数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式

根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、

n

S是数列{}n a的前n项的和

1

1

(1)

(2)

n

n n

S n

a

S S n

-

=

⎧

=⎨

-≥

⎩

【方法】：“

1

n n

S S

-

-”代入消元消n a

。

【注意】漏检验n的值 (如1

n=的情况

【例1】.（1）已知正数数列{}

n

a的前n项的和为n

S，

且对任意的正整数n满足1

n

a

=+，求数列{}

n

a的通项公式。

（2）数列{}

n

a中，1

1

a=对所有的正整数n都有

2

123n

a a a a n

⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a的通项公式

【作业一】

1－ 1.数列{}

n

a满足

21*

123

333()

3

n

n

n

a a a a n N

-

++++=∈，求数列{}n a的通

项公式．

（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1

()n

n a f n a -=

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）

【方法】

1()n n a a f n --=，

12(1)n n a a f n ---=-，

……，

21(2)a a f -=2n ≥，

从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+

+，检验1n

=的情

况

()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比

数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，

1

2

12

1

()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅

=⋅-⋅⋅

即1

()(1)(2)n

a f n f n f a =⋅-⋅

⋅，检验1n =的情

况

【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有

1n -个等式相加（相乘）.

【例2】. (1) 已知211=a ，)2(1

1

21≥-+=-n n a a n n

，

求n a . （2）已知数列

{}n a 满足1

2n n n a

a n +=+，且3

21=a ，求n a .

【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，

11111,(1)2

n n n n a a a n ++==++.设n n

a b n =，求数列{}

n b 的通项公式

（三）.待定系数法

1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）

【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即

1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1

n p

a c +-为等比数列

【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

(四).倒数法

1n

n n

ka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)

【方法】两边取倒数，得

111n n p c

a k a k

+=⋅+, 转化为

待定系数法求解

【例5】. 已知数列{}n a 的首项为13

5a =，

1

321n n n a a a +=+，

1,2,n =，求{}n a 的通项公式

数列专题2：数列求和

1.数列a 1＋2，…，k ＋2，…，10＋20共有十项，

且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为 ( )

A ．31

B ．120

C ．130

D ．185 练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n

－1

2

n ，

其前n项和S n＝321

64

，则项数n等于 ( )

A．13 B．10 C．9 D．6

2.设函数()＝＋的导函数′(x)＝2x＋

1，则数列{

1

f(n)

}(n∈N*)的前n项和是 ( )

练习2. 数列a n＝

1

n(n＋1)

，其前n项之和为

9

10

，则

在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为 ( )

A．－10 B．－9 C．10 D．9

3.求和：S n＝1

a

＋

2

a2

＋

3

a3

＋…＋

a n

.

练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2