中考数学中二次函数常考常新的18种命题方式

专题01 二次函数中的动点问题

1、如图①，已知抛物线y ＝ax 2﹣4amx +3am 2（a 、m 为参数，且a ＞0，m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ．

（1）求点B 的坐标（结果可以含参数m ）；

（2）连接CA 、CB ，若C （0，3m ），求tan ∠ACB 的值；

（3）如图①，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l ：x ＝2，点P 是抛物线上的一个动点，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】（1）令y ＝0，则有ax 2﹣4amx +3am 2＝0，解得：x 1＝m ，x 2＝3m ， ①m ＞0，A 在B 的左边，①B （3m ，0）； （2）如图1，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，

由（1）可知B （3m ，0），则△BOC 为等腰直角三角形，

①OC ＝OB ＝3m ，①BC ＝m ，

又①∠ABC ＝45°，①∠DAB ＝45°，①AD ＝BD ，

①AB ＝2m ，①AD =，CD ＝m ，

①tan ∠ACB ＝

AD 1

CD 2

==；

（3）①由题意知x ＝2为对称轴，①2m ＝2，即m ＝1， ①在（2）的条件下有（0，3m ），①3m ＝3am 2，解得m ＝

1

a

，即a ＝1，①抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3， ①当P 在对称轴的左边，如图2，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，

①△OPF 是等腰直角三角形，且OP ＝PF ，易得△OMP ≌△PNF ，①OM ＝PN ，

①P （m ，m 2﹣4m +3），则﹣m 2+4m ﹣3＝2﹣m ，解得：m

①P ）； ①当P 在对称轴的右边，如图3，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，

同理得△ONP ≌△PMF ，①PN ＝FM ，则﹣m 2+4m ﹣3＝m ﹣2，解得：x 35

；

P 的坐标为（

3122+）或（3122

）；

综上所述，点P ）或）或）或）

2、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =−(x −a )(x −4)(a <0)与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点.

（1）若D 点坐标为(32,25

4

)，求抛物线的解析式和点C 的坐标；

（2）若点M 为抛物线对称轴上一点，且点M 的纵坐标为a ，点N 为抛物线在x 轴上方一点，若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时，求a 的值；

（3）直线y =2x +b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D ′，与直线的另一个交点为E ，与x 轴的交点为B ′，在平移的过程中，求D ′E ′的长度；当∠E ′D ′B ′=90°时，求点B ′的坐标.

【解析】（1）依题意得：254=−(32−a)(3

2−4),解得a =−1，①y =-（x +1）（x -4）或y =−x 2+3x +4,①C (0,4) （2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4a )，对称轴为直线x =a+42

，则M (

a+42

,a)

①MN//BC ，且MN =BC ，根据点的平移特征可知N (a−42

,−3a)

则−3a =−(

a−42

−a)⋅(

a−42

−4)，解得：a =−2±2√13（舍去正值）；

①当BC 为对角线时，设N (x,y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得{a+4

2+x =4a +y =−4a ，解得{

x =4−a

2y =−5a ， 则−5a =−(

4−a 2

−a)⋅(

4−a 2−4),解得：a =

6±2√21

3，①a 1=−2−2√13，a 2=

6−2√21

3

（3）联立{y =2x +13

4y =−x 2+3x +4 ,解得：{x 1=

3

2y 1=254 (舍去)，{x 2=−1

2y 2=9

4 则DE =2√5，根据抛物线的平移规律，则平移后的线段D ′E ′始终等于2√

5 设平移后的D ′(m,2m +

13

4

)，则E ′(m −2,2m −34)，平移后的抛物线解析式为：y =−(x −m )2+2m +134

则D ′B ′：y =−1

2x +n 过(m,2m +13

4

)，①y =−12x +52m +13

4

，则B ′(5m +

132

,0)

抛物线y =−(x −m )2+2m +13

4过B ′(5m +132

,0),解得m 1=−3

2，m 2=−13

8

①B 1′(−1,0)，B 2′(−

138

,0)（与D ′重合，舍去），①B ′(−1,0)

3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝1

2

x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），

点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．

（1）求抛物线对应的函数解析式；

（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，①PD∥A O，则当PD=O A=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：

1645

3

b c

c

-+=-

⎧

⎨

=-

⎩

，解得：

9

2

3

b

c

⎧

=

⎪

⎨

⎪=-

⎩

，

故抛物线的表达式为：y＝x2+9

2

x﹣3；

（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝1

2

x﹣3，

设点P（m，m2+9

2

m﹣3），点D（m，

1

2

m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，

①PD∥A O，则当PD＝O A＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，

①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣

（舍去正值），

即m2+9

2

m﹣3＝1

﹣

2

，故点P（﹣2

1

﹣

2

），

①当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，

同理可得：点P（﹣1，﹣13

2

）或（﹣3，﹣

15

2

）；

综上，点P（﹣2

，﹣1

﹣

2

）或(﹣1，﹣

13

2

）或（﹣3，﹣

15

2

）．

【小结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．