2019-2020学年高中人教A版(2019)数学必修第二册课时作业8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 Word

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

一、选择题

1.

如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为

( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

解析：设圆锥的母线长为l ，则l ＝12＋(3)2＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.

答案：C

2．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )

A ．4π2

B ．3π2

C ．2π2

D ．π2

解析：依题意，圆柱的母线长l ＝2πr ，故S 侧＝2πrl ＝4π2r 2＝4π2. 答案：A

3．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为( )

A ．8：27

B ．2：3

C ．4：9

D ．2：9

解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3：⎝ ⎛⎭

⎪⎫43πR 3＝8：27， ∴r ：R ＝2：3，∴S 1

：S 2＝4：9.

答案：C 4．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕直

线BC 旋转一周，所形成的几何体的体积是( )

A.92π

B.72π

C.52π

D.32π

解析：如图，△ABC 绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 为轴截面的圆锥后剩余的部分．

因为AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，

所以AE ＝AB sin 60°＝3，BE ＝AB ·cos 60°＝1，CE ＝52.

V 1＝13π·AE 2·CE ＝5π2，V 2＝13π·AE 2·BE ＝π，

所以V ＝V 1－V 2＝32π.故选D.

答案：D

二、填空题

5．已知圆锥的底面半径为2 cm ，高为1 cm ，则圆锥的侧面面积是________cm 2.

解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S 侧＝π×2×22＋12＝25π(cm)2.

答案：25π

6．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．

解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S ＝4πR 2＝14π.

答案：14π

7.

如图是某几何体的直观图，则这个几何体的表面积为________，

体积为________．

解析：这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面

半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，所以该几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2 ＝

7π，体积V ＝π×12

×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.

答案：7π 2π＋33π

三、解答题

8．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求该圆柱的表面积？ 解析：方法一 如图(1)所示，以矩形8 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设OA 为底面圆的半径，此时底面圆的周长为

2π·OA ＝4，得OA ＝2π，则两底面面积之和为8πcm 2，又S 侧＝32 cm 2，故

此时该圆柱的表面积为⎝ ⎛⎭

⎪⎫32＋8πcm 2.

方法二 如图(2)所示，以矩形4 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设OB 为底面圆的半径，此时底面圆的周长为2π·OB

＝8，得OB ＝4π，

则两底面面积之和为32πcm 2，又S 侧＝32cm 2，故此时该圆柱的表面

积为⎝ ⎛⎭

⎪⎫32＋32πcm 2. 9．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的体积．

解析：如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一

周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的

体积．

所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4

－13π×22×2＝1483π.

[尖子生题库]

10．已知球心O 到过球面上三点A ，B ，C 的截面的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积．

解析：如图所示，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′，AO ，AO ′，

因为AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，

所以O ′为正三角形ABC 的中心，

且AO ′＝33AB ＝ 3 cm.

设球的半径为R ，则OO ′＝12R .

由球的截面性质，知△OO ′A 为直角三角形，

所以AO ′＝OA 2－OO ′2＝R 2－14R 2＝32R ，所以R ＝2 cm.

所以V 球＝43πR 3＝323π (cm 3)．