数值分析7-3(迭代法的加速)

P(x1, x2)
ˆ x0, x3 = g( x2 ), ˆ x1 , x4 = g( x3 ), ... ...
P(x0, x1)
ˆ {xK }比{xK }收敛
x
x1
x*
得略快。 得略快。
x2
ˆ x
( x1 − x0 )2 ˆ x = x0 − x0 − 2x1 + x2
x0
三、Steffensen加速法 加速法
的某个预测值， 设 xk 是根 x* 的某个预测值，用迭代公 式校正一次得： 式校正一次得：
yk = g( xk )
在所考虑范围内改变不大， 假设 g′(x) 在所考虑范围内改变不大， 其估计值为L 其估计值为L，则有
yk − x = g( xk ) − g( x )
∗
∗
yk − x = g( xk ) − g( x ) ≈ L( xk − x )
求K，使得 ，
| ϕ′( x) | = | 1− K + Kg′( x) | < 1
f ( 源自文库) = x3 − 3x + 1 = 0 在 (1, 2) 的实根。 的实根。 例：求
如果用 中有
1 3 x = ( x + 1) = g( x)进行迭代，则在 进行迭代，则在(1, 3
2)
| g′( x) | = | x2 | > 1
7.3 迭代法的加速
/* accelerating convergence */
一、待定参数法 二、Aitken加速法 加速法 三、Steffensen加速法 加速法
一、待定参数法
若 | g’(x) | ≥ 1，则将 x = g(x) 等价地改造为 ，
x = x − Kx + Kg( x) = (1 − K)x + Kg( x) = ϕ( x)
x −1
列。
二、Aitken加速法 加速法
的某个预测值， 设 xk 是根 x* 的某个预测值，用迭代公 式校正一次得： 式校正一次得： 在所考虑范围内改变不大， 假设 g′(x) 在所考虑范围内改变不大， 其估计值为L 其估计值为L，则有
xk+1 = g( xk )
xk+1 − x = g( xk ) − g( x )
将
∗
∗
∗
yk
zk = g( yk )
∗
∗
再校正一次， 再校正一次，
zk − x
相 除
∗
∗
≈ L( yk − x )
yk − x xk − x ≈ ∗ ∗ zk − x yk − x
所以
xk yk − (zk )2 ( yk − xk )2 x∗ ≈ = xk − zk − 2 yk + xk zk − 2 yk + xk
x
K 3 现令 ϕ( x) = (1− K)x + Kg( x) = (1− K)x + ( x + 1) 3 −2 2 < K <0 希望 | ϕ′( x) | = | 1− K + Kx | < 1 ，即 2
2 例如K 在 (1, 2) 上可取任意 − < K < 0 ，例如 = 3 −0.5，则对应 x = 3 x − 1 ( x3 + 1) 即产生收敛序 2 6
∗
∗
xk+1 − x = g( xk ) − g( x ) ≈ L( xk − x )
将
∗
∗
∗
xk+1再校正一次， 再校正一次，
xk+2 = g( xk+1 )
∗
∗
xk+2 − x ≈ L( xk+1 − x∗ )
xk+1 − x xk − x ≈ ∗ ∗ xk+2 − x xk+1 − x
∗
相 除
具体的计算公式为： 具体的计算公式为： 迭代 迭代 改进
yk = g( xk )
zk = g( yk )
( yk − xk ) xk+1 = xk − zk − 2 yk + xk
2
这就是Steffensen加速法
Steffensen 加速： 加速：
x0 , x1 = g( x0 ), x2 = g( x1 ), ˆ ˆ x0 , x1 = g( x0 ), x2 = g( x1 ), ˆ ˆ x , ... ...
0
注
用Steffensen方法加速有个有趣的 现象：能使发散的迭代公式收敛！ 现象：能使发散的迭代公式收敛！
下面用图形说明这一作用
y
y=x
~ x1 = g( x0 )
~ x1 = g( x1 )
~ ( x1 − x0 )2 x1 = x0 − ~ x1 − 2x1 + x0
y = g(x) o
~ x1 x* x1 x0 x1
xk xk+1 − ( xk+2 )2 ( xk+1 − xk )2 所以 x∗ ≈ = xk − xk+2 − 2xk+1 + xk xk+2 − 2xk+1 + xk
Aitken 加速： 加速：
y y = g(x) y=x
一般地， 一般地，有：
( xK +1 − xK )2 ˆ xK = xK − xK − 2xK +1 + xK +2 x0 , x1 = g( x0 ), x2 = g( x1 ),