ddd模拟滤波器的设计

令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令 p = jλ= jΩ/Ωc ， p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为
H a ( p)
1
(p p )
k 0 k
N 1
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
pk e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
, k 0,1, , N 1
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
H (j Ω)
H (j Ω)
带通 c Ω 0
带阻 Ω
H jw
1 1
H jw
1
2
1
低通
wC
H jw
2
高通
w
wC
w
H jw
1 BW
1
1 2
1
w wH
2
BW
帶通
wL w0
帶阻
wL w0
w
wH
无源滤波器（由R、L、C等元件组成）
滤波器
有源滤波器（由运放、R、C等元件组成）
H a ( s)
c3
( s c )( s c e
2 j 3
)( s c e
2 j 3
)
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 • 极点间的角度间隔为 / N rad • 极点不落在虚轴上
？
• N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
一半极点在 左半平面
一半极点在 右半平面
(3) 频率归一化
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有 的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一
化后的Ha(s)表示为
1 H a ( s ) N 1 s s ( k ) k 0 c c 式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
4) 贝塞尔(Bessel)滤波器
这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线
和图表供设计人员使用。
2 Ωc称为3dB截止频率： H a ( j c ) 0.707 2
20 lg H a ( j c ) 3dB
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s
5 c H a ( s) 5 s b4 c s 4 b3 2 c s 3 b23c s 2 b1 4 c s b05c
4、模拟滤波器的频率变换 ——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计
(1) 低通到高通的频率变换 λ和η之间的关系为

1

上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已 知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：
N lg k sp lg sp
s sp , p
10 p k sp 10 s 101

101
(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。
pk e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
, k 0,1, , N 1
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
RF 1 R1
T ( jw )
Auf 0
w 2 1 ( ) wo
w (w ) arctg w0
模拟低通滤波器的设计指标
模拟低通滤波器的设计指标有 αp,Ωp,αs和Ωs。 Ωp；通带截止频率 Ωs：阻带截止频率 αp：通带中最大衰减系数 αs；阻带最小衰减系数 αp和αs一般用dB数表示 。对于单调下降的幅度特性，可表 示成：
p
101 101
s
N
lg k sp lg sp
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。
关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出， 可以按照下面两式求出：
p 1 c
2N
10
p 10
c p (10
p 10
，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：
H a ( j ) H a ( j ) H a ( j )
2 *
H a ( s ) H a ( s ) s j
H a ( j )
2
1 1 K ( j )
2
2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2 用下式表示：
带入Ha(p)表达式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式， 用下式表示：
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。
表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
(4)阶数N的确定
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 c e s3 c e s4 c s5 c e
2 j 3
2 j 3 1 j 3
1 j 3
取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：
p 10
1)

1 2N
2 5.2755k (rad / s)
s c (10
s
10
1)
1 2N
2 10.525k (rad / s)
可以看出，满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处，与 12kHz比，还有富裕量。 将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：
有源滤波器的工作频率难以做得很高
而无源滤波器的工作频率很高
有源低通滤波器
设 ui为某一频率正弦量
R1
RF
_ + _ C +

+
uo
ui
1 Ui jw C U U U i 1 1 jwRC R jw C
R
uc
U UO U RF Ui U O (1 ) R1 RF R1 1 jwRC
上式表明，极点sk用下式表示：
sk ( 1)
1 2N
( jc ) c e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的 N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。
Ha(s)的表示式为 H a ( s )
(s s )
2N
10
p 10
将=s代入幅度平方函数中:
H a ( j s )
2
1 s 1 c
2N
s 20 lg H a ( j p ) s 10 lg H a ( j p )
2
s 1 c

滤波技术
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号的进行滤波的目的。
模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和
带阻滤波器，它们的理想幅度特性Ω)
低通 0 Ω 0
高通 Ω
H ( j ) G( j ) 1


1


H ( j ) G( j ) 1
模拟高通滤波器的设计步骤如下： A、确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率Ωp’， 阻带上限频率Ωs’，通带最大衰减p，阻带最小衰 减s。
B、确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器 的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项 设计指标为：
H a ( j)
2
1
1 c
2N
N越大，越接近理想滤波器， N越大，滤波器的实现也越复杂。
Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制
(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成
将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
1 H a ( s) H a ( s) s 2N 1 ( ) jc
s
回忆低通滤波器的去归一化：
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 设计高通滤波器，fp=200Hz、fs=100Hz，幅度特性单调下 降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。 解： ①高通技术要求 fp=200Hz fs=100Hz, 归一化频率 p=3dB s=15dB
1 H a ( p) 5 4 3 2 p b4 p b3 p b2 p b1 p b0
其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361
(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。
c p (10
检验：
①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ωp’； ②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ωs’；
③通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。
C、设计归一化低通滤波器G(p)。
D、求模拟高通的H(s)。将G(p) 先转换成归一化 高通H(q)，再去归一化，得H(s)：
H ( s ) G ( p) p c
p 10lg H a ( j p ) s 10lg H a ( j s )
2
2
模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成
熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：