专题--数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2
1
3)]1(21[+==∑=n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n
--1)1(＝
2
11)
211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
8
8-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）
①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
练习.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就能够得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ n
n n S 2)1(⋅+=
练习求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例. 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习. 求数列{n(2n+1)}的前n 项和.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2）1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n
（3）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （4）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(5) n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 [例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111
（裂项）
则 1
13
212
11
+++⋅⋅⋅+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n
练习.在数列{a n }中，1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，所以，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a …… 2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
练习 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 练习 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征实行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：因为)110(91
99999111111
1
-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k
个个 （找通项及特征） ∴ 1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝
)110(91
)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝
)1111(91)10101010(911
321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9
110)110(1091n
n ---⋅
＝
)91010(81
1
1n n --+。