数学巧算之分组法课件二年级奥数PPT
速算与巧算-二年级奥数1
☆☆☆（1） 63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20
=100
二、改变运算顺序：在只有“+”、“﹣”号的混合算式中，运算顺序可改变
（1） 45-18+19 = 45 +（19-18） ☆带着符号搬家 （2） 45+18-19 = 45 +（18-1-）
5+10+15+20+25+30+35 = 20✕7=140 12+14+16+18+20+22+24+26 = （12+26）✕4 = 38✕4 = 152 87+74+85+83+75+77+80+78+81+84 = 80✕10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4 = 800+4 = 804
算式特点：数字有规律、符号有规律
使用方法：看符号找规律（根据符号规律划分周期，进行分组计算。） 1、简单分组
例1：+ 16-15+14-13+12-11+10-9+8-7
分析：观察符号规律：+ - + - + - + - + - + 原式=(16-15)+(14-13)+(12-11)+(10-9)+(8-7) 注意：不要漏掉算式中第一个数字的符号“+” =1+ 1 + 1 + 1 + 1 + - 将两个数划分为一组。 寻找符号周期： =5
二年级奥数(课堂PPT)
（1）562-205
=562-200-5 =362-5 =357
（2）624-96
=624-100+4 =524+4 =528
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课堂总结：凑整法是在加减法简便运算中 最为常见的一种方法。在运用凑整法时要 记住16个字——多加要减、少加再加。少 减再减、 多减要加。
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你学会了吗？
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1、复习上节课的知识。 2、进行一个小游戏。
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课堂总结：本节课主要学习了加减法简便运算常见 的两种方法。
1、加法的交换律和结合律（运用加 法的交换律和结合律将两数凑成整十、整百、整千 的数，再计算）。
2、找准基数（在几个大小相差不多 的数中，找一个与每个数都近似的数，把它看作基 准数，然后每个数与基准数比较，比基准数大的， 多几就再加几；比基准数小的，少几就再减几）。
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画图解题的意义：
一、直观，明确；小朋友容易理解。 二、简化了解题过程，特别是思考的过程。 三、清晰明了的方式，简化表达过程。 四、突破的“算”的限制，锻炼了小朋友的创造性思维
。 五、丰富学生的想象力，提高动手能力。 六、开拓视野，为初高中的数学学习做好衔接。
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例（1）小明比小英小5岁，小方比小明大2岁 ，那么小英和小方差几岁？
为345与655、27与373分别能凑成整千、整百数， 所以可以利用加法的交换律与结合律，先交换加 数的位置，再凑整。
加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：a+b+c=a+(b+c)
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329+67+233+271
=（329+271）+（67+233） =600+300 =900
二年级奥数速算、巧算方法及习题_看图王
一、 分组凑整法 例： （1350+249+468）+（251+332+1650） =1350+249+468+251+332+1650 =（1350+1650）+（249+251）+（468+332） =3000+500+800 =4300 894-89-111-95-105-94 =（894-94）-（89+111）-（95+105） =800-200-200 =400 567+231-267+269 =（567-267）+（231+269）
原式=1800-(90+10)-(176+24) =1800-100-200 =1500 6. 13000000 原式=(1258)(254)(52)13 =10001001013 =13000000 7. 1000000 原式=1000+999+999999 =1000+999(1+999) =1000+9991000 =1000(1+999) =10001000=1000000 8. 1 原式=(321321)(654654)(987987) =111=1 9. 33330000 原式=333332222+33333334 =33336666+33333334 =3333(6666+3334) =333310000 =33330000 10. 997 原式=1+(3-2)+(5-4)+…+(1991-1990)+(1993-1992) =1+1996 =997 11. 300 原式=947+372-447-572 =(947-447)-(572-372) =500-200 =300 12. 65000016913 原式=650000(16913) =65000013 =50000 13. 4400 原式=10243+14 =(100+2)43+14 =4300+86+14 =4300+(86+14) =4300+100 =4400
二年级奥数-速算与巧算
二年级奥数-速算与巧算(总9页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--速算与巧算一、寓言小故事：朝三暮四从前，宋国有一个老人，他在家中养了许多猴子。
老人每天都会给每只猴子八颗栗子，早晚各四颗。
后来，猴子越来越多，老人也越来越穷，所以他想每天只给猴子七颗栗子，于是他就和猴子们商量：“从今天开始，我每天早上给你们四颗粟子，晚上给你们三颗栗子，行不行”猴子们想了一想，晚上怎么少了一颗呢？于是大叫起来，非常不愿意。
老人一看，连忙说：“那么我早上给你们三颗，晚上再给你们四颗，可以了吧”猴子们听了，以为晚上的栗子已经由三个变成四个，跟以前一样，就高兴地同意了。
老人也偷着乐了！计算：3+4= 4+3=操场上28 个男生在跳绳，17 个女生在跳绳，问：操场上一共有多少人在跳绳？计算：28+17= 17+28=加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变，这叫加法交换律。
用字母表示：a+b=b+a;推广：多个数相加，任意改变加数的顺序，它们的和不变。
例如：1+2+3+4=1+3+2+4=……身边的数学问题：操场上28 个男生在跳绳，17 个女生在跳绳，23 个女生在踢毽子。
问：（1）参加跳绳的有多少人？（2）参加活动的有多少人？（3）参加活动的女生有多少人？（4）参加跳绳和踢毽子的一共有多少人？从以上的计算结果我们可以得到一个等式：先计算，再比较大小：1、（13+28）+12 13+（28+12）2、（16+17）+13 16+（17+13）根据以上的例子，你能发现在加法运算中，有什么规律吗？加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，他们的和不变，这叫做加法结合律。
用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c)说明：一般地，多个数相加（三个数以上），可以先对其中几个数相加，再与其它几个数相加。
把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就能得到加法的一些巧算方法。
二级奥数简算技巧PPT课件
总结
在加减运算中，当需要添加括号时，如果（）前面是“+” 号，添加括号后，括号内的符号不变号
160+248+152
填括号，出整数
160+（248+152）
填括号
• 口诀：
•
加减运算填括号
•
“+”号不变“-”变号
• 例、 160+248+152
• =160+（248+152） 加减运算填括号， “+”号不变
• 问1： 个数字混合相加减。
•
3
• 问2：运算里有尾数相同的数字吗？
•
没有
• 问3：有没有两个数相加之和可以凑成整数？ 有
换位法
• 口诀：
•
尾数不同要相加
•
出现整数好运算
• 例1、145-120+55
•
换位
• =145+55-120 尾数不同要相加
• =200-120
出现整数好运算
• =80
换位法
=220
=100+120
=220
谁的做法更简单？
妙妙
开启思维
根据上面的一道例题，我们可以开动脑筋，在遇到3个 数字相加的时候，当没有尾数相同的数字出现，我们可以 先把两个数字凑成整百或整1000，然后再计算。
换位法----尾数不同
• 看一看：观察以下给出的几个不同的式子，回答对应问题
• 1、 145-120+55 2、781-80+19
பைடு நூலகம்巧总结
巧用括号法
口诀
填括号法
1括号前面是+ 添、去括号不变号
小学奥数二年级
小学奥数二年级：考察问题的全面和方法性,技巧以及结合图形研究问题.,如果没有可以直接凑成整数的,想方法找出来.24+44+56 52+69 45-18+19 45—18—192,相邻的两个数的差都相等的一串数就叫做等差连续数,又叫等差数列.奇数个的方法：和=中间数*个数偶数个的方法：和=〔首数+末数〕*个数的一半1+2+3+4+5+6+7+…………………..+1012+4+6+8+10+12+14+16+18+203,基准数法：在所有的数字中找到以某一个为基准,其他的数字向它靠拢.23+20+19+22+18+21102+100+99+101+98计算下面的题：87+74+85+83+75+77+80+78+81+849+18+27+36+45+54数数和计数数学需要观察,就是利用自己的想象水平,找出其中变化的规律.1，想想看,下面的黑白方块个有多少？2如图,一个大长方体的外表上都涂上了红色,然后切成了18个小方块〔如虚线所示〕.在这些切成的小立方体中,问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？2，墙上有一个漏洞,如图,用1号和2号两种特型砖块能补好吗？如果可以,需要几块？数列问题我们把按规律排列起来的一列数叫数列.学习数列关键就是通过分析数与数之间的关系,找出它们的规律,然后可以自己推导出其他的数.如：常见的自然数列,奇数列,偶数列,等差数列,等比数列.自然数列的规律就是后一个数比前一个数大一,自然增长.奇数列的规律就是所有的数全部是奇数,而且后一个数比前一个数大2.等差数列就是后一个数与前一个数的差值是一个固定的数..1 如5,10,15,20, ,35,40,452 找规律：1,2,4,8,16, ,128,2563找规律填空：1,2,4,7,11, ,29,374,一辆公共汽车有78个座位,空车出发,第一站上1为乘客,第二站上2为乘客,第三站上3为,依次下去,多少站以后,车上坐满乘客？〔在坐满以前没有人下车〕〔数列求和？〕5,爸爸给小明100块糖,又给他10个盒子,要求小明往第一个盒子里放2块糖,第二个盒子里放4块糖,第三个盒子里放8块糖,第四个……….照这样下去,要放满这10个盒子,你说这100块糖够不够？〔所有的情况都写出来,例如,分类讨论1在个位上的时候,1在十位上的时候,1在百位上的时候〕7,在1至100的奇数中,数字“3〞出现了多少次？8,像11,12,13这三个数,它们的数位上的各个数字相加之和是〔1+1〕+〔1+2〕+〔1+3〕=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少？观察图形,找出规律,填涂接下去的局部9观察下面的点组成的图形,请答复：10 猜一猜,第3组的空白处应该填什么图？11．根据下面的图形开展趋势,第四个图中应该如何填涂？第十个又是什么样子的呢？1 2 3 4 5学会从一般中找出规律,从而可以计算出任意的选项.通常可以写出1到4或者5,看出结果和这些数字的关系,是否有数列的关系,发现后可以写出通式.1我们知道,如果一段线段上,加一个点,可以得到三个线段：如果一段线段上,加2个点,可以得到6个线段：如果一段线段上,加3个点,可以得到多少个线段呢？加10个点呢？2 两条直线相交,最多有1个交点,3条直线相交,最多三个交点,5条呢？10条呢？〔方法：一一列举出来,从前几个数字中找到规律,写出普通的规律式〕3 如图：一张大饼,切一刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成7块,…….问切10刀最多可以切成多少块？填图与拆数填图是一种运算游戏,它要求把一些数字根据一定的规那么填进各类图形,这不仅可以提升运算水平,而且更能让你去积极的思考问题,分析问题.1 把1,2,3三个数字填到方格中,使的每行每列和每条对角线的三个数字的和都相等.2 如图：由8个小圆圈组成,每个小圆圈都有直线和相邻的小圆圈相连接.请你把1,2,3,4,5,6,7,8八个数字分别填在八个小圆圈内,但相邻的两个数不能填入有直线相连的两个小圆圈.3 三个圆圈两两相交形成七个小区域,分别填上1---7七个自然数,在一些小区域中,自然数3,5,7三个数已经填好,请你把其余的数填到空着的小区域中,要求每个圆圈中的四个数的和都是15.〔先看看15可以用怎样的组合而成,由几个数字相加连接〕分情况讨论,考虑问题的全面性有些数学问题,要求把符合条件的算式或得数全部找出来；假设漏掉一个,答案就不对,所以做这种题的关键在强调有秩序的思考问题.1 从2个5分硬币,5个2分硬币,10个1分硬币中,拿出1角钱来,有多少种不同的拿法？〔为了不至于遗漏,最好根据情况有秩序的分类,如：5分出现的可能是：2,1,0〕2 邮局门口有5级台阶,假设规定一不只能上一级或者二级,问上这个台阶共有多少种不同的方法？3 一个外国小朋友手里有4张3分的邮票和3张5分的邮票.请你帮他算一下可以组成多少中不同的邮资？注：关键是学会用这样的方法,按秩序讨论,不错过任何一种情况.4 一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数字和个位数字不同的两个二位数相加得到,如12+21=33.问在100之内有多少这样的组合？注：有些还存在多组组合,要注意全面性趣位问题：除了题干,要考虑其他的因素1①树上有5只小鸟,飞起了一只,还剩几只？②树上有5只小鸟,“趴〞的一声,猎人用枪打下一只,问树上还剩几只？2 两个父亲和两个儿子一起上山打猎,每人都捉到一只野兔,拿回去数一数,共三只.为什么？3 一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人,说谎话的人句句说谎,说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探险,碰到了岛上的三个人A,B,C,相互交谈中,有这样一段对话：A说：B和C两人都说谎B说：我没有说谎C说：B确实在说谎.请问,三人中,有几人在说谎,几个人说真话？4 用三个火柴棍可以组成一个等边三角形.再给你三根,请组成四个等边三角形？〔立体〕5 你能一笔把下面的九个点连接起来吗？〔一次从头到尾,没有停顿.〕6 一家冷饮店规定,喝完汽水后,用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水.老师带着32个学生进店后,他只买了24瓶汽水,问每个学生都能喝到汽水吗？7 一个长方形,剪掉一个角后,剩余的局部还有几个角？1 100个和尚分100个馒头,刚好分完.大和尚1个人3个馒头,小和尚3个人1个馒头,请问大小和尚各多少人？〔从33开始摸索到25〕2 林林心里想到三个数,它们的和是12,又知第二个数比第一个大1,第三个比第二个大1,请猜出林林心里的这三个数分别是几？3 有人问小虎今年几岁,他编了一道有趣的数学题答复说：“爷爷,爸爸和我,三个人的年龄和是120岁,爷爷比爸爸大30岁,爷爷和爸爸的年龄和刚好比我大100岁,你猜我今年几岁？〞请问：你知道他们三个人分别是多少岁？4 游泳池里男孩戴蓝帽,女孩戴红帽,一个男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多〞；一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍.〞你知道游泳池中有几个男孩,几个女孩？对于比拟复杂的问题,可以用列表的方法,逐一的尝试：5 老大,老二,老三兄弟三人岁数的和是32岁,老大比老二的岁数大3岁,而老大的岁数是老三的2倍,问兄弟三人个几岁？〔如果老三5岁,那么老大多少？…………〕6 原题：某学校的学生去郊游,中午开饭时,两个学生合用一个饭碗,三个学生合用一个菜碗,四个学生合用一个汤碗,共用了65只碗,问共有多少个学生？7 兄弟两人去钓鱼,共钓了52条,其中弟弟钓的是哥哥的2倍多一条,问两人各跳了几条？8 〔古代传统问题〕一只鸡有一个头2只脚,一只兔有一个头4只脚.如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚,你知道有几只鸡和几只兔吗？9 把99粒棋子放在两种型号的17个盒子里,每个大盒子里放12粒,每个小盒子里放5粒,恰好放完.问大小盒子各多少个？数学需要严谨,但也需要机智和顿悟.1 有一个老妈妈,她有三个男孩,每个男孩又都有一个妹妹,问全家共有几口人？2 公共汽车里,售票员对车内的人数数了一遍,便说道：车里没买票的人数是买票的人数的2倍.你知道车上买了票的乘客最少有几人？〔隐含条件〕3 中午放学的时候,还在下雨,大家都盼望着晴天,小明对小英说：“已经连续三天下雨了,你说再过36小时会出太阳吗？〞你认为会吗？4 有人去买葱,他问多少钱了一斤,卖葱的人说：“1角钱1斤.〞买葱的说：“我要都买了,不过要切开称.从中间切断,葱叶那段每斤2分,葱白那局部每斤8分.你卖不卖？〞卖葱的一想：“8分+2分就是1角.〞他就同意了,但是卖后一算帐,发现赔了不少钱.你知道为什么吗？5 小明家附近有一个公园,园中有4棵树排成了一行.如图：想一想能不能把公园分为4块大小形状相同,而且每块上都有一棵树？〔一分四的梯形特性〕6 满满一杯牛奶,小明先喝了半杯；然后添水加满,之后再喝去半杯；再添一次水加满,最后把它全部喝完.请问小明一共喝了多少杯牛奶,多少杯水？数与形题:形数与体数的引出1 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数的奥秘比方他把1,3,6,10,15,…..叫做三角形数.由于用圆点按这些数可以堆垒成三角形,见下列图：从圆点的堆垒规律,发现每一个三角形数,都可以写成从1开始的n个自然数之和,最大自然数就是三角形底边圆点的个数.第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5……………………………….第n个数：1+2+3+4+5+………..+n可见,第n个三角形数=n(n+1)/2根据这个公式可以写出任意一个指定的三角形数.如：第100个三角形数是：100*〔100+1〕/2=50502 毕达哥拉斯还发现了四角形数,见下列图：由于用圆点按四角形数可以堆垒成正方形,因此它们最受科学家的推崇.第一个数：1=1第二个数：4=2平方=1+3第三个数：9=3平方=1+3+5第四个数：16=4平方=1+3+5+7第五个数：25=5平方=1+3+5+7+9……………………………….第n个数：n平方=1+3+5+7+9+………..+〔2n-1〕四角形数可以表示成自然数的平方,也可以表示成从1开始的几个连续的奇数的和.奇数的个数就等与正方形的一条边上的点数.类似的还有四面体数,五面体数等,你能归纳出四面体数的规律吗？14=1+310=1+3+6….????看图找规律：关键在学会找出给出的数字和图形之间的关系1 在空白的地方填写适宜的数分析它们之间到底有什么规律存在？2在空格的地方填写适宜的数3 在空格的地方填写适宜的数4 根据所给出的数字和符号排出算式：拆数字游戏：把15个小球分成数量不同的4堆,共有多少种不同的分法？〔美国奥数题〕美国硬币有1分,5分,10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元,其中有3枚25分的硬币.问余下的有哪几种,每种各多少枚？〔美国奥数原题〕小虎给3个小朋友写信,由于粗心,把信装入信封时都给装错了,结果3个小朋友收到的都不是给自己的信,请问小虎错装的情况有多少种可能？〔即写出谁受到应该给谁的信,可以列表表示清楚〕假假设20只兔子可以换2只羊,9只羊可以换3头猪,8头住可以换2头牛,那么5头牛可以换多少只兔子？。
二年级秋季奥数精典讲义第十讲 数字分组和拆分
把一个自然数（0除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分.在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题.希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法.知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举.【教学思路】小松鼠把9个松果分成不一样多的三份，6=1+2+3，所以可以分成.小白兔说它把9个蘑菇分成个数不同的4份.这是不对的.因为1+2+3+4=10.9个蘑菇是分不出个数不同的4份的.① 小松鼠和小白兔上学迟到了.熊猫老师问：“你俩今天为什么迟到了?” 小松鼠说：“我在上学的路上遇到三个小弟弟，他们饿(e)得很，我就采了6个松果.分成数量不同的3份，送给他们每人一份.”② 小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹．她们饿得很，我就采了9个蘑菇.分成数量不同的4份，送给她们每人一份.” 熊猫老师说：“松鼠说的是实话.小白兔说的是谎话.”③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师，我错了，今后我一定做个诚实的孩子.” 小朋友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话?把一个自然数（0除外）分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然数的分拆.下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法.强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象).强强两发共打了12环，明明两发共打了8环.又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环?【教学思路】要求强强和明明各打中的环数，即是把12，8按环数进行拆分的问题.也就是要把12和8拆分成两个数相加.因为靶子中的环数只有2、4、6、8、10环.所以这两个数只能从这些数中选择.因为12=8+4=10+2，8=6+2.根据“没有哪两发子弹打在同一环中’’的条件，可以知道甲打中的是8环和4环，乙打中的是6环和2环.把5拆成几个自然数相加的形式，共有多少种不同的拆分方法?(0除外)【教学思路】要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚举法.例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成五部分.拆分过程是：5=1+4=2+35=1+1+3=1+2+25=1+1+1+25=1+1+1+1+1答：共有6种不同的拆分方法.按下面的要求，把自然数6进行拆分.【教学思路】（1）6=1+5=2+4=3+3 ；6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ；6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ；6=1+1+1+1+1+1 共10种方法.（2）从（1）中，把完全相同的3种方法剔除6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7种.（3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同.那么就只有6=1+5=2+4=1+2+3 ，3种拆分方法.猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法?【教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10拆成3个不完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘2个，所以0，1除外，共有多少种拆分方法呢.拆分过程是：lO=2+2+610=2+3+510=2+4+410=3+3+4答：共有4种不同的分组方法.巩固拓展体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？（1）把6拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？（2）把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？（3）把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？【教学思路】10个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有1个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成1的部分.具体拆分过程如下：10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+2+6=2+3+5=2+4+410=3+3+4答：一共有8种不同的分组方法.兔妈妈拔了12个萝卜，它要把这些萝卜分给三个兔宝宝吃，每个小兔至少要有1个，并且它们分到的萝卜数量都不同.可以怎样分呢？【教学思路】这道题也就是要我们把12拆分成3个不同的自然数，可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12＝1+2+9．下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得：12＝1+3+8．继续按类似方法变化，可得下列各式：12＝1+4+7＝2+3+7，12＝1+5+6＝2+4+6，12＝3+4+5．共有7种不同的分拆方式．巩固拓展4个小朋友去学校图书室一共借了12本书.图书室规定，每个人最多只能借9本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不一样多.想一想，他们手中各有几本书？【教学思路】把12拆分成4个不同的自然数只有唯一一种方法：12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的书分别是5本、4本、2本、1本。
奥数讲座(2年级-下)(15讲)
二年级奥数讲座（二）目录第一讲机智与顿悟第二讲数数与计数第三讲速算与巧算第四讲数与形相映第五讲一笔画问题第六讲七座桥问题第七讲数字游戏问题（一）第八讲数字游戏问题（二）第九讲整数的分拆第十讲枚举法第十一讲找规律法第十二讲逆序推理法第十三讲画图显示法第十四讲等量代换法第十五讲等式加减法第一讲机智与顿悟数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．例1 在美国把5月2日写成5/2，而在英国把5月2日写成2/5．问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？解：一年中两国符号相同的日子共有12天．它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7二月二日 2/2 八月八日 8/8三月三日 3/3 九月九日 9/9四月四日 4/4 十月十日 10/10五月五日 5/5 十一月十一日 11/11六月六日 6/6 十二月十二日 12/12注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想一想这道题就会有所领悟．例2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？解：全家共有5口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹．如果你列出算式：1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了．为什么呢？请你想一想．例3 小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？解：小明比小刚多4支铅笔．注意，可不是多2支；如果只多2支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多2支，不会一样多了．例4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？解：最少1人．因为售票员和司机是永远不必买票的，这是题目的“隐含条件”．有时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗．例5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？解：和大．注意：“0”是个很有特点的数．①0加到任何数上仍等于这个数本身；②0乘以任何数时积都等于0；把它们写出来就是：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=450×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0所以，应当重视特例．例6 两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？解：这两个数就是17和15．因为它们的和比15大17，又比17大15．由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．此题可能引起你如下联想：和-15=17，那么和=15+17．一般和=一个数+另一个加数，或写成：和-一个加数=另一个加数，或写成：被减数-减数=差，也可写成：被减数-差=减数．以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了．学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通．例7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多？解：他俩花的钱一样多．可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的2倍，这刚好与题意相符．可见两人花的钱一样多．结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道的．例8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？解：不会出太阳．因为从中午起再过36个小时正好是半夜．而阴雨天和夜里是不会出太阳的．注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”？“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有目标，结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的解题效率．例9 一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画．他画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）．解：不管多长的材料，像框也无法做成．从每一部分来说，这个图看来是合理的，但从整体上看，这个图是“荒谬的”、“失调的”．用一句普通的话说，就是“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点不对劲的感觉是创造性的起因．习题一1．如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．你知道这天共来了多少学生吗？3．小林和小蓉两人口袋里各有10元钱．两人去书店买书．买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺4角2分钱．若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够．请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？6．一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时5公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后他们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1角钱1斤．”买葱的说：“我要都买了．不过要切开称．从中间切断，葱叶那段每斤2分，葱白那部分每斤8分．你卖不卖？”卖葱的一想：“8分+2分就是1角”．他就同意全部卖了．但是卖后一算账，发现赔了不少钱．小朋友，你知道为什么吗？8．一天鲍勃用赛车送海伦回家．汽车在快车道上急驶．鲍勃看到前面有辆大卡车．灵机一动，突然向海伦提出了一个巧妙的问题．鲍勃说：“海伦，你看！前面那辆大卡车开得多快！但是我们可以超过它．假定现在我们在它后面正好是1500米，它以每分钟1000米的速度前进，而我用每分钟1100米的速度追赶它，我们这样一直开下去，到时候肯定会从后面撞上它．但是，海伦，请你告诉我，在相撞前一分钟，我们与它相距多少米？”聪明的海伦略加思考立刻回答了鲍勃的问题．小朋友，你也能回答吗？9．小明家附近有个梯形公园，公园中有4棵树排成了一行，如图所示．小明每天放学回家都要到公园里去玩一会儿．有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不能把公园分成大小和形状都相同的4块，而且每一块上保留一棵树？”回到家以后，他又和爸爸妈妈一块儿讨论，终于像小明想的那样分好了，小明非常高兴．小朋友，你也回家与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？10．小莉在少年宫学画油画．一天，他找到了一块中间有个圆孔的纸板．他想把这块板分成两块，重新组合成一块调色板，如下图，小朋友看该怎么切才好呢？注意：回顾由第9题到第10题的解题思路，这里有一个克服“思维定势”的问题．在做第9题时，你可能费了很大劲，把大梯形这样划分，那样划分，试来试去，最终得到了满意的结果．做完了第9题后这种思考问题的方式方法就可能深深地在你的头脑中扎根了．当你着手解第10题时，你可能还是沿着原来的思路，按原来的思维方式处理面临的新问题，这种情况心理学上就叫做“思维定势”．思维定势不利于创造性的发挥，从这个意义上讲，有人说学习的最大障碍是头脑中已有的东西，是有一定道理的，你在做第10题时，对此大概也有体会了吧！今后要以此为训．对本讲其它各题，在你做完以后也希望你做一些回顾和总结，以便发现些更有价值的东西，使自己变得更聪明起来．习题一解答1．解：一共只有5只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁．2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是老师，所以说学生占教室里全体人数的一半．3．解：他们两人此时一共还有10元．如下图所示．4．解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了．5．解：这本书的价钱就是4角2分钱．小黄有4角1分钱（所以买书还差1分），小兰1分钱都没有，所以他若买这本书，还差4角2分钱；小兰若是有1分钱的话，他俩的钱合起来也就够买这本书了．6．解：相遇后，两人就在一处了，此时二人离城自然一样远．7．解：按照买葱人的说法，葱叶那段每斤2分，葱白那段每斤8分，合起来确是1角．但是这样合起来后是2斤卖1角，不再是一斤1角钱，所以卖葱的人赔了钱．8．解：相撞前一分钟赛车落后卡车100米．海伦思考的窍门是倒着想．鲍勃的赛车比卡车每分钟快100米（即1100米-1000米=100米），所以碰车前的1分钟它们相距100米．9．解：划分方法如右图所示．每一块都是个小梯形，四个小梯形大小相等，形状相同．小梯形和大梯形之间是大小不等、形状相似．10．解：方法不止一种．①从中切下一条，倒换个位置放进去．（见图）②在需要开孔的位上开一个小圆孔，把切下的部分填到中间的孔中去．（见图）第二讲数数与计数从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．例1 数一数，下面图形中有多少个点？解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．点的总数是：5+5+5+5=5×4．方法2：从左至右一列一列地数，见下图．点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：5×4=4×5从这个等式中，我们不难发现这样的事实：两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．这就是乘法交换律．正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．方法3：分成两块数，见右图．前一块4行，每行3个点，共3×4个点．后一块4行，每行2个点，共2×4个点．两块的总点数=3×4+2×4．因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：3×4+2×4=5×4．仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：3+2=5所以上面的等式可以写成：3×4+2×4=（3+2）×4也可以把这个等式调过头来写成：（3+2）×4=3×4+2×4．这就是乘法对加法的分配律．如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：（a+b）×c=a×c+b×c分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：计算（3-2）×4和3×4-2×4．解：（3-2）×4=1×4=43×4-2×4=12-8=4．两式的计算结果都是4，从而可知：（3-2）×4=3×4-2×4这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．第一层4×2个第二层4×2个第三层4×2个三层小长方体的总个数（4×2）×3个．方法2：从左至右一排一排地数，见下图．第一排2×3个第二排2×3个第三排2×3个第四排2×3个四排小长方体的总个数为（2×3）×4．若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．例3 数一数，下图中有多少个点？解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：三角形点数=长方形点数÷2因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9而长方形点数=10×9=（1+9）×9代入上面的文字公式可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45．进一步把两种方法联系起来看：方法1是老老实实地直接数数．方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．即1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2．这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．习题二下列各题至少用两种方法数数与计数．1．数一数，下图中有多少个点？2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？3．数一数，下图中有多少个小正方形？4．数一数，下图中共有多少个小三角形？习题二解答1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．方法2：用拼补法，如图所示：11×10÷2=55．发现一个等式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4=（1+4）×4÷2．4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．方法2：分成两个三角形来数：（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2=200．发现一个等式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19第三讲速算与巧算利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速．例1 2×4×5×25×54=（2×5）×（4×25）×54 （利用了交换=10×100×54 律和结合律）=54000例2 54×125×16×8×625=54×（125×8）×（625×16）（利用了=54×1000×10000 交换律和结合律）=540000000例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8=5×（2×4×8）×25×125 的连乘积是关键一=（5×2）×（4×25）×（8×125）步．=10×100×1000=1000000例5 37×48×625=37×（3×16）×625 注意37×3=111=（37×3）×（16×625）=111×10000=1110000例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，=（27+13）×25 这样做叫提公因数=40×25=1000例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再=123×23+123×1+123×76 提公因数123=123×（23×1+76）=123×100=12300例8 81+991×9 把81改写（叫分解因=9×9+991×9 数）为9×9是为了下=（9+991）×9 一步提出公因数9=1000×9=9000例9 111×99=111×（100-1）=111×100-111=11100-111=10989例10 23×57-48×23+23=23×（57-48+1）=23×10=230例11 求1+2+3+…+24+25的和．解：此题是求自然数列前25项的和．方法1：利用上一讲得出的公式和=（首项+末项）×项数÷21+2+3+…+24+25=（1+25）×25÷2=26×25÷2=325方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？例12 求8+16+24+32+…+792+800的和．解：可先提公因数8+16+24+32+…+792+800=8×（1+2+3+4+…+99+100）=8×（1+100）×100÷2=8×5050=40400例13 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列．那么第1排有多少个座位呢？因为：第2排比第1排多2个座位，2=2×1第3排就比第1排多4个座位，4=2×2第4排就比第1排多6个座位，6=2×3这样，第25排就比第1排多48个座位，48=2×24．所以第1排的座位数是：70-48=22．再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=（22+70）×25÷2=92×25÷2=1150．习题三计算下列各题：1．4×135×252．38×25×63．124×254．132476×1115．35×53+47×356．53×46+71×54+82×547．①11×11 ②111×111③1111×1111 ④11111×11111⑤111111111×1111111118．①12×14 ②13×17③15×17 ④17×18⑤19×15 ⑥16×129．①11×11 ②12×12③13×13 ④14×14⑤15×15 ⑥16×16⑦17×17 ⑧18×18⑨19×1910．计算下列各题，并牢记答案，以备后用．①15×15 ②25×25③35×35 ④45×45⑤55×55 ⑥65×65⑦75×75 ⑧85×85⑨95×9511．求1+2+3+…+（n-1）+n之和，并牢记结果．12．求下列各题之和．把四道题联系起来看，你能发现具有规律性的东西吗？①1+2+3+…+10②1+2+3+…+100③1+2+3+…+1000④1+2+3+…+1000013．求下表中所有数的和．你能想出多少种不同的计算方法？习题三解答1．解：4×135×25=（4×25）×135=100×135=13500．2．解：38×25×6=19×2×25×2×3=19×（2×25×2）×3=19×100×3=1900×3=5700．3．解：124×25=（124÷4）×（25×4）=31×100=3100．4．解：132476×111=132476×（100+10+1）=13247600+1324760+132476=14704836．或用错位相加的方法：5．解：35×53+47×35=35×（53+47）=35×100=3500．6．解：53×46+71×54+82×54=（54-1）×46+71×54+82×54=54×46-46+71×54+82×54=54×（46+71+82）-46=54×199-46=54×（200-1）-46=54×200-54-46=10800-100=10700．7．解：①11×11=121②111×111=12321③1111×1111=1234321④11111×11111=123454321⑤111111111×111111111=12345678987654321．8．解：①12×14=12×（10+4）=12×10+12×4=12×10+（10+2）×4=12×10+10×4+2×4 多次运用乘法分配=（12+4）×10+2×4 律（或提公因数）=160+8=168②13×17=13×（10+7）=13×10+13×7 多次运用乘法分配=13×10+（10+3）×7 律（或提公因数）=13×10+10×7+3×7=（13+7）×10+3×7=200+21=221发现规律：求十几乘以十几的积的速算方法是：用一个数加上另一个数的个位数，乘以10（即接着添个“0”），再加上它们个位数字的积．用这个方法计算下列各题：③15×17=（15+7）×10+5×7=220+35=255④17×18=（17+8）×10+7×8=250+56=306⑤19×15=240+45=285⑥16×12=180+12=192．9．解：作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请牢牢记住：10．解：①15×15 注意矩形框中=15×（10+5）式子=15×10+15×5=15×10+（10+5）×5=15×10+10×5+5×5=（15+5）×10+5×5==225②25×25=25×（20+5）=25×20+25×5=25×20+（20＋5）×5=25×20+20×5+5×5=（25+5）×20+5×5 注意矩形框中= 式子=625发现规律：几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1的积，再在其后写上25．如15×15的积就是1×2再写上25得225．25×25的积就是2×3再写上25得625．用这个方法写出其他各题的答案如下：③35×35=3×4×100+25=1225④45×45=4×5×100+25=2025⑤55×55=5×6×100+25=3025⑥65×65=6×7×100+25=4225⑦75×75=7×8×100+25=5625⑧85×85=8×9×100+25=7225⑨95×95=9×10×100+25=9025要牢记以上方法和结果．要知道，孤立的一道题不好记，但有规律的一整套的东西反而容易记住！11．解：有的同学问：“n是几？”老师告诉你：“n就是末项，你说是几就是几”．用头尾相加法求，自然数列的前n项之和．12．解：请注意规律性的东西．①1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55②1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050③1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500④1+2+3+…+10000=（1+10000）×10000÷2=50005000．13．解：方法1：仔细观察不难发现把每列（或每行）的10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列，它就是：55，65，75，85，95，105，115，125，135，145∴总和=（55+145）×10÷2=1000．方法2：首先各行都按第一行计数，得10行10列数字方阵的所有数之和为55×10=550．但第二行比第一行多10，第三行比第一行多20，…，第十行比第一行多90．总计共多：10+20+30+40+50+60+70+80+90=450．所以原题数字方阵的所有数相加之和为：550+450=1000．方法3：仔细观察可发现，若以数字10所在的对角线为分界线，将该数字方阵折叠之后，它就变成下述的三角形阵（多么巧妙！）20 20 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 1020 20 20 20 1020 20 20 1020 20 1020 1010总和=20×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100=20×55-100=1000．方法4：找规律，先从简单情况开始可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000．看！方法多么简捷；数学多么微妙！第四讲数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．例1 最初的数和最简的图相对应．这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n 个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5…第n个数：1+2+3+4+5+…+n指定的三角形数．比如第100个三角形数是：例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9…第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．例5 类似地，还有四面体数见下图．仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15．例6 五面体数，见下图．仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25．例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法1：先算空心点，再算实心点：22+2×2+1．方法2：把点图看作一个整体来算32．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+2×2+1=32．方法1：先算空心点，再算实心点：32+2×3+1．方法2：把点图看成一个整体来算：42．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+2×3+1=42．方法1：先算空心点，再算实心点：42+2×4+1．方法2：把点图看成一个整体来算52．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+2×4+1=52．把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+2×2+1=3232+2×3+1=4242+2×4+1=52…n2+2×n+1=（n+1）2．利用这个公式，也可用于速算与巧算．如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100992+2×99+1=（99+1）2=1002=10000．习题四1．第25个三角形数是几？2．第50个三角形数是几？3．第1000个三角形数是几？4．三角形数的奇偶性是很有规律的，想一想，这是为什么？5．观察下列图形，你能发现什么？6．第99个与第100个三角形数的和等于多少？7．每一个四角形数（或叫正方形数）（除1外）都能拆成两个三角形数吗？比如，100是哪两个三角形数的和？8．第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗？（这事比较困难）9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第n个五（六）角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式．10．写出前10个四面体数．11．写出前10个五面体数．12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．（可参考本讲例7）13．模仿例7，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．习题四解答1．解：1+2+3+…+25=（1+25）×25÷2=325．2．解：1+2+3+…+50=（1+50）×50÷2=1275．3．解：1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500．4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的规律：第1个数=1…奇数；第2个数=第1个数+2…奇数+偶数=奇数；第3个数=第2个数+3…奇数+奇数=偶数；第4个数=第3个数+4…偶数+偶数=偶数；第5个数=第4个数+5…偶数+奇数=奇数．5．解：相邻的两个三角形之和是一个四角形数（或叫正方形数），或是说，一个四角形数，可以拆成两个三角形数之和．或者根据第6题，=第100个四角形数=100×100=10000．7．解：能拆．100=55+45．8．解：寻找这样的例子比较困难．有人找到第49个三角形数是第35个四角形数，因为：（49+1）×49÷2=1225=352．9．解：五角形数如下图所示：第一个数：1=l第二个数：5=1+4第三个数：12=1+4+7第四个数：22=1+4+7+10第五个数：35=1+4+7+10+13 六角形数如下图所示：第一个数 1=1第二个数 6=1+5第三个数 15=1+5+9第四个数 28=1+5+9+13第五个数 45=1+5+9+13+17．第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？。
二年级数学简单的排列组PPT精品课件
内容介绍
瓯北五小 林莲仲
授课
密码是1和2组 成的两位数
12
第二关
第三关
第五关
第四关
第一关
第一关
• 1、2、3能组成几个两位数？（请有序思考） 12 21 13 31 21 或 12 23 32 31 13 32 23
出口
第二关
①
②③
每两人握一次手， 三人一共握几次手？
①② ③
共三种情况
• 1、2、3能组 成几个两位 数？
• 12 13
• 21 23
• 31 32
• 每两人握一 次手，三人 一共握几次 手？
①②
③
为什么三个数字能组成6个两位数，而三个人只能握三次手呢？
出口
第三关
• 用红、眼、花三个字能组成几个词语？
眼 红
花
红眼 红花花 花眼 花红
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
12
出口
第四关
共四种配法！
出口
第五关
从数学广角回到家中有几条路可走？ 你会选择那条路呢？
A——C A——D A——E
B——C B——D B——E
Α 数学广角
Β
C
家
D
退出
内容介绍
教学内容：人教版数学二上数学广角——简单的排列 组合 教学目标： 1、通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简 单的事物的排列数和组合数。 2、初步培养有序地全面地思考问题的能力。 3、培养初步的观察、分析、及推理能力。 教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同
(二年级)奥数数学巧算之分组法课件
例题【六】（★ ★ ★ ）
⑴62×68 ⑵85×85 ⑶71×79
2×8=16
（1）62×68=4216
6×（6+1）=42
例题【六】（★ ★ ★ ）
⑴62×68 ⑵85×85 ⑶71×79
5×5=25
（2）85×85=7225
8×（8+1）=72
例题【六】（★ ★ ★ ）
⑴62×68 ⑵85×85 ⑶71×79
2456×11
2456×11
24 5 6
+ ++
进1 进1
270
16
知识链接
一个数乘以11 小技巧：两头拉，中间 相加
例题【五】（★ ★ ★）
⑴26×9
⑵123×99
⑴26×9 =26×10-26×1 =260-26 =234
（2）123×99 =123×100-123×1 =12300-123 =12177
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27+25+31+32 =（30-3）+（30-5）+（30+1）+（30+2） =30×4-3-5+1+2 =120-5 =115
二年级上册奥数(教案)第1讲：速算与巧算
（二年级）备课教员：×××第一讲速算与巧算一、教学目标： 1. 通过研究算式中的数字特点找到巧算方法。
2. 知道计算中的基本巧算方法，能熟练运用加法凑整和减法凑整的方法计算。
3. 知道加括号和去括号与运算符号之间的变化关系。
4. 知道一个数可以进行拆分后计算，锻炼学生的数学分组拆分的数学思维。
二、教学重点：灵活运用凑整的方法进行计算。
三、教学难点： 1. 在进行凑整时，要带上运算符号进行计算。
2. 括号前面是减号，括号里原来的符号要进行变号。
四、教学准备：PPT、卡片五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)找朋友游戏准备好卡片，卡片上写有数字，每个数字都可以与另一个数字凑成整十或整百的数（有加法凑整也有减法凑整），卡片张数依据班级人数来设定。
师：今天咱们来玩一个游戏，找朋友游戏，你们玩过没有？生：没有（有）。
师：不管有没有玩过都没有关系，因为这个游戏是老师发明出来的，你们可是第一批开始玩这个游戏的小朋友哦！（老师拿出一叠卡片）老师这里有一叠卡片，等会会发到你们的手上，每人可以拿3张。
你要能把手中的卡片和别人手中的卡片凑成整十或整百的数，浪费一张扣10分，凑成一张加10 分，最后看谁的分数多，注意，必须是和别人手中的数字卡片哦！规则有没有听清楚？生：听清楚了！师：（每人发下3张卡片，注意提醒不能交头接耳）那老师就开始计时咯！时间是1分钟。
（时间根据班级人数的多少，人多时间可延长）生：老师，我三张都凑好了！师：太棒了，这么短的时间内，你把三个好朋友都找到了呀，真厉害！（看着两个数相加不能凑成整数，减法可以凑整的两个数）这两个数你是怎么凑整的？生：我这个没有用加法，用的是减法！师：嗯，我们看，这些数字相加或相减能凑整，那你们有没有发现这些数字之间的关系呢？生：相加能够凑整的数字，它们个位上的数相加等于10，相减能够凑整的两个数的个位上的数是一样的。
师：原来你才是拥有火眼金睛的那个人，真棒！在我们计算的过程中，会有很多种巧算方法，这些方法能够大大地提高你们的计算能力，我相信，同学们经过这一堂课的学习，你们的计算能力肯定又能提高一个档次。
分组法巧算
分组法巧算作者：来源：《红领巾(3-6年级)》2008年第03期【专题简析】根据算式的特征、计算规律，可把算式中的每若干项作为一组，整个算式又可分成若干组，每组中若干项的计算结果相同，这样可很快巧算出题目的结果。
这种巧算思路称为分组法巧算。
【例题精析】例1199－198＋197－196＋195－194＋…＋5－4＋3－2＋1这样巧算：根据题目的特征，我们把算式前面198个数，每两个数作为一组，每组的计算结果为1，这样便能很快巧算出结果来。
199－198＝1，197－196＝1，195－194＝1，…5－4＝1，3－2＝1，整个算式共有100个1，故计算结果为100。
解：199－198＋197－196＋195－194＋…＋5－4＋3－2＋1＝（199－198）＋（197－196）＋（195－194）＋…＋（5－4）＋（3－2）＋1＝100例21＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋13＋…＋1986－1987－1988＋1989＋1990－1991－1992＋1993＋1994这样巧算：除首、尾两项之外，其余各项依次每四项作为一组，每组计算结果为0：2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，10－11－12＋13＝0，…1982－1983－1984＋1985＝0，1986－1987－1988＋1989＝0，1990－1991－1992＋1993＝0。
整个算式计算结果等于首尾两数之和。
解：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋13＋…＋1986－1987－1988＋1989＋1990－1991－1992＋1993＋1994＝1＋（2－3－4＋5）＋（6－7－8＋9）＋（10－11－12＋13）＋…＋（1986－1987－1988＋1989）＋（1990－1991－1992＋1993）＋1994＝1＋0＋0＋0＋…＋0＋0＋1994＝1995考考你1.（2+4+6+8+...+1992+1994）-(1+3+5+7+9+ (1993)2.12-22+32-42+52-62+…-1002+1012（答案见下期）注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
人教版二年级数学上册8.2组合问题课件(共20张PPT)
当堂检测
2.过年包饺子，妈妈分别做了韭菜馅、白菜馅和玉 米馅，奶奶做了青菜味和胡萝卜味的面皮，一共 可以包出（ 6 ）种饺子。
当堂检测 3.妈妈从这三种物品中买两种，有几种买法？分别 需要付多少元？
有3种买法。 若买台灯和书包，需要付27+53=80(元)； 若买台灯和钢笔，需要付27+24=51(元)； 若买书包和钢笔，需而要付53+24=77(元)。
当堂检测
4.丽丽要参加学校的元旦晚会，她可以怎样搭配衣 服？(连一连)
我一共有（ 6 ） 种穿法。
课堂小结 学习完本节课，你有什么收获？
课堂小结
通过本节课的学习，我们学习了简单事物的组合方法：
任选两个数求和是组合问题，与顺序无关。
解决有关组合的问题，可以用列表法，也可以用连 线法。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
加数 加数 和 5 7 12 7 5 12
我用填表的方法试 试，先取5和7。
5加7等于7加5，只 填一种就可以了。
探索新知
2 从5、7、9这3个数中，任意选取其中2个求和
得数有几种可能？(教材P98例2)
加数 加数 和 5 7 12 5 9 14 7 9 16
方法一:列表法。 分别从5、7、9中选取两个 数求和。
得数有3种可能。
探索新知
2 从5、7、9这3个数中，任意选取其中2个求和
得数有几种可能？(教材P98例2)
这样试 一试。
12 16 579
哦!两个数的和 14 与顺序没关系!
方法二:连线法。 在5、7、9任意两 个数之间连线并 新知
想一想，说一说：你学会了用什么方法任 选两个数求和？
小学奥数知识点：分组法-WPS Office
解答
思路：先把题目中的条件进行转化。“每条船坐4人，少一条船”则多4人；“每条船坐6人，多4条船”则少6×4=24人
再用例1的方法计算。
船数：（4＋6×4）÷（6－4）=14条
学生人数：4×（14＋1）=60人。
试一试4：小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50ห้องสมุดไป่ตู้，则早到4分钟。小明家到学校有多远？
第一种方案：每人搬6棵，差4棵（少亏）；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵（多亏）。
每人多搬了8－6=2棵树苗，
人数=（18－4）÷（8－6）7人
树苗棵数：6×7－4=38棵。
试一试3：数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如果每人做8道，则少16道。有几个学生？多少道数学题？
例题4：
例题2：
老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？
解答：
思路：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本（多盈）；
第二种分法：每人7本，多了2本（少盈）。
每份相差：7－5=2本
人数：（14－2）÷（7－5）=6人
练习本数：5×6＋14=44本。
试一试2：
把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。有小朋友几人？有多少粒糖？
例题3：
学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？
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17×4×25 =17×（4×25） =17×100 =1700
例题【三】（★ ★ ★ ）
（1）21×5×2 （2）17×4×25 （3）125×19×8
125×19×8 =125×8×19 =1000×19 =19000
知识链接
牢记乘法中的朋友 2×5=10 4×25=100 4×125=1000 16×625=10000
例题【六】（★ ★ ★ ）
⑴62×68 ⑵85×85 ⑶71×79
2×8=16
（1）62×68=4216
6×（6+1）=42
例题【六】（★ ★ ★ ）
⑴62×68 ⑵85×85 ⑶71×79
5×5=25
（2）85×85=7225
8×（8+1）=72
例题【六】（★ ★ ★ ）
⑴62×68 ⑵85×85 ⑶71×79
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缺角型
拓展（★ ★ ）
乘法中的朋友数 2×4=10 4×25=100 8×125=1000 16×625=10000
例题【三】（★ ★ ★ ）
（1）21×5×2 （2）17×4×25 （3）125×19×8
21×5×2 =21×（5×2） =21×10 =210
例题【三】（★ ★ ★ ）
例题【四】（★ ★ ★）
你能快速的写出结果吗？ 45×11 56×11
2456×11
45×11
45 +
495
例题【四】（★ ★ ★）
你能快速的写出结果吗？ 45×11 56×11
2456×11
56×11
56 进1 + 616
例题【四】（★ ★ ★）
你能快速的写出结果吗？ 45×11 56×11
例题二（★ ★ ★）
1+2+3+4+3+2+1
“全字塔数列”：从1开始连续自然加到一个数后又倒着 回到1。 1+2+3+4+3+2+1=4×4
知识链接
方法：中间数×中间数
拓展（★ ★ ）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1-3-1 =10×10-（3+2+1） =100-6 =94
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2456×11
2456×11
24 5 6
+ ++
进1 进1
270
16
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一个数乘以11 小技巧：两头拉，中间 相加
例题【五】（★ ★ ★）
⑴26×9
⑵123×99
⑴26×9 =26×10-26×1 =260-26 =234
（2）123×99 =123×100-123×1 =12300-123 =12177
巧算之分组法
二年级 第12课
知识链接
两个极端：
1.光想不写 2.光写不想
速算思想：
1．“整”比“散”好！ 2．“小”比“大”好！ 3.＋19
13+21+87+19 =（13+87）+（21+19）
例题【一】（★ ★ ） ⑵27＋25＋31＋32
27+25+31+32 =（30-3）+（30-5）+（30+1）+（30+2） =30×4-3-5+1+2 =120-5 =115
知识链接
其准数法 适用：几个相近的数相加 窍门：1、整十、整千……
2、接近 3、有大有小
例题【一】（★ ★ ）
⑶1234＋3142 ＋4321＋2413
千位：1+2+3+4=10，即10个千，就是10000 百位：1+2+3+4=10，即10个百，就是1000 十位：1+2+3+4=10，即10个十，就是100 个位：1+2+3+4=10，即10个一，就是10 原式=10000+100+100+10=11110
1×9=9补0占位
（3）71×79=5609
7×（7+1）=56
本讲总结
一、速算思想 二、凑整法 看个位，找朋友 三、基准数法 四、位值原理 五、金字塔数列求和 六、乘法中的朋友数： 2×5＝10 4×25＝100 8×125＝1000 16×625＝10000
以下赠品教育通用模板
前言
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