∠BDF＝∠CBD＝∠F，∴△CDB≌△DBF（AAS），∴BC＝DF；（2）解：如图，连接OD交BC于点M，∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，∴DE＝EF，。

完整word版-初三上学期数学错题集(一二)及答案

初三上学期数学错题集（一元二次方程）（一） 2012.09.09已打印1、若方程（m-2）x㎡-2+mx2=7是关于x的一元二次方程，则m的值为。

2、根据题意，列出方程：（不必求解，写出一般形式）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的平均增长率。

3、方程x2=0的实数根有（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个4、下列二次三项式中，是完全平方式的是（填序号）。

①9x2-12xy+4y2；②4y2-4y-1；③x2-25x+5；④2x2-4x+1；5、写出一个一元二次方程，使它的两根：一根是正数，另一根在-2与-1之间。

6、方程（x-2）(x+3)=6的解是（）A．x1=-4,x2=3 B．x1=2,x2=3C．x1=2,x2=-3 D．x1=4,x2=-37、用因式分解法解方程5（x+3)-2x（x+3)=0，可把它化为两个一元一次方程、求解。

初三上学期数学错题集（一元二次方程）（二）2012.09.15已打印1、解方程：（1）3y(y-1)2=2-2y （2）7 x2=21x （3）（x2+1）2-3(x2+1)-28=02、若△ABC的边长都是方程x2-10x+21=0的根，求△ABC的周长。

3、若△ABC 的边长都是方程x 2-7x+12=0的根，求△ABC 的周长。

4、已知P=157m-1,Q= m 2-158m(m 为任意实数)，则P 、Q 的大小关系为（） A ．P<Q B. P=Q C. P>Q D.不能确定 5、关于x 的方程（k+1）x 2+2(k+1) x+k=0无实数根，则k 的取值范围是。

6、已知a 是整数，满足⎩⎨⎧>->+023013a a 试解关于x 的一元二次方程x 2-4=x(ax-3).7、k 为何值时，关于x 的方程（k-1）x 2-(2k+1) x+k+1 = 0（1）有一解？（2）有两个不相等的实数根？8、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+1) x+k(k+1) = 0的两个实数根，第三边BC 的长为5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的边长。

九年级数学上册易错题精选练习汇总(解析版)

九年级数学上册易错题精选练习汇总一、选择题1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C都在格点上，则的正切值是∠ABC ( )A. 2B.C.D. 255 55 122.如图，在中，，，垂足为D ，AF 平分Rt △ABC ∠ACB =90°CD ⊥AB ∠CAB，交CD 于点E ，交CB 于点若，，则CE 的长为F .AC =3AB =5( )A. B. C. D. 324353853.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点，，反比例函数tan ∠AOC =43y =的图象经过点C ，与AB 交于点D ，则的面24x △COD 积为( )A. 12B. 20C. 24D. 404.如图，在中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且△ABC ，若：：4，则：DE //AC S △BDE S △CDE =1S △BDE S △ACD =( )A. 1：16B. 1：18C. 1：20D. 1：245.已知关于x 的一元二次方程有两个实数根，m 为正整x 2+2x +m ‒2=0数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( )A. 6B. 5C. 4D. 36.已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记y =‒x 2‒2x +3为C ，连接AC ，BC ，则的值为tan ∠CAB ( )A. B. C. D. 212552557.如图，的半径为3，四边形ABCD 内接于，连接OB 、OD ，若⊙O ⊙O ∠，则的长为BOD =∠BCD ⏜BD ( )A. πB. 32πC. 2πD. 3π8.如图，AB 是的直径，BT 是的切线，若，，则⊙O ⊙O ∠ATB =45°AB =2阴影部分的面积是( )A. 2B.C. 1D. 32‒14π 12+14π9.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，，以点D 为圆心，菱形的∠DAB =60°高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是( )A. B. C. D. 183‒9π18‒3π93‒9π2183‒3π10.若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a x (x +1)+ax =0的值为( )A. B. 1 C. 或2 D. 或1‒1‒2‒311.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米，两块绿地之间及周边留有 2宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是( )A. B. x 2+9x ‒8=0x 2‒9x ‒8=0C. D. x 2‒9x +8=02x 2‒9x +8=012.如图，在x 轴的上方，直角绕原点O 按顺∠BOA 时针方向旋转，若的两边分别与函数∠BOA y =-2x，的图象交于B 、A 两点，则的值y =8x tan ∠OAB 的变化趋势为：()A. 逐渐变小B. 逐渐变大C. 时大时小D. 保持不变二、填空题13.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是____结果保留．(π)14.如图，在中，，，，Rt △ABC ∠C =90°AC =6BC =8点F 在边AC 上，并且，点E 为边BC 上的动CF =2点，将沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则△CEF 点P 到边AB 距离的最小值是______．15.已知方程的两根恰好是的两条边的长，则x 2‒7x +12=0Rt △ABC Rt △的第三边长为______ ．ABC 16.如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于______．17.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A 滑行至B ，已知34°AB米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米．参考数据：=500(sin ，，34°≈0.56cos 34°≈0.83tan 34°≈0.67)18.在中，，，点D 在边AB 上，且，点E 在边AC △ABC AB =6AC =5AD =2上，当______时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与相似．AE =△ABC 19.在中，，，，则______．Rt △ABC ∠C =90°AB =2BC =3sin A2=20.已知关于x 的方程的两根为和，则___，x 2+px +q =0‒3‒1p =q =___．三、解答题21.用配方法解方程：．2x 2+2x ‒1=022.如图，在中，，以AB 为直径的与边BC 、AC 分别交于△ABC AB =AC ⊙O D 、E 两点，过点D 作，垂足为点F ．DF ⊥AC 求证：DF 是的切线；(1)⊙O若，，求DF 的长．(2)AE =4cosA =2523. “为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速.60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从/观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒钟，已知，∠CAN =45°∠，米，此车超速了吗？请说明理由．参考数据：CBN =60°BC =200(2，≈1.413≈1.73)24.如图，已知AB 是圆O 的直径，弦，垂足为H ，与AC 平行的圆O CD ⊥AB 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N ．求证：；(1)CA =CN 连接DF ，若，，求圆O 的直径的长度．(2)cos ∠DFA =45AN =21025.如图，AE 与BD 交于点C ，，且DM 交AC 于F ，ME 交∠DME =∠A =∠B BC 于G求证：∽．△AMF △BGM 26.如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度结果15(保留小数点后一位，参考数据：．5≈2.236)A‒B‒D27.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿的路线可至山顶D处，假设AB=BD=600mα=75°β=45°AB和BD都是直线段，且，，，求DE的长．(sin75°≈0.97cos75°≈0.262≈1.41)参考数据：，，a x2+bx+c=0(a≠0)28.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中.一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二x2‒6x+8=0x2‒6x+8=0次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．(1)x2‒3x+c=0c=若一元二次方程是“倍根方程”，则______；(2)(x‒2)(mx‒n)=0(m≠0)4m2‒5mn+n2若是“倍根方程”，求代数式的值；(3)a x2+bx+c=0(a≠0)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．AB=AC=AD∠BAD29.如图，四边形ABCD中，，AC平分，点P是AC延长PD⊥AD线上一点，且．(1)∠BDC=∠PDC证明：；(2)AB=1CP=2若AC与BD相交于点E，，CE：：3，求AE的长．30.列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？31.如图，和均为等腰直角三角形，且，△ABC △BEC ∠ACB =∠BEC =90°AC ，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP 以CP 为直角边向下作等=42腰直角，线段BE 与CD 相交于点F△CPD 求证：；(1)PC CD =CECB 连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由；(2)设，的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．(3)PE =x △PBD答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数．连接AC ，根据勾股定理，可得AC 、AB 、BC 的长，由勾股定理逆定理可得△是直角三角形，根据正切函数的定义，可得答案．ABC 【解答】解：如图：，由勾股定理，得，，，AC =2AB =22BC =10为直角三角形，∴△ABC ，∴tan ∠B =AC AB =12故选D ．2.【答案】A【解析】解：过点F 作于点G ，FG ⊥AB ，，∵∠ACB =90°CD ⊥AB ，∴∠CDA =90°，，∴∠CAF +∠CFA =90°∠FAD +∠AED =90°平分，∵AF ∠CAB，∴∠CAF =∠FAD ，∴∠CFA =∠AED =∠CEF ，∴CE =CF 平分，，∵AF ∠CAB ∠ACF =∠AGF =90°，∴FC =FG ，，∵∠B =∠B ∠FGB =∠ACB =90°∽，∴△BFG △BAC ，∴BF AB =FG AC ，，，∵AC =3AB =5∠ACB =90°，∴BC =4，∴4‒FC 5=FG 3，∵FC =FG ，∴4‒FC 5=FC 3解得：，FC =32即CE 的长为．32故选：A ．根据三角形的内角和定理得出，，根∠CAF +∠CFA =90°∠FAD +∠AED =90°据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用相似∠CEF =∠CFE EC =FC 三角形的判定与性质得出答案．本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出．∠CEF =∠CFE 3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角函数的定义，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键．S 菱形ABCO =2S △CDO 易证，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求S 菱形ABCO =2S △CDO tan ∠AOC 得点C 的坐标，可得菱形的面积和结论．【解答】解：作，，DF //AO CE ⊥AO，∵tan ∠AOC =43设，，∴CE =4x OE =3x ，，∴3x ⋅4x =24x =±2，，∴OE =32CE =42由勾股定理得：，OC =52，∴S 菱形OABC =OA ⋅CE =52×42=40四边形OABC 为菱形，∵，，∴AB //CO AO //BC ，∵DF //AO ，∴S △ADO =S △DFO 同理，S △BCD =S △CDF ，∵S 菱形ABCO =S △ADO +S △DFO +S △BCD +S △CDF ，∴S 菱形ABCO =2(S △DFO +S △CDF )=2S △CDO =40；∴S △CDO =20故选B ．4.【答案】C【解析】解：：：4，∵S △BDE S △CDE =1设的面积为a ，则的面积为4a ，∴△BDE △CDE 和的点D 到BC 的距离相等，∵△BDE △CDE ，∴BE CE =14，∴BE BC =15，∵DE //AC ∽，∴△DBE △ABC ：：25，∴S △DBE S △ABC =1，∴S △ACD =25a ‒a ‒4a =20a ：：：20．∴S △BDE S △ACD =a 20a =1故选：C ．设的面积为a ，表示出的面积为4a ，根据等高的三角形的面积△BDE △CDE 的比等于底边的比求出，然后求出和相似，根据相似三角形面BE CE △DBE △ABC 积的比等于相似比的平方求出的面积，然后表示出的面积，再求△ABC △ACD 出比值即可．本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用的面积表示出△BDE △的面积是解题的关键．ABC 5.【答案】B【解析】解：，，，关于x 的一元二次方程∵a =1b =2c =m ‒2x 2+2x +m 有实数根‒2=0，∴△=b 2‒4ac =22‒4(m ‒2)=12‒4m ≥0．∴m ≤3为正整数，且该方程的根都是整数，∵m 或3．∴m =2．∴2+3=5故选：B ．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由m 为正整数结合该△≥0m ≤3方程的根都是整数，即可求出m 的值，将其相加即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当时，方程有△≥0实数根”是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：令，则，解得或1，不妨设y =0‒x 2‒2x +3=0x =‒3A (‒3,0)，，B (1,0)，∵y =‒x 2‒2x +3=‒(x +1)2+4顶点，∴C (‒1,4)如图所示，作于D ．CD ⊥AB在中，，Rt △ACD tan ∠CAD =CD AD =42=2故选：D ．先求出A 、B 、C 坐标，作于D ，根据即可计算．CD ⊥AB tan ∠ACD =CD AD 本题考查二次函数与x 轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x 轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．7.【答案】C 【解析】解：四边形ABCD 内接于，∵⊙O ，∴∠BCD +∠A =180°，，∵∠BOD =2∠A ∠BOD =∠BCD ，∴2∠A +∠A =180°解得：，∠A =60°，∴∠BOD =120°的长；∴⏜BD =120π×3180=2π故选：C ．由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出，得出，再由∠A =60°∠BOD =120°弧长公式即可得出答案．本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出是解决问题的关键．∠BOD =120°8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．设AT 交于D ，连结BD ，先根据圆周角定理得到，则可判断⊙O ∠ADB =90°、都是等腰直角三角形，所以，然△ADB △BDT AD =BD =TD =22AB =2后利用弓形AD 的面积等于弓形BD 的面积得到阴影部分的面积．=S △BTD 【解答】解：是的切线．∵BT ⊙O设AT 交于D ，连结BD ，⊙O 是的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ADB =90°而，∠ATB =45°、都是等腰直角三角形，∴△ADB △BDT ，∴AD =BD =TD =22AB =2弓形AD 的面积等于弓形BD 的面积，∴阴影部分的面积．∴=S △BTD =12×2×2=1故选C ．9.【答案】A 【解析】解：四边形ABCD 是菱形，，∵∠DAB =60°，，∴AD =AB =6∠ADC =180°‒60°=120°是菱形的高，∵DF ，∴DF ⊥AB ，∴DF =AD ⋅sin 60°=6×32=33图中阴影部分的面积菱形ABCD 的面积扇形DEFG 的面积∴=‒=6×33‒．120π×(33)2360=183‒9π故选：A ．由菱形的性质得出，，由三角函数求出菱形的高AD =AB =6∠ADC =120°DF ，图中阴影部分的面积菱形ABCD 的面积扇形DEFG 的面积，根据面=‒积公式计算即可．本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．10.【答案】A【解析】解：原方程可变形为．x 2+(a +1)x =0该方程有两个相等的实数根，∵，∴Δ=(a +1)2‒4×1×0=0解得：．a =‒1故选：A ．将原方程变形为一般式，根据根的判别式即可得出关于a 的一元二次方△=0程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题△=0的关键．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米得出等式是解题关键设人行道的宽度为x 米，根据矩形绿地的面积 2.之和为60米，列出一元二次方程． 2【解答】解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，，(18‒3x )(6‒2x )=60化简整理得，．x 2‒9x +8=0故选C ．12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．作辅助线；首先证明∽，得到；设，，△BOM △OAN BM ON =OM AN B (‒m ,2m )A (n ,8n )得到，，，，进而得到，，此为BM =2m AN =8n OM =m ON =n mn =16mn mn =4解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知为定值，即tan ∠OAB =12可解决问题．【解答】解：如图，分别过点A 、B 作轴、轴；AN ⊥x BM ⊥x ，∵∠AOB =90°，∴∠BOM +∠AON =∠AON +∠OAN =90°，∴∠BOM =∠OAN ，∵∠BMO =∠ANO =90°∽，∴△BOM △OAN ；∴BM ON =OM AN 设，，B (‒m ,2m )A (n ,8n )则，，，，BM =2m AN =8n OM =m ON =n ，；∴mn =16mn mn =16=4，∵∠AOB =90°；∴tan ∠OAB =OB OA ①∽，∵△BOM △OAN ，∴OB OA =BM ON =2m n =2mn =12②由知为定值，①②tan ∠OAB =12的大小不变．∴∠OAB 故选：D ．13.【答案】8‒2π【解析】【分析】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．根据计算即可；S 阴=S △ABD ‒S 扇形BAE 【解答】解：，S 阴=S △ABD ‒S 扇形BAE =12×4×4‒45⋅π⋅42360=8‒2π故答案为．8‒2π14.【答案】1.2【解析】【分析】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P 位置，属于中考常考题型．延长FP 交AB 于M ，当时，点P 到AB 的距离最小，利用∽FP ⊥AB △AFM ，得到求出FM 即可解决问题．△ABC AF AB =FM BC 【解答】解：如图，延长FP 交AB 于M ，当时，点P 到AB 的距离最小．点FP ⊥AB (P 在以F 为圆心CF 为半径的圆上，当时，点P 到AB 的距离最小FP ⊥AB )，，∵∠A =∠A ∠AMF =∠C =90°∽，∴△AFM △ABC ，∴AF AB =FM BC ，，，∵CF =2AC =6BC =8，，∴AF =4AB =AC 2+BC 2=10，∴410=FM 8，∴FM =3.2，∵PF =CF =2点P 到边AB 距离的最小值是．∴PM =1.2∴1.2故答案为．1.215.【答案】5或7【解析】【分析】解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边．知道直角三角形的两边，要分第三边是斜边和直角边两种情况讨论．【解答】解：方程的两个根是3和也就是的两条边的长是3x 2‒7x +12=0 4.Rt △ABC 和4．当3和4都是直角边时，第三边．=32+42=5当4为斜边时，第三边故第三边长是5或．=42‒32=7.7故答案为5或．716.【答案】5π【解析】解：由图形可知，圆心先向前走的长度，从O 到的运动轨迹是O O 1O 1一条直线，长度为圆的周长，14然后沿着弧旋转圆的周长，O 1O 214则圆心O 运动路径的长度为：，14×2π×5+14×2π×5=5π故答案为：．5π根据题意得出半圆在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长12即可．本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．17.【答案】280【解析】解：如图在中，Rt △ABC ，AC =AB ⋅sin 34°=500×0.56≈280m 这名滑雪运动员的高度下降了280m ．∴故答案为280如图在中，Rt △ABC AC =AB ⋅sin 34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m ．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．18.【答案】或12553【解析】解：当时，AE AD =AB AC ，∵∠A =∠A ∽，∴△AED △ABC 此时；AE =AB ⋅AD AC =6×25=125当时，AD AE =AB AC ，∵∠A =∠A ∽，∴△ADE △ABC 此时；AE =AC ⋅AD AB =5×26=53故答案为：或．12553若A ，D ，E 为顶点的三角形与相似时，则或，分情况进△ABC AE AD =AB AC AD AE =AB AC 行讨论后即可求出AE 的长度．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论．19.【答案】12【解析】解：，∵sinA =BC AB =32，∴∠A =60°．∴sin A 2=sin 30°=12故答案为：．12根据的正弦求出，再根据的正弦值求解即可．∠A ∠A =60°30°本题考查了特殊角的三角函数值，熟记、、角的三角函数值是解题30°45°60°的关键．20.【答案】4；3【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出、‒3+(‒1)=‒p 是解题的关键．由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元(‒3)×(‒1)=q 一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：关于x 的方程的两根为和，∵x 2+px +q =0‒3‒1，，∴‒3+(‒1)=‒p (‒3)×(‒1)=q ，．∴p =4q =3故答案为4；3．21.【答案】解：方程变形得：，x 2+x =12配方得：，即，x 2+x +14=34(x +12)2=34开方得：，x +12=±32解得：，．x 1=‒12+32x 2=‒12‒32【解析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关‒键．22.【答案】证明：如图，连接OD ，作于点G ，(1)OG ⊥AC ，，∵OB =OD ，∴∠ODB =∠B 又，∵AB =AC ，∴∠C =∠B ，∴∠ODB =∠C ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =90°，∴∠ODF =∠DFC =90°是的切线．∴DF ⊙O 解：，(2)AG =12AE =2，∵cosA =AG OA ，∴OA =AG cosA =225=5，∴OG =OA 2‒AG 2=21，∵∠ODF =∠DFG =∠OGF =90°四边形OGFD 为矩形，∴．∴DF =OG =21【解析】证明：如图，连接OD ，作于点G ，推出；然(1)OG ⊥AC ∠ODB =∠C 后根据，，推出，即可推出DF 是DF ⊥AC ∠DFC =90°∠ODF =∠DFC =90°⊙的切线．O 首先判断出：，然后判断出四边形OGFD 为矩形，即可求出(2)AG =12AE =2DF 的值是多少．此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．23.【答案】解：此车没有超速．理由：过C 作，CH ⊥MN ，米，∵∠CBN =60°BC =200米，∴CH =BC ⋅sin 60°=200×32=1003()米，BH =BC ⋅cos 60°=100()，∵∠CAN =45°米，∴AH =CH =1003，∴AB =1003‒100≈73(m )千米小时，∵60/=503m /s ，∴735=14.6(m /s )<503≈16.7(m /s )此车没有超速．∴【解析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH ，CH ，AB 的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB 的长是解题关键．24.【答案】证明：连接OF ，则，(1)∠OAF =∠OFA 如图所示．与相切，∵ME ⊙O ．∴OF ⊥ME ，∵CD ⊥AB ．∴∠M +∠FOH =180°，，∵∠BOF =∠OAF +∠OFA =2∠OAF ∠FOH +∠BOF =180°．∴∠M =2∠OAF ，∵ME //AC ．∴∠M =∠C =2∠OAF ，∵CD ⊥AB ，∴∠ANC +∠OAF =∠BAC +∠C =90°，，∴∠ANC =90°‒∠OAF ∠BAC =90°‒∠C =90°‒2∠OAF，∴∠CAN =∠OAF +∠BAC =90°‒∠OAF =∠ANC ．∴CA =CN 连接OC ，如图2所示．(2)，，∵cos ∠DFA =45∠DFA =∠ACH ．∴CH AC =45设，则，，CH =4a AC =5a AH =3a，∵CA =CN ，∴NH =a ，∴AN =AH 2+NH 2=(3a )2+a 2=10a =210，，．∴a =2AH =3a =6CH =4a =8设圆的半径为r ，则，OH =r ‒6在中，，，，Rt △OCH OC =r CH =8OH =r ‒6，，∴O C 2=C H 2+O H 2r 2=82+(r ‒6)2解得：，r =253圆O 的直径的长度为．∴2r =503【解析】连接OF ，根据切线的性质结合四边形内角和为，即可得出(1)360°∠，由三角形外角结合平行线的性质即可得出M +∠FOH =180°∠M =∠C =2∠，再通过互余利用角的计算即可得出，由此OAF ∠CAN =90°‒∠OAF =∠ANC 即可证出；CA =CN 连接OC ，由圆周角定理结合、，即可求出CH 、AH (2)cos ∠DFA =45AN =210的长度，设圆的半径为r ，则，根据勾股定理即可得出关于r 的一元OH =r ‒6一次方程，解之即可得出r ，再乘以2即可求出圆O 直径的长度．本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理以及解一元一次方程，解题的关键是：通过角的计算找出；(1)∠CAN =90°‒∠OAF =∠ANC 利用解直角三角形求出CH 、AH 的长度．(2)25.【答案】解：是的外角，∵∠DMB △AMF ，且∴∠DMB =∠AFM +∠A ∵∠DMB =∠BMG +∠DME ∠A =∠DME∽∴∠AFM =∠BMG ∵∠A =∠B ∴△AMF△BGM【解析】由于是的外角，所以，又因为∠DMB △AMF ∠DMB =∠AFM +∠A ∠，所以，从而可证明∽DMB =∠BMG +∠DME ∠AFM =∠BMG △AMF △BGM 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是找出两对对应角相等，本题属于中等题型．26.【答案】解一：设上、下边衬宽均为4xcm ，左、右边衬宽均为3xcm ，则．(40‒8x )(30‒6x )=45×40×30整理，得，解之得，x 2‒10x +5=0x =5±25，舍去，∴x 1≈0.53x 2≈9.47()答：上、下边衬宽均为，左、右边衬宽均为．2.1cm 1.6cm 解二：设中央矩形的长为4xcm ，宽为3xcm ，则，4x ×3x =45×40×30解得，舍去，x 1=45x 2=‒45()上、下边衬宽为，左、右边衬宽均为，∴20‒85≈2.115‒65≈1.6答：上、下边衬宽均为，左、右边衬宽均为．2.1cm 1.6cm 【解析】设上、下边衬宽均为4xcm ，左、右边衬宽均为3xcm ，根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．27.【答案】解：在中，，，Rt △ABC ∵AB =600m ∠ABC =75°，∴BC =AB ⋅cos 75°≈600×0.26≈156m 在中，，Rt △BDF ∵∠DBF =45°，∴DF =BD ⋅sin 45°=600×22≈300×1.41≈423四边形BCEF 是矩形，∵，∴EF =BC =156．∴DE =DF +EF =423+156=579m 答：DE 的长为579m ．【解析】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．在R △ABC 中，求出BC ，在中，求出DF ，由四边形BCEF 是矩形，可得Rt △BDF EF =，由此即可解决问题．BC 28.【答案】；(1)2解方程得，，．(2)(x ‒2)(mx ‒n )=0(m ≠0)x 1=2x 2=n m 方程两根是2倍关系，∵或4，∴x 2=1当时，，即，x 2=1x 2=n m =1m =n 代入代数式，4m 2‒5mn +n 2=0当时，，即，x 2=4x 2=n m=4n =4m 代入代数式．4m 2‒5mn +n 2=0综上所述，；4m 2‒5mn +n 2=0根据“倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为t (3)a x 2+bx +c =0(a ≠0)和2t ．原方程可以改写为，∴a (x ‒t )(x ‒2t )=0，∴a x 2+bx +c =a x 2‒3atx +2a t 2．∴{b =‒3atc =2at 2解得．2b 2‒9ac =0，b ，c 之间的关系是．∴a 2b 2‒9ac =0【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程x 1x 2a x 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，，也考查了一元二次方程的解和解一元二次方x 1+x 2=‒b a x 1x 2=c a .程．由一元二次方程是“倍根方程”，得到，，(1)x 2‒3x +c =0x 1+2x 1=32x 21=c 即可得到结论；解方程得，，由方程两根是2倍(2)(x ‒2)(mx +n )=0(m ≠0)x 1=2x 2=n m .2关系，得到或43，代入解方程即可得到结论；x 2=1根据“倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程(3)a (x ‒t )(x ‒2t )=06即可得到结论．【解答】解：一元二次方程是“倍根方程”，(1)∵x 2‒3x +c =0，，即，，∵x 1+x 2=3x 1x 2=c x 1+2x 1=32x 21=c ，∴c =2故答案为2；见答案；(2)见答案．(3)29.【答案】证明：，AC 平分，(1)∵AB =AD ∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD +∠BDC =90°，∵AC =AD ，∴∠ACD =∠ADC ，∴∠ADC +∠BDC =90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC +∠PDC =90°；∴∠BDC =∠PDC 解：过点C 作于点M ，(2)CM ⊥PD ，∵∠BDC =∠PDC ，∴CE =CM ，，∵∠CMP =∠ADP =90°∠P =∠P ∽，∴△CPM △APD ，∴CM AD =PC PA 设，CM =CE =x ：：3，∵CE CP =2，∴PC =32x ，∵AB =AD =AC =1，∴x 1=32x 32x +1解得：，x =13故AE ．=1‒13=23【解析】直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出；(1)∠BDC =∠PDC 首先过点C 作于点M ，进而得出∽，求出EC 的长(2)CM ⊥PD △CPM △APD 即可得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出∽是解题关键．△CPM △APD 30.【答案】解：设销售单价为x 元，由题意，得：，(x ‒360)[160+2(480‒x )]=20000整理，得：，x 2‒920x +211600=0解得：，x 1=x 2=460答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．【解析】根据单件利润销售量总利润，列方程求解即可．×=本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．31.【答案】证明：和均为等腰直角三角形，(1)∵△BCE △CDP ，，∴∠ECB =∠PCD =45°∠CEB =∠CPD =90°∽，∴△BCE △DCP ；∴PC CD =CE CB 解：，(2)AC //BD 理由：，∵∠PCE +∠ECD =∠BCD +∠ECD =45°，∴∠PCE =∠BCD 又，∵PC DC =EC CB∽，∴△PCE △DCB ，∴∠CBD =∠CEP =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACB =∠CBD ；∴AC //BD 解：如图所示：作于M ，(3)PM ⊥BD，和均为等腰直角三角形，∵AC =42△ABC △BEC ，∴BE =CE =4∽，∵△PCE △DCB ，即，∴EC CB =PE BD 442=x BD ，∴BD =2x ，，∵∠PBM =∠CBD ‒∠CBP =45°BP =BE +PE =4+x ，∴PM =sin 45°⋅(4+x )=2(4+x )2的面积．∴△PBD S =12BD ⋅PM =12×2x ×2(4+x )2=12x 2+2x 【解析】此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识直接利用相似三角形的判定方法得出∽，进而得出答案；(1)△BCE △DCP(2)△PCE△DCB∠ACB=∠CBD首先得出∽，进而求出，即可得出AC与BD 的位置关系；(3)△PBD首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出的面积．。

九年级上数学错题集

九年级上数学错题集1．两圆的半经长分别为5和4，公共弦长为6，则两圆的圆心距为（）A、4 B、4 C、4 D2．如图，将△ABC 绕A 点按顺时针方向旋转60°至△ADE ，此时AB 与AE 恰好成一条直线，BC 与AD 相交于F 点，AC 与DE 相交于G 点，连结FG 、BD 、CE ，下列四个结论：①AD ∥CE ；②∠DBF ＝∠AEG ；③∠ADG ＝∠ACF ；④△AFG 是等边三角形。

其中正确的是（）A 、①②③ B 、②③④ C 、①②④ D 、①③④3．如图，等腰△ABC ，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，过D作DF ⊥AC 于F 点，下列结论：①DE ＝DC ；②DF 为⊙O 的切线；③ BDDE =；④AE ＝2EF 。

其中正确的是（） A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②③④4） A ．（a-1．（1-a．-（a+1．（a-15．若ab<0）A ．B ．C ．D ．6．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知AB=1，则点A 1的坐标是（）A ．（，32） B ．（，3） C ．（32，） D ．（12，）7．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为（）． A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．08．关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根，则K 的取值范围是( )A 、49-≤kB 、0k 49≠-≥且kC 、49k -≥D 、0k 49k ≠->且 9．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是。

10．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不能确定G F E D C B A B A C y xA ' O11．半径为5 的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6 和8 ，则这两弦间的距离为12．已知关于x 的方程022222=+-+-a a ax x 的两个实数根1x 、2x 满足2221x x +=2，则a 的值为． 13．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⨯；③a aa a a =∙=112；④a a a =-23。

九年级上册数学错题整理

九年级上册数学错题整理一、一元二次方程部分。

1. 若关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+5x+m^2-3m + 2 = 0的常数项为0，则m的值等于（）- 错选答案：m = 2或m=1- 正确答案：m = 2- 解析：- 一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 已知方程(m - 1)x^2+5x+m^2-3m + 2 = 0的常数项为0，则m^2-3m + 2 = 0。

- 因式分解得(m - 1)(m - 2)=0，解得m = 1或m = 2。

- 又因为方程是一元二次方程，二次项系数m - 1≠0，即m≠1，所以m = 2。

2. 解方程x^2-2x - 3 = 0- 错解过程：- x=frac{-(-2)±√((-2)^2)-4×1×(-3)}{2×1}=(2±√(4 + 12))/(2)=(2±√(16))/(2)- x=(2±4)/(2)，解得x_1 = 3，x_2=-1（计算过程中符号错误）- 正确答案：- x=frac{-(-2)±√((-2)^2)-4×1×(-3)}{2×1}=(2±√(4 + 12))/(2)=(2±√(16))/(2)- x=(2±4)/(2)，解得x_1 = 3，x_2 = - 1- 解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 在方程x^2-2x - 3 = 0中，a = 1，b=-2，c=-3。

- 代入求根公式计算时要注意符号的运算。

3. 已知关于x的方程x^2-(2k - 1)x + k^2-2k + 3 = 0有两个不相等的实数根。

- 求实数k的取值范围；- 错解答案：- Δ=(2k - 1)^2-4(k^2-2k + 3)- =4k^2-4k + 1-4k^2+8k - 12- =4k - 11- 因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ<0，即4k-11<0，解得k <(11)/(4) - 正确答案：- Δ=(2k - 1)^2-4(k^2-2k + 3)- =4k^2-4k + 1-4k^2+8k - 12- =4k - 11- 因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4k - 11>0，解得k>(11)/(4)- 解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。

九上数学错题集

九上数学错题集1. 将分数1/2、3/4、5/6和7/8按从小到大的顺序排列。

解析：要比较这些分数的大小，一种方法是找到它们的相同分母，然后比较分子的大小。

另一种方法是将它们转化为小数形式进行比较。

首先，我们将这四个分数转化为相同分母：1/2 = 4/83/4 = 6/85/6 = 10/127/8 = 7/8现在我们可以直接比较分子的大小：4/8 < 6/8 < 10/12 < 7/8所以，按照从小到大的顺序排列，正确答案是1/2, 3/4, 5/6, 7/8。

2. 某购物网站在一次促销活动中，将某商品的原价从200元降价到160元。

促销期间，该商品的销售量增加了40%。

请计算促销期间该商品的销售收入是多少？解析：首先，我们计算降价后的售价：原价 - 降价金额 = 售价200元 - (200元 - 160元) = 160元然后，我们计算促销期间的销售量增加后的销售量：原销售量 + 原销售量 ×销售量增长率 = 新销售量100% + 40% = 140%100 × 1.4 = 140最后，我们计算促销期间的销售收入：售价 ×新销售量 = 销售收入160元 × 140 = 22400元所以，促销期间该商品的销售收入是22400元。

3. 若a:b = 3:4，b:c = 2:5，求a:b:c的值。

解析：已知a:b = 3:4，可以表示为a = 3k，b = 4k，其中k为比例系数。

同样，已知b:c = 2:5，可以表示为b = 2m，c = 5m，其中m为比例系数。

将上述等式代入a:b:c，得：a:b:c = 3k:4k:5m为了使a:b:c的比例系数相同，我们可以选择k和m的最小公倍数，即12，作为比例系数。

代入得：a:b:c = 3 × 12:4 × 12:5 × 12= 36:48:60所以，a:b:c的值为36:48:60。

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12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式2129
y x =-
+（答案不唯一）． ①过点(31)，；
②当0x >时，y 随x 的增大而减小；
③当自变量的值为2时，函数值小于2． 13．二次函数322
--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是223y x x =--+。

如图所示,已知F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点,A 是BF 的中点,AD ⊥BC 于点D.求证:AD=1
BF. 如图,⊙O 的直径AB 的两侧有定点C 和动点P.已知BC=4,CA=3,点P 在AB 上运动,过点C 作
CP 的垂线,与PB 的延长线交于点Q.
(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时 ,求C Q 的长.
(2)当点P 运动到弧AB 的中点时,求C Q 的长.
(3)当点P 运动到什么位置时,CQ 取到最大值,并求此时CQ 的长.
解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=12 5
∴PC=24 5
．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，∴△ACB∽△PCQ，
∴AC BC PC CQ
=
∴CQ=4 3
PC=32 5
（2）当点P运动到AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是AB的中点，
∴∠PCB=45°，
BE=CE=
2
22 2
BC=
在Rt△EPB中，tan∠EPB=
4
3 BE PE
=
∴PE=332 42 BE=
∴PC=PE+CE=72
2
．
∴CQ=4142 33 BE=
（3）点P在AB上运动时，恒有CQ=4
3 PC
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为20 3
23.如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴，
解得a=，b=，
∴抛物线解析式为y=x2+x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴t2﹣t+2=，
化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
∴点P的坐标为（，）
∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=，
∴点Q的坐标为（a，）．
解法一：
设AB与OC相交于点J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=
∴HT===2﹣a，
KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法二：
过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①
由△RKH∽△A′O′B′，得②
由①，②得KH=OH，
OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③
由△A′KT∽△A′O′B′，得，
则KT=④
由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH
=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法三：
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，
∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），
∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。