四阶周期边值问题解的单调迭代方法
四阶周期边值问题解的存在性与唯一性
（ ． ｏｌｇ ｔｅ ａ ｉ ｎ ｎ ｏ ｍ ｔ ｎＳ ｉ ｃ ， ｒｈ ｓ Ｎｏ ｍ ｌ ｎｖ ｒ ｉ Ｌ ｎ ｈ ｕ７ ０ ７ ， ｈ ｎ ； １ Ｃ ｌ ｅ ｆ Ｍａｈ ｍ ｔ ｓ ｄ Ｉ ｆ ｒ ａ ｉ ｃ ｎ ｅ Ｎｏｔｗｅｔ ｒ ａ ｉ ｓ ｙ， ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃ ｉａ ｅ ｏ ｃａ ｏ ｅ Ｕ ｅ ｔ ２ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｎ ｅａ ｄ Ｅ ｏ ｏ ｃ ， ｈ ｉＵ ｉｅ ｓ ｙ， ｊ ａ ｕ ８ １ ０ ， ｈ ｎ ） ． ｏｌ ｅ ｆ Ｆ ｎ ｃ ｎ ｃ ｎ ｍｉｓ Ｓ ｉ ｅ ｏ ａ ＨｅＺ ｎｖ ｒｉ Ｗｕ ｉｑ ３ ３ ０ Ｃ ｉａ ｔ
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Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｕ ｔ － ｒ ｅ ｅ ｉｄ ｃ ｂ ｕ ｄ ｒ ｒ ｂ ｅ ； ｏ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅｃ ｎ ｉ ｏ ； ｘ ｓ ｅ ｃ ； ｎ ｑ ｅ ｅ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｒ ｈ ｏ ｄ ｒ ｐ ｒ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｎ ｅ ｏ ａ ｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｅ ｉ ｔ ｎ ｅ ｕ ｉ ｕ ｎ ｓ ｏ ｉ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：
Ｔｈｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｎｄ ｕｎ ｑ ｎｅ ｓ ｏｆ ｓ ｌ ｉ ｓ ｆ ｒ ｆ ｕ ｐｒ ｂｌｍ ｓ ｘｉｔ ｎ ｅ ａ ｉ ｕｅ ｓ ｏ ｕｔｏｎ ｏ ｏ ｔ － ｒ ｅ ｅ ｉ ｄｉ ｏｕ ａ ｙ ｖ ｌ ｏ ｅ
１１
我 们 的 目的是在 单参 数 非共 振 条件 下 ， 用 与文献 ［ ，］ 同方法 ， 利 １２ 不 采用 Ｓ ｈ ｕ ｅ 不 动 点定理 及 Ｂ ｎ ｃ ｃａ ｄｒ ａ ａｈ 压 缩映像 原理 获 得 了周 期 边值 问题 （ ）解 的存在 性与 唯一 性． １
python中的迭代法
python中的迭代法Python中的迭代法迭代法是一种常用的问题求解方法，在Python中也有广泛的应用。
它通过重复执行某个过程，逐步逼近问题的解，直到满足预定的条件为止。
本文将介绍Python中迭代法的基本概念、应用场景以及一些常见的迭代法算法。
一、迭代法的基本概念迭代法是一种基于循环的计算方法，通过多次重复执行相同的操作，逐步逼近问题的解。
在Python中，可以使用循环结构（如for循环、while循环）实现迭代法。
迭代法的基本思想是将问题分解为多个小的子问题，通过解决子问题逐步逼近最终解。
二、迭代法的应用场景迭代法在实际问题求解中有广泛的应用，以下是一些常见的迭代法应用场景：1. 数值计算：如求解方程的根、计算数列的和等；2. 优化问题：如求解最优化问题、最小二乘法等；3. 迭代算法：如迭代法求解线性方程组、迭代法求解非线性方程组等；4. 图像处理：如图像的模糊处理、边缘检测等。
三、常见的迭代法算法1. 二分法：二分法是一种简单而常用的迭代法算法，用于求解单调函数的零点。
基本思想是通过不断缩小目标值所在的区间，最终找到目标值的近似解。
例如，可以使用二分法求解一个函数f(x)=0的解。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代法求解方程根的算法，具有快速收敛的特点。
它通过利用函数的切线逼近方程的解，不断迭代求解。
例如，可以使用牛顿法求解一个函数f(x)=0的解。
3. 雅可比迭代法：雅可比迭代法是一种常用的迭代法求解线性方程组的算法。
它通过将线性方程组转化为迭代形式，逐步逼近方程组的解。
例如，可以使用雅可比迭代法求解线性方程组Ax=b。
4. 高斯-赛德尔迭代法：高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进算法，具有更快的收敛速度。
它通过使用前一次迭代得到的解来逼近方程组的解，不断迭代求解。
例如，可以使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b。
四、总结迭代法是一种常用的问题求解方法，在Python中也有广泛的应用。
matlab利用四阶runge-kutta算法求解原理
matlab利用四阶runge-kutta算法求解原理四阶Runge-Kutta（RK4）方法是一种常用的数值求解常微分方程（ODEs）的方法。
下面是RK4方法的基本原理，以及如何在MATLAB中实现：###基本原理：1.ODE表示：我们考虑形如dy/dx=f(x,y)的常微分方程，其中y是未知函数，f是给定的函数。
2.离散化：我们将x轴上的区间分成若干小步长h。
我们的目标是找到每一步上的y值。
3.四阶Runge-Kutta公式：这个方法的核心是通过四个中间步骤来逼近每一步的斜率，然后计算新的y值。
具体的步骤如下：-k1=h*f(x_n,y_n)-k2=h*f(x_n+h/2,y_n+k1/2)-k3=h*f(x_n+h/2,y_n+k2/2)-k4=h*f(x_n+h,y_n+k3)其中，x_n和y_n是当前步的x和y值，h是步长。
新的y值计算为：y_{n+1}=y_n+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6###在MATLAB中的实现：在MATLAB中，你可以使用以下的代码来实现四阶Runge-Kutta算法：```matlabfunction[x,y]=runge_kutta_4th_order(f,x0,y0,h,x_end)x=x0:h:x_end;y=zeros(size(x));y(1)=y0;for i=1:(length(x)-1)k1=h*f(x(i),y(i));k2=h*f(x(i)+h/2,y(i)+k1/2);k3=h*f(x(i)+h/2,y(i)+k2/2);k4=h*f(x(i)+h,y(i)+k3);y(i+1)=y(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endend```这个函数接受一个ODE的右侧函数f，初始值x0和y0，步长h，以及求解的终点x_end。
返回的x和y包含了在给定区间内的解。
你可以调用这个函数并提供你自己的ODE右侧函数f。
4阶runge-kutta原理
4阶Runge-Kutta方法是一种数值求解常微分方程的方法，它通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
本文将从原理、推导以及应用等方面对4阶Runge-Kutta方法进行详细解读。
1. 原理4阶Runge-Kutta方法是数值分析中常用的数值解常微分方程的方法之一。
它的核心思想是利用哈密顿显式中点法求解微分方程。
该方法通过将微分方程的解离散化，然后通过计算每一步的斜率来逐步逼近方程的解，最终得到数值解。
2. 推导假设我们要求解如下的一阶常微分方程初值问题：$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$y(x_0) = y_0$其中$f(x, y)$是关于$x$和$y$的函数，$y_0$是初值，$x_0$是初始点。
现在我们希望通过4阶Runge-Kutta方法来求解上述方程。
我们将自变量$x$进行离散化，即将其分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h$，即$x_i = x_0 + ih$，$i=0,1,2,...,n$。
然后我们利用下面的迭代公式来计算每一步的$y$的近似值：$k_1 = h f(x_i, y_i)$$k_2 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2})$$k_3 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2})$$k_4 = h f(x_i + h, y_i + k_3)$$y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$式中，$k_1$、$k_2$、$k_3$、$k_4$分别表示斜率的四个近似值，$y_{i+1}$表示下一个点的近似值。
3. 应用4阶Runge-Kutta方法在实际工程问题中有着广泛的应用。
它不仅可以用来解决一阶常微分方程，还可以推广到高阶微分方程、常微分方程组以及偏微分方程等更复杂的问题。
由于该方法的高精度和稳定性，它也被广泛应用于科学计算领域，例如物理学、工程学、生物学和经济学等各个领域。
非线性四阶周期边值问题正解的存在性和多重性
（） １
（） ２
其 中 厂∈ Ｃ（０ １ ［ ， ｏ ） ， ｃ（０ １ ，ｏ １） ａ ∈ （ 。 ， ｃ ） 常数 ． ［ ，７× Ｏ ＋ 。 ）ｒ∈ ［ ，］ Ｅ ，］ ， ， 一 。＋ ｘ 为 ３
Ｐ ＶＰ １ 一（ ） 述 了弹性 梁在周 期 边界 条件 下 的平 衡 态． Ｂ （） ２描 由于 其 在物 理 和数 学领 域 的重 要作 用 ，
正解 ， 指 满 足方 程 （ ） 是 １ 及边 界条 件 （ ） 并 且 （）＞ ０ ｔ∈ ［ ，］． ２， ￡ ， ０１ 记 Ｊ Ｏ １ 一 （ Ｃ ， 。 ），碾 一［ ，１， 一 × ＋ 。 ３ 一Ｅ ， 。 ） 首 先 ， ａ ａ ａ和 Ｌ ｉ 建 立 了 四 阶 算 子 ０ ＋ 。． Ｃｂｄ ｏｓ Ｅ
第２ ７卷 第 ５期
２１ 年 ｌ ０１ Ｏ月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７ № ． １２ ， ５
Ｏｃ ． ０１ ｔ２ １
非 线 性 四阶周 期 边 值 问题 正 解 的存 在 性 和多 重 性
．
杨 和
（ 北师范大学 数 学与信息科学学院 ， 肃 兰州 ７０７） 西 甘 ３０ ０
［ 稿 日期 ］ ２ ０—２２ 收 ０ ８１—２
３ ４
大 学 数 学
Hale Waihona Puke 第２ ７卷 一一
ｌ ｆ ｎ＿ ｉ ｉ ， ｍ ｎ ｍｉ
Ⅱ Ｏ 十 ｔ Ｉ Ｅ
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种不 同的 四阶边值 问题 ［ ． 文研 究 四 阶常微分 方程 周期 边值 问题 （ Ｂ ） １本 ］ Ｐ ＶＰ ：
Runge-Kutta法求解方程
3. Runge-Kutta法求解方程3.1 题目用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y’=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1、0.2。
注：此方程的精确解为：y=e-20x3.2 方法介绍通过用一些点上函数值f(x ,y)的适当线性组合，来替代Euler法中的f(x k ,y k)，从而使方法的阶数更高，这就是Runge-Kutta法的基本思想。
在本次上机实习中采用的是标准4阶Runge-Kutta法，其计算形式如下：y k+1=y k+16[k1+2k2+2k3+k4]k1=hf(x k,y k)k2=hf(x k+h2,y k+k12)k3=hf(x k+h2,y k+k22)k4=hf(x k+h,y k+k3)3.3 计算结果及分析利用FORTRAN语言编写程序program R_K（附录4），计算结果如下。
表2 不同步长计算结果对比从上面结果中可以看出取步长h=0.1时候结果可以很好的收敛，与准确解之间的误差也越来越小，但是取h=0.2时候结果就发生了发散。
说明该方法对步长的选择比较敏感。
3.4 本题小结本题说明了采用Runge-Kutta法时候一定要选取合适的步长，否则可能造成结果很大的差异。
所以我们在采用Runge-Kutta法解题的时候一定要注意情况而选择不同的步长，甚至要试用多个步长。
4. 总结总的来说，通过完成本作业报告，我收获颇丰。
1）通过这次上机实习我知道了数值分析在计算中的重要性，我从实践的角度更为深入地掌握了拉格朗日插值法、分段低次插值法、SOR法、Runge-Kutta 法等数值方法。
刚开始对这些问题还不是很了解，结果在编程中让我渐渐的明白了这些方法的计算步骤，对这些方法有了更深入的了解。
2）让我对MATLAB和FORTRAN这两门语言有了更深入的理解。
在学习过程中本专业很多计算方法要利用数值分析。
所以我们勤加练习，在其中也发现了很多问题。
带积分边界条件的四阶边值问题正解存在性
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亚
（ 兰州理 工大学 理学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ５ ０ ）
摘 要 ： 考虑 带积 分 边界 条件 的 四阶边 值 问题 ：
ｆ ¨ （ ￡ ）一 ｆ（ ｔ ， “ （ ￡ ） ） ， ｔ∈ （ Ｏ， １ ） ｌ ｒ １
Ｊ “ （ ０ ） 一０ ， （ １ ） 一Ｉ ｇ （ ｓ ） “ （ ｓ ） ｄ ｓ
Ｙ Ａ Ｎ Ｐｉ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ，Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ ７ ３ ０ ０ ５ ０，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
的存 在 性．
关键 词 ： 积 分 边界 条件 ； 四阶边值 问题 ； 正解 ； 存在 性 ； 迭代 法
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ５ 文献 标志 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ４ — ０ ３ ６ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ０ ９ — ０ ４
阶边值 问题 可参 考 文献 ［ ８ — １ １ ］ ．
受 以上 文献 的启 发 ， 运用 单 调迭代 法 考虑 下述 带积 分边 界条 件 的 四阶边值 问题
四阶常微分方程__概述说明以及解释
四阶常微分方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在自然科学和工程技术领域中，常微分方程一直扮演着重要的角色。
而四阶常微分方程作为其中的一个特殊类型，在许多实际问题的建模与求解过程中也具有广泛应用。
本文旨在对四阶常微分方程进行概述、说明其定义与特点，并介绍其在重要的应用领域中所起到的作用。
1.2 文章结构为了全面理解和深入探究四阶常微分方程，本文将按照以下结构展开叙述：引言部分首先对文章的主要内容进行了简单概括，并提出了本文撰写的目的。
接下来，我们将在第二部分对四阶常微分方程进行概述，包括其定义、特点以及重要应用领域。
第三部分将详细介绍解析方法与技巧，包括分离变量法、特征方程法和傅里叶级数解法等，这些方法被广泛应用于求解四阶常微分方程。
然后，在第四部分我们将探讨数值解法与计算机模拟，主要包括欧拉方法及其改进算法、迭代法与龙格-库塔方法以及使用Matlab进行四阶常微分方程模拟研究的实际操作。
最后，在第五部分我们将总结所讨论的主要内容，并对四阶常微分方程研究的意义和前景展望进行探讨。
1.3 目的本文旨在全面介绍和说明四阶常微分方程的概念、性质及其解析方法与技巧。
通过详细讲解数值解法与计算机模拟，我们希望读者能够深入理解并灵活运用这些方法来求解实际问题中涉及到的四阶常微分方程。
最后，通过总结与展望，我们将以一个更广阔的视角来认识四阶常微分方程所具有的重要性和未来发展方向。
2. 四阶常微分方程概述：2.1 常微分方程简介常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个科学领域。
它描述了未知函数与其导数之间的关系，并通过求解方程得到函数的解析或数值解。
常微分方程可以根据阶数进行分类，其中四阶常微分方程是其中一类比较复杂的方程。
2.2 四阶常微分方程定义与特点四阶常微分方程是指含有四个未知函数导数的常微分方程，形式可以表示为：\[ F(x, y, y', y'', y''') = 0 \]其中\(y\) 是自变量\(x\) 的函数，\(y'\)、\(y''\) 和\(y'''\) 分别表示\(y\) 关于\(x\) 的一阶、二阶和三阶导数。
【国家自然科学基金】_单调迭代技巧_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 混合算子 极大单调算子 拟线性化 单调迭代 凹的 仿射算子 上下解 一致凸banach空间 reich不等式 p-laplacian方程 lyapunov泛函 leray-schauder度
科研热词 非局部边值问题 锥理论 边值问题 混合单调算子 正解 概周期 存在性 单调迭代法 单调迭代技巧 单调迭代 单调算子 半序空间 不动点 上下解方法 p-laplacian方程 k-集压缩映射
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
2011年 科研热词 推荐指数 不动点 4 混合单调算子 3 预解算子技巧 2 正解 2 正线性算子 2 多点边值问题 2 高阶收敛 1 非紧性测度 1 集值控制微分方程 1 锥与半序 1 锥 1 迭代算法 1 迭代正解 1 迭代方法 1 边值问题 1 脉冲奇异微分方程 1 脉冲动力方程 1 积分边值问题 1 积-微分方程 1 概周期解 1 松弛单调 1 时标 1 拟线性化方法 1 强单调 1 广义拟线性化方法 1 广义伪压缩 1 平方收敛 1 完全广义集值强非线性混合隐拟变分包含 1 周期边值问题 1 变分包含 1 单调迭代技巧 1 上下解 1 p-拉普拉斯算子 1 p-laplacian算子 1 m(o)nch不动点定理 1 h-单调算子 1 a-单调 1
四阶runge库塔法例题
四阶runge库塔法例题四阶Runge-Kutta法（也称为RK4法）是一种常用的数值积分方法，用于求解常微分方程的初值问题。
下面我将以一个例题来说明如何使用四阶Runge-Kutta法。
假设我们要求解如下的常微分方程初值问题：dy/dx = x^2 + y^2。
y(0) = 1。
首先，我们需要将该常微分方程转化为一阶形式。
令u = y，则dy/dx = du/dx。
将原方程代入可得：du/dx = x^2 + u^2。
u(0) = 1。
接下来，我们可以按照以下步骤使用四阶Runge-Kutta法进行数值求解：步骤1，确定积分步长h和积分区间。
假设我们要在区间[0, 1]上求解，可以选择一个适当的步长h，比如h = 0.1。
步骤2，初始化。
令x = 0，u = 1。
步骤3，根据四阶Runge-Kutta法的迭代公式进行迭代计算。
首先计算k1：k1 = h (x^2 + u^2)。
然后计算k2：k2 = h ((x + h/2)^2 + (u + k1/2)^2)。
接着计算k3：k3 = h ((x + h/2)^2 + (u + k2/2)^2)。
最后计算k4：k4 = h ((x + h)^2 + (u + k3)^2)。
步骤4，更新u和x的值。
u = u + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6。
x = x + h.步骤5，重复步骤3和步骤4，直到x达到积分区间的上限。
通过以上步骤的迭代计算，我们可以得到在给定积分区间上的数值解。
需要注意的是，四阶Runge-Kutta法是一种较为精确的数值积分方法，但在某些特殊情况下可能会出现数值误差累积的问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值积分方法。
希望以上回答能够满足你的要求。
如果还有其他问题，请随时提问。
四阶龙格库塔法原理
四阶龙格库塔法原理四阶龙格库塔法是一种常用的数值解微分方程的方法，它是龙格-库塔法的一种改进版本。
在数值计算中，我们经常会遇到微分方程，而微分方程的解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法来近似求解。
四阶龙格库塔法作为一种高阶精度的数值方法，被广泛应用于科学计算和工程领域。
四阶龙格库塔法的原理基于泰勒级数展开，通过不断迭代来逼近微分方程的解。
其基本思想是将微分方程中的导数用差分来代替，然后通过一系列计算步骤来逼近真实解。
这种方法的优点在于可以通过控制步长来控制误差，同时具有较高的数值稳定性和精度。
具体来说，四阶龙格库塔法的计算步骤如下：1. 根据微分方程，确定初始条件和求解区间。
2. 将求解区间等分为若干小步长，确定每一步长上的近似解。
3. 利用龙格-库塔法的迭代公式，依次计算每个步长上的近似解。
4. 将每个步长上的近似解进行加权平均，得到整个求解区间上的近似解。
四阶龙格库塔法通过多步迭代和加权平均的方式，能够显著提高数值解的精度和稳定性。
相比于低阶龙格-库塔法，四阶龙格库塔法在保持计算效率的同时，能够显著减小误差，更加准确地逼近微分方程的解。
在实际应用中，四阶龙格库塔法常常用于求解常微分方程和偏微分方程，特别是对于一些复杂的非线性方程，其数值稳定性和精度优势更加明显。
此外，四阶龙格库塔法也被广泛应用于模拟仿真、控制系统、物理建模等领域，为工程技术和科学研究提供了重要的数值计算手段。
总的来说，四阶龙格库塔法作为一种高阶精度的数值方法，具有较高的数值稳定性和精度，能够有效地解决复杂微分方程的数值求解问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点和求解精度的要求，选择合适的数值方法进行求解，而四阶龙格库塔法无疑是一个重要的选择之一。
Banach空间四阶边值问题的拟上下解方法
径ｒ （ ）＝ ．其 中 Ｇ ｔ ）为纯量二阶边值 问题 （， ｓ
① 收稿 日期 ：０ ０—０ ２ ２１ ９— ０
Hale Waihona Puke 作者简介： 孔冠桥（ ９４一） 男 ， １８ ， 甘肃兰州人 ， 兰州市第三十二中学教师 ， 中教二级． 主要研究方向为非线性泛函分析
第 ６期
孔 冠桥 ： ａ ａｈ空 间四阶边值 问题 的拟上 下解 方法 Ｂ ｎｃ
第２ ８卷 第 ６期
２１ 年 １ 月 ００ １
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ａ ｕｉ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆ ｉｍ ｓ Ｕ ｉ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｎ Ｊ ｅｉ ｕ ｅ ｉ
Ｖ０． ８ Ｎｏ ６ １２ ．
９３ ５
（ １ 对 Ｖｕ，２ ， ，ｏ ， ｕ ≤ Ｍ， Ｈ） １Ｍ ，１ ２Ｅ［０ｗ ］ 当 １ ２
１≥ 时 ， ２ 有
＋ （ Ｊ （ｒ （， （ｈｈ ｄ７ ｔ ｛ ０ ￡） Ｔ）ｓ２ ｓ 上 ，Ｃ ｓ ，，）ｄＩ Ｇ ｆ
∈Ｂ ｛ ｝ ｈ ２ｕ ｛ ｝ ） １ｕ ０ ，２Ｅ Ｂ ０ ｝
解的存在性．
文献 ［ ］ １ 通过构造 一拟上 下解对 的单 调迭代
过程， 在序条件下 获得 了一 阶常微 分方程 ＝ ｔ ，
，
（ （） ； Ｂ ）
“ ）的初 值问题及 边 值 问题 解 的存在 性． 文 在 本
２ｃＪ（ｄ ∈ ｝≤０Ｂ ）ｓ ） ｛ ｓｓ Ｂ ｆ（ｓｄ ０ ｃ ） （ Ｉ ） ＂ （） ｎ ．
存在 唯一解
，
则称 Ｗ ， 为边值 问题 （ ）的一个 拟 上下解 对． 。 １ 若
四阶龙格库塔法原理
四阶龙格库塔法原理
四阶龙格库塔法是一种常见的数值计算方法，用于求解常微分方程的初值问题。
该方法通过逐步逼近准确解来得到数值解。
在四阶龙格库塔法中，我们将求解区间 [a, b] 平均分成 n 个子
区间，每个子区间的长度为 h = (b - a) / n，其中 a 是初始点，b 是终点。
首先，我们需要给出初始条件 y(a)，即方程在 a 点的值。
然后，我们利用以下公式依次计算 y(a + kh) 的近似值，其中 k 为当
前步数（从 0 开始）：
\[
\begin{align*}
k_1 &= hf(a, y(a)) \\
k_2 &= hf(a + \frac{h}{2}, y(a) + \frac{k_1}{2}) \\
k_3 &= hf(a + \frac{h}{2}, y(a) + \frac{k_2}{2}) \\
k_4 &= hf(a + h, y(a) + k_3) \\
y(a + kh) &= y(a) + \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}
\end{align*}
\]
其中，f(a, y(a)) 为方程的右端函数，描述了方程随时间的变化
规律。
在每一步中，我们利用当前步数的近似值 k1 到 k4 来计算下一步的近似值。
最后，通过不断迭代计算，直到达到指定的终点b，我们可以得到方程的数值解。
四阶龙格库塔法的主要原理是通过将步长 h 下的误差控制在O(h^5) 的级别，从而在保证计算效率的同时，提高数值解的精度。
该方法具有较好的稳定性和精确性，常被应用于各种科学计算和工程问题的数值求解中。
ode45求解多元高阶微分方程组
ode45求解多元高阶微分方程组ODE45求解多元高阶微分方程组的文章随着人们对复杂现象的研究、深入探讨，高阶微分方程组的求解变得越来越重要。
ODE45是一种使用步长控制的方法，用于求解高阶微分方程组。
本文将介绍ODE45的一些基础知识、其求解微分方程组的过程以及应用。
一、ODE45的基本概念ODE45是一种常用的求解常微分方程数值解的算法。
它的名称来源于Matlab里面的函数名ode45，其中ode代表ordinary differential equation，45则表示算法采用了五阶精度和四阶精度两种情况来控制步长。
ODE45方法是一种单步迭代法，即每一步的求解只依赖于上一步的求解值。
它的核心思想是通过计算Taylor展开式中的前若干项来逼近真实解，并通过逐步调整步长使逼近的误差保持在允许的范围内。
ODE45具有精度高、计算速度较快等特点。
二、ODE45的求解微分方程组过程对于一个高阶微分方程组，ODE45方法将其转化为一个一阶微分方程组的形式:$$y^{'}(t)=f(t,y(t))$$其中，y(t)表示未知函数，y'(t)表示其一阶导数，f(t,y(t))表示已知函数。
对于一个n阶微分方程组，可以通过以下步骤转化为一阶微分方程组：1、令y1(t)=y(t)，y2(t)=y’(t)，···，yn(t)=y(n)(t)，其中y’(t)，y’’(t)分别表示y(t)的一阶和二阶导数，y(n)(t)表示y(t)的n阶导数。
2、将原微分方程组转换成一个n个未知函数的一阶微分方程组：$$y_1^{'}(t)=y_2(t)\\y_2^{'}(t)=y_3(t)\\\vdots\\y_{n-1}^{'}(t)=y_{n}(t)\\y_{n}^{'}(t)=f(t,y_1(t),y_2(t),...,y_{n}(t))$$以上将直接使用ODE45求解n元一阶微分方程组，一步步递推下去，直到求解出原微分方程组y(t)。
fejer单调算子迭代算法
fejer单调算子迭代算法
费马-雅可比迭代算法（Fejér单调算子迭代算法）是一种用
于求解线性方程组的迭代算法。
它是雅可比迭代算法的一个变种，
通常用于对称正定矩阵的线性方程组求解。
该算法的基本思想是利用迭代矩阵的特性，通过不断迭代来逼
近线性方程组的解。
具体而言，费马-雅可比迭代算法使用了费马分
解和雅可比迭代的思想，通过构造一个单调算子序列来逼近线性方
程组的解。
在每一次迭代中，算法会根据当前的近似解来构造一个单调算子，然后利用这个单调算子来更新当前的近似解。
通过不断地迭代，算法希望逐渐逼近线性方程组的精确解。
费马-雅可比迭代算法的收敛性取决于线性方程组的系数矩阵的
性质，通常要求系数矩阵是对称正定的。
在这种情况下，算法通常
能够收敛到线性方程组的解，尤其是对于高维稀疏矩阵求解时具有
一定的优势。
总的来说，费马-雅可比迭代算法是一种经典的迭代算法，它在
求解线性方程组时具有一定的优势，尤其是对于对称正定矩阵的求解。
然而，对于一般的线性方程组，可能存在收敛速度慢、收敛性不稳定等问题，因此在实际应用中需要谨慎选择合适的算法。
4阶symplectic method辛算法
一、介绍4阶symplectic method辛算法4阶symplectic method辛算法是一种高效的数值计算方法，用于解决在动力学系统中出现的辛方程。
它是一种基于辛结构的数值积分方法，具有能够保持系统辛结构的特点，因此在长时间积分过程中表现出良好的数值稳定性和保持能量守恒性。
二、辛算法的原理4阶symplectic method辛算法是基于辛结构的数值积分方法，其核心思想是通过特定的迭代格式来逼近原始的辛方程，从而保持系统的辛结构。
辛方程是描述动力学系统中物理量随时间演化的方程，具有重要的物理意义和应用价值。
三、辛算法的优势与传统的数值积分方法相比，4阶symplectic method辛算法具有以下优势：1. 保持系统的辛结构，能够有效地保持系统能量守恒性；2. 显著提高了长时间积分的数值稳定性；3. 对于一些高度非线性的系统，辛算法能够更好地保持系统的稳定性和准确性；4. 在求解带有周期性边界条件的系统时，辛算法表现出更好的性能。
四、辛算法的应用领域4阶symplectic method辛算法的应用涵盖了众多的领域，主要包括：1. 动力学系统的模拟和仿真；2. 天体力学问题的数值求解；3. 材料科学中的晶格动力学模拟；4. 等离子体物理中的数值模拟。
五、辛算法的发展现状目前，关于4阶symplectic method辛算法的研究已经取得了很大的进展。
学者们提出了许多新的辛算法，并且已经在各个领域取得了广泛的应用。
但是，辛算法仍然面临着一些挑战，如如何在非保辛系统中应用辛算法、如何提高辛算法的并行性能等方面有待进一步研究。
六、结语4阶symplectic method辛算法是一种具有重要意义的数值计算方法，它能够有效地解决动力学系统中的辛方程，并且在能量守恒性和数值稳定性方面表现出良好的性能。
随着对辛算法的进一步研究和应用，相信它将会在更多的领域发挥重要作用，为科学研究和工程应用提供有力的支持。
四阶奇异边值问题的正解
四阶奇异边值问题的正解1. 四阶奇异边值问题概述四阶奇异边值问题是一个给定四个边值的问题，要求求出一个4×4的矩阵，使得它的四条边值与给定的边值相同，其余元素均为0。
四阶奇异边值问题的正解是指能够满足给定条件的矩阵，它可以用四个边值的乘积来表示。
：2. 四阶奇异边值问题的数学表达设$a_1, a_2, a_3, a_4$为四阶奇异边值问题的边值，则四阶奇异边值问题的数学表达为：$\begin{cases}\frac{\partial^4f}{\partial x^4}=0, & x\in(0,1) \\f(0)=a_1, & f'(0)=a_2, \\f(1)=a_3, & f'(1)=a_4\end{cases}$3. 四阶奇异边值问题的求解方法一般来说，四阶奇异边值问题可以通过四种不同的求解方法来解决：1. 拉格朗日法：通过拉格朗日法，可以构建一个最优化函数，并通过求解函数的极值点来求解四阶奇异边值问题。
2. 拟牛顿法：拟牛顿法是一种迭代法，可以通过不断迭代来求解四阶奇异边值问题。
3. 共轭梯度法：共轭梯度法是一种梯度下降法，它可以通过不断迭代来求解四阶奇异边值问题。
4. 半正定矩阵法：半正定矩阵法是一种矩阵法，可以通过求解矩阵的特征值来求解四阶奇异边值问题。
4. 四阶奇异边值问题的应用四阶奇异边值问题的应用主要在于解决有关矩阵的问题，其中包括求解线性方程组、求解最小二乘问题、求解最优化问题等。
此外，它还可以用于拟合曲线，求解矩阵的迹、行列式、特征值和特征向量等。
此外，它还可以用于解决线性规划、组合优化、概率论和统计学等问题。
5. 四阶奇异边值问题的未来研究方向：未来可能会有更多的研究针对四阶奇异边值问题，比如探索现有的解法是否可以扩展到更高阶的问题；研究如何构建更复杂的四阶奇异边值问题；研究如何设计更有效的解法；研究如何利用四阶奇异边值问题的解法解决更复杂的问题；研究如何将四阶奇异边值问题的解法应用到实际的工程问题中等。
四阶龙格库塔法例题
四阶龙格库塔法例题四阶龙格库塔法是一个常见的求解常微分方程（ODE）的数值方法。
它具有高精度和稳定性的特点，常被应用于物理、化学、生物等领域中的ODE求解问题。
下面我们来看一个四阶龙格库塔法的例题。
首先，我们需要了解ODE的定义和求解过程。
ODE是描述自变量和它的某个函数之间关系的一个方程，其中自变量通常是时间。
求解ODE通常通过数值方法，将连续的函数曲线离散化成若干个点，然后计算它们之间的差值和斜率，最终得到一条近似的曲线。
四阶龙格库塔法是一种基于差积公式的ODE求解数值方法，通过多次迭代得到数值解的近似值。
接下来，我们看一个例子：已知ODE y' = y + x，初始值 y0=0，则求y(0.1)的近似数值解。
我们可以将其转化为差分方程：y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6,其中h=0.1，k1=f(i,y(i)),k2=f(i+h/2,y(i)+k1*h/2), k3=f(i+h/2,y(i)+k2*h/2),k4=f(i+h,y(i)+k3*h)，其中f(i,y(i))为ODE的右侧，即y(i)+x，代入计算得到：k1=0+0=0，k2=0.055，k3=0.057，k4=0.116，因此y(0.1)=0+0.05*(0+2*0.055+2*0.057+0.116)/6=0.0058。
以上就是四阶龙格库塔法例题的具体过程。
需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据ODE的具体情况确定差分方程的形式以及步长h的大小，以保证求解的精度和稳定性。
此外，还需要注意初始值和边界条件的设定，以避免数值误差的累积和算法发散等问题的出现。
总之，四阶龙格库塔法是数值计算中基本的数值方法之一，具有广泛的应用和重要的意义。
掌握其基本理论和具体运用，可以帮助我们更好地解决现实生活和科学研究中的相关问题。
ode45 数值算法
ode45 数值算法【原创实用版】目录1.ODE45 算法介绍2.ODE45 算法的原理3.ODE45 算法的优缺点4.ODE45 算法的应用案例5.ODE45 算法的局限性正文一、ODE45 算法介绍ODE45 算法是一种求解常微分方程（ODE）的数值算法，该算法是一种四阶龙格库塔方法，主要用于解决初值问题。
ODE45 算法因其较高的精度和稳定性在科学计算和工程应用中得到了广泛的应用。
二、ODE45 算法的原理ODE45 算法是基于四阶龙格库塔方法的一种改进算法，其基本思想是将微分方程的解在每个步长内分为四段，通过四次评估函数值和导数值，最后求和得到该步长的解。
这种方法可以有效地减少累积误差，提高数值解的精度。
具体来说，ODE45 算法的步骤如下：1.设置初始值和步长。
2.计算函数值和导数值。
3.根据四阶龙格库塔公式，计算当前步长的解。
4.更新变量值。
5.判断是否达到终止条件，若否，则返回步骤 2；若是，则结束计算。
三、ODE45 算法的优缺点ODE45 算法的优点主要体现在以下几个方面：1.高精度：ODE45 算法是一种四阶方法，具有较高的数值精度。
2.高稳定性：该算法对初始值和步长的选择不敏感，因此在实际应用中具有较好的稳定性。
3.易于实现：相较于其他高阶数值算法，ODE45 算法的实现较为简单。
然而，ODE45 算法也存在一定的局限性：1.计算复杂度较高：ODE45 算法需要计算四次函数值和导数值，因此在计算量较大时，计算复杂度较高。
2.对非线性方程的处理能力较弱：对于含有非线性项的微分方程，ODE45 算法的性能可能会受到影响。
四、ODE45 算法的应用案例ODE45 算法在许多科学计算和工程应用中都有广泛的应用，例如：1.天气预报模型：在气象学中，常需要求解描述大气运动的微分方程，ODE45 算法可以用于数值模拟天气变化。
2.飞行器轨道计算：在航空航天领域，需要对飞行器的轨道进行精确计算，ODE45 算法可以用于求解相关的微分方程。
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本文对一 般 的 四阶周期 边值 问题 （ ． １ １， ）在对厂ｔｕ 的增长阶不作任何限制的情 （，） 形下， 建立 了上下解 的单调 迭代 方法． 在本 文 中我们假设厂为 Ｃ ｒ ｈｏｏ 函数 ， ａ ｔ ｄｒ ａ６ ｙ 即 定义 １ １ 若 ［ ，］ Ｒ ． ０ １ × —Ｒ满足下
●
西北师范大学 数学与信 息科学学 院， 甘肃 兰州 ７ ０７ ３０ ０
Ｉ“（ ） ｕ ’１ ， ｕ ’０ ＝ “（ ）
０ １２３ ，，，
解的 存在性 ， 所得 的结 果推广 了 Ｃ ｂｄ ａａａ的相 关工作． 关键词 ：四阶周期 边值 问题 ； 解 ； 上 下解 ； 单调 迭代 方法 中图分 类号 ：０ １５ ８ ７．
ｕ
‘ ０ ≥ｕ １ ｝ （ ） ‘ ） 中建立了新 的极大值原 （
作者简介 ： 郭长辉 （９ １ ， ，』 １８ 一） 男 ｝ 肃庆阳人 ， 在读硕士研究生． 主要研究方 向为非线性泛 函分析
Ｅ— ｉ： ｕｏ ｈ ｎ ｈ ｉ９１ ＠ １ ３． Ｏｌ ｍａｌ ｇ ｅ ａ ｇ ｕ７ ３ ６ Ｃ ｌ ｌ
列条件 ： （） Ｖ １ 对 ＥＲ ｔ／ 关 于 ｔ ，） ， ｔ 可测 ；
Ｃｒｈｏｏ 函数． ａ ｔ ｄｒ ａ６ ｙ 周期边界问题 （ ． ） １ １ 描述 了在周期边值条件下处于平衡态的静态弹性
梁的形变． 由于其 重要其 特殊情 形 作过 研 究 ， 文 ［ ］～ 见 １ ［］ ２． 在文 ［ ，］ Ｃｂｄ １２ 中 ａａａ与 Ｌｉ在周期边 ｏ ｓ 值条件下对 四阶微分算子 Ｌ １ １ ’ Ｏ， ， ， ＋ｌ ＝１ ¨ Ｕ 获得 了极大值 原 理 ， 明 了上下 解 的单调 迭 证
代方 法对周期 边值 问题
ｆ ｔｕ ￡ ）ｏ ≤ｌ （ ，（） ， ≤ｔ ， ¨ ， 、
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题 （． ） １１ 的正解 的存 在性 ．
考虑 四阶周期 边 值 问题
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则对 Ｖ ∈ ， ， ｈ Ｌ（）线性周期边值 问题
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则分别以 ｚ ＝ Ｗ为初始项， 。 ， 。 用线性周期迭
代方程
ｒ （）一 ｕ ￡ ａ ￡ ， ￡ 一（） ， ≤￡ ， “ ￡ 卢 （）＋ “ （）＝ （， ｌｔ ）０ ≤１
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ｌ“（） １ ， ｉ ， ０ ＝ “（ ＝ ） ０１２３ ，，
存在 唯一解 【：Ｔ ｈ∈ ’ ， ， ｚ ４ ’ ） 且 ： （ ） （ ，
＋ｌ＞０．
期边值问题 （． ） １ １ 的上解．
本文 的主 要结果 为 ：
引理 ２ １ 设 ， ∈Ｒ 为 常 数 ， 足 ． 满
定理 ３ １ 设 ， ∈Ｒ满足假设 （ １． ． 日） 若四阶周期边值问题 （ ． ） １ １ 存在下解 及上 解 Ｗ． ≤ Ｉ× Ｒ— Ｒ 在 与 Ｗ之 间满 足
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６ ６
数学教学研究
２０ 年第 ｌ期 ０８
（，＜＜ Ｈ。 （ １ 譬
＋
７ ｒ ７ｒ‘
＞２＇ －ｒ ｑ ２
则称其为 四阶周期边值问题 （ ． ） １ １ 的下解 ； 若（． ） ３ １ 中的不等式均取反向， 则称其为周
ｉ ｔ／ ｌ （） ．． ０ １ ，１３ ｆ ，） ≤ ｔ ，Ｑｅｔ （ ， ｔ Ｅ［ ，］ （ ． ） 则称其 为 Ｃｒｔ６ｄｒ ａａ ｏｏｙ函数 ． ｈ
２ 预 备知识
Ｉ㈤ ｏ：㈣ １， ｉ０１ ， “ （） Ⅱ （） ： ，２ ，３
的有效性 及解 的存在 性．
为了用单调迭代方法讨论问题 （． ） １ １ 解
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２０ ０ ８年第 １ 期
数学教学研究
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四阶周期边值问题解的单调迭代方法
郭 长辉
（ 永祥推荐 ） 李 摘 要 ：本 文用上 下解 单调迭代 方 法讨论 了四阶 常微 分 方程周期 边值 问题
ｆ ‘ 一３” ｔ ｕ ｔ ｔｕ ｔ ） ０ ≤１ ｕ ’ ｕ （）＋ （ ）＝ ， （） ， ≤ｔ ，
假设 （ ）对 ａｅｔ ， 口 ≤ 时有 ： ．． ∈，当 ≤ ≤
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（ ） 若 Ｍ∈ Ｊ（ ） Ｍ ｔ ｆ ！ ｔ 刖 ． ， ， ¨ （ ） ｌ ＇ ）＋ ｕ（
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的存在性 ， 先做 一些准 备工作． 以下记 ， ： ［ ，］ ０ １ 为单位区间 ， ０ ／Ｅ 设 ／３ ， Ｒ为常数 ， 满足 假设
文［ ］ ３ 在周期边界条件下对四阶微分子 算子 Ｌｕ＝ｕ ’ ｔ ４ ‘ （）一３”ｔ ｕ ｔ在 Ｆ ＝ ｕ（）＋ （） ４ ｛ ∈ ０ １ Ｉ‘（ ）＝ ‘ １ ，＝ ， ，， ｃ ［ ，］ ｕ ０ ｕ （ ） ０ １２