概率论与数理统计(理工类 第四版) 概率第1章

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（2） （3）
P(C ) P( A2 A1 A2 ) P( A2 ) P( A1 A2 ) 0.3 0.1 0.2
D A1 A2
P( D) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
=0.6+0.3-0.1=0.8
2” 可列个事件A1, A2,…, An …的和事件： 可列个事件A1, A2,…, An …至少有一个发生，记作
i 1
Ai

10Biblioteka 3.积事件 :A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
3’ n个事件A1, A2,…, An 的积： n个事件A1, A2,…, An同时发生， 记作 n
A A A A
1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果 组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为 S或Ω； 2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样 本空间的元素）称为一个样本点。
试给出E1—E5的样本空间
4
三、随机事件
例1.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得 点数，则所有可能出现的结果即该试验的 样本空间是：
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2、概率的性质
①不可能事件的概率为零，即P(φ)=0； ②概率具有有限可加性， 即若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则必有 P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+ P(A2) +…+ P(An) ③设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)
特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，
例1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意 地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑 球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j 号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} 而且可得到下列随机事件 A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}； B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}； C={(1,2),(2,1)}={两次都摸得白球}； D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑 球 }； G={(1,2),(2,1)}={没有摸到黑球}。 设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,…)为事件
0.6，
解 设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意 P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1 (1) B A1 A2 A1 A2 A1 A1 A2 且 A1 A2 A1 可得 P( B) P( A1 A1 A2 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) 0.6 0.1 0.5
一般地，若事件A1， A2 ，…， An两两互不相容， 则
n n fn A f n ( Ai ) i 1 i 1
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事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生 得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。
历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔 逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反 面的机会均等。 实验者
De Morgan
Buffon K. Pearson
n
2048
4040 12000
nH
1061
2048 6019
fn(H)
0.5181
0.5069 0.5016
K. Pearson
24000
12012
0.5005
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实践证明：当试验次数n增大时， 随机事件A 的频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。这是随 机现象固有的性质，即频率的稳定性，也 就是我们所说的随机现象的统计规律性。
16
五、事件的运算规律
1、交换律：A∪B＝B∪A，A ∩ B＝B ∩ A 2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (A ∩ B) ∩ C＝A ∩(B ∩ C) 3、分配律(A∪B) ∩ C＝(A ∩ C)∪(B ∩ C)， (A ∩ B)∪C＝(A∪C) ∩(B∪C) 4、对偶(De Morgan)律：
（4）
G A1 A2 A1 A2
P(G) P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) 1 0.8 0.2
（5）
P( F ) P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) 1 0.1 0.9
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作业 习题1-2 (Page 11)
8
1.事件的包含与相等 “A发生必导致B发生”， 即A中的样本点一定属于B，记为AB， 也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
9
2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作A∪B
n 2’ n个事件A1, A2,…, An 的和事件： n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 Ai i 1
i j k
P(A A A ) (1)
i j k
n
n 1
P(A1A 2 A n )
P(A ) 1, 若A , A
i 1 i
2
A n， 为完备事件组
⑥可分性 对任意两事件A，B，有 P( A) P( AB) P( AB )
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例1.5 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为 第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求： (1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)， (2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)， (3)“至少有一天下雨”的概率P(D)， (4)“两天都不下雨”的概率P(G)， (5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。
第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算
频率与概率
等可能概型(古典概型)与几何概型
条件概率
事件的独立性
1
1.1 随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 随机试验的特点 (1)试验可以在相同条件下大量重复进行； (2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知 道试验所有可能的结果； (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果， 但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现 又有一定的统计规律性。 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。
且P(A)≥P(B)，此性质称为单调不减性。
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④互补性 对任一事件A，有 P( A ) 1 P( A)
⑤加法公式 对任意两个事件A，B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B) - P(AB)
可推广
P( A i ) P(A i ) P(A i A j）
i 1 i 1 i j n n n
(1,1) (1,2) ( 2,1) (2,2) S (6,1) (6,2) (1,6) ( 2,6) (6,6)
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其中有36个可能的结果，即36个样本点。 每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出 现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴 趣，称之为事件。 如事件A：两次投掷所得点数之和为8。
A1 “至少有一人命中目标 : ” : A5 “三人均命中目标” : : A6 “三人均未命中目标” : :
ABC A B C
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例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对 立事件。
解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示 事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件 “甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示 为：
A B A B,
k k
A B A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
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例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：
A B C A2 “恰有一人命中目标” : : ABC ABC ABC A3 “恰有两人命中目标” : : ABC ABC ABC A4 “最多有一人命中目标 : ” : BC AC AB
特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件 为 基本事件(或简单事件)。
2、两个特殊事件
必然事件S ——S包含所有的样本点，是S自身的子集， 每次试验它总是发生的，称为必然事件。
不可能事件Φ ——空集Φ不包含任何样本点，它是S的子 集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。
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五、事件的关系与运算
事件B：两次投掷所得点数相等。
A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)
记作：A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}，A是S的子集。
类似地，B={(1,1),(2,2),„,(6,6)}，B也是S的子集。
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1、随机事件——随机试验E的样本空间S的子集为E的 随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C…表示。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。
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二、概率
1、概率的公理化定义
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个 事件 A，赋予一个实数 P(A) 与之对应，如果集合 函数P(A)具有如下性质： ①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0 ； ②完备性（规范性）：P(S)=1； ③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是两两互不相 容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j, i, j=1,2,…)，有 P(A1∪A2∪…∪An∪…) = P(A1)+ P(A2) +…+ P(An)+… 则称P(A)为事件A的概率。
AB
因此对立事件为：A B A B A B 即所求对立事件为：“甲种产品畅销 或乙种产品滞销”。