迭代加速技术

四川理工学院《数值计算方法》课程设计

题目迭代加速技术

专业数学与应用数学

班级2013级1班

姓名高尚牟庆张玉玲

一、摘要 (2)

二、应用计算方法的基本原理 (3)

2.1.Aitken加速法 (3)

2.1.1算法描述 (3)

2.2.Steffensen迭代法 (3)

2.2.1算法描述 (3)

三、例题的计算及结果 (4)

3.1.Aitken加速法迭代法在水力计算中的应用 (4)

3.1.1收缩水深的计算 (4)

3.2用Steffensen迭代法计算方程的近似解 (5)

3.2.1用Steffensen迭代法计算31

=-在0 1.5

x x

x=附近的近似解 (5)

四、总结及心得体会 (6)

五、参考文献 (6)

一、摘要

本设计报告主要围绕Aitken加速法和Steffensen 迭代法展开。

在生活中面对实际问题时，常常遇到非线性方程的求解问题，为此，我们常使用迭代技术求解，但一般的迭代技术不一定收敛且收敛速度慢，带来大量的计算问题，为了提高计算效益，我们采用迭代加速技术求解此类问题，迭代加速技术有Aitken加速法和Steffensen迭代法，其中Steffensen迭代法将Aitken加速技巧与不动点迭代相结合，更易于计算。

首先根据方程构造一个迭代函数，根据基本原理中两种加速迭代格式公式进

行迭代，最终得到结果。最后我们对本次课程设计进行了总结，总结了程序的优

缺点并对本次试验过程中遇到的问题及困难进行了解答，此外我们还写出了对本

次课程设计的心得体会。

二、应用计算方法的基本原理

2.1.Aitken 加速法

2.1.1算法描述

Aitken 加速法是一个很重要的加速法，他是基于简单迭代法的迭代函数构造新的迭代函数而产生的。

设{}k x 是一个线性收敛的序列，收敛于方程()x x ϕ=的根*x ，因{}k x 线性收敛于根*x ，故对充分大的k ，有

)0(*

*

1≠≈--+c c x

x x x k k （1） c x x x x k k ≈--++*

1*

2 （2）

由上面两式得

≈--+*

*1x

x x x k k *1*

2x x x x k k --++ （3） 解得

k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +---

=+--≈+++++++++122122122

1

2*

2)(2 （4） 或

k

k k k k k x x x x x x x +---

≈++++122

12*

2)( （5） 把式（4）右端的值作为新的近似值k x ~

，可望获得更好的近似结果，于是提出Aitken 加速方案。

迭代：

1()k k x x ϕ+= （6）

在迭代：

21()k k x x ϕ++= （7）

加速：

k

k k k k k k x x x x x x x +---

≈+++12212)(~ （8） 2.2.Steffensen 迭代法

2.2.1算法描述

Steffensen 迭代法主要用于改善线性收敛或不收敛迭代。现在，针对一种不动点迭代函数ϕ，其不动点为*x ，由0x 出发构建迭代公式

2

1()()()2k k k k k k k k k k k y x z y y x x x z y x ϕϕ+⎧⎪

=⎪⎪

=⎨⎪-⎪=-

-+⎪⎩

)2,1,0( =k

或干脆写成不动点形式1()k k x x +=ψ，即

[][]2

1()()2()k k k k k k k

x x x x x x x ϕϕϕϕ+-=--+ )2,1,0( =k 其中，迭代函数ψ为

[][][][][]2

2

()()()()()2()()2()x x x x x x x x x x x x x

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--ψ=-=-+-+

三、例题的计算及结果

3.1.Aitken 加速法迭代法在水力计算中的应用

3.1.1收缩水深的计算

若上游总水头m E 609.80=，单位流量s m q /333.92=，试算侧收缩水深c h 。 查阅资料知收缩水深的基本公式为：

232

02

02c c q h E h g αϕ

-+= 所以收缩水深的迭代计算公式为：

c h =

式中：0E 为上游总水头，m ；q 为单位流量，s m /2；c h 为收缩水深，m ；α为谁流动能矫正系数，0.1；ϕ为流速系数，95.0；g 为重力加速度，2/8.9s m 。

对于此问题，首先假设初值0.10=c h ，带入）（2式迭代，得82919.01=c h ，将1c h 带入）

（2再迭代得79852.02=c h ，后采用艾特金加速迭代公式对1c h 进行迭代得79180.01=c h ，再将1c h 作为初值进行第二次迭代，直到误差满足要求。

表1 直接迭代法求解c h

k

c h

0 1 0.82955 1 0.82955 0.79893 2 0.79893 0.7945 3 0.7945 0.79388 4

0.79388

0.79379