材料力学(土木类)第七章 应力状态和强度理论(1)共31页
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材料力学第7章应力状态
y
2
2 xy
m m
ax in
m
ax
2
m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax
in
x
2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
材料力学 第七章 应力状态及强度理论
2 4 x y x 2
2 x
cos 2 0
将
1 1 tg 2 2 0
2 4 x y x 2
x y
sin 2 0 tg 2 0 cos 2 0
2 4 x y x 2
2 x
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 10 30 10 30 cos 60 20 sin 60 2 2 2.32MPa
x y
2 10 30 sin 60 20 cos 60 2 1.33MPa
第七章
应力状态与强度理论
7-1 何谓应力状态 1、什么是应力状态 同一点处，不同方向斜截面上 应力也不一样， 同一点处，不同方向斜截 面上应力的集合，称为该 点的应力状态 一点处所有斜截面上的应力情况 研究应力状态：
cos2
sin 2
1 2
最大、最小正应力、切应力
主应力采用符号：
1 , 2 , 3
并且规定
1 2 3
5、按主应力分类应力状态 （1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零 .
（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零
7-2 平面应力状态
有一对面没有应力（假设前、后一对面没有），将单元体用平 面图形表示
sin 2 x cos 2
二、 最大正应力和最大剪应力
1、最大正应力
令
当
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总
第七章 应力状态分析 强度理论§ 7.1 应力状态概述、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 （单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力， 即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如 A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如 B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零斜向主 拉应力垂直裂缝 斜裂缝四、应力状态分析的方法1. 解析法2. 图解法7.2 应力状态分析的解析法、解析法q图示单元体，已知应力分量x y 、xy 和yx 。
y y（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体 bef 部分的平衡。
设 ef 面的面积为 dA ， F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0根据切应力互等定理： xy yx三角函数关系：2 1 cos2 2 1 cos2cos ， sin， sin2 2sin cos22解得：x y x ycos2 xy sin2 (7-1) 2 2xyxysin 2 xy cos2(7-2)二）主应力即主平面位置并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解
解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
材料力学7—应力分析与强度理论
P A
A
A
A
A
A
A
A
A
截取单元体的原则是：三对平行平面上的应 力应该是给定的或经过分析后可以求得的，而构 件在各种基本变形时横截面上的应力分布及计算 前面已学过，故单元体的三对平行平面中通常总 有一对平行平面是构件的横截面。
四、应力的标注及正负： 普遍状态下，描述一点处的应 力状态需要九个应力分量。即：
3
1
E
2 1
0.3 (22.3 44.3) 106 210109 34.3 106
1 2 3 1 44.3MPa
2 0
3 20.3MPa
例7 9 一边长a 200mm的正方形混凝土块，无空隙 地放在刚性凹座里。受压力P 300kN作用，不记摩擦，求 混凝土各边的应力。泊松比 1 6。
P
z
解：确定坐标
y
P P z 2 7.5MPa A a
E E E 1 x y z E
三.主应力 --- 主应变关系 2 1 3
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 2 1 E
规定：、 与截面外法线同向为正； 、τ绕研究对象顺时针转动为正； 、 由x逆时针转向截面外法线为 正。
图1
dA
dA cos a
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
n
F
n
0
dA x dA cos2 xydA cos sin
y dA sin 2 yxdA sin cos 0
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
材料力学课件第7章 应力和应变分析 强度理论
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
P’
P p
y x
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态:
二向不等值拉伸应力状态
内点P‘点的应力状态？ σ
y
σx σz=p
（续）承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态 （壁厚为δ，内直径为D，t<<D，内压为p）
L
ｐ
m
n
z
y
p
D
m
l
n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
πD 2 F p 4
′
p
薄壁圆筒的横截面面积
A πD
πD 2 p F pD 4 A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
三、应力状态的分类
1.空间应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
P’
P p
y x
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态:
二向不等值拉伸应力状态
内点P‘点的应力状态？ σ
y
σx σz=p
（续）承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态 （壁厚为δ，内直径为D，t<<D，内压为p）
L
ｐ
m
n
z
y
p
D
m
l
n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
πD 2 F p 4
′
p
薄壁圆筒的横截面面积
A πD
πD 2 p F pD 4 A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
三、应力状态的分类
1.空间应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
材料力学(I)第7章 应力状态和强度理论
材料力学(Ⅰ)电子教案
应力状态和强度理论
26
当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应 力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下 图所示，可能是1，也可能是2或3，这需要确定 不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。
2
3
1 1
3
2
( 3 0)
( 2 0)
( 1 0)
材料力学(Ⅰ)电子教案
应力状态和强度理论
28
B1 D1 tan 2 0 C B1
1 x y 2 或即 2 x 2 0 arctan y x 图c示出了主应力和主平面的方位。
x
材料力学(Ⅰ)电子教案
应力状态和强度理论
材料力学(Ⅰ)电子教案
应力状态和强度理论
24
(b)
一点处切应力等于零的截面 称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应 力(principal stress)。据此可 知，应力圆圆周上点A1和A2 所代表的就是主应力；但除 此之外，图a所示单元体上平 行于xy平面的面上也是没有 切应力的，所以该截面也是 主平面，只是其上的主应力 为零。
20
讨论: 1. 表达图示各单元体 斜截面上应力随角变 化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是 平面应力状态吗？
材料力学(Ⅰ)电子教案
应力状态和强度理论
21
2. 对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截 面上应力随 角变化的应力圆有什么特点？ =±45˚ 两个斜截面上的、分别是多少？
2
O
x y
2
C
(a)
材料力学(Ⅰ)电子教案
应力状态和强度理论
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因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两
点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。
1）应力图的画法
y
已知x、y、x、y， 如右图，假定x>y。
y y
a
x e
d
x
n
x a
x
x
b
f
c
y y
• 在、 坐标系内按比例尺确定两点：
D1x,x
D1x,x
关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说， 即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。
例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
y B C z
A
P x
x
A
P
x B x
Mx
zx
xz
yx
C
xy
§7-2 平面应力状态分析•主应力
对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分
布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而
D2y,y
D2y,y
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。
D1x,x
C
D2y,y
• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。
D1x,x
C
D2y,y
• 从D1点按斜截面角a的转向转 动 2a 得 到 E 点 ， 该 点 的 坐 标 值
x -30 °
y
x 30°
n
30x2 0x2 0co6 s0xsi n60
1.9 6MPa
30x2 0si2 a n xco 2 as 4.4 5 MPa
2、应力圆 由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
a x 2 y x 2 yco 2 a sxs2 ia n
(a)
y y
n
ae
d
x
x
x a
f
x
x
b
c
y y
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上 应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角
为a，称为a截面。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定：
1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反
之为负；
3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法
ax 2ysi2 n axco2as
两式两边平方后求和可得：
ax 2y 2a2 x 2y 2x2
而圆方程为： x a 2 y b 2R 2
可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直
轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：
面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz
dx dy
x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
2、强度理论
对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相 应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。
而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组 合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确 定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起 材料破坏的共同因素。
其中dA为斜截面ef的面积。
由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
ax 2 y x 2 yco 2 a sxsi2 a n
ax 2ysi2 naxco2as
例7-1 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向
拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点a =30°
ydAsina t
n0 ⇒
ad A x d A ca o cs a o s x d A ca o ss a in y d A sa in sa i n y d A sa in ca o 0 s
t 0 ⇒
ad A x d A ca o ss a i n x d A ca o cs a os y d A sa in ca o s y d A sa in sa i n 0
不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
a'
d'
F
a
d
A
A
(a)
a
d
b'
(b)
b
c' c
该应力状态则称为平面
A
应力状态，其单元体可简化
为左图所示情形。
b
c
1、斜截面上的应力 已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：
y
y
y
y
a x
d x
x
x x
y
zb
y c
线重合时，其值为正；反之为负。
取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。
(c)
e
x
a
x
a
f b
y y
由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
e
(d)
adA n
x d A cos a
x d A cos a
adA
f b
y d A sin a
截面上的应力。
y
T F
T
y
C
F x x
C
x
x
x
x
y
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
x
F500103 A π1002
63.7MPa
4
x
Me WP
7106 3 π1030
5.7MP
a
y
16
y
图示斜截面上应力分量为：
x x
x C -30 °
即为斜截面上的应力分量值。 2）证明
对下图所示应力圆可见C点的 横坐标为：
E D1x,x
2a
C
D2y,y
半径为： 如下图。
x
y
2
,
0
R
x
y
2
2
x2
x
x22y y2
2
2 x
2 x
O C
x y 2
(a ,a )
单元体斜截面上应力（a，a）和应力圆上点的 坐标（a，a）一一对应，因此可通过确定应力圆上 相应点的坐标来求斜截面上应力（a，a）。
第7章 应力状态和强度理论
§7-1 概 述
1、一点处的应力状态
构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称 为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。
目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平
点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。
1）应力图的画法
y
已知x、y、x、y， 如右图，假定x>y。
y y
a
x e
d
x
n
x a
x
x
b
f
c
y y
• 在、 坐标系内按比例尺确定两点：
D1x,x
D1x,x
关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说， 即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。
例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
y B C z
A
P x
x
A
P
x B x
Mx
zx
xz
yx
C
xy
§7-2 平面应力状态分析•主应力
对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分
布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而
D2y,y
D2y,y
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。
D1x,x
C
D2y,y
• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。
D1x,x
C
D2y,y
• 从D1点按斜截面角a的转向转 动 2a 得 到 E 点 ， 该 点 的 坐 标 值
x -30 °
y
x 30°
n
30x2 0x2 0co6 s0xsi n60
1.9 6MPa
30x2 0si2 a n xco 2 as 4.4 5 MPa
2、应力圆 由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
a x 2 y x 2 yco 2 a sxs2 ia n
(a)
y y
n
ae
d
x
x
x a
f
x
x
b
c
y y
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上 应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角
为a，称为a截面。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定：
1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反
之为负；
3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法
ax 2ysi2 n axco2as
两式两边平方后求和可得：
ax 2y 2a2 x 2y 2x2
而圆方程为： x a 2 y b 2R 2
可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直
轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：
面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz
dx dy
x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
2、强度理论
对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相 应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。
而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组 合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确 定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起 材料破坏的共同因素。
其中dA为斜截面ef的面积。
由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
ax 2 y x 2 yco 2 a sxsi2 a n
ax 2ysi2 naxco2as
例7-1 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向
拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点a =30°
ydAsina t
n0 ⇒
ad A x d A ca o cs a o s x d A ca o ss a in y d A sa in sa i n y d A sa in ca o 0 s
t 0 ⇒
ad A x d A ca o ss a i n x d A ca o cs a os y d A sa in ca o s y d A sa in sa i n 0
不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
a'
d'
F
a
d
A
A
(a)
a
d
b'
(b)
b
c' c
该应力状态则称为平面
A
应力状态，其单元体可简化
为左图所示情形。
b
c
1、斜截面上的应力 已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：
y
y
y
y
a x
d x
x
x x
y
zb
y c
线重合时，其值为正；反之为负。
取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。
(c)
e
x
a
x
a
f b
y y
由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
e
(d)
adA n
x d A cos a
x d A cos a
adA
f b
y d A sin a
截面上的应力。
y
T F
T
y
C
F x x
C
x
x
x
x
y
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
x
F500103 A π1002
63.7MPa
4
x
Me WP
7106 3 π1030
5.7MP
a
y
16
y
图示斜截面上应力分量为：
x x
x C -30 °
即为斜截面上的应力分量值。 2）证明
对下图所示应力圆可见C点的 横坐标为：
E D1x,x
2a
C
D2y,y
半径为： 如下图。
x
y
2
,
0
R
x
y
2
2
x2
x
x22y y2
2
2 x
2 x
O C
x y 2
(a ,a )
单元体斜截面上应力（a，a）和应力圆上点的 坐标（a，a）一一对应，因此可通过确定应力圆上 相应点的坐标来求斜截面上应力（a，a）。
第7章 应力状态和强度理论
§7-1 概 述
1、一点处的应力状态
构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称 为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。
目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平