专题--数列求和的基本方法和技巧(师)

专题讲座——数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
1、
23、
[
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例2] 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）
解： 当x=1时，2312
1315171(21)1135(21)n n S n n n -=+∙+∙+∙+⋅⋅⋅+-∙=++++-=
当x ≠1时， 1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………. ①
①式两边同乘以x 得n x S = 23
1
135
(23)(21)n n
x x x n x n x -+++⋅⋅⋅+-+
-………② （设制错位）
①－②得 n
n n x n x
x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减） n
1
-
[例23,
,7,
4,
111
2
-+⋅⋅⋅+++-n a
a
a n 解：设)231
(
)71(
)41(
)11(1
2-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a
a
S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1111(1
2
-+⋅⋅⋅+++++
⋅⋅⋅+++
=-n a
a
a S n n （分组）
当a ＝1时，2
)13(n
n n S n -+
=＝
2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2
)13(1111n
n a
a
S n
n -+-
-
=
＝
2
)13(1
1n
n a a
a n
-+
---
【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k
k
k k k k a k ++=++=2
3
32)12)(1(
(6) n
n n
n n
n
n n S n n n n n n n n n a 2
)1(11,2
)1(12
12
1)
1()1(22
1)
1(21
+-
=+-
⋅=
⋅
+-+=
⋅++=
-则
（7）)11(
1)
)((1
C An B
An B
C C An B An a n +-
+-=
++=
（8）
)!
1(+n n
=
!
1n －
)!1(1+n （9）1
n a =
=
[例5] 求数列
⋅⋅⋅++
⋅⋅⋅+
+
,1
1,
,3
21,
2
11
n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -
+=++=11
1 （裂项）
则 11321211++
+⋅⋅⋅++++
=
n n S n （裂项求和）
＝)
1(
)23(
)12(n n -
++⋅⋅⋅+-
+-
＝11-+n
n }
的前 ＝ 0
【巩固练习】6：在各项均为正数的等比数列中，若103
23
13
65
log
log
log
,9a a a a a
+⋅⋅⋅++=求的
值.
解：设103
23
13
log
log
log
a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）
和对数的运算性质 N M N M a
a
a
⋅=+log
log
log
得
)log
(log
)log
(log
)log
(log
63
53
93
23
103
13a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）
＝)(log
)(log
)(log 653
923
1013
a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅
＝9log
9log
9log
3
3
3
+⋅⋅⋅++ ＝10
[例
)4)(3()
4)(2(++++n n n n ＝)4
13
1
(
8)4
12
1(
4+-
+++-
+⋅n n n n （裂项）
∴
11
1
1
1111(1)()4(
)8(
)2
4
3
4
n
n
n
n n k k k n a a n n n n +===+-=-
+-
++++∑
∑∑ （分组、裂项求和）。