数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、
n
S是数列{}n a的前n项的和
1
1
(1)
(2)
n
n n
S n
a
S S n
-
=
⎧
=⎨
-≥
⎩
【方法】：“
1
n n
S S
-
-”代入消元消n a。

【注意】漏检验n的值(如1
n=的情况
【例1】.（1）已知正数数列{}
n
a的前n项的和为n
S，
且对任意的正整数n满足1
n
a
=+，求数列{}
n
a的通项公式。

（2）数列{}
n
a中，1
1
a=对所有的正整数n都有
2
123n
a a a a n
⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a的通项公式
【作业一】
1－1.数列{}
n
a满足
21*
123
333()
3
n
n
n
a a a a n N
-
++++=∈，求数列
{}
n
a的通项公式．
（二）.累加、累乘型如
1
()
n n
a a f n
-
-=,
1
()
n
n
a
f n
a
-
=
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）
【方法】
1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，
21(2)a a f -=2n ≥，
从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+
+，检验1n
=的情
况
()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1
2
12
1
()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅
=⋅-⋅⋅
即1
()(1)(2)n
a f n f n f a =⋅-⋅
⋅，检验1n =的情
况
【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.
【例2】. (1) 已知21
1=a ，)2(1
1
2
1≥-+
=-n n a a n n
，求n a .
（2）已知数列{}n a 满足1
2n n n a
a n +=+，且3
21=a ，求n a .
【例3】.（2009高考文数）在数列{}n a 中，
11111,(1)2
n n n n a a a n ++==++.设n n
a b n =，求数列{}
n b 的通项公式
（三）.待定系数法
1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）
【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即
1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1
n p a c +-为
等比数列
【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

(四).倒数法
1n
n n ka a ca p +=
+ (,,k p c 为非零常数)
【方法】两边取倒数，得111n n p c a k a k
+=⋅+, 转化为
待定系数法求解
【例5】. 已知数列{}n a 的首项为13
5a =，
1
321n n n a a a +=+，
1,2,n =，求{}n a 的通项公式
数列专题2：数列求和
1.数列a 1＋2，…，k ＋2，…，10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为
( )
A ．31
B ．120
C ．130
D ．185
练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1
2n ，其
前n 项和S n ＝321
64
，则项数n 等于( )
A ．13
B ．10
C ．9
D ．6
2.设函数()＝m ＋的导函数′()＝2x ＋1，
则数列{1
f (n )
}(n ∈N *)的前n 项和是( )
A.n
n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1
n
练习2. 数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则
在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在
y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
3.求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋a
n .
练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3
n －1
a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝n
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .。