北京工业大学 北工大 2003年线性代数 考研真题及答案解析
2003年考研数学试题详解及评分参考
相互独立，于是 Z 2 ~ c 2 (1) ，从而
c2 n 1 = : F (n,1) . 故选 (C) . X 2 Z2 1
三、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线， 该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ； (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 解 (1) 设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y = ln x 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是
2
有 a2 =
p p 2 p 2 1 x cos 2 xdx = [ x 2 sin 2 x - ò 2 x sin 2 xdx] ò 0 0 p 0 p
p 1 p [ x cos 2p 0 - ò cos 2 xdx] = 1 . 0 p æ1 ö æ1 ö æ1ö æ1 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç (4) 从 R 2 的基 a 1 = ç , a = 到基 b = , b = 2 1 2 ç 0÷ ç - 1÷ ç1÷ ç 2÷ ÷ 的过渡矩阵为 è ø è ø è ø è ø æ2 3 ö 【答】 应填 ç ç - 1 - 2÷ ÷. è ø
s s za , X + za ) ，由于 za = z0.025 ， 1 - 0.025 = 0.975 = F (1.96 ) ，数据代入， n 2 n 2 2 1 1 得置信区间为 (40 ´1.96, 40 + ´ 1.96) = ( 39.51, 40.49 ) 16 16
(X 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） (1) 设函数 f ( x) 在 (-¥,+¥) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f ( x) 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 【答】 应选 (C). 【解】 在 y 轴左侧，因 f ¢( x) 由正变负再变正，故 f ( x ) 由增变减再变增，从而有一个极 大值点和一个极小值点；而在 y 轴右侧，因 f ¢( x) 由负变正，故 f ( x) 由减变增，从而有 一个极小值点；又在点 x = 0 左右领域， f ¢( x) 由正变负， f ( x) 由增变减，且 f ( x) 在点
2003数学四--考研数学真题详解
2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= .【答】 2e【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim 00e ee x x x x x x ==+++→→（2）dx e x x x∫−−+11)(= .【答】 )21(21−−e 【详解】dx ex x x∫−−+11)(=dx xedx ex xx∫∫−−−−+1111=dx ex x−−∫111122x x xe dx xde −−+=−∫∫=1102()xx xe e dx −−−−∫ =)21(21−−e .(3)设a>0，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(= .【答】2a 【详解】 ∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ∫∫≤−≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=−+=∫∫∫+（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(−−E A = .【答】 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=−−−， E E B E A 2)2)((=−−， E E B E A =−⋅−)2(21)(， 可见 1)(−−E A =)2(21E B −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T"α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα−=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= . 【答】 -1【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+−= =TT T T a a E αααααααα⋅−+−11=TT T T a a E αααααααα)(11−+−=TT T a a E αααααα21−+−=E aa E T=+−−+αα)121(,于是有 0121=+−−a a ，即 0122=−+a a ，解得 .1,21−==a a 由于a<0 ,故a=-1.（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .【答】 6 【详解】 因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=××+=⋅⋅DY DX XY ρ二、选择题（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. 【答】 [ D]【详解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 1=−∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处21x xe y =无定义，且∞=→1lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 【答】 [ A ] 【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅−−=−−++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ−=⋅−−−=−−−−→→x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔−=ϕϕϕ 故应选(A).（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. 【答】 [ A ]【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00=′y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【答】 [ C ]【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−，秩(B-E)=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). （5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. 【答】 [ B ]【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答】 [ C ]【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关⇔X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).三 、（本题满分8分） 设 21,0(,)1(11sin 1)(∈−−−=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim 0x f x +→= -.1π+xx xx x ππππsin sin lim 0−+→= -220sin lim 1ππππx x x x −++→= -xxx 202cos lim 1πππππ−++→= -2202sin lim 1ππππxx +→+ = -.1π由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义π1)0(−=f ，使f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g −=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【详解】v f x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vfy u f x y g ∂∂−∂∂=∂∂ 故 v f v f x v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂−∂∂+∂∂∂−∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=∫∫−+−π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=∫∫+−π=.sin 2022dr r re d e r ∫∫−πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0∫−=πππ.记 tdt e A t sin 0∫−=π，则t t de e A −−∫−=int 0π=]cos sin [0∫−−−−ππtdt e te t t=∫−−πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ∫−−+−ππ=.1A e −+−π因此 )1(21π−+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=−六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t−=)(在),(+∞−∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.【详解】 由0ln )(=−=′a a a t f t，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aaa t −= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(−=在a>1时的最小值. 令 0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=−−=−−=′a a aa aa a a t ，得唯一驻点 .ee a =当ee a >时，0)(>′a t ；当ee a <时，0)(<′a t ，因此ee t e11)(−=为极小值，从而是最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++∫x x dt t f x f x .两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =−′++当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f −=−′ 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ]1[)(121C dx e xx ex f x dxx+∫−∫=−−−∫=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+−−∫=)1(22C dx xx x +−∫ =.12Cx x ++ 当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 .)1(21)(22−=−+=x x x x f八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y −==kt A −， ].,0[T t ∈ 由kt A −=0，得 TA k =， 因此 ,)(t TAA t y −= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为∫=Tdt t y T y 0)(1 =∫−T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T)2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+−=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββααα#=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++−463232112110221111a a a a ###⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−+−−→111100112110111201a a a a ###.(1) 当1−≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，有),,,,(321321βββααα#⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→202000112110111201###. 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα#，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α， 由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且 λαα=*A.两边同时左乘矩阵A ，得 αλαA AA =*， αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b (1)(2)(3) 由式(1),(2)解得1=b或2−=b ;由式(1),(3)解得 a=2. 由于 42311121112=−==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2−=b 时，.4=λ十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132−==∫x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤−y X P y X P=.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为 0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P −=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ【详解】 (1) 由ρ的定义，可见0=ρ当且仅当P(AB)-P(A)P(B)=0,而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件.(2) 考虑随机变量X 和Y:A A X 不出现若出现若⎩⎨⎧=,0,1 .,0,1不出现若出现若B B Y ⎩⎨⎧= 由条件知，X 和Y 都服从0—1分布：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)((10~A P A P X ，.)((10~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B P B P Y 易见)(A P EX =， )(B P EY =；)()(A P A P DX =, )()(B P B P DY =;).()()(),cov(B P A P AB P EXEY EXY Y X −=−= 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 .1≤ρ。
2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x); (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =- 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x e y 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰-=π， 因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析.四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边=dx e dy ex y⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于2sin sin ≥+-x xe e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰-+Dx ydxdy e e)(sin sin =⎰⎰+-D x y dxdy e e )(sin sin ，故dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eD D x y⎰⎰⎰⎰-+sin sin=dxdy e dxdy e DDxx ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e e DDx x 【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六 、（本题满分10分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k kxdx W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得2222ra a x =- 即 .)1(222a r x +=].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得22223)1(a r a r x =+-， 从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W n n n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dx dy 比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tt trdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tttrdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(222>-='⎰dr r t r f t f t g t ，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出1*,,-P A ，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数. 方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη----==P AP P A P PB ，.)2()2(11ηλη--+=+P APE B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于 )7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】 设AP P B 1-=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb aA ---++++=---==])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中.323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a b a ca cb cb a A ---++++-===])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为 ])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-= =-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k -==， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====3}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=330}{616}{k k k X kP k k X P=.41236161=⋅=EX【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧=则i X 的概率分布为i X 0 1P 2121.3,2,1=i因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21n X X X =θ(4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{min(121x X X X P n >-=},,,{121x X x X x X P n >>>-=n x F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n (3) θˆ概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
2003冬线代试题
一、判断题（正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“Х”，每小题2分，共12分）1．行列式D =0的充分必要条件是D 中至少有一行的元素可用行列式的性质化为0.（ ）2．若m ⨯ n 矩阵A , B 等价，则A ，B 的列向量组等价. （ ）3．设A ，B 均为非零的n 阶矩阵，且AB =0，则R (A )，R (B )都小于n . （ ）4．当m<n 时，方程组b x an j j ij =∑=1(i =1, 2, …, m )有无穷多解.（ ） 5．若方阵A , B 相似，则A , B 有相同的特征值和特征向量. （ ）6．若A , B 均为n 阶正定矩阵，则AB 也是正定矩阵. （ ）二、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共24分）1．设3214214314324321=D ，A i 4为D 中元素a i 4的代数余子式（i =1, 2, 3, 4），则A 14+2A 24+3A 34+4A 44= （ ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 非零2．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）(A) AB +BA (B) AB -BA (C) (AB )2 (D) BAB3．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k ，必有 （ ）(A) α1，α2，α3，k β1+β2线性相关. (B) α1，α2，α3，k β1+β2线性无关.(C) α1，α2，α3，β1+k β2线性相关. (D) α1，α2，α3，β1+k β2线性无关.4．向量组α1=(1, -3, -2, 2, -1)'，α2=(0, 0, 1, 2, -1)'，α3=(2, 6, -4, 5, 7)'，α4=(-1, -3, 4, 0, -19)'的一个最大无关组为 （ ）(A) α1，α2，α3 (B) α2，α3，α4 (C) α1，α2 (D) α2，α35．设A 为4⨯5矩阵，且A 的行向量组线性无关，则 （ ）(A) A 的列向量组线性无关.(B) 方程组Ax =b 的增广矩阵的行向量组线性无关.(C) 方程组Ax =b 的增广矩阵的任意4个列向量构成的向量组线性无关.(D) 方程组Ax =b 有唯一解.6．设A 为三阶方阵，|A +2E |=|A +3E |=|A -4E |=0，A *为A 的伴随矩阵，则A *的特征值为（ ）(A) 2，3，-4 (B) -2，-3，4 (C) 12，8，-6 (D) -12，-8，67．设A 为n 阶正定矩阵, 若矩阵B 与A 相似，则B 必为 （ ）(A) 实对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵8．下列说法正确的是 （ ）(A) 方程组Ax =b (b ≠0) 的所有解向量关于向量的加法以及实数与向量的乘法构成线性空间.(B) 所有n 阶实可逆矩阵关于矩阵的加法以及实数与矩阵的乘法构成线性空间.(C) 欧氏空间中从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.(D) 欧氏空间中两组不同基底下的度量矩阵是相似的.三、填空题（每空3分，共24分）1．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n n n n n n n a a a b x x x x a a a a a a A21211122111,,111，a i ≠a j (i ≠j , i , j =1, 2, …, n ), 则非齐次线性方程组b Ax =的解是x = ___________________________.2．设A 为5阶方阵，R (A )=3，则R (A *) =________________.3．设A 为n 阶方阵，|A |≠0，将A 的第i 行与第j 行互换得到矩阵B ，则AB -1=___________.4．设α, β, γ是3维列向量，已知3阶行列式|4γ-α, β-2γ, α|=40，则行列式|α, β, γ|=________.5．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知α1，α2，α3是它的3个解向量，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4002,3002321ααα，则方程组的通解为_______________________________. 6．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=60028022a A 可以相似对角化，则a =_______________.7．设二次型3121232221321222),,(x x x tx x x x x x x f +-++=正定，则t 满足____________.8．从R 2的基底α1=(1, 0)'，α2=(1, -1)'到基底β1=(1, 1)'，β2=(1, 2)'的过渡矩阵为____________.四、（8分）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足A *X =A -1+2X ，其中A *是A 的伴随矩阵，求X .五、（12分）对线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ（1）λ取何值时，方程组无解？（2）λ取何值时，方程组有唯一解？（3）λ取何值时，方程组有无穷多解？用向量形式写出其通解.六、（12分）已知二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=（1） 写出二次型f 的矩阵表达式f =x 'Ax ；（2） 用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.七、（8分）设向量组α1, α2, …, αm(m>1)线性无关，且β=α1+α2+…+αm，证明向量组β-α1,β-α2, … , β-αm线性无关.。
数4--03真题初步答案
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题答案一、填空题：7-12小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1） 2e【分析】 本题属∞1型未定式，化为指数函数求极限即可.【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lime eexx xx x x ==+++→→【评注】 对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可直接用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算，因此本题也可这样求解：xx x 20)]1ln(1[lim ++→=.2)1ln(2lim 0e ex xx =+⋅→完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第一大题第（1）小题.（2）)21(21--e【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有.011=⎰--dx xex【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111=dx ex x--⎰11=⎰⎰---=11022xxxdedx xe=][2110dx e xex x⎰----=)21(21--e .【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第（3）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第（2）小题.（3）2a【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .（4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【分析】 应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A . 【详解】 由2AB A B =+, 知222AB B A E E -=-+ 即有 E E A B E A 2)(2)(=---， E E B E A 2)2)((=--， E E B E A =-⋅-)2(21)(， 可见 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A E -，写成逆矩阵的定义形式，从而确定()A E -的逆矩阵. 完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.（5） -1【分析】 这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1. 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .（6） 6【分析】 本题涉及的公式有 22()()[()]D X E X E X =-，XY ρ=()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++【详解】方法1：22()()[()]D X E X E X =-，同理()2D Y =cov(,)X Y ρ=22()()[()]()E X Y D X Y E X Y D X Y +=+++=+()()2cov(,)D X D Y X Y =++=6方法2：因为 2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=⨯⨯+=⋅⋅DY DX XY ρ【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X Cov XY E ⋅+=),()(，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.二、选择题：1～6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7） [ D ]【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.【详解】当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，22121001lim()limlim 0u x x u u e u xe x u x uu -→∞→→--==等， 所以有斜渐近线y x =.另外，在 0x = 处21x xe y =无定义，且∞=→21lim x x xe ，可见 0x =为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).【评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153 【例6.30-31】.（8） [ A ]【分析】被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()f x 在1x =处左右导数定义讨论即可.【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅--=--++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ-=⋅---=----→→x x x x f x f x x ， 可见，()f x 在1x =处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ 故应选(A).【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理.一般地，函数)()(0x x x x g ϕ-=在点0x x =处可导的充要条件是.0)(0=x ϕ完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28 【例2.6】和《考研数学大串讲》P.19的公式.（9） [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（10） [ C ]【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和.【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似，矩阵A E -与矩阵B E -相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--，可见有 秩(2)A E -+秩()A E -= 秩(2)B E -+秩()B E -=4，故应选(C).【评注】 若B A ~，则)(~)(B f A f ，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质. 见《数学复习指南》P.360相似矩阵及其性质.（11） [ B ]【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.【详解】 φ≠AB 推不出{}{}{}P AB P A P B =, 因此推不出,A B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则{}0P AB =，但{}{}P A P B 是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).【评注】 当{}{}0,0P A P B ≠≠时，若,A B 相互独立，则一定有{}{}{}0P AB P A P B =≠，从而有φ≠AB . 可见，当,A B 相互独立时，往往,A B 并不是互斥的.完全类似例题见《数学复习指南》P.415第二大题第（7）小题.（12） [ C ]【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(,)X Y 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.【详解】 只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A); 若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).【评注】 ① 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布. ② 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布. ③ 若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关.完全类似结论见《数学复习指南》P.458的[注]. 三 、（本题满分8分）【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可.【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→ =.1π由于()f x 在)1,21[上连续，因此定义 π1)1(=f ，使()f x 在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换1y x =-，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》P.数学三P.24第三题.四 、（本题满分8分）【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vfx u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .v f y u f x y g ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x + 【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.完全类似例题《数学复习指南》P.171【例7.20,7.22】. 五 、（本题满分8分）【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则sin t t A e tde π--=-⎰=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、（本题满分9分）【分析】 先由()f t 的导数为零确定驻点()t a ，它是关于a 的函数，再把此函数对a 求导，然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可.【详解】 由0ln )(=-='a a a t f t，得唯一驻点 .ln ln ln 1)(aaa t -= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(-=在1a >时的最小值. 令0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=--=--='a a a a aa a a t ， 得唯一驻点.ee a =当ee a >时，0)(>'a t ；当ee a <时，0)(<'a t ，因此ee t e11)(-=为极小值，从而是最小值.【评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是最基本的.类似例题见《数学复习指南》P.144【例6.11-12】. 七、（本题满分9分）【分析】 梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x . 两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =-'++ 当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f -=-' 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y ]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx x x x +-⎰ O C B x =.12Cx x ++当0x =时，01f =（）. 由于1x =时，0f =（1） ,故有20C +=，从而2C =-. 所以.)1(21)(22-=-+=x x x x f【评注】 本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方法，完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.290第七题. 八、（本题满分8分）【分析】 在时刻t 的剩余量()y t 可用总量A 减去销量()x t 得到; 由于()y t )随时间连续变化，因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰Tdt t y T0)(1表示. 【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈ 由kt A -=0，得 TAk =， 因此 ,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0,]T 上的平均值为⎰=T dt t y T y 0)(1=⎰-T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A【评注】 函数()f x 在[,]a b 上的平均值记为⎰-badx x f a b .)(1本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学一、二明确提出要求，而数学三、四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑.九、（本题满分13分）【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（1321,,βααα）为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵（321321,,,,βββααα）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可.【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββαααM =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a M M M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a M M M .(1) 当1-≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当1a =-时，有),,,,(321321βββαααM ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201M M M .由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βαααM ，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.【评注1】 涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当1a =-时，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠r （),,,1321βααα=3, 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 即向量组（I ）与（II ）不等价.【评注2】 向量组（I ）与（II ）等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论.本题完全类似分析思路的例题见《数学复习指南》P.347【例4.13】和《数学最后冲刺》P.94【例14】.十、（本题满分13分）【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A ，又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A .两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*，αλαA A =，即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1( 由式(1),(2)解得1=b 或2-=b ;由式(1),(3)解得 2.a =因此42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ； 当2-=b 时，.4=λ【评注】 本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂. 一般来说，见到*A ,首先应想到利用公式E A AA =*进行化简.本题类似的例题见《数学复习指南》P.365【例5.7】和《数学最后冲刺》P.90【例3】.十一、（本题满分13分）【分析】 先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F x = ,然后按定义求Y 的分布函数即可。
线性代数历年考试试题与答案
线性代数历年考试试题与答案2003～2004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A ）本试卷共九大题一．填空题：（每题4分，共20分）1．()=-01121 。
2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=+-*14A A 。
3．向量组()()()2,6,2,4,0,2,1,3,1,3,1,2321-=-=-=ααα线性关。
4．线性方程组04321=+++x x x x 的基础解系中含有个向量。
5．设????? ??-=????? ??=????? ??=121,110,011321ξξξ为3R 的一个基，且=00t α在该基下的坐标为()111-，则t = 。
二．选择题：（每题4分，共20分）1．设n 阶矩阵A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值[ ] A. –1 B. 1 C. 0 D. n 2．设矩阵()n m ij a A ?=，0=Ax 仅有零解的充分必要条件是[ ]A. A 的行向量组线性相关B. A 的行向量组线性无关C. A 的列向量组线性相关D. A 的列向量组线性无关 3．设321,,ααα为0=Ax 的一个基础解系，则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。
A. 与321,,ααα等价的一个向量组B. 与321,,ααα等秩的一个向量组C. 321211,,αααααα+++D.133221,,αααααα--- 4．下列结论正确的是[ ]A. 若存在可逆的P 使PA=B ，则A 与B 应有相同的标准形B. 若21,αα为A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则21,αα是正交的C. 若21,αα同为实对称阵A 的某个特征值的两个特征向量，则21,αα必线性无关D. 矩阵A 能对角化的充要条件为A 有个n 互不相同的特征值5．设三阶矩阵A 的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为321,,ξξξ，令()132,,ξξξ=P ，则=-AP P 1[ ]A. diag (0,-1,1)B. diag (-1, 0,1)C. diag (-1,1,0)D. diag (1,0,-1)三．（7分）求行列式().0,1111111112121≠+++nna a a a a a四．（7分）利用初等变换求---=111123321A 的逆矩阵. 五．（8分）设-=100020001A ，且EBA BA A 82*-=，求B.六．（10分）求向量组()()()9,2,2,1,6,6,1,1,3,4,1,2321---=--==ααα,()7,2,1,14-=α的一个最大无关组，并把其余的向量用最大无关组线性表示.七．（10分）问k 为何值时，线性方程组+=+++=++=+324622432132131k x x x k x x x kx x 有解，并求出其全部解.八．（12分）设矩阵A 与B 相似，其中-==10000002,10100002y B x A ，①求x,y ; ②求正交阵P ，使得B AP P T=.九．（6分）证明：设A 为m ×n 阵，方程n E YA =有解的充分必要条件是()n A R =.2004－2005学年第1学期考试试题（A ）卷一、选择题（1）方阵A ，B 满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）（A ）A －B=O （B ）r(A －B)=0 （C ）r(A ，B)≤r(A)+r(B) （D ）r(A+B)=2r(A) （2）向量组12,,...n ααα线性相关，则（答案填在卷首答题处）（A ）1α可由其余向量线性表示；（B ）12,,...n ααα至少有一个零向量；（C ）12,,...n ααα中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（D ）12,,...n ααα任两个向量成比例.（3）设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）（A ）r=n （B ）rn（4）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）（A ）充分必要条件（B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件（D ）既非充分也非必要条件（5）矩阵20A =，则（答案填在卷首答题处）（A ）A=O （B ）det(A)＝0 （C ）r(A)=0 （D ）A=A T二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。
考研数学一2003真题
考研数学一2003真题2003年的考研数学一真题涵盖了多个知识点，包括线性代数、概率统计和数学分析等内容。
在本文中，我将对这些真题进行分析和解答，希望能帮助考生们更好地理解和应对考试。
一、线性代数1. 以下关于实对称矩阵A的说法，正确的是（）。
(A) A的解空间是一维的(B) A与一个对角矩阵相似(C) A是正交矩阵(D) A的特征值全为1解答：根据实对称矩阵的性质，其特征值全为实数。
所以选项(D)正确。
2. 设A是n阶矩阵，方程组Ax=b有且仅有两个解x=x1和x=x2，则以下哪个条件成立（）。
(A) Ax1=Ax2(B) x1、x2是A的特征向量(C) Ax=b有唯一解(D) A的零空间是一维的解答：根据题意，Ax=x1和Ax=x2是同一个方程组的解，所以Ax1-Ax2=0，即Ax1=Ax2，选项(A)正确。
二、概率统计1. 设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0,1)，则P(|X|<a, |Y|<a)的值为（）。
(A) 1-a^2/π(B) 1-(2a^2)/π(C) 1-(a^2)/π(D) a^2/π解答：根据独立事件的概率乘法定理，P(|X|<a, |Y|<a) =P(|X|<a)P(|Y|<a) = 2Φ(a)Φ(a) = 2Φ(a)^2，其中Φ代表标准正态分布的累积分布函数。
所以选项(B)正确。
2. 设X1，X2，...，Xn为来自总体X的一个样本，它们的期望和方差分别为E(X)和Var(X)，则样本X1+X2+...+Xn的期望和方差分别为（）。
(A) nE(X)、n^2Var(X)(B) E(X)、Var(X)(C) nE(X)、n^2Var(X)/n(D) nE(X)、nVar(X)解答：根据期望和方差的性质，已知X1，X2，...，Xn是来自总体X的样本，所以期望和方差分别为nE(X)和nVar(X)。
所以选项(A)正确。
三、数学分析1. 设函数f(x)在区间[0,2π]上连续且单调递增，且f(0)=0，f(π)=1，则曲线y=f(x)的下方所围图形的面积为（）。
北京大学《线性代数》六套试卷与答案
线性代数参考题一一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 写出4阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。
2. 行列式01112222=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。
3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。
4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。
5. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。
6. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-α51,则=α_________。
7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为___________。
8. 由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。
9. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。
10.若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。
二. (8分)计算2n 阶行列式d cdc dc b a ba ba D n 0002=三. (8分)解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X求?=X四. (10分)设向量组A:()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型323121232221222222x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关, 证明:n ββ,,1 线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i均不可逆.则A 可否对角化?线性代数参考题二一、 填空题(每小题3分,满分30分) 1． 设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2． 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)3． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031x A 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x4．()814370122222632144-==⨯ija A 设,又ij A 是ij a 的代数余子式,则=+++44434241A A A A5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6．设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为7．设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9．设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则 b AX =的一般解=ξ .10．已知向量组[][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的秩为2,则=t 二．(8分)计算n 阶行列式ba a a ab a a a a b a D n n n n ---=212121三．(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X 四．(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E＋A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。
2．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )A．交换A*的第1列与第2列得B*。
B．交换A*的第1行与第2行得B*。
C．交换A*的第1列与第2列得一B*。
D．交换A*的第1行与第2行得一B*。
正确答案：C解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。
3．设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。
若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D5．设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( ) A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
北方工业大学北方工业大学真题清单年考研真题硕士研究生入学考试试题
原文件夹部分（整理后的清单）北方工业大学001机电工程学院④411 机械工程基础（包括机械设计40%、机械原理60%）2004-2005 412 工程力学（包括理论力学60%、材料力学40%）2004-2005413 控制工程基础（自动控制原理）2004-2005414 微机原理与接口技术（8086单片机原理与接口技术）2004-2005 415数控技术2004-2005④423电路2004电路分析2005421自动控制原理1999,2001-2002，2004-2005422电子技术（模拟与数字）1999,2001-2005002信息工程学院④431操作系统原理、数据结构2005数据结构2000-2004操作系统原理2000-2002操作系统与编译技术1999数据结构与程序设计语言199903经管学院④401概率论与数理统计1999-2005④404管理学基础2004-2005405财务会计2004-2005406技术经济学2004-2005004建筑学院④441结构力学2004-2005442材料力学2004-2005443建筑设计2005005理学院③353数学分析2004-2005④451高等代数2004-200506文法学院③352法理学2004-2005④403中西法律思想比较2004-2005③351经济法1999-2005④402民法（包括知识产权）1999-2005001机电工程学院④411 机械工程基础（包括机械设计40%、机械原理60%）2004-2005 412 工程力学（包括理论力学60%、材料力学40%）2004-2005413 控制工程基础（自动控制原理）2004-2005414 微机原理与接口技术（8086单片机原理与接口技术）2004-2005 415数控技术2004-2005。
2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集
2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
(14) 设 A 为3阶矩阵， A =3 ， A 为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ，则
BA* =
.
(22)(本题满分 11 分)
0 0 1 −1 a 0 ，β = 0 1 a 0 1 0 (I) 计算行列式 A ； (II) 当实数 a 为何值时，方程组 Ax = β 有无穷多解，并求其通解. 1 0 设A= 0 a a 1 0 0
2 2 2
（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；
2 （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y12 + y2 ，求 a 的值。
2009 （7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 = 0 ，则（
）
( A) E − A 不可逆， E + A 不可逆. ( C ) E − A 可逆， E + A 可逆.
2012
0 0 (7) 设 α1 = 0 , α 2 = 1 , α 3 = c c 2 1
向 ( ) 量 组
1 −1 −1 , α 4 = 1 ,其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数，则下列 c c 4 3
X = ( x1 , , xn ) ， B = (1, 0, , 0 ) ，
T
= （1）求证 A
( n + 1) a n ；
（2） a 为何值，方程组有唯一解，并求 x1 ； （3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23） （本题满分 10 分） 设 A 为 3 阶 矩 阵 ， α1 , α 2 为 A 的 分 别 属 于 特 征 值 −1,1 特 征 向 量 ， 向 量 α 3 满 足
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
2003年考研数学真题与答案
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
⎡2 2 0⎤ 4. 若矩阵 A = ⎢⎢8 2 a⎥⎥ 相似于对角阵 Λ ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使
5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1 : ax + 2by + 3c = 0 ，
l2 : bx + 2cy + 3a = 0 ，
l3 : cx + 2ay + 3b = 0 .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a + b + c = 0.
【详解】 ：必要性
设三条直线 l1, l2 , l3 交于一点，则线性方程组
由于 A 相似于对角矩阵 Λ ，故对应 λ1 = λ2 = 6 应有两个线性无关的特征向量，即
3 − r(6E − A) = 2 ，于是有 r(6E − A) = 1.
由 知 a=0.
⎡ 4 − 2 0 ⎤ ⎡2 −1 0⎤ 6E − A = ⎢⎢− 8 4 − a⎥⎥ → ⎢⎢0 0 a⎥⎥ ，
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
易知矩阵 A+E 可逆，于是有
(A − E)B = E.
再两边取行列式，得 A − E B = 1，
0 01
因为 A − E = 0 1 0 = 2 , 所以 B = 1
−2 0 0
2
3. 设向量组 I：α1,α 2 ,",α r 可由向量组 II： β1, β 2 ,", β s 线性表示，则[ D ]
北京工业大学线性代数07-08二学期末考试题
北京工业大学2007-2008学年第二学期期末线性代数(工) 课程试卷（A ）考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）一. 填空题（每小题3分，共30 分）.1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1()A E --=3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，*A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -=4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足122123123αβαββαββ=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于 （写出具体数值）5. 如果211110139pp =-，而且0p >，则p = 6.如果实系数方程组112233100b xc y b x c y b x c y +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式2233b c b c =7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2)T Tt t αβ=+=+--是分别属于1,1-的特征向量，则t =8. 如果(1,1,1)Tα=-是实方阵A 的一个特征向量，则223A E -必有一个特征向量等于9.如果13133a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正惯性指数与负惯性指数之和是二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。
将正确答案的字母填入括号内。
1. 如果n 阶实矩阵A 满足30A =，E 是n 阶单位矩阵，则 【 】（A ）A E +可逆，但A E -不可逆 （B ）A E +不可逆，但A E -可逆 （C ）A E +、A E -都可逆 （D ）A E +、A E -都不可逆2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向量组1234,,,,ααααβ 【 】 (A) 一定线性相关 （B ） 一定线性无关 （C ） 可能线性相关，也可能线性无关 （D ） 前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是 【 】（A ） 当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。
北京工业大学-线性代数-期末试题
一. 填空题（每小题3分，共30 分. 注意：所有题目需给出计算结果； a a =型答案无效）1. 100121201224680011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 记12111323154917827----第二列四个位置的代数余子式分别是12223242,,,A A A A .若23122232420A aA a A a A +++=，且0a >，则a =3. 在行列式223121xx x x x -的完全展开式中，合并同类项后，3x 的系数是4. 3阶实方阵A 和非零向量123,,ααα满足：112233,2,A A A αααααα===-.若记以123,,ααα为列向量组的矩阵为()123P ααα=，则1P AP -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（写出具体的矩阵）.5. 若32⨯型、23⨯型实矩阵,A B 满足112211817AB ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则,A B 的秩之和()()R A R B +=6. A 是2阶实方阵. 若齐次线性方程组()0A E X -=和(2)0A E X -=均有非零解，则行列式*12A A E -++=7. 若12,,,m ααα是齐次线性方程组123112301012012700x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解空间中的线性无关向量组，则m 能取到的最大值是8. 若3阶实方阵123()A ααα=的列向量组123{,,}ααα与线性无关向量组12{,}ββ满足112212312325αββαββαββ=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩ ，则A 的阶梯化矩阵中非零行的行数是 9. 方程12342680111x x x+-+=--的根123,,x x x 之和123x x x ++= 10. 若Q 是n （1n >）阶实方阵，且齐次线性方程组0QX =只有零解，T A Q Q =，则A的特征值 0（填“,,><=”之一）.二（10分）. 计算行列式0152313110183810113132510D ----=------（要求出具体数值）.三（10分）. 用初等变换的方法，解方程101110110011101110X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.四（10分）.a 取何值时，线性方程组12341234123422320574x x x x x x x x x x x x a-++=⎧⎪+-+=⎨⎪-+-=⎩ 有解？有解时，写出其通解.五（12分）. 已知288828882A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 求一个可逆矩阵P ，使得1P AP -是对角矩阵；并求出这一对角矩阵.六（12分）. 给定列向量组12345(0,1,2,1,0),(1,1,1,0,3),(1,0,2,1,2),(5,2,3,7,11),(9,5,5,14,19).T T T Tααααα=-=-=-=--=--1 求该向量组的秩；2 求该向量组的一个极大线性无关组；3 把其余向量用问题2中求出的极大线性无关组线性表出.七（8分）.八（8分）.。
2003考研数四真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→=. (2)dx ex x x⎰--+11)(=.(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧== 而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设,A B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知2AB A B =+, 202040202B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 1)(--E A =.(5) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(6) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,0EX EY ==,222==EY EX , 则2)(Y X E += .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 曲线21x xe y = ( )(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线.(2) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在1x =处连续，则0)1(=ϕ是()f x 在1x =处可导的 ( )(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. (3) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(4) 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B .已知矩阵A 相似于B ，则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (5) 对于任意二事件A 和B ( )(A) 若φ≠AB ，则,A B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则,A B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则,A B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则,A B 一定不独立. (6) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 ( )(A) X 与Y 一定独立. (B) (X ,Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.三 、(本题满分8分)设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五 、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤ 六、(本题满分9分)设1a >，at a t f t-=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，()t a 最小？并求出最小值.七、(本题满分9分)设()y f x =是第一象限内连接点(0,1),(1,0)A B 的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求()f x 的表达式.八、(本题满分8分)设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0,]T 上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)设有向量组(I)：T )2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组(II)：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a 为何值时，向量组(I)与(II)不等价？ 十、(本题满分13分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求,a b 和λ的值. 十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称作事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】2e【详解】方法1：xx x 2)]1ln(1[lim ++→，属于∞1型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解．首先凑成重要极限形式：()200002ln(1)1ln(1)2ln(1)2lim lim 2lim[1ln(1)]lim 1ln(1)xx x x x x x x x xx xx x e e e →→→→+⋅++=++=++==方法2：xx x 20)]1ln(1[lim ++→=2ln[1ln(1)]0lim x x x e++→=002ln[1ln(1)]2ln(1)limlim2x x x x x xe e e →→+++==(注意：l n[1ln(1)]ln(1)x x +++)(2)【答案】)21(21--e【分析】对称区间上的定积分，有0()2()()()0()a a aaaf x dx f x dxf x f x dx f x --⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰当为偶函数当为奇函数【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111 =dx ex x--⎰11+012x xe dx -=⎰102xxde-=-⎰1102[]xx xee dx --=--⎰=)21(21--e ．(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x x a dx dy +⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A ．2AB A B =+⇒222AB B A E E -=-+⇒E E A B E A 2)(2)(=---⇒E E B E A 2)2)((=--⇒E E B E A =-⋅-)2(21)(，所以 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100．(5) 【答案】-1【详解】这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(6)【答案】6【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式()cov(,)()()E XY X Y E X E Y =+． 涉及公式：(1)22()()[()]D X E X E X =-，(2)()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++(3)XY ρ=【详解】方法1：由方差定义的公式和相关系数的定义22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，1cov(,)212XY X Y ρ==⨯=．所以 222()()[()]()()E X Y D X Y E X Y D X Y EX EY +=+++=+++()()()2cov(,) 6.D X Y D X D Y X Y =+=++=方法2：由数学期望的线性可加性()()()E aX bY aE X bE Y +=+得：222()(2)E X Y E X XY Y +=++222()EX E XY EY =++42()E XY =+再利用()()()(,)E XY Cov X Y E X E Y =+⋅，得2)(Y X E +()()42[(,)]Cov X Y E X E Y =++⋅由方差定义的公式，有22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，再由相关系数的定义XY ρ=得，cov(,)XY X Y ρ=2)(Y X E+42420.52 6.XY ρ=+=+⨯⨯=二、选择题 (1)【答案】()D【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：lim (),()x f x c c →±∞=为常数，y c =为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-，y kx b =+为曲线的一条斜渐近线；而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且0lim ,lim x x x x y y +-→→=∞=∞，则0x x =为曲线的一条垂直渐近线．【详解】1．y x ±∞→lim 极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；2．1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，2221212001lim()lim1lim 0u u x x u u e u xe x u x e u uu -→∞→→--=-=， 所以曲线有斜渐近线y x =．3．在0x =处21xxey =无定义，且1222111ln 0lim lim lim lim xxx e xx xx x x x xe e e e ++++→→→→====∞，故 0x =为铅直渐近线．故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选()D ．(2)【答案】()A【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()f x 在1x =处左右导数定义讨论即可．32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ+++→→→--=⋅=++⋅=--， 32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ---→→→--=-⋅=-++⋅=---， 由于()f x 在1x =处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以.0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ故应选()A ．(3)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(4)【答案】(C)【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和．【详解】因为矩阵A 相似于B ， 又1B P AP -=，所以()111222P A E P P AP P EP B E ----=-=-，于是，矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似. 同理有()111P A E P P AP P EP B E ----=-=-所以，矩阵A E -与矩阵B E -相似. 又因为相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--，所以有秩(2)A E -+秩()A E -= 秩(2)B E -+秩()B E -=4，故应选(C)．(5)【答案】B【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系．当{}{}0,0P A P B ≠≠时，若,A B 相互独立，则一定有{}{}{}0P AB P A P B =≠，从而有AB ≠∅． 可见，当,A B 相互独立时，往往,A B 并不是互斥的．AB ≠∅推不出{}{}{}P AB P A P B =⋅， 因此推不出,A B 一定独立，排除(A);若AB =∅，则{}0P A B=，但{}{}P A P B 是否为零不确定，{}{}{}P AB P A P B ≠.因此(C)，(D) 也不成立，故正确选项为(B)．(6)【答案】C ．【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系．只有(,)X Y 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的．有结论如下：① 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布．如果X Y 与都服从正态分布，甚至X Y 与是不相关，也并不能推出(,)X Y 服从二维正态分布．② 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布． ③ 若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关．【详解】只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A);若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B);同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D)．故正确选项为(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+-令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim 2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r rr t I e x y dxdy e e x y dxdyee d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0000sin cos cos cos t t t t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【详解】()f t 的驻点即满足()f t 的一阶导数为零的点，它是关于a 的函数．由0ln )(=-='a a a t f t ，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aa a t -= 求()t a 的最小值，即求函数aaa t ln ln ln 1)(-=在1a >时的最小值， 22211111ln ln ln ln ln 1ln ln ln ()0(ln )(ln )(ln )a a aa a a a a a t a a a a a ⋅---'=-=-=-=得唯一驻点.ee a =当ee a >时，lnln 0,1lnln 0a a >-<，从而0)(>'a t ，这时()t a 单调递增；当ee a <时，lnln 0,1lnln 0a a <->，从而0)(<'a t ，这时()t a 单调递减. 因此当e a e =时()t a 为最小值，此时ee t e11)(-=为极小值，也是最小值．七【分析】梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，可得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可．【详解】由题意得1[1()]2OCMA S x f x =+，1()CBM x S f t dt =⎰ 所以 316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ． 两边关于x 求导2111[1()]()()222f x xf x f x x '++-=，即21()()2().f x xf x f x x '++-= 化简，当0≠x 时，得211()()x f x f x x x -'-=，即211.dy x y dx x x--⋅= 利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰ =]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx x x x +-⎰ O C B x =.12Cx x ++曲线过点(1,0)B ，故0f =（1），代入，故有20C +=，从而2C =-． 所以 .)1(21)(22-=-+=x x x x f八【详解】(1) 在时刻t 的剩余量()y t 可用总量A 减去销量()x t 得到，即)()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈再T 时刻将数量为A 的该商品销售完，得0A kT -=，即Ak T=．因此， ,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 由于()y t 随时间连续变化，因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰T dt t y T 0)(1表示(函数()f x 在[,]a b 上的平均值记为⎰-badx x f a b .)(1)．所以，)(t y 在[0,]T 上的平均值为⎰=T dt t y T y 0)(1=2-20011()()()22TT A A A T A t dt At t T T T T T T T -=-=-⎰牛莱公式=.2A 因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断．一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵(1321,,βααα)为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵(321321,,,,βββααα)同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可． 【详解】矩阵(321321,,,,βββααα)作初等行变换，有),,,,(321321βββααα =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a(第一行乘以-1加到第三行，第二行乘以-1 加到第三行)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a ．(1) 当1-≠a 时，有行列式12310a ααα=+≠，秩(3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解． 所以321,,βββ可由向量组(I)线性表示．同样，行列式12360βββ=≠，秩(3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组(II)线性表示．因此向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，有),,,,(321321βββααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201 ．由于秩(321,,ααα)≠秩(),,1321βααα，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 因此，向量组(I)与(II)不等价．【评注1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析： 因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠1231(,,,)r αααβ=3， 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 即向量组(I)与(II)不等价．【评注2】 向量组(I)与(II)等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论．十【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A . 又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简．【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆．于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A ．两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*⇒αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1( 由式(1)，(2)解得1=b 或2-=b ；由式(1)，(3)解得 2.a =因此42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bbA +=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2-=b 时，.4=λ【评注】本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂．一般来说，见到*A ，首先应想到利用公式E A AA =*进行化简．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论． 【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】A 和B 独立的充要条件是{}{}{}P AB P A P B =⋅，由此可以直接证明问题(1)；对于问题(2)，应先构造随机变量，不难看出与事件A 和A 联系的应是随机变量1, ,0, .A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 随机变量X 和Y 的相关系数为XY E XY E X E Y ρ-==，需将P AB P A P B ρ-=转化为用随机变量表示. 显然，若有(){}E XY P AB =，(){}(){},E X P AE Y P B ====即可，这只需定义1,,0, .A X A ⎧=⎨⎩ 若出现若不出现 1,0, .B Y B ⎧=⎨⎩若出现,若不出现 【详解】 (1) 由题给ρ的定义，可见0=ρ当且仅当{}{}{}0P AB P A P B ==，而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件．(2) 考虑随机变量X 和Y :1,0,A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 1,0,B Y B ⎧=⎨⎩若出现若不出现 由条件知，X 和Y 都服从01-分布：{}{}01~X P A P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，{}{}01~.Y P B P B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由离散型随机变量的数字特征，(){}1ni i i i E X x P X x ==⋅=∑，()()()22D X E X EX =-易见 (){}E X P A =，(){}E Y P B =；(){}{}D X P A P A =， (){}{}D Y P B P B =;由协方差的定义()()(){}{}{}(,).Cov X Y E XY E X E Y P AB P A P B =-=-因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数．于是由二随机变量相关系数的基本性质1ρ≤，所以题目中定义的 .1≤ρ。