三角形中线等分面积应用
三角形 等分点 连线 面积
三角形等分点连线面积（最新版）目录1.引言：介绍三角形等分点的概念和应用2.三角形等分点的求法3.等分点连线与三角形面积的关系4.实际应用案例5.结论：总结三角形等分点的重要性和应用价值正文一、引言在几何学中，三角形等分点是指将一个三角形分割成多个小三角形，使得这些小三角形的面积相等。
等分点的概念在解决许多几何问题时具有重要意义，特别是在研究三角形的性质和应用时。
本文将探讨三角形等分点的求法、等分点连线与三角形面积的关系以及实际应用案例。
二、三角形等分点的求法求解三角形等分点，通常需要先找到三角形的顶点，然后通过一定的方法将顶点与三角形的边相连，从而将三角形分割成多个小三角形。
常见的求法有以下几种：1.角平分线法：通过作出三角形的一个角的平分线，将这个角分成两个相等的角，然后在角的顶点作垂线，将三角形分割成两个面积相等的小三角形。
2.中线法：通过作出三角形的一个顶点的中线，将这个顶点与对边中点相连，从而将三角形分割成两个面积相等的小三角形。
3.高法：通过作出三角形的一个顶点的高，将这个顶点与对边相连，从而将三角形分割成两个面积相等的小三角形。
三、等分点连线与三角形面积的关系在三角形中，等分点连线是将一个三角形分割成多个小三角形的关键。
等分点连线与三角形面积的关系可以通过以下定理得到：1.三角形等分点连线所分割的小三角形面积之和等于原三角形面积。
2.等分点连线上的任意一点到三角形三个顶点的距离之和等于原三角形周长的一半。
四、实际应用案例三角形等分点在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、地理信息系统、建筑设计等领域。
以下是一个实际应用案例：假设有一个三角形 ABC，我们需要将其分割成面积相等的四个小三角形。
首先，我们可以通过角平分线法找到三角形 ABC 的一个角的平分线，然后将这个角分成两个相等的角。
接着，在角的顶点作垂线，将三角形分割成两个面积相等的小三角形。
最后，通过连接这两个小三角形的顶点，我们可以得到另外两个面积相等的小三角形。
三角形中的中线有什么特点
三角形中的中线有什么特点三角形是几何学中基本的图形之一，它由三条边所组成。
而中线是连接三角形的两个顶点与对应边中点的线段。
本文将探讨三角形中的中线所具有的特点。
一、中线的定义及作用在三角形ABC中，连接顶点A与BC中点M所得的线段AM称为三角形ABC的中线。
同样地，连接顶点B与AC中点N所得的线段BN，以及连接顶点C与AB中点P所得的线段CP，都可以称为三角形ABC的中线。
中线在三角形中具有重要的几何性质和作用。
首先，中线将三角形分为两个相等面积的三角形，这点可以通过三角形的对顶边相等性和三角形面积公式加以证明。
此外，中线还能够找到三角形的重心，即三角形的几何中心。
重心是三角形的重要参考点，它对于三角形的性质和应用具有重要作用。
二、中线的特点1.中线的长度相等任意三角形的三条中线长度是相等的。
在三角形ABC中，连接顶点A与BC中点M所得的线段AM的长度等于连接顶点B与AC中点N所得的线段BN的长度，也等于连接顶点C与AB中点P所得的线段CP的长度。
这是因为中点将边等分，所以相应的中线长度相等。
2.中线的交点位于重心在三角形的中线相交于一点，这个点称为三角形的重心。
重心是三角形的几何中心，其特点是其到三角形三个顶点的距离之和最小。
在三角形ABC的中线AM、BN和CP相交于一点G，这个点G就是三角形ABC的重心。
3.重心将中线按1:2的比例分割连接重心G与顶点A的线段AG可以将中线BN和CP分别按1:2的比例分割。
即，线段AG的长度是线段BN的1/3，线段AG的长度是线段CP的2/3。
类似地，连接重心G与顶点B的线段BG将中线AM和CP按1:2的比例分割，连接重心G与顶点C的线段CG将中线AM和BN按1:2的比例分割。
4.中线对角线互补三角形的每条中线都与其他两条中线构成两条对角线。
这两条对角线互相垂直且互相平分。
也就是说，在三角形ABC中，中线AM与中线BN构成的线段MN即是中线CP的中点，又是BC的中点，并且MN与CP垂直且平分。
三角形的中线与面积的三个重要结论
三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。
三角形三等分点定理
引言：三角形三等分点定理是一个重要的几何定理，在三角形中寻找三个等分点是一个常见问题。
该定理给出了一种方法，可以用几何手段确定三角形的等分点位置。
本文将详细介绍三角形三等分点定理，包括定义、证明和应用。
概述：三角形三等分点定理是指在任意三角形ABC中，可以找到三个点D、E和F，使得线段AD、BE和CF均等分三角形ABC。
这意味着三个等分点分别位于三个边界上，并且每个等分点都将三角形划分为等面积部分。
正文内容：一、三等分点的定义和性质1.三等分点是指在三角形中将三个边界等分的点。
2.三等分点满足三等分线段的性质，即三个等分点将边界分为相等的部分。
3.三等分点与三角形的形状和大小无关，只与三角形的边界长度有关。
二、三等分点的几何构造方法1.方法一：利用三角形的中位线构造等分点。
2.方法二：利用三角形的高线构造等分点。
3.方法三：利用三角形的角平分线构造等分点。
4.方法四：利用三角形的外接圆和内切圆构造等分点。
三、三等分点的证明方法1.证明方法一：利用三角形的边界长度和线段等分的性质。
2.证明方法二：利用三角形的中垂线和角平分线的性质。
3.证明方法三：利用三角形的相似性和三等分点的定义。
4.证明方法四：利用向量和坐标几何的方法证明三等分点的存在和位置。
四、三等分点的应用1.应用一：用三等分点构造等面积分割线，将三角形分割成等面积的部分。
2.应用二：利用三等分点证明三角形的性质，如内接四边形和外接圆的关系。
3.应用三：三等分点与三角形的内心、外心和重心的关系。
4.应用四：利用三等分点构造等边三角形的方法。
五、三等分点的拓展和深入研究1.拓展一：三等分点的存在性和唯一性。
2.拓展二：三等分点的坐标表示和计算方法。
3.拓展三：三等分点与其他几何定理的关系和应用。
4.拓展四：三等分点在三角形划分和分割问题中的应用。
总结：三角形三等分点定理是一个重要的几何定理，可以用于构造等分点和证明三角形的性质。
本文介绍了三等分点的定义和性质，几何构造方法和证明方法，以及应用和拓展研究。
三角形中线等分面积专题
AB 到点 F ，使
让学生灵活运用所 获得的结论， 解决问 题，考查学生对结论 的理解。 增强学生把新知识 转化旧知识的能力。 从不同角度识别图 形的能力。 加强交流学习其他 同学思维上的优势。
BF AB ，连接 FD , EF ，得到 DEF （如图
4）．若阴影部分的面积为 S3 ，则 S3 =
,
教学 重点与难点
设计思路
教与学的方法
重点： 结论的推导和灵活运用
难点： 从复杂图形中找出含有中线的三角形这一基本图形
.
从学生学过的三角形面积入手，自己动手推导出三个结论，然后利用结论
推导三角形中重要的重心图的结论，最后联系中考
.对于四边形的面积问题
转化为三角形面积问题 .在课的结尾联系生活实际，让孩子打开思路 ,应用所
（用含 a 的代数式表示） ．
学生画图，求面积。 五 拓展与应用
如图 5，已知四边形 ABCD 的面积是 a ， E、 F、
G面积？
转化思想方法的应 用。 让学生灵活运用所 获得的结论， 解决问 题，考查学生对结论 的理解。 学生把新知识转化 旧知识的能力。 从不同角度识别图 形的能力。
E
A
A
B
C
D
结论：若底相等，则面积之比等于高之比
B
HFC
D
3.已知 S ABD 30, S ACD 12 ,问：线段 BD 与线
段 CD 的比值是多少？得出什么结论？
A
B
C D
学生动手画出
ABC , ECD 的高，
写出证明过程， 并能得 出结论，小组合作， 互 相检查书写规范与否。 学生到前面讲解
A
线等分三角形的面积 , 即如图 1 ，已知 AD 为 ABC 的 BC 边上的中线 ,则 S ABD S ADC
三角形边的三等分线分割面积问题证明探究
三角形边的三等分线分割面积问题证明探究在几何学里，三角形是一个有趣的主题。
它象征着鼓励我们去探索和挑战自己，也可以唤起读者对数学知识的好奇心和兴趣。
那么，如何在三角形中寻找三条等分线，用它们以半分的形式将三角形的面积分割？今天，我们就来探究一下如何证明这一特定问题。
一、问题背景1.三角形面积分割问题1.三角形面积分割问题：给定一个三角形ABC，假设将它的边AB的一个点D等分成两等分（即DB：BD=1：1），将CD以D分割成两等分（即DC：CD=1：1），求三角形ABC面积的分割比例。
此问题一般称为三角形面积分割问题，可以通过以下步骤来求解：（1）连结CD，于AB上作AE，与CD平行，得到三角形ADE。
（2）将三角形ADE分割成两个子三角形ABC，ADC，设这两个三角形的面积分别为S1，S2。
（3）由三角形三条边的分割比计算出两个三角形的面积比为r：r＝（AD：AE）＊（DC：CD）＝2：3（4）可知S1：S2＝r：（1－r）＝2：1，也就是说三角形ABC的面积比为2：1。
2.三角形边的三等分线三角形边的三等分线是指，在三角形中，从某边的一点引出一条直线，将该边分割成三等份，其中每两个等份之间的点称为三角形边的三等分点。
由此可见，它是一条连接三角形的三个顶点的虚线。
因此，三角形中的三等分线可以将三角形分成四个小三角形，小三角形的各边与原大三角形的边成比例。
另外，三角形的三等分线经常被用来构建一系列的三角形，如等腰三角形、直角三角形等。
比如，用三角形的三等分线将一个正三角形分成三个等腰三角形；将一个等腰三角形分割成一个钝角三角形和两个直角三角形等。
二、最优解决方案1.三角形边的三等分线能给面积分割带来最优解决方案三角形边的三等分线可以把整个三角形分割成三个小三角形，而每一个小三角形的面积比原来的大三角形的面积都小。
这样，在分割三角形的面积时，利用三等分线分割可以得到更优的解决方案。
以普通三角形AB，AC，BC为例，假设其面积为S，其中AB的中点为D，AC的中点为E，BC的中点为F，则三等分线DF，AE，BF可以把三角形分割成三个小三角形ADF，AEF，BDF，它们的面积分别为S1，S2，S3，且有S = S1 + S2 + S3，即原三角形面积等于三个小三角形面积之和，这样，S1，S2，S3的和比S小，因此三等分线可以给三角形的面积分割提供最优解决方案。
三角形的中线中线的性质和应用
三角形的中线中线的性质和应用三角形是初中数学中的基础概念之一。
在三角形中，中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，互相交于一个点，我们称之为重心。
本文将探讨三角形的中线中线的性质和应用。
一、三角形中线的定义与性质1. 定义：三角形的中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
2. 性质1：三角形的三条中线互相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心划分每条中线的长度比为2:1，即重心到顶点的距离是重心到中点距离的两倍。
3. 性质2：三角形的重心离每条边的距离相等。
4. 性质3：三角形的中线长度满足关系式：m₁+m₂+m₃=3m（其中，m₁、m₂、m₃分别表示三角形的三条中线的长度，m表示三角形的周长）。
二、三角形中线中线的应用1. 面积计算：利用三角形中线中线的性质，我们可以简化计算三角形面积的步骤。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，三条中线的长度分别为m₁、m₂、m₃，则三角形的面积S可以通过以下公式计算得到：S = 1/4 * √(2a²+2b²-c²) * √(2a²+2c²-b²) * √(2b²+2c²-a²)这个公式称为三角形中线长公式，可以大大简化我们计算三角形面积的过程。
2. 相似三角形比较：利用三角形中线对应线段相等的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的中线等分对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果一个三角形的一个中线等分了对应边，而另一个三角形的对应中线等分了对应边的同一比例，那么这两个三角形就是相似的。
3. 证明三角形性质：三角形中线中线的性质也可以用来证明其他三角形的性质。
例如，我们可以利用中线的长度比是2:1，来证明三角形重心到两边距离的关系。
假设三角形ABC的重心为G，连接AG、BG、CG分别和边BC、AC、AB交于点D、E、F。
三角形的中线定理解析
三角形的中线定理解析三角形的中线定理是指一个三角形的三条中线相交于一个点，且这个点离三角形的各顶点的距离相等。
本文将对三角形的中线定理进行深入解析，探讨其几何性质和相关应用。
一、定理表述在一个三角形ABC中，连接顶点A到边BC的中点D，连接顶点B到边AC的中点E，连接顶点C到边AB的中点F。
则线段AD、BE和CF三条中线交于一点G，且点G到三角形ABC的各个顶点的距离相等。
二、性质探讨1. 证明中线交点G的存在性：通过平行线性质可以证明线段AD、BE和CF是平行于边BC、AC 和AB的。
根据平行线的性质，可以得出线段AD、BE和CF是同一平面内的平行线，因此它们必然会相交于一点。
2. 点G到三角形各个顶点的距离相等：设线段AD的中点为M，线段BE的中点为N，线段CF的中点为P。
根据中线的定义，每条中线都会将相应边分为两等分，即AM=MD，BN=NE，CP=PF。
可以发现，三角形ABD与三角形ACE是全等的，所以可以得出AM=DN，同理可以得出AM=DN=EP=PM。
因此，点G到三角形ABC的各个顶点的距离相等。
三、相关应用1. 判断三角形是否为等腰三角形：根据中线定理，一个三角形是等腰三角形的充要条件是三角形的两条中线相等。
因此，我们可以利用中线定理来判断一个三角形是否为等腰三角形。
2. 定位三角形的重心：重心是三条中线的交点，利用中线定理可以准确定位三角形的重心。
重心在一个三角形内部，且距离各顶点的距离均一样，所以可以将中线定理应用于三角形的定位问题。
3. 探索三角形的面积关系：我们可以利用中线定理来研究三角形的面积关系。
根据中线定理，三角形的面积等于三角形的一条中线与对边的乘积的一半。
这一性质可以用来推导和证明与三角形面积相关的定理。
四、总结三角形的中线定理是一个重要的三角形性质，它揭示了三角形中线的几何性质和应用价值。
通过深入理解和应用中线定理，我们可以进一步认识和研究三角形的形状、关系和面积，使我们更加全面地掌握几何学的基础知识。
三角形的中心与面积关系
三角形的中心与面积关系三角形是几何学中最基本的图形之一，而其中心与面积之间存在着一定的关系。
本文将探讨三角形的中心点与其面积之间的关联。
一、三角形的中心点三角形的中心点是指三角形内部一点，其具有一些特殊的性质和重要的几何意义。
三角形有三个中心点，分别是重心、外心和内心。
1. 重心重心是指三角形三条中线的交点，即三条连接三角形各顶点与对边中点的线段所交于一点。
设三角形的顶点分别为A、B、C，对边中点分别为D、E、F，则重心G即为线段AD、BE、CF的交点。
重心是三角形所有中心点中最容易理解和计算的一个，它与三条中线的交点是三等分线段的关键点。
2. 外心外心是指三角形外接圆的圆心，即能够恰好通过三个顶点的圆心。
设三角形的顶点为A、B、C，连接三个顶点与对边中点的垂直平分线，则该三条垂直平分线所交于一点O，O即为三角形外心。
外心是三角形最重要的中心之一，它与三个顶点之间的距离相等，且外心到三个顶点的连线上的角度都是360度的1/3。
3. 内心内心是指三角形内切圆的圆心，即能够与三角形的三条边相切的圆心。
设三角形的三条边分别为AB、BC、CA，对边的交点为D、E、F，则内心I即为角BFD、CEA和ADB的交点。
内心是三角形中心点中最常用和重要的一个，它与三边的切点分别位于三边的中点。
二、三角形的面积三角形的面积是指在平面直角坐标系中，由三条边所围成的空间的大小。
计算三角形面积的常见方法有海伦公式、矢量叉积法和高度法等。
1. 海伦公式海伦公式适用于已知三边的长度的情况，根据公式：三角形的面积S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为三边长之和的一半，a、b、c分别为三边的长度。
海伦公式是计算三角形面积最常用的方法之一，可以灵活适用于各种类型的三角形。
2. 矢量叉积法矢量叉积法适用于已知两条边和夹角的情况，根据公式：三角形的面积S = 1/2 × |AB × AC|，其中AB和AC为两条边对应的矢量。
三角形中线等分面积的应用
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (1)2n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCES=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
初中数学_三角形中线等分面积的探究教学设计学情分析教材分析课后反思
中小学教师“优课”教学设计三角形中线等分面积的探究【设计说明】该教学内容为新七年级下册第十章《三角形的有关证明》第一节前的补充内容，以七年级上册第一章《三角形》第一节第5课时的内容《三角形的中线》为基础，为后续学习四边形，解决相关面积问题做基础.从知识技能方面来讲，三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年来多以计算和证明题的形式出现.而对于三角形的中线来讲，与其作为条件之一隐藏在综合题目中的作用相比，其等分三角形面积的应用更容易作为探究类题目呈现.从数学思考及解决问题方面来看，本节内容以几何直观为依托，在演绎推理和合情推理的双重作用下，将图形的发生与发展规律用符号与模型刻画出来，继而运算解决问题,既注重知识的理解与深化应用，更注重借助于数学活动经验的积累渗透培养学生的数学核心素养，提高学生的数学学习能力以及数学应用意识.因此，本节课以培养学生良好的数学思维、能力为基本目的，以发展学生良好的数学核心素养为终极目标.【教学目标】知识技能：理解三角形的中线等分三角形的面积；探究三角形的中线等分三角形的面积的实际应用.数学思考：让学生经历画图实践、探究总结形成三角形中线等分面积的基本模型.解决问题：通过画图实践，培养学生数学建模、数形结合、几何问题代数化等良好数学思想方法.情感态度：培养学生把握数学知识的来龙去脉及举一反三的能力，形成有论据、有条理、有逻辑的思维习惯，提高学生的表达能力.【教学重点】形成三角形中线等分面积应用的基本模型;渗透整体与部分、数形结合及从一般到特殊等数学思想方法【教学难点】三角形中线等分面积基本模型的建立及应用；整体与部分、数形结合及从一般到特殊等数学思想方法的渗透【教学过程】 引 例：如图，AD 是△ABC 的中线，AF ⊥BC ，（1） AF 是图中哪几个三角形的高？（2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由. 探究一：根据引例，咱们能得到些什么启示呢？由此，已知三角形ABC ，你能做出在△ABC 基础上做出2ABD ABC S S △△吗？怎么画？有几种方法？请尝试作图.【问题解决】先由学生谈谈自己的想法，看是否有学生能够想出逆向扩展三角形面积的问题，根据学生的回答引导学生从正向应用到逆向思考，再B由学生动手作图，做出2ABD ABC S S =△△.“怎么画？有几种方法？”的问题会引起学生的思考，在2种或3种或6种不同的作图中，让学生自己说明理由，根据2ABD ABC S S =△△的一边AB 可以有两种不同的分析，对于3种或6种的答案应该是只考虑到了2ABC S △，而忽略了AB 这一公共边的条件，在此利用此机会教育学生发现问题要认真，分析问题要仔细.【设计意图】在学生前置作业的准备中，学生已经能够熟练的将三角形分为面积相等的两个三角形，这里“变分为补”，做2ABD ABC S S =△△，将中线等分面积进行逆向应用，既能够让学生更为深入的理解“三角形中线等分面积”，更能够培养学生的逆向思维，提高学生数学思考能力，并为后面解决实际应用的探究二做好知识准备.探究二：如图，已知ABC △的面积为a .如图（1）所示，延长ABC △的边BC 到点D ，使CD=BC ，连接DA ，若ACD △的面积为S 1，则S 1=____________（用含有a 的代数式表示）；如图（2）所示，延长ABC △的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连接DE ，若DEC △的面积为S 2，则S 2=____________（用含有a 的代数式表示），并写出理由；如图（3）所示，在如(2)的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD 、FE ，得到DEF △，若阴影部分的面积为S 3，则S 3=____________（用含有a 的代数式表示）.发现：如图4所示,像上面那样，将ABC △各边均顺次延长一倍，连接所得到端点，得到111D E F △，此时，我们称ABC △向外生长了一次，再次将DEF △按照上述同样的方法将各边顺次延长一倍，连接所得到端点，得到222D E F △称为ABC △向外生长了两次，以此类推……可以发现，扩展一次后得到的111D E F △的面积是与原ABC △面积之间满足的关系为_____，扩展两次后得到的222D E F △的面积是与原ABC △面积之间满足的关系为___________，扩展三次后得到333D E F △的面积是与原ABC △面积之间满足的关系为___________，扩展n 次后得到的n n n D E F △的面积是与原ABC △面积之间满足的关系为___________.【问题解决】在前面问题的铺垫下，该问题放手让学生独立解决，“发现”的解决中，要注意引导学生思考该问题与前面3个问题的异同，只要分析出图中整体或是部分，从“异”入手，问题便可以解决.同时此处要注意由数到式，由特殊到一般，由部分到整体的数学思想方法的渗透.【设计意图】探究二在探究一逆向应用的基础上，继续拓展为3,7ABC ABC S S △△……，并由简单到复杂，由特殊到一般，通过数形结合，最终建立了外延三角形扩展面积与原三角形面积之间的数量关系模型，有效培养了学生的数形结合意识、建模意识以及由特殊到一般的数学思想方法.应用：去年在面积为10m 2的ABC △空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把ABC △向外进行两次扩展，第一次由ABC △扩展成DEF △，第二次由DEF △扩展成MGH △（如图4所示），求这两次扩展的区域（阴影部分【设计意图】 “应用”将探究一、二中建立的模型应用于实际问题，提高学生应用数学的意识和能力.信心加油站：同学们，本节课到现在，你做了设计师，还做了工程师，尽管个别地方有些崎岖，可这也正是数学之魅力所在.因为平坦的小路中我们无法收获知识，只有在九转十八弯的叠山翠绿中，我们才能够发现更美的风景.愿不愿意随老师继续登山寻景呢？总结：经过以上问题，我们通过逆用中线等分三角形的面积更深入的理解了三角形中线等分三角形面积的应用.三角形一边的中线能够将三角形的面积等分，如果在三角形中画出两条边的中线，又会存在怎样的数量关系呢？探究三：根据以上思考完成下列问题：已知：ABC △的面积为1，（1）如图（1）所示，若D ，E 分别是BC 、AC 的中点，AD 与BE G H交于点F ，则四边形CDFE 的面积为____________.（2）如图（2）所示,D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点，AF 与BE 相交于点P ，求四边形PECF 的面积.图（1） 图（2） 图（3）（3）如图（3）所示，E 、F 分别为边AC 和边BC 的距离C 点最近的n 等分点，且AF 与BE 相交于点P ，则四边形PECF 的面积为____________.【问题解决】该探究的解决关键在第一个问题上因此，我将问题全盘抛给学生，在两条中线分割ABC △形成4个图形后，它们各自的面积又有什么特殊的关系呢？由学生分小组认领不同的图形，进行分析讨论.经过思考,学会不难发现S △AEF =S △BFD , S △ABF =S 四边形DCEF ,但是很难继续发现每个图形与S △ABC 之间的等量关系.因此教师要根据学生分析引导学生思考E ,D 作为AC ,BC 的中点的其它作用，除了存在BE ,AD 两条中线以外,还有DF 与EF 两条中线存在.引导学生连接CF ,并利用FE 平分S △ACF ,FD 平分S △BCF ,方法有二：一、得到S △CEF =S △AEF = S △CDF = S △BFD ，若设S △CEF =S △AEF = S △CDF = S △BFD =x ，则S △ABF =2x ,进而得到S 四边形DCEF = 13.二、直接利用中线DF ，EF 的作用，也是为了更容易解决后面的（2）与（3），我们可以在（1）中，分别设S △CEF =S △AEF =x ，B C B A BS△CDF= S△BFD=y，因此可以建立方程模型12,212.2x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再次分析（2）（3）分别得到13,313.3x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，1,1.x nyny nxn⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得到在等分线段的作用下不规则四边形的面积.【设计意图】探究三属于“三角形中线等分面积”的灵活应用，将问题的思考由外转内，由一边一条中线的图形变为两边上的两等分线、三等分线直到n等分线的图形，将几何问题代数化，发现并建立关于等分线段所形成的四边形面积的二元一次方程组的基本模型，并再次由简单到复杂，由特殊到一般，较高层次的培养了学生的图形分析能力，数形结合意识、建模意识以及由特殊到一般的数学思想方法，发展了学生的数学思维，提高了学生解决问题的数学能力.该部分属于本课题学习的高潮部分，探究上出现了一定的难度.教学中，小组分工认领，组内合作讨论，自然的将整体问题局部化，有效的将问题化难为简，既激发了学生的好奇心、求知欲，又培养了学生勇于克服困难的自信心与意志力，更能够将独立思考与合作交流结合起来，培养学生形成团队合作意识，明白1+1>2的道理. 另外，伴随着一系列认知活动的进行，学生必然会有情感的激发、兴趣的培养、意志的锻炼、习惯的养成，进而得到个性与健全的人格.总结:通过本节课的学习，你学到了什么知识？领悟了哪些思想方法呢？【问题解决】学生畅谈，教师补充，重点将本节课由外及内、由特殊到一般的探究思路及数形结合、模型建立等数学思想方法进行总结.本节课，我们通过对“三角形中线等分三角形面积”的深入探究，从外扩到内分，从整体到部分，用代数的方法解决了不规则图形的面积，既掌握了数学知识，又提高了解决问题的能力，更重要的是，通过这一节课的学习，我发现同学们的探索精神、合作意识更强了。
一、中线等分三角形面积
一、中线等分三角形面积我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决.例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l -1③中△ABC的面积四等分．图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分.（2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分.图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等的理由；（3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法．图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线.体验与感悟03-11、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．”（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________；（2）平行四边形的一条面积等分线是________；（3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．分享交流：当进行多边形的面积问题探究遇到困难时，将它转化为三角形，再去思考，常有奇效.2、如图3-1-2，已知△ABC 的面积为a.延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，延长边AB 到点F,使CD=BC ，AE=CA ，BF=AB,连接DE 、DF 、FE ，得到△DEF ，此时我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的____________倍．扩展了n 次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的____________倍．图 3-1-3 图3-1-4①3、如图3-1-4中，E 、G 、F 、H 分别为任意四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 、CD 的中点. （1）在图3-1-4①中，四边形EBFD 的面积与四边形ABCD 的面积关系是 ；（2）在图3-1-4②中，如果阴影部分的面积为20，则S 1+S 2+S 3+S 4= __________．图3-1-4②4、定义：我们把被三角形一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.如图3-1-5①，在△ABC 中，CD 是边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且BCD ACD S S △△=.应用：如图3-1-5②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O.（1）求证：△AOB 与△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积.图3-1-5① 图3-1-5②探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到CD A '△，若CDA '△与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的41，请直接写出△ABC 的面积.提醒：遇等分多边形面积怎么下手？。
中线等分三角形面积
中线等分三角形面积以中线等分三角形面积为题，我们将探讨如何通过中线等分三角形的面积。
在开始之前，让我们先回顾一下中线以及面积的概念。
中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们交叉于一个共同的点，称为重心。
重心是三角形的一个特殊点，它将三角形分成六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
面积是一个平面图形所占据的空间大小的度量。
对于三角形来说，我们可以使用基础公式：面积等于底乘以高的一半。
而对于等边三角形，我们可以使用特定的公式：面积等于边长的平方乘以根号三除以四。
现在，我们来探讨如何通过中线等分三角形的面积。
假设我们有一个任意的三角形ABC，我们的目标是找到三条中线，然后将三角形分成六个面积相等的小三角形。
我们需要找到三角形的三个顶点，并确定它们的坐标。
然后，我们可以使用坐标几何的方法来计算中线的端点坐标。
对于每条中线，我们可以通过将对边的两个顶点坐标相加，然后除以2来获得中线的中点坐标。
一旦我们找到了三条中线的中点坐标，我们可以使用这些坐标来构建三个新的小三角形。
每个小三角形由重心和两个中点组成。
然后，我们可以使用三角形面积公式来计算每个小三角形的面积。
为了证明这六个小三角形的面积是相等的，我们可以使用几何证明或者向量证明。
对于几何证明，我们可以通过将三角形的顶点连接起来，形成一系列平行四边形，并利用平行四边形的性质来证明这六个小三角形的面积相等。
对于向量证明，我们可以使用向量的线性组合来表示每个小三角形的面积，并证明它们相等。
总结一下，通过找到三角形的中线，我们可以将三角形分成六个面积相等的小三角形。
这可以通过计算每个小三角形的面积来实现，使用三角形面积公式以及中点坐标的计算。
通过几何证明或向量证明，我们可以证明这六个小三角形的面积相等。
在实际应用中，等分三角形的面积可以有多种用途。
例如，在建筑设计中，我们可以通过等分三角形的面积来平衡结构的重量分布，从而提高建筑物的稳定性。
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
三角形中的中线定理与外接圆性质
三角形中的中线定理与外接圆性质在几何学中，三角形是最基本的几何形状之一。
在研究三角形的性质时，中线定理和外接圆性质是两个重要的概念。
本文将介绍三角形中的中线定理和外接圆性质，并探讨它们的应用。
一、中线定理中线是连接三角形两个边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连接顶点A和边BC中点M的线段AM称为三角形ABC的中线。
根据中线定理，中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。
证明中线定理：假设三角形ABC的两边AB和AC分别是线段DE和FG的中点。
连接两个中点D和G，并延长线段DG，使其与边BC相交于点H。
根据割线定理，由直线DG分割的边BC上的线段BH和CH满足以下关系：BH = HC。
由于AB和AC是线段DE和FG的中点，因此根据线段等分定理可得，AD = DB，AG = GC。
考虑三角形ABD和AGC，由于AD = DB和AG = GC，根据边边边三边相等定理可得，△ABD ≌△AGC。
根据△ABD ≌△AGC，可以推出它们的面积相等，即S(△ABD) = S(△AGC)。
同样地，可以证明S(△ACF) = S(△ADE)。
所以，根据中线定理，S(△ABD) + S(△ACF) = S(△AGC) +S(△ADE)。
由于S(△ABD) = S(△AGC)和S(△ACF) = S(△ADE)，所以2S(△ABD) = 2S(△AGC) = S(△ABC)。
因此，中线将三角形ABC分成了两个面积相等的小三角形。
二、外接圆性质外接圆是一个与三角形的三个顶点都相切的圆。
在三角形ABC中，三角形的外接圆经过三个顶点A、B、C，并且外接圆的圆心位于三角形ABC的垂直平分线的交点，即外心。
外接圆性质的应用：1. 三角形外心是外接圆的圆心，我们可以利用这个性质来找到三角形的外接圆。
2. 外接圆的半径等于斜边的一半，可以利用这个性质计算三角形的外接圆半径。
3. 三角形三边的中垂线交于一点，该点也位于三角形的外接圆上。
例析中线公式的应用及其拓展
1中线公式的由来三角形的中线是指三角形的一个顶点与其对边中点的连线，其长度可由三角形的三边或夹角表示.具体如下：已知在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长为a ,b ,c ，设BC 边上的中点为D ，则AD 2=12(b 2+c 2)-14a 2或AD 2=14(b 2+c 2)+12bc cos A .上述两个结论可借助向量或正、余弦定理进行证明.从向量视角进行证明的方式如下，利用向量的加法可得2 AD = AB +AC ，将上式平方即可得AD 2=14(b 2+c 2)+12bc cos A成立.利用向量的减法 CB = AB -AC ，平方可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A （该式即为余弦定理）与上式结合即可得AD 2=12(b 2+c 2)-14a 2成立.从正、余弦定理的视角进行证明的思路如下，即在不同的三角形中使用正、余弦定理构建方程，再通过解方程获得结论.例如在△ABD 中，c 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB ；在△ACD 中，b 2=AD 2+CD 2-2AD ⋅CD ⋅cos ∠ADC ，其中BD =CD =a 2，∠ADB +∠ADC =π；两式组合可得AD 2=12(b 2+c 2)-14a 2成立.上述过程充分地体现了方程的思想，除此之外，我们还可通过面积的视角来构建方程计算中线值.设直线AD 与BC 的夹角为θ，则可得S △ABC =12AD ⋅a ⋅sin θ.结合其他三角形面积关系式可得AD =bc sin A a ⋅sin θ.2中线公式的应用2.1与夹角相关的中线公式例1（2022届广东省佛山市一模第17题改编）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，A =π3，b =2，BC 边上的中线AD =3，求△ABC 的面积.分析：本题仅需选择恰当的中线公式及面积公式即可进行求解.解析：根据中线公式4AD 2=b 2+c 2+2bc cos A ，代入数据可得c =2.即可知△ABC 的面积为3.例2（2022年北京大学寒假学堂第5题）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，D 是BC 的中点，AB =3，AD =1，则cos A 的最大值为.例析中线公式的应用及其拓展广东省佛山市罗定邦中学龙宇528300摘要：本文分别从向量以及正、余弦定理的视角证明了三角形的中线公式，探讨了其在解题中的应用，并将该思路推广至一般的等分线.关键词：中线；向量；面积(下转第31页)分析：本题已知中线及三角形的一边，根据上述公式即可构造出关于角A 及其另一边的一个方程，进而完成求解.解析：根据中线公式AD 2=14(b 2+c 2)+12bc cos A ，代入条件可得9+6b cos A +b 2=4，即可得cos A =-16æèöøb +5b .根据基本不等式可得cos A.变式1：在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，D 是BC 的中点，AB =3，AD =1，则b 的取值范围是.解析：根据上述解答可得b +5b=-6cos A∈[25,6)，从而可得b ∈(1,5).变式2：在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，D 是BC 的中点，AD =1，A =π3则b +c 的取值范围是.答案：(2.变式3：在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，D 是BC 的中点，b =2，c =3则AD 的取值范围是.答案：æèöø12,52.变式4：在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，D 是BC 的中点，b =2，A =2π3则AD 的取值范围是.答案：+∞).反思：后续4个变式的命制背景均是AD 2=14(b 2+c 2)+12bc cos A .该公式有4个参数AD ，b ，c 以及角A ，选取其中的两个作为已知，另外两个量则为变量.再结合基本不等式或三角形三边间的关系即可获得剩余量的范围.2.2与三角形三边相关的中线公式例3在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，设BC 边上的中点为D ，△ABC 的面积为S ，其中a =23，b 2+c 2=24，下列选项正确的是（）.A.若A =π3，则S =33B.S 的最大值为33C.AD =3D.角A 的最小值为π3分析：根据已知a =23，b 2+c 2=24，结合三角形的中线公式即可知AD 长为定值.再结合正、余弦定理以及面积公式即可判断各选项的正误.解析：利用中线公式AD 2=12(b 2+c 2)-14a 2,代入数据可得AD =3.利用面积公式S ΔABC =12AD ⋅a ⋅sin θ=33sin θ 33；利用与夹角相关的中线公式可得cos A =4AD 2-(b 2+c 2)2bc 12，即得角A 的最大值为π3.分析中线公式AD 2=12(b 2+c 2)-14a 2发现其含有三个参数AD 2，b 2+c 2以及a 2.因此我们即可实现“知二求一”，据此我们就可以编制出很多的变式，请感兴趣的读者自行研究，本文不再继续探究.3从中线公式到其他等分线的公式类比上述分析过程，接下来分析当点D 是BC 上的其他特殊点时AD 的值.已知在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，点D 为BC 上一点，且BD :DC =m :n ，则有(m +n )AD 2=mb 2+nc 2-mn m +na 2或(m +n )2AD 2=n 2c 2+m 2b 2+2mnbc cos A .基于此，只要选择恰当的参数即可命制出各种变式.现展示一例供读者参考.(上接第17页)点评:经过两曲线f 1(x ,y )=0、f 2(x ,y )=0公共点的曲线系方程是f 1(x ,y )+λ·f 2(x ,y )=0(但不包括曲线f 2(x ,y )=0)，用二次曲线系方程求解出奇制胜.3反思总结通过上述研究，利用二次曲线系解圆锥曲线问题可以分为三个步骤：首先找出过四个交点的曲线系方程；然后找出另外一个过这四个点的二次曲线（包括退化的二次曲线）系方程,构建等式；最后对比等式两边系数,求出参数,进而求出未知量.利用二次曲线系方程求解圆锥曲线定值、定点、四点共圆等问题，体现了变换思想，待定系数法的灵活应用，思路新颖，运算简洁.二次曲线系方程课本没有直接给出，而是以课后习题拓展探究的形式呈现，立足于对课本知识的深度理解，可以适当开展探究课,拓展学生的知识,做到源于课本而又高于课本.例4在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，点D 为BC 边上一点，且BD :DC =2:1，△ABC 的面积为S ，a 2+2b 2+c 2=36，求S 的最大值.解析：此时3AD 2=2b 2+c 2-23a 2，可得2b 2+c 2=3AD 2+23a 2.结合条件可得3AD 2+53a 2=36.利用基本不等式可得a ⋅AD根据面积公式S =12a ⋅AD ⋅sin θ（θ为AD 与a 的夹角），可得S 的最大值为.。
初中数学 三角形中线等分面积的灵活应用
三角形中线等分面积的灵活应用山东 王明华如图：线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE.因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC .因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题.一、求图形的面积例1 长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.析解：连接CG ，不难得出S △ＢＣＦ＝S △ＤＣＥ＝4ab ， 从而S △ＢＥＧ＝S △ＤＦＧ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，因此S 四边形ＡＢＧＤ=42433ab ab ab -⨯=.二、巧算式子的值例2 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图2所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值.析解：根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形的面积等于1，也可以表示为234111*********n n ++++⋅⋅⋅++， 因此2341111111222222n n ++++⋅⋅⋅+=-. 点评：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三、巧分三角形例3 已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2:3的三个三角形.析解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD13=BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1：2:3的三个三角形（如图1）.方法2：在BC 边上截取DC 31=BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1：2: 3（如图2）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？。
三角形的中线性质
三角形的中线性质三角形是几何学中的重要概念，研究三角形的性质可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
其中，三角形的中线性质是三角形研究中的一个重要方面。
在本文中，我们将探讨三角形的中线以及与之相关的性质。
一、中线的概念在三角形ABC中，连接三角形的两个顶点和对边的中点可以得到三条中线，分别记为AD，BE和CF。
其中，D是BC中点，E是AC 中点，F是AB中点。
这三条中线把三角形分成了三个面积相等的小三角形。
二、中线的长度关系三角形的中线有一个重要的长度关系，即三角形的中线相交于一个点，并且满足下述关系：AD=BE=CF=1/2AC。
三、中线与面积的关系由于三角形的中线把三角形分成了三个面积相等的小三角形，可以得出以下结论：1. 小三角形的面积等于三角形整体面积的1/3。
2. 三角形的三个小三角形的面积之和等于三角形整体的面积。
四、中线与角平分线的关系三角形的中线还与角平分线有一定的关系，具体如下：1. 三角形的三条中线相交于一个点，该点称为三角形的重心G。
2. 三角形的重心G与顶点的连线为角平分线。
五、中线及其延长线上的等分线在三角形的中线上可以找到一些特殊的点，如下所示：1. 中线的中点是三角形重心G。
2. 中线的一半长处是三角形外心O。
3. 中线的1/3处是三角形内心I。
4. 中线的2/3处是三角形垂心H。
总结：通过研究三角形的中线性质，我们得出以下结论：1. 三角形的中线相交于一个点，满足AD=BE=CF=1/2AC。
2. 三角形的中线把三角形分成了三个面积相等的小三角形，小三角形的面积等于三角形整体面积的1/3。
3. 三角形的中线相交于三角形的重心，重心与顶点的连线为角平分线。
4. 在中线及其延长线上可以找到一些特殊的点，如三角形外心、内心和垂心。
三角形的中线性质在几何学中具有重要意义，不仅可以帮助我们更好地理解三角形的特点，还可以应用于解决实际问题。
因此，深入研究三角形的中线性质对于我们学习和应用几何学知识都具有重要价值。
三角形中线的一个简单性质及推广的妙用
图 ２
Ｂ ， Ｇ 由矩形 的性质知ＡＡ Ｃ的面积是矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ的面积
若点 Ｄ不是 Ｂ Ｃ的中点 ， 则可得到这一性质的推广， 即如 图 ２中 Ｄ是 ＡＡ Ｃ的 边 Ｂ Ｂ Ｃ上 任 意 一 点 ， 为 因
ＡＡ Ｄ与 ＡＡ Ｄ中 Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ与 Ｃ Ｄ边上 的 高线相 同 ， 以 所
角形的中线等分 三角形 的面 积． 即如图 １Ａ ，Ｄ是 ＡＡ Ｃ Ｂ 中曰 ｃ边上 的中线 ， ． ｓ 脚 ＝ １． 则 ｓ ｃ △ Ｄ＝ ｓ
＝ｓ ：＝ １ ５
△ ＾ ８ｃ
分别是矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的边 Ａ 、 Ｃ的中点 ， ＢＢ 连结 Ａ ｃ 设 Ｆ、Ｅ， Ａ Ｃ Ｆ、Ｅ交于点 Ｇ 则 ， 等于
．ｏ ÷四 ｓ ∞＝ 边形Ａ Ｃ △ ＢＤ的面 ＝ ． 积 ÷口
２ ２
Ｄ
寸‘毒． （ｏ年 ７ 初 版 ７ ｆ ２９ 第 期． 中 ） ： ｏ ？
哦
＝
・ 解题研究 ・
初 一第 ２题 ） 如图 ｌ ， ｌ矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， Ｆ是 Ｃ Ｄ的中点 ， ｃ Ｂ ３ Ｅ，Ｄ＝ Ｈ ． Ｂ Ａ ４ Ｄ 若长方形 的面 积是 ３ ０平方 米 ， 阴 ０ 则 平方 米．
，
所 以 Ｓ 四 形 日 ＝ △ Ｇ Ｓ ８ ＋ △，＋Ｓ ８ 凹 边 ＾ Ｇ Ｓ ＾ ＋ △￡ Ｓ ｃ ｃ ￡ Ｇ Ｇ △
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８
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图４
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＝ 一 １＝ ２ 又因为矩形 Ａ ｃ ｌ 了 了 Ｂ Ｄ的面积
，
则 ．边 ｓ 口
幽３
简析
如图４ 令 Ｅ 、 相交于点 ０， ， Ｇ朋 分别连结 ０ 、 Ａ
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第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab 。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；图1图2ABE 图4DABC F 图5 图3AB（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图6）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？分析：从第1个图可以发现AC就是△ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到△ECD的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
解：（1）由CD=BC，可知AC就是△ABD的中线，中线AC将△ABD的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；（2）若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；（3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF面积都为2a；所以S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF=S3+S△ABC=6a+a=7a；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍。
应用：由以上分析可知图6H M扩展一次后S 总1=7a ， 扩展二次后S 总2=S 总1=72a ， 扩展三次后S 总3=S 总2=73a ，拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m 2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。
所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。
二、巧分三角形例3、如图7，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。
解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 13=BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.方法2：在BC 边上截取DC 31=BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1:2: 3（如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值图7 图8 图954321例2 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的21，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。
解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为234111*********n n ++++⋅⋅⋅++， 因此2341111111222222n n ++++⋅⋅⋅+=-.说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三角形内角和定理及外角性质的应用三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的内角例2 (08太原)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°解：由三角形内角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿．图10CBA21O 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°， 由三角形内角和定理，得∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ． 图1 说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．二、判断三角形的形状例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个内角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形内角和定理，得2k +3k +5k =180°．解得k =15°，所以2k =30°，3k =45°，7k =105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C ．三、求角平分线的夹角例4 (08沈阳)已知△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为＿＿．解：如图2，由BO 平分∠ABC ，得∠1=12∠ABC ； 由CO 平分∠ACB ，得∠2=12∠ACB ．所以∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A ) 图2=12(180°-60°)=60°． 四、求三角形的外角例5 (08贵州)如图5，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为D ，BC 与直线l 2相交于点C ，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．DA l 1l 2B C21312CB l 2l 1AD E(a ∥b )ba 122121CB DA 12解：如图6，延长AB 交l 2于点E ．因为l 1∥l 2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC =∠3． 由AB ⊥l 1，得∠3=90°．所以∠BEC =90°．由三角形外角性质，得∠2=∠BEC +∠1=90°+30°=120°．图5 图6说明：本题也可延长CB 交l 1于点F ，构造△FBD 进行求解，完成请同学们完成．五、比较角的大小例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是( )A B C D解：A 选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B 选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C 选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D 选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B ．全等三角形水平测试（1）湖北 薛建辉一、试试你的身手1．如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌__________，AB 的对应边是________，AC 的对应边是____________，∠BCA 的对应角是__________．2．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是________，∠ABC 的对应角是__________．3．△ABC 和A B C '''∆中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件________可得到ABC A B C '''∆≅∆4．如图所示，AB ，CD 相交于O ，且AO ＝OB ，观察图形，图中已具备的另一相等的条件ACBDA DC B E FAC ODBA C??是________，联想到SAS ，只需补充条件________，则有△AOC ≌△________．5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________．6．如图所示，若只有AD ⊥BD 于点D 这个条件，要证△ABD ≌△ACD ，则需补充的条件是________或__________或__________．7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为__________．二、相信你的选择1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（ ） Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④A B CDABCD E2．下列结论错误的是（ ） Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边 Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 3．下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ）Ａ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF Ｂ．AB ＝BC ，∠B ＝∠E ，DE ＝EF ０．AB ＝EF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF Ｄ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）Ａ．∠B ＝∠E Ｂ．∠C ＝∠F Ｃ．BC ＝EF Ｄ．AC ＝DF 5．下列说法正确的是（ ）Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等 Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等 Ｃ．两个等边三角形一定全等 Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等 6．如图所示，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ．F ，若BE ＝CF ，则图中全等三角形有（ ） Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对ABCDE12ABCF E7．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．∠1＝∠2 三、挑战你的技能1．如图，若∠DAB ＝∠CBA ，请你再添加一对相等的条件，使△ABD ≌△CAB ，并说明三角形全等的理由．2．（1）完成下面的证明：如图，AB ＝AC ，E ，F 分别是A C ，AB 的中点，那么△ABE ≌△ACF ． 证明：E F Q ，分别是AC ，AB 的中点，12AE AC ∴=，12AF AB =（ ） AB AC =Q ，AE AF ∴=在ABE △和ACF △中______________()______________()______________()=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ABE ACF ∴≅△△．（2）根据（1）的证明，若连结BC ．请证明：△EBC ≌△FCB ．ABC D ABCEFAEF3．如图，已知：BE ＝DF ，AE ＝CF ，AE ∥CF ，求证：AD ∥BC ．4．如图，已知：CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，（1）你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．A BCE FABCD EF四、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．（1）画出测量方案（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）A B （3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）参考答案：一、1．△ADC ，AD ，AC ，∠DCA 2．EF ，∠DFE 3．B B AC A C '''∠=∠=或 4．∠AOC =∠BOD ，OC =OD ，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD =∠CAD ，AB =AC ，BD =CD 7．100° 二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D三、1．需要再添加的条件为：∠DBA =∠BAC （A S A ）或∠DAC =∠CBD （A S A ）或AD =BC （S A S ） 2．（1）中点定义，()()(SAS)()AE AF A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证公共角，已知 （2）证明：ABE ACF ≅Q △△，BE CF ∴=；又E Q ，F 分别为AC ，AB 的中点，12EC AC ∴=，12BF AB =，AB AC =Q ，EC BF ∴=，在EBC △和FCB △中，BE CF BC CB EC FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，EBC FCB ∴≅△△． 3．证明：AE CF Q ∥，AEB DFC ∴=∠∠，180180AEB DFC ∴-=-oo∠∠，AED BFC ∴=∠∠，BE DF =Q ，BE EF DF EF ∴-=-，BF DE ∴=．在ADE △和CBF △中，AE CF AED BFC DE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∠∠ADE CBF ∴≅△△，ADE CBF ∴=∠∠，AD BC ∴∥．4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD =DC 或DF =DE 或BF =CE ．选：BD =DC ． 证明：CE AD Q ⊥，BF AD ⊥，90CED BFD ∴==o∠∠，在CED △和BFD △中， ()()CDE BFD CDE BDF CE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证对顶角相等∠∠，CED BFD ∴≅△△．四、（1）如图所示（2）在地上找到可以直接到达点A ，B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点以，并测得OC =OA ，在BO 的延长线上取一点在，并测得OD =OB ，这时测得CD 的长为A ，则AB的长就是A ．（3）理由：由测法可得．OC =OA ，OD =OB ，∠COD =∠AOB ，所以△COD ≌△AOB ，所以CD =AB =A ．ABCOD。