最优灾情巡视路线7

辽宁工学院学报 ( 自然科学版) 第 19 卷第 4 期 90
69. 9 ×2+ 1 ≈ 4. 94, 2> tH 35 t15 > 1, 可见, 这一组可再巡视一村。 在这点的相邻点中找出一未巡视点 18, 时间为 5194 小 ( 3) 再次远点 15 点, 从 0 点沿最短路至 15 点的时间为 t15 =
α
收稿日期: 1999205213 作者简介: 徐美进 ( 19652) , 女, 辽宁葫芦岛人, 辽宁工学院基础科学部讲师。
1999 年 ( 总第 68 期)
徐美进等: 最优灾情巡视路线
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2 假设
( 1) 假设在巡视过程中不考虑天气、 故障等因素的影响。 ( 2) 假设路线上的公路都没有被洪水冲断, 可以供巡视工作使用。 ( 3) 按照我国的传统体制, 通常视察工作由县城到乡, 再到村按级别逐渐向下视察, 考虑
最优灾情巡视路线
徐美进1 , 张洪顺2 , 刘 敬1
(1. 辽宁工学院 基础科学部, 辽宁 锦州 121001; 2. 锦州经济技术开发区 发展局, 辽宁 锦州 121000)
摘 要: 对 1998 年全国数学建模竞赛的 B 组题进行了讨论。将问题视为图论中的旅行售货 员问题。首先对顶点进行分组, 采用逐次改进法求出每一组的近似最佳售货员回路。根据偏差程 度的大小来衡量巡视路线的均衡性, 最后得到了均衡性较好的分组路线。 在所给条件下, 找出完 成巡视的最短时间为 6. 43 小时, 在这个时间限制下, 采用较为合理的分组方法, 找出 22 个组。最 后, 讨论了在组数一定的情况下, 将 T 、 t 视为时间因素 X , V 视为速度因素 Y , 分析 X 、 Y 变化对最 佳巡视路线的影响。 关键词: 网络; 哈密尔顿回路; 旅行售货员回路; 最短路; 逐次改进法 中图分类号: O 15715 文献标识码: A
组名 路线
0- C - B - 34- 35- 33- 31- 32- 30- Q - 29- R - A - 1- 0 0- P - 28- 27- 24- 23- 22- 17- 16- (17) - K - 21- 20- 25- N - 26- ( P ) - 0 0- (2) - 5- 6- L - 19- J - 13- 14- H - (14) - 15- I - 18- ( K ) - (21) - (25) - M - 0 0- (2) - (5) - (6) - 7- E - 11- G - 12- F - 10- ( F ) - ( E ) - 8- 4- D - 3- 2- 0
长度
141. 2 154. 6 177. 2 181
时间
22. 03 21. 41 22. 06 21. 17
打括号的点表示只经过不停留。
22. 06 - 21. 17 ≈ 4◊ , 这个分组的均衡性比较好, 且时间都限制在 24 小时以内。 22. 06 3. 5 对问题 3 分析
Α=
在 0 点至所有点的最短距离中, 0 到 H 的距离最长, 为 7715 公里。那么, 可以从 0 点出 77. 5 发, 沿最短路线到达 H 点巡视, 然后原路返回, 沿途所经点一律不停, 所需时间为 tH = 35 ×2+ 2= 64. 3 小时。 这是在所给条件下, 完成巡视的最短时间。 那么, 以这个时间为限制, 找 出巡视路线。 作法如下: ( 1) 对 H 点按以上所述方法巡视, 为第一组; 72. 7 ( 2) 从次远点考虑。 次远点为 14 点, 沿最短路线至 14 点, 时间为 ×2+ 1= 5. 16 小 35 时, 因 tH - 5. 16> 1, 可见, 这一组还可顺路巡视一点 ( 村) 。这条路上 13 与 14 相邻, 那么, 巡 视 13 点, 时间为 6116 小时, 此为第二组。
到灾情紧急的情况, 我们采用就近原则, 假设乡、 村都为同级, 避免在时间、 路程上的浪费。 ( 4) 假设在巡视过程中, 经过邻县村时, 不做任何时间的耽搁。
3 问题的分析以及模型的建立
由题中给出的问题条件, 分析出这是一个寻求最佳旅行售货员回路的问题。 把县、 乡、 村 所在地看做节点, 根据路线图可构造一个赋权网络图 G =〈N , E , W 〉 , 其中 N = {0, 1, 2, …, 52}; E = { ( i, j ) i , j ∈ N }; W = {w ( i , j ) i , j ∈ N } 根据图论中的结论, 最佳售货员回路问题可转化为最佳哈密尔顿回路的问题。 方法是, ( i, j ) 为点 i 与 j 在 G 在图 G 的基础上构造一个完备图 G ′ , 点集仍为 N , 每条边 ( i, j ) 的权 w ′ ′ 中最短路的长。 于是, 在 G 中寻求最佳售货员回路的问题即为在 G 中寻求最佳 H - 回路的 问题。 3. 1 对应的数学模型 令决策变量为: x ij = 数学模型为:
p p ij
1 若有某组从城市 i 到城市 j , 0 否则 . m in
目标
p p
∑∑w
i= 1 j = 1
x ij
约束条件
∑
i= 1
x ij = 1, j ∈ N ;
∑x
j= 1
ij

= 1, i ∈ N ; x ij ∈ {0, 1} i, j ∈ N
x ij 必须形成一条巡回路线。 事实上, 本题所求的是分组巡视的最佳路线, 应与多售货员问题类似。 关于多售货员问 题, 也可转为单售货员回路问题, 方法在文献 [ 1 ] 中有所介绍。 但是, 由于 H - 圈问题属 N P - 完全问题, 且对于这 53 个点的图 ( 还要增加 m - 1 个点) 来说, 要求得真正的最优解是不 现实的, 于是我们考虑根据几何直观采用启发式算法, 来求得近似最优解。 3. 2 问题的分析 ( 1) 对问题 1, 由于题中条件的限制, 考虑实际问题中从城市 i 到城市 j 要尽量走最短路 而不会绕远, 并进一步考虑问题中所提到的尽量均衡的要求。 我们试着将整个网络图大致划 分为从县政府出发的西南、 西北、 东北三个区域 ( 见图 1) , 对每个区域, 分别运用解 H - 圈问 题的逐次改进法求出近似解。 ( 2) 作法: ①用图论软件包求出 G 中任两个顶点之间的最短路; ②对分区域后的各组顶 点, 构造出其完全图; ③输入 ( 2) 中完全图上的一个初始 H - 圈 S 0; ④若存在: w ( i, j ) + w ( i + 1, j + 1) < w ( i , i+ 1) + w ( j , j + 1) , 则在 S 0 中删去边 ( i, i + 1) 和 ( j , j + 1) , 而加入边 ( i, j ) 和 ( i+ 1, j + 1) , 形成新的回路 S 1; ⑤回到④反复进行, 直至不能改进为止。
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m ax (C i ) - m in (C i ) 定义 = Α , 其中 C i 为第 i 组的最佳路线的长。 称 Α为偏差程度。 若 Α m ax (C i ) ≤10◊ , 偏差程度要弱一些, 即均衡性比较好。 为了改善均衡性, 下面对以上三组进行微调。 将第三组中的 13, 14 两点移到第二组, 新 的分组: 一组: 不变 二组: 0- M - 25- 21- K - 22- 17- 16- I - 15- 14- 13- J - 18- J - 19- 20- L - 6 - 5- 2- 0 总路程 19016 公里。 三组: 0- C - 3- D - 4- 8- E - 9- F - 10- F - 12- H - 12- G - 11- D - 3- 2- 0 总程程 20916 公里。 三组总路程和: 60615 公里。 209. 6- 190. 6 这时 Α = ≈ 9. 09◊ < 10◊ , 显然这组的偏差程度小, 即均衡性较好。 209. 6 3. 4 对问题 2 分析 由于给定了各点的时间参数 T = 2, t= 1, 及行驶速度 V = 35 km h, 那么, 在乡村停留的 总时间为 17×2+ 35×1= 69 小时, 要求在 24 小时内完成巡视, 假如分三组, 那么每组在乡、 村停留的时间就大约占了 23 小时, 显然余下的时间是不够的, 故考虑至少应分 4 组。 1 在问题 1 中分三组的基础上, 将图分为 4 组。 此时图 G 的边权值我们定义为 C ij = e i + 2 1 d ij + e j , 然后类似问题 1 中的作法求出各组的近似最佳售货员路线。 这里存在一个问题, 2 求出的各组近似最佳路线长是不准确的, 因某些点要重复经过, 而实际只需停留一次即可, 这样得出的路线长度应该比实际时间长一些。 然后再经过计算时间, 适当调整, 得出表 1 的 表 1 分组结果 分组结果。
1 背景与问题的重述
1998 年夏季, 我国长江、 松花江流域的广大地区遭受了特大水灾。某受灾地区领导为了
更加及时、 准确地掌握受灾情况, 组织自救, 决定带领有关部门的负责人从县政府所在地出 发, 走遍全县 17 个乡, 35 个村后再回到出发地。图 1 为该县的乡、 村公路网示意图。考虑灾 情的刻不容缓, 而且要走遍所有的乡、 村, 我们的目标任务是: 符号说明: w ( i, j ) 为任意两点 i , j 间的间距;
e i 为点权, 表示各点停留时间; V 为速度; d ij 为从任意点
1 1 i 至点 j 的时间, d ij = w ( i , j ) V ; c ij = e i + d ij + e i. 2 2
( 1 ) 如何在组数一定 ( 3 组) 的情况下, 走遍乡村使总路线最短且三组的路程近可能均
总路程 21817 公里。 三组总路程和 600 公里。 从这个结果上看, 第二组路程 175 公里, 第一、 三组均为 200 多公里, 取偏差 218. 7218. 7- 175 175= 43. 7, 这个偏差我们认为大了些。 为了更准确地表达出偏差程度, 取值 ≈ 218. 7 20◊ .