方程的加速迭代法

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：方程的加速迭代方法

一、算法理论

Aitken 加速迭代算法基本原理：

对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。

设0x 是跟*x 的某个预测值，只迭代公式校正一次)(01x f x =,而由微分中值定理有：)x (x (t)f x x **-⨯'=-01（其中t 介于*x 与0x 之间）

。 假定()x f '改变不大，近似的取某个近似值L ，则由)(*0*1x x L x x -⨯≈-得到

L

x L L x x -⨯-

-=

1101

*,可以期望按上式右端求得

()L

x x L x L L x L x x --⨯+

=-⨯--=

11101101

2是比1x 更好的近似值，将每得到一次改进值算做一步，并用k

x '和k x 分别表示第K 步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案可表述如下：

校正：1+'k

x ()k x f = 改进：=+1k x ()L

x x L x k k

k

--'⨯+'++111

然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数()x f '的有关信息L ，实际使用不便。

仍设已知*x 的某个猜测值为0x ，将校正值()01x f x =,再校正一次，又得

()12x f x =。由于≈-*2x x ()*1L x x -⨯将它与式

=

*x L

x L L x -⨯-

-1101

联立，消去未知L ，然后有 =*x ()2

102

1222x x x x x x +⨯---

这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的

信息，但是它需要用2次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：

校正：()k k

x f x ='+1 再校正：()11++'=''k k

x f x 改进：()k k k

k k k k x x x x x x x +'⨯-'''-''-''=++++++112

11112

上述处理过程称为Aitken 方法。如下用2个题说明：

例题（1）用Aitken 加速迭代算法通过编程计算013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求精度达到0001.0。例题（2）用Aitken 加速迭代算法通过编程计算023=--x x 在[1，2]内的近似根，要求精度达到001.0。

二、算法框图

否

三、算法程序

（1）题程序：

#include

#include

double s(double t)

{

return (t*t*t-1);

}

using namespace std;

int main()

{

int i;

double x,x0,x1,x2,e;

cout<<"请输入迭代初始值x0"<<",和控制精度e"<>x0>>e;

i=0;

while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)>e)

{

i++;

x1=s(x0);

x2=s(x1);

x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); }

x=x0;

cout<<"近似根x="<

cout<<"所需迭代次数i="<

return 0;

}

（2）题程序：

#include

#include

double s(double t)

{

return (t*t*t-2);

}

using namespace std;

int main()

{

int i;

double x,x0,x1,x2,e;

cout<<"请输入迭代初始值x0"<<",和控制精度e"<>x0>>e;

i=0;

while(fabs(x0*x0*x0-x0-2)>e)

{

i++;

x1=s(x0);

x2=s(x1);

x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow((x1+1),1.0/3.0)); }

x=x0;

cout<<"近似根x="<

cout<<"所需迭代次数i="<

return 0;

}

四、算法实现

例1. 用Aitken 加速迭代算法通过编程计算013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求精度达到0001.0。 解：运行程序

（1）输入0x 的初始值是1.5以及精度值0.0001.然后按回车。 （2）得到结果近似根=x 1.32472，所需迭代次数为5次。 当精度达到0.0001时，程序运行结果如下图：

Aitken 迭代法是将迭代值在迭代一次，此时对于发散的1-3

1k

k x x =+迭代公式，经过Aitken 迭代法处理后却获得了相当好的收敛性。

例2. 用Aitken 加速迭代算法通过编程计算023=--x x 在[1,2]内的近似根，要求精度达到0.1。 解：运行程序

（1）首先输入0x 的初始值是2，以及精度值0.1按回车。