概率论与数理统计1.1基本概念
概率论与数理统计的基本概念和原理简介
概率论与数理统计的基本概念和原理简介概率论和数理统计是数学中重要的分支学科，它们在现代科学和生活中扮演着重要角色。
本文将对概率论和数理统计的基本概念和原理进行简要介绍。
一、概率论的基本概念和原理1. 随机试验随机试验是指具有以下特点的试验：在相同条件下可以重复进行，每次试验的结果不确定，但所有可能结果都是事先确定的且互不相容。
2. 随机事件与样本空间试验的每个可能结果称为基本事件，基本事件的集合称为样本空间。
样本空间中的子集称为随机事件。
3. 概率的定义一般来说，事件发生的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率的定义可以通过频率的概念来解释：事件A发生的概率等于在多次重复试验中，事件A发生的频率趋近于一个常数。
4. 概率的性质概率具有以下性质：- 0 ≤ P(A) ≤ 1，概率值的取值范围在0到1之间。
- P(Ω) = 1，样本空间发生的概率为1。
- 对于任意的事件序列 {Ai}，若相互不相容，则有 P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
5. 概率的计算方法计算概率的常用方法有古典概型法、几何概率法、频率概率法和叠加原理等。
二、数理统计的基本概念和原理1. 总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
通过对样本的统计分析，可以推断总体的性质。
2. 统计量统计量是样本的函数，用于刻画样本的某种性质。
常见的统计量有样本均值、样本方差等。
3. 参数估计参数估计是通过样本统计量推断总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
4. 假设检验假设检验是指对于总体参数提出一个假设，并通过对样本进行统计推断来判断是否拒绝假设。
假设检验分为单侧检验和双侧检验。
5. 相关与回归分析相关分析用于刻画两个变量之间的线性关系，回归分析用于建立一个变量与其他变量之间的函数关系。
三、概率论与数理统计的应用领域概率论和数理统计广泛应用于各个领域：1. 金融风险管理概率论和数理统计对金融领域的风险管理起着关键作用，可以通过建立数学模型对金融市场进行预测和评估。
概率论与数理统计复习笔记
概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果.随机事件事件:样本空间S的子集.必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生.∪B和事件事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生.5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生.6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率.1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ;3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…,PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+…2.性质1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,PA1∪A2∪…∪An=PA1+PA2+…+PAn有限可加性与可列可加性合称加法定理3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA .4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA .5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB .对于任意n个事件A1,A2,…,An…+-1n-1PA1A2…An四.等可能古典概型1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};2每一个基本事件的概率相等,即Pe1=Pe2=…= Pen.则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型.2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率PB|A=PAB / PA PA>0.2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0; PAB=PB P A|B PB>0.PA 1A 2…A n =PA 1PA 2|A 1PA 3|A 1A 2…PA n |A 1A 2…A n-1 n ≥2, PA 1A 2…A n-1 > 03. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S ,则当PB i >0时,有全概率公式 PA=()()i ni i B A P B P ∑=1当PA>0, PB i>0时,有贝叶斯公式P B i|A=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足PAB = PA PB 时,称A,B 为相互独立的事件.1两个事件A,B 相互独立 PB= P B|A .2若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC,称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足PABC =PA PB PC,则称A,B,C 三事件相互独立.个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k 1<k ≤n,任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数Fx=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:10≤Fx≤1 ,F -∞=0,F∞=1. 2Fx 单调不减,即若x 1<x 2 ,则 Fx 1≤Fx 2.3Fx 右连续,即Fx+0=Fx. 4P{x 1<X≤x 2}=Fx 2-Fx 1.二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k k=1,2,… 也可以列表表示. 其性质为:1非负性 0≤P k ≤1 ; 2归一性11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 Fx=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x kk=1,2,…处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布1X~0-1分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p 0<p<1 .2X~bn,p 参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k=0,1,2,…,n 0<p<1 3X~参数为的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !k=0,1,2,… >0 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数Fx 可以表示成某一非负函数fx 的积分Fx=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f x 称为X 的概率密度函数.2.概率密度的性质1非负性 fx ≥0 ; 2归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;3 P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; 4若f x 在点x 处连续,则f x=F/x .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布1X ～U a,b 区间a,b 上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . 2X 服从参数为的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 >0.3X~N ,2参数为,的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -<x<, >0.特别, =0, 2=1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N 0,1,其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, -x=1-Φx .若X ～N ,2, 则Z=σμ-X ~N 0,1, P{x 1<X ≤x 2}=Φσμ-2x-Φσμ-1x .若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：z =1- , z 1- = -z .四.随机变量X 的函数Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数若gx k k=1,2,…的值全不相等,则由上表立得Y=gX 的分布律.若gx k k=1,2,…的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=gX 的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X x,则求其函数Y=gX 的概率密度f Y y 常用两种方法：1分布函数法 先求Y 的分布函数F Y y=P{Y ≤y}=P{gX ≤y}=()()dx x f ky Xk∑⎰∆其中Δk y 是与gX ≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间可能不只一个,然后对y 求导即得f Y y=F Y/y .2公式法 若gx 处处可导,且恒有g /x>0 或g / x<0 ,则Y=g X 是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=yhyhfyf XY其它βα<<y其中hy是gx的反函数 , = min g -,g = max g -,g .如果f x在有限区间a,b以外等于零,则 = min g a,g b = max g a,g b .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量X,Y称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数Fx,y=P{X≤x,Y≤y}称为X,Y的X和Y的联合分布函数.2.分布函数的性质1Fx,y分别关于x和y单调不减.20≤Fx,y≤1 , Fx,- =0, F-,y=0, F-,-=0, F,=1 .3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y .4对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= Fx 2,y 2- Fx 2,y 1- Fx 1,y 2+ Fx 1,y 1二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i ,y j i ,j =1,2,… 称X,Y 为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为X,Y 的联合分布律.也可列表表示.2.性质 1非负性 0≤p i j ≤1 .2归一性 ∑∑=i jijp 1 .3. X,Y 的X 和Y 的联合分布函数Fx,y=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f x,y,使对任意的x 和y,有Fx,y=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),(则称X,Y 为二维连续型随机变量,称fx,y 为X,Y 的X 和Y 的联合概率密度.2.性质 1非负性 f x,y ≥0 . 2归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .3若f x,y 在点x,y 连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 4若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. X,Y 关于X 的边缘分布函数 F X x = P{X ≤x , Y<}= F x , .X,Y 关于Y 的边缘分布函数 F Y y = P{X<, Y ≤y}= F ,y2.二维离散型随机变量X,Y关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i · i =1,2,… 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=∑∞=1i ij p = p·jj =1,2,… 归一性11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量X,Y关于X 的边缘概率密度f X x=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y y=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有Fx,y= FX x FYy ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立⇔p i j= p i··p·j i ,j =1,2,…对一切x i,y j成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立⇔f x,y=f X xf Y y对X,Y所有可能取值x,y都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设X,Y是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=xi |Y=yj}为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称P{Y=yj |X=xi}为在X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,}{},{jj ijjippyYPyYxXP•=====,}{},{•=====ij iijippxXPyYxXP第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i i =1,2,… 概率密度f x数学期望均值EX∑∞=1i i i p x 级数绝对收敛⎰∞∞-dx x xf )(积分绝对收敛方差DX=E{X-EX 2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=EX 2-EX 2 级数绝对收敛 积分绝对收敛函数数学期望EY=EgXi i i p x g ∑∞=1)(级数绝对收敛 ⎰∞∞-dx x f x g )()(积分绝对收敛标准差X=√DX .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX .,Y为任意随机变量时, E X±Y=EX±EY .3. X与Y相互独立时, EXY=EXEY , DX±Y=DX+DY .4. DX = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 EX DX~ 0-1分布P{X=1}= p 0<p<1 p p 1- p ~ b n,p 0<p<1 n p n p 1- p ~~ Ua,b a+b/2 b-a 2/12服从参数为的指数分布2~ N ,22四.矩的概念随机变量X的k阶原点矩EX k k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{X-EX k}随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩EX k Y l l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{X-EX k Y-EY l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11 k=1,2,… 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1k=1,2,…二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E X = EX , D X = DX / n .特别,若X~ N ,2 ,则 X ~ N , 2 /n .分布 1定义 若X ～N 0,1,则Y =∑=ni i X 12~ 2n 自由度为n 的2分布.2性质 ①若Y~ 2n,则EY = n , DY = 2n .②若Y 1~ 2n 1 Y 2~ 2n 2 ,则Y 1+Y 2~ 2n 1 + n 2.③若X~ N ,2 , 则22)1(σS n -~ 2n-1,且X 与S 2相互独立.3分位点 若Y~ 2n,0< <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3. t 分布1定义 若X~N 0,1 ,Y~ 2 n,且X,Y 相互独立,则t=nY X~tn 自由度为n 的t 分布. 2性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N ,2 时,nS X μ-~ t n-1 . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N 1,12 且12=22=2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N 2,22 Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t n 1+n 2-2 , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w3分位点 若t ~ t n ,0 < <1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧分位点.注意: t 1- n = - t n.分布 1定义 若U~2n 1, V~ 2n 2, 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~Fn 1,n 2自由度为n 1,n 2的F 分布.2性质条件同3.2③22212221σσS S ~Fn 1-1,n 2-13分位点 若F~ Fn 1,n 2 ,0< <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=- 第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数1, 2,…, k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩 ll=1,2,…,k 得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式可以是分布律或概率密度为px, 1, 2,…, k ,称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数1, 2,…,k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L 1, 2,…, k 关于1, 2,…, k 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ i =1,2,…,k 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1)无偏性 若E ∧θ=,则估计量∧θ称为参数的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E X = EX , ES 2=DX, EA k =k =EX k ,即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值EX,方差DX,总体k 阶矩k 的无偏估计,2有效性 若E ∧θ1 =E ∧θ2= , 而D ∧θ1< D ∧θ2, 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.3一致性相合性 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数的相合估计量.二.区间估计1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤1寻找样本函数W=WX 1 ,X 2 ,…,X n ,,其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定.2利用双侧分位点找出W 的区间a,b,使P{a<W <b}=1-.3由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间θθ,为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间2已知 nX σμ-~N 0,1 2/ασz n X ±2未知 nS X μ-~ t n-1 )1((2/-±n t n S X α 2未知22)1(σS n -~ 2n-1 ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体1均值差 1- 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N0,1 )(2221212n n z Y Xσσα+±-未知22221σσσ==212111)(n n S Y X w +---μμ～tn 1+n 2-2)11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 2③.2 1, 2未知, W=22212221σσS S ~ Fn 1-1,n 2-1,方差比12/22的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标/2改为,另外的下上限取为- 即可.。
概率1-1 概率论与数理统计
§1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1.样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S．
2.样本点: 样本空间S的元素，即E的每个可能结果．
例 写出§1.1节中所列的试验Ei 的样本空间: 试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
S1={H, T},（H表示出现正面， T表示出现反面）
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ． 4. 德.摩根律(对偶原理) ： A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
n
n
n
n
类似有： Ai Ai ,
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
实验序号
n=5
m fn (A)
1 2 0.4
2 3 0.6 3 1 0.2
4 5 1.0
n=50 m fn (A) 22 0.44
25 0.50 21 0.42 25 0.50
n=500
m
fn ( A)
251 0.502
249 0.498 256 0.512 253 0.506
从上面的例子可以看出，试验次数n越大，出现正 面的频率越接近0.5，即频率稳定于1/2 ．经验表明：只要 试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率 稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是 不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出 现的可能性大小进行度量的客观基础．为了理论研究的 需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如 下度量事件发生可能性大小的概率的定义.
呼叫次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
概率论与数理统计
A
3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概 B2
率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§1.5 条件概率
2．贝叶斯(Bayes)公式 (计算后验概率问题)
事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，…，Bn中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式
在实际应用 中，对于事 件的独立性 常常根据事 件的实际意 义来判断，
注意：仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立 见习题33 如果两个事
当然，如果事件A，B，C相互独立
件关联很弱 也可以看作
则 A, B,C; A, B,C; ... ; A, B,C 也相互独立
是独立的。
推广到多个事件
由定义可以得到以下两点推论： 1.若事件A1, A2, … , An相互独立，n2，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立 的。 2.若n个事件A1, A2, … , An(n2)相互独立，则将A1, A2, … , An中任意多个事件换13/成21 他们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立
§1.6 独立性
对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题
首先看一下关于划分的概念
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件。若
(i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，…，n； (ii) B1∪B2∪…∪Bn=S 则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。
※每次试验，事件B1，B2，…，Bn中有且仅有一个发生
概率论与数理统计浙大第四版
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计是研究事件发生的可能性，以及由此衍生的结果
的一门学科。
它可以帮助人们提高分析和预测能力。
可以帮助我们了
解自然界及其客观原理，以及把握当代社会经济实体及其活动。
一、概率概念：
1. 随机事件：指事件发生以来，在所有结果中，用概率值去衡量其发
生的可能性，及其各个单一结果的概率分布情况；
2. 概率：是用来衡量某一随机事件发生的可能性的数值，可以给出这
个事件发生的可能性大小；
3. 概率分布：是某一随机变量及其可能取值之间发生关系的一种描述；
二、数理统计概念：
1、统计：是指对数据进行定量描述，尝试从数据中获得解释性的统计
特征；
2、变量：是指以数值形式表示的某类事物，是研究目标内容分析的一
种实际基础；
3、统计分布：是给定一组数据，通过统计手段，计算出变量的概率分
布情况，及其可能的变化规律；
4、极限定理：是一种概率论的定理，旨在探讨一个系统在重复抽样下，抽样结果的收敛情况；
5、数据描述：是指对数据的描述，可以让人简单明了地理解数据，及
其特征和趋势；
6、统计推断：是指根据统计样本信息，以概率结果作为有效依据，做
出关于总体参数情况的推断；
7、回归分析：是指建立一条回归函数模型，以描述解释变量对被解释
变量的影响；
8、判别分析：是指构建一个准确的模型，能够根据输入的观测值来准
确地判断属于哪一类人或物；
9、聚类分析：是指将一组数据进行分类，从而揭示内部数据间的关系，辅助决策；
10、卡方检验：是指判断某一种统计判断是否证实对某一总体分布结
果的检验，从而决定是否接受或拒绝假设。
概率论与数理统计(完整版)
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.
第一章 概率论的基本概念
• 答案：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的 拿这个钱的1／4。
• 假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。 若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了， 即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱 应该是（1／2）×1＋（1／2）×（1／2）＝ 3／4,当然，B就应该得1／4。
24
0.4614
• “分赌本”问题 两个人决定赌若干局，事先约 定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢4 局，另一人赢3局时因故终止赌博，应如何分 赌本？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4 份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早 说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分 一半呢？
• 法国数学家帕斯卡接受了这个问题，并与另一 位法国数学家费尔马进行讨论，后来荷兰科学 家惠更斯也参与了研究，并把解法写入了《论 赌博中的计算》（1657年）。
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事
件A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即A B，称事件A与事件B
相等。
n
和： A，B表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习 证明下列等式：
1A B A B A 2A B B A AB AB 3B A AB AB
解 1 A B A B A B A A
证明(3):由于A1，A2 ，… ，Ak是两两互不相 容，在n次试验中A1∪A2∪…∪Ak的频数
《概率论与数理统计》1.1 随机试验与随机事件
i点 5, 6
}
在一起所构成的事件）
复合事件
事件 B = { 掷出奇数点 }
五. 随机事件间的关系及其运算
设试验 E 的样本空间为 S, A, B, Ak (k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1. 事件的包含：如( A果中事的件每A个发样生本必点然都导包致含事在件BB中发）生.
注 ▲
则称 事件 B 包含事件 A 或 A 含于事 件 B 。记作：B A或 A B
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对 研究对象进行观察或试验.
这里的试验指的是随机试验.
第一节 随机试验与随机事件
一. 试 验 : 为了研究随机现象，就要对客观事物进行 观察，观察的过程称之为试验。记为 E。
例1 E1：掷一枚硬币观察正面，反面出现的情况。 E2：记录一小时内，到某保险公司投保的户数 E3：射手射击一个目标，直到射中为止，观察 其射击的次数。 E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。 E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
A
B
为 A 与 B 的和 (并）, 记作：
A B 或 A B x xA 或 xB
AB
注
▲ 它是由事件 A 和 B 所有样本点构成的集合 n
▲ 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件
k1
k 1 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的和事件
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件，
样本空间元素 是由试验目的 所确定的，不 同的试验目的 其样本空间也 是不一样的。
S
.e
样本点e
例 3．若试验 E是将一枚硬币抛掷两次. 试写出该试验 E 的样本空间.
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章 概率论的基本概念
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
概率论与数理统计第1-3章复习资料
其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求： （1）A=“点数和为奇数的概率”； （2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件， 求下列事件的概率： （1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880） （2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描 述 r, v 的概分布的主要方法之一。 （二）分布函数的性质： 一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型 所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式 如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足： （1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随 机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率： （1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105） （2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。 例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个， 共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率： （1）A=“两次都取到新球”； （2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”； （3）C=“至少有一次取到新球”。
概率论与数理统计第1章
例5：某人连续三次购买体育彩票，每次一张， 令A、B、C分别表示其第一、二、三次所买的 彩票中奖事件，试用A、B、C表示下列事件： (1) 第三次未中奖； (2) 只有第三次中了奖； (3) 恰有一次中奖； (4) 至少有一次中奖； (5) 不止一次中奖； (6) 至多中奖两次。
18
§1.3 概率的古典意义
例2： A1 ＝“2个样品中有一个次品”； A2 ＝“2个样品全是次品”； B ＝“2个样品中至少有一个次品”, 求 A2 , B。
16
例3：p.11，第3题。
例4：掷骰子，A=“掷出奇数点”；B=“点数 不
超过3”；C=“点数大于2”；A D=“A C掷出5点”。
求 A∪B；B∪C；AB；BD； ； ； A－B；B－A。
26
2、具体例子 ⑴ 设有20个某种零件，其中16个为一级品， 4个为二级品，现从中任取三个，求： ① 只有一个一级品的概率； ② 至少有一个一级品的概率。
⑵ 从0、1、2、3这4个数字中任取3个进行排 列，求“取得的3个数字排成的数是三位数且 是偶数”的概率。
27
⑶ 一口袋中有5红2白7个球，从袋中任取一
2
例1：判断下列现象为随机现象还是决定性现 象？ (1) 扔一枚分币； (2) 从93个产品（其中90正3次）中抽取一个 产品； (3) 在标准大气压下将水加热至100℃必沸腾；
(4) 火箭速度超过第一宇宙速度就会摆脱地球 引力而飞出地球。
3
二、随机试验与样本空间 定义：概率论中将对随机现象的观察或为观察 随机现象而进行的试验称为随机试验，它应具 备以下三个特征： ⑴ 每次试验的可能结果不止一个，且事先明确 知道试验的所有可能性结果。 ⑵ 进行试验之前不能确定哪一个结果会发生。 ⑶ 试验可以在相同条件下重复进行。 随机试验简称试验，用英文字母E表示。 4
概率论与数理统计知识点简述
概率论与数理统计知识点简述
概率论与数理统计是数学中重要的分支，其主要研究内容包括随机事件的发生概率、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、统计推断等。
以下是关于概率论与数理统计的基本知识简述:
1. 概率论的基本概念：随机事件、样本空间、事件之间的关系、概率的定义和计算等。
2. 随机变量及其数字特征：随机变量的定义、表示方法、离散型和连续型随机变量的数字特征 (如均值、方差、协方差等) 的定义和计算。
3. 大数定律和中心极限定理：大数定律描述了频率的稳定性，中心极限定理则证明了在一定条件下，样本平均值的分布趋近于正态分布。
4. 统计推断：统计推断是通过对样本数据的分析来推断总体的数据特征，包括假设检验、置信区间、假设检验的拒绝域等。
5. 随机变量的相互转换：随机变量的相互转换包括变量的乘积、变量的和、变量的乘积和等，其概率分布可以通过数学计算或特性推断得到。
6. 协方差、方差和协方差矩阵：协方差描述了两个或多个随机变量之间的线性关系，方差则是随机变量的平均值的平方，协方差矩阵描述了两个随机变量之间的线性关系和分布。
这些基本知识是概率论和数理统计的基础，掌握它们可以帮助更好地理解和应用统计学的基本概念和技术。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计1
第一章事件与概率§1.1 随机事件与样本空间教学目的要求：掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解.教材分析：1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,了解事件之间的关系和事件之间的一些运算.2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关系和事件之间的一些运算.3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明.教学过程：我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意.一、几个基本概念：1．随机试验：一个试验如果满足下述条件：⑪试验可以在相同的情形下重复进行；⑫试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个；⑬每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现那一个结果.就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验.2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件.3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示.4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示.[例]1.1在前述试验中,令ω1={取得白球}, ω2={取得黑球}则Ω={ω1,ω2}[例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球,令i ={取得球的号码为i}则Ω={1,2, (10)·３·[例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令i={收到的呼唤次数为i}则Ω={1,2,…}[例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为t℃}则Ω=[0,100]5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性,所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母A,B,C等表示事件.在试验中,如果出现A中所包含的某一个基本事件ω,则称作A发生,并记作ω∈A.我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已.又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关系和事件之间的一些运算.二、事件之间的关系和运算：1．如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款,并记作A⊂B或B⊃A.如图1.1.因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定Φ⊂A.2．如果有A⊂B,B⊂A同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2.3．“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并记作A∪B.如图1.3.4．“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).如图1.4.5．“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差,记作A－B.如图1.5.6．若事件A与B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=Φ,则称事件A与B互不相容.如图1.6.7．若A是一个事件,令A=Ω－A,称A是A的对立事件或逆事件.如图1.7.·４··５·显然有： A A =Φ, A ∪A =Ω, A =A8．若有n 个事件：A 1,A 2,…,A n ,则“A 1,A 2,…,A n 中至少发生其中的一个”这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的并,并记作A 1∪A 2∪…∪A n 或n i i A 1=；若“A 1,A 2,…,A n 同时发生”,这样的事件称作A 1,A 2,…,A n 的交,记作A 1A 2…A n 或 n i iA 1=.大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们.[例] 1.5 设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,则·６·1) 事件“A 与B 发生,C 不发生”可以表示成：C AB 或AB －C 或AB －ABC.2) 事件“A 、B 、C 中至少有二个发生”可以表示成：AB ∪AC ∪BC 或ABC BC A C B A C AB .3) 事件“A 、B 、C 中恰好发生二个”可以表示成： BC A C B A C AB .4) 事件“A 、B 、C 中有不多于一个事件发生”可以表示成：C B A C B A C B A C B A .5) 事件“A 发生而B 与C 都不发生”可以表示成：C B A 或A －B －C 或A －(B ∪C).6) 事件“A 、B 、C 恰好发生一个”可以表示成：C B A C B A C B A .7) 事件“A 、B 、C 中至少发生一个”可以表示成：C B A 或ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A .三、事件的运算规则：1. 交换律：A ∪B=B ∪A AB=BA2. 结合律：(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (AB)C=A(BC)3. 分配律：(A ∪B)C=AC ∪BC (AB)∪C=(A ∪C)(B ∪C)4. 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)：n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11=== 四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一个类,记作ℱ,称作事件域,即ℱ={A ：A ⊂Ω,Ω是事件}在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈ℱ,Φ∈ℱ.又讨论了事件间的运算“∪” 、·７·“∩”和“－”,如果A 与B 都是事件,即A ∈ℱ,B ∈ℱ,非常自然地要求A ∪B 、AB 、A －B 也是事件.因此,如果有A ∈ℱ、B ∈ℱ,就要求A ∪B ∈ℱ、AB ∈ℱ、A －B ∈ℱ用集合论的语言来说,就是事件域ℱ关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过归纳与整理,事件域ℱ应该满足下述要求：⑪ Ω∈ℱ；⑫ 若A ∈ℱ,则A ∈ℱ；⑬ 若i A ∈ℱ,i=1,2, …,n,则 ni iA 1 ∈ℱ. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔代数.对于样本空间Ω,如果ℱ是Ω的一切子集的全体,那么显然ℱ是一个布尔代数.§1.2 概率和频率教学目的要求：通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ：1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义.2．教学重点：概率的性质及公理化定义.3．教学难点：概率的公理化定义.教 学 过 程 ：回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其中ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可·８·以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是½,因为我们知道盒子中白球数和黑球数都是5个.现在引入一个定义如下：一、频率和概率的定义：定义1.1 随机事件A 发生可能性大小的度量(数值),称为A 发生的概率,记作P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》,人民出版社,1972年,第38页)．人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正面的频率,,其结果如下:又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母. 在进行了更深入的研究之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一字母使用频率的研究,对于打字机键盘的设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的应铸得多些)、信息的编码(常用字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是十分有用的．对于一个随机事件来说,它发生可能性大小的度量是由它自身决定的,并且是客观存在的．就好比一根木棒有长度,一块土地有面积一样,概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性．一个根本的问题是,对一个给定的随机事件,它发生可能性大小的度量—一概率,究竟是多大呢？在前面的例子中,因为已经知道了盒子中的白球和黑球都是5个,才得以断定)(1 p =1/2.如果不知道盒子中的白球数和黑球数呢？在引言中已经提到,实践告诉我们,如果反复多次地从盒子中取球(取后放回搅匀),随着试验次数n 的增大,比值n n 白会逐渐稳定到1/2(n 白表示出现白球的次数),记·９· nn 白=试验总次数的次数出现1ω=)(1ωn f 称)(1ωn f 为事件ω1在n 次试验中出现的频率．频率当然也在一定程度上反映了发生可能性的大小．尽管每作—串(n 次)试验,所得到的频率)(1ωn f 可以各不相同,但是只要n 相当大,)(1ωn f 与)(1ωp 是会非常“靠近”的．因此概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似．在前述摸球的例子中,即使事先并不知道盒子中黑球和白球的比例数(这时概率虽然不知道,但它是客观存在的),经过反复多次的试验后,如果频率)(1ωn f 逐渐稳定到1/2,那么我们就可以判断盒子中的白球数和黑球数是相等的,进一步即可得到)(1ωp =1／2这个结论.这件事情其实质与测量长度和面积—样的平常,给定一根木棒,谁都不怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”．这个类比不仅帮助我们去理解概率和频率之间的内在关系,而且还启示了更深刻的事实：概率与长度、面积等变量一样,应该具有“测度”的性质.这个问题请读者先思考一下,然后让我们慢慢地来解释．二、频率和概率的性质：1.频率的性质:现在让我们比较仔细地考察一下频率．如果随机事件A 在n 次反复试验中发生了n 白次,称 )(A f n =n n 白为A 的频率．易知频率具有下述性质．(1)．非负性：即)(A f n ≥0； (2)．规范性,即若Ω是必然事件,则)(Ωn f ＝1；(3)．有限可加性：即若A 、B 互不相容(即AB=Φ),则)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n这三条性质的论证是很直观的,因为(1). A n ≥0,所以nn A ≥0；·１０·(2). Ω是必然事件,所以n n =Ω,从而nn Ω=1； (3). 若A ∪B 发生,意味着A 、B 中至少发生其中之一,又因为A 与B 互不相容(即不能同时发生),所以A ∪B 发生的次数一定是A 发生次数与B 发生次数之和,即B A B A n n n += ,从而有)(B A f n ＝)(A f n 十)(B f n成立．频率还具有一些别的性质,但是这三条性质是最基本的,其它的性质可以由它们推出．作为练习,读者不妨自己验证下述几个性质：(1) 不可能事件的频率为零,即)(Φn f =0；(2) 若A ⊂B,则)(A f n ≤)(B f n ,由此还可推得对任一事件A,有)(A f n ≤1；(3) 对有限个两两不相容事件(即任意两个事件互不相容),频率具有可加性.即若A i A j =Φ(1≤i,j≤m,i≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n A f A f 112. 概率的性质:因为频率的本质就是概率,因而我们有理由要求频率的这些性质也是概率所应该具有的．因为对每一个随机事件A,都有一个概率P(A)与之对应,而在§1中我们已经知道事件域ℱ是一个布尔代数,所以概P 实质上是在布尔代数上有定义的一个(集合)函数(因为ℱ中的元素是集合),它应该具有下述性质：(1)．非负性：P(A)≥0,对A ∈ℱ；(2)．规范性：P(Ω)＝1；(3)．有限可加性：若A i ∈ℱ,i ＝1,2,…,n,且A i A j ＝Φ(i ≠j),则()∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i A f A P 11由此可知,给定一个随机试验,也就确定了一个样本空间Ω,事件域ℱ和概率P,其中ℱ是一个布尔代数,P 是定义在ℱ上的一个非负的、规范的有限可加集函数,这样一来,对随机试验这样的一个直观对象,我们就可以用“数学化”的语言来描述它们了．§1.3 古典概型教学目的要求：通过本节的学习,使学生在复习巩固排列组合的基础上掌握古典概型的定义和计算公式,并能灵活运用它们解决实际问题.教材分析：1．概括分析：古典概型在概率论中占有相当重要的地位,早在古代就引起了人们的注意.它的内容比较简单,应用却很广泛,深入考察古典概率问题,有助于我们直观地理解概率论的一些基本概念,合理地解决产品质量控制等实际问题.因此,掌握古典概率问题的解法,对于学好概率论具有十分重要的意义.本节首先给出古典概型的定义,然后在复习排列组合的基础上通过实例讲述古典概型问题的解法,达到灵活运用定义与公式的目的.2．教学重点：古典概型的定义与公式及古典概型问题的解法.3．教学难点：古典概型问题的解法及古典概型定义与公式的灵活运用.教学过程：在§2中已经提到,一个随机试验,数学上是用样本空间Ω,事件域ℱ和概率P来描述的．对一个随机事件A,如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本的课题. 我们先讨论一类最简单的随机试验.一、古典概型的定义与计算公式:1.古典概型的定义:有一类最简单的随机试验,它具有下述特征：(1) 样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为n个,并记它们为ω1、ω2、…、ωn.(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 P(ω1)=P(ω2)=…P(ωn)这种等可能的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用.2.古典概型的计算公式:对上述的古典概型,它的样本空间Ω={ω1、ω2、…、ωn},事件域ℱ为Ω的所有子集的全体．这时,连同Φ、Ω在内,ℱ中含有2n个事件,并且从概率的有限可加性知:1＝P(Ω)＝P(ω1)+P(ω2)+…+P(ωn)于是 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)=1/n·１１··１２· 对任意一个随机事件A ∈ℱ,如果A 是k 个基本事件的和,即A ＝k i i i ωωω 21,则基本事件总数的有利事件数基本事件总数中所含的基本事件数A A n k A P ===)( (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A 的有利事件数),不难验证,上述的概率P(·)的确具有非负性、规范性和有限可加性.事实上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述.以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此.前节例1.1及其有关概率的计算是古典概型的一个例子,但并不是所有古典概型的事件的概率计算都这么容易．事实上,古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧,计算的要点是给定样本点,并计算它的总数,而后再计算有利场合的数目．在这些计算中,经常要用到一些排列与组合公式．二、基本的组合分析公式1.全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘法原理与加法原理．为说明这两条原理,请读者和我们一起参加一个智力游戏.王经理从上海去北京参加一个商品展销会,但途中还要到天津去处理一件业务.从上海到天津可以坐飞机,也可以坐火车,还可以坐船；从天津到北京则只有火车与汽车两种交通工具可用.请问王经理从上海到北京一共有几种走法？图 2.1的图(a)是上述问题的忠实描绘.把它重新表示为(b),使我们一目了然地知道,王经理共有6种走法.这样一种表示方法是具有启发性的,它告诉我们,对于同类问题可有一个通用的计算方法．把上海—天津,再从天津—北京看作相继进行的两个过程,分别记为A 1与A 2．一般地,假设完成过程A 1共有n 1种方法(在我们的游戏中n 1＝3),完成A 2共有n 2种方法(本例中n 2＝2),那末,完成整个过程一共有n 1×n 2种方法(这里3×2＝6)．这就是所谓的乘法原理．现在把游戏的条件稍微改变一下．假定因时间关系,王经理只能去北京和天津中的一地,而从上海直接去北京可以有铁路与民航两种走法,此时王经理的走法一共有多少种呢？直接采用类似图2.1(b)的表示方法,便知此时共有5种走法,如图2.2所示.现在不同的是,两个过程不是相继的而是并行的.因此在计算中不能用乘法,只能用加法．这样,进行过程A 1或A 2的方法一共有n 1+n 2种.这就是加法原理．容易知道,这两条原理可以推广到多个过程的情况．利用上述原理,可以导出排列与组合的公式.2．排列：所谓排列,是从共有n 个元素的总体中取出r 个来进行有顺序的放置(或者说有顺序地取出r 个元素).这时既要虑到取出的元素也要顾及其取出顺序.这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中；另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有r ≤n ．(1)在有放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有n r 种．(2)在不放回选取中,从n 个元素中取出r 个元素进行排列,其总数为rn A ＝n(n －1)(n －2)…(n －r ＋1)这种排列称为选排列.特别当r ＝n 时,称为全排列．(3)n 个元素的全排列数为P n ＝n(n －1)…3·2·1＝n ！3．组合:(1)从n 个元素中取出r 个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:)!(!!!)1()1(!r n r n r r n n n r A r n C r n r n-=+--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 是二项展开式的系数,(a+b)n =∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n r r n r b a r n 0 (2)若r 1＋r 2＋…＋r k ＝n,把n 个不同的元素分成k 个部分,第一部分r 1个,第二部分r 2个,……,第k 部分r k 个,则不同的分法有:!!!!21k r r r n 种,上式中的数称为多项系数,因为它是(x 1＋x 2＋…＋x k )n 展开式中k rk r r x x x 2121的系数,当k ＝2时,即为组合数．(3)若n 个元素中有n 1个带足标“1”,n 2个带足标“2”,……,n k 个带足标“k ”,且n 1＋n 2＋…＋n k =n,从这n 个元素中取出r 个,使得带有足标“i ”的元素有r i 个(1≤i ≤k),而r 1＋r 2＋…＋r k =r,这时不同取法的总数为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k r n r n r n 2211这里当然要求r i ≤n i .4．一些常用等式:把排列公式推广到r 是正整数而n 是任意实数x 的场合,有时是需要的,这时记r x A ＝x(x-1)(x-2)…(x-r ＋1)同样定义!)1()2)(1(!r r x x x x r A r x r x +---==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 及 0!=1, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0x =1. 对于正整数n,若r>n,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n =0.这样一来二项系数有性质: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k n , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k a k a k 1)1( 由于 ∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r n x r n x 0)1(故 n n n n n n 2210=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 利用幂级数乘法又可以证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110 特别地 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n 210222 现在举一些求A ∈ℱ的概率P(A)的例子.在下面的讨论中,如无特别需要,常常把事件域ℱ略去.三、概率直接计算的例子：[例1]一部四本头的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?[解] 若以a,b,c,d,分别表示自左向右排列的书的卷号,则上述文集放置的方式可与向量(a,b,c,d)建立一一对应,因为a,b,c,d 取值于1,2,3,4,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数4!=24,由于文集按“任意的”次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为：2/24=1/12[例2] 有10个电阻,其电阻值分别为1Ω,2Ω,…,10Ω,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于5Ω,一个等于5Ω,另一个大于5Ω,问取一次就能达到要求的概率．[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310310C ,有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114. 故所求概率为P=61310151114=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛[例3]某城有N 部卡车,车牌号从1到N,有一个外地人到该城去,把遇到的n 部车子的牌号抄下(可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码正好为k 的概率．(1≤k ≤N)[解]这种抄法可以看作是对N 个车牌号进行n 次有放回的抽样．所有可能的抽法共有N n 种,以它为样本点全体．由于每部卡车被遇到的机会可以认为相同,因此这是一个古典概型概率的计算问题,有利场合数可以这样考虑：先考虑最大车牌号不大于k 的取法,这样取法共有k n 种,再考虑最大车牌号不大于k-1的取法,其数目有(k-1)n 种,因此有k n -(k-1)n 种取法其最大车牌号正好为k,这就是有利场合的数目,因而所求概率为 P=n nn Nk k )1(-- [例4]设有n 个球,每个都能以同样的概率1/N 落到N 个格子(N ≥n)的每一个格子中,试求:(1)某指定的n 个格子中各有一个球的概率;(2)任何n 个格子中各有一个球的概率．[解]这是一个古典概型问题,由于每个球可落入N 个格子中的任一个,所以n 个球在N个格子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列,故共有N n 种可能分布.在第一个问题中,有利场合相当于n 个球在那指定的n 个格子中全排列,总数为n!,因而所求概率为 P 1=n!/N n .在第二个问题中,n 个房间可以任意,即可以从N 个房间中任意选出n 个来,这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种,对于每种选定的n 个房间,有利场合正如第一个问题一样为n!,故所求概率为nN n n N P !2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 这个例子是古典概型中一个很典型的问题,不少实际问题可以归结为它．例如,若把球解释为粒子,把格子解释为相空间中的小区域,则这个问题便相应于统计物理学中的马克斯威尔—波尔茨曼(MaxWell-Boltzmann)统计．概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n 个人看作上面问题中的n 个球,而把一年的365天作为格子,则N=365,这时P 2就给出所求的概率.例如当n=40时,P 2=0.109,这个概率是意外的小.[例5] (抽签问题)袋中有a 只黑球,b 只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只摸出来,求第k 次摸出的一只球是黑球的概率(1≤k ≤a+b).[第一种解法] 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,则可能的排列法相当于把a+b 个元素进行全排列,总数为(a+b)!,把它们作为样本点全体．有利场合数为a ×(a+b-1)!,这是因为第k 次摸得黑球有a 种取法,而另外(a+b-1)次摸球相当于a+b-1只球进行全排列,有(a+b-1)!种构成法,故所求概率为ba ab a b a a P k +=+-+⨯=)!()!1( 这个结果与k 无关．回想—下,就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.[第二种解法] 把a 只黑球看作是没有区别的,把b 只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 位置上,因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球,而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a 种放法,以这种放法作为样本点.这时有利场合数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a ,这是由于第k 次取得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任取a-1个位置,因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为 b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11 两种不同的解法答案相同,注意考察一下两种解法的不同,就会发现主要在于选取的样本空间不同．在前—种解法中把球看作是“有个性的”,而在后一种解法中则对同色球不加区别,因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列,第二种解法则不注意顺序而用组合,但最后还是得出了相同的答案.这种情况的产生并不奇怪,这说明对于同一随机现象,可以用不同的模型来描述,只要方法正确,结论总是一致的.在这个例子中,第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的a!·b!个样本点合并而成的．这个例子告诉我们,在计算样本点总数及有利场合数时,必须对同一个确定的样本空间考虑,因此其中一个考虑顺序,另一个也必须考虑顺序,否则结果一定不正确．既然同一个随机现象可用不同的样本空间来描述,因此对同一个概率也常常有多种不同的求法,我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题,为此熟悉同一问题的多种不同解法是重要的.例如,对例5就存在着多种不同的解法,上面提供的只是比较自然的两种.注意到在这两种解法中,我们对不同的k 用的是同一个样本空间,也就是说：我们构造了一个可以描述a 十b 次摸球的样本空间,并利用它一举解决了“第k(1≤k ≤a+b)次摸得黑球”这一概率的计算．假如允许对不同的k 用不同的样本空间,则我们完全可以构造一个只包含前k 次试验,甚至只包含第k 次试验的样本空间,这时也能求得有关概率.特别是选用最后一种样本空间简直马上可以看出正确答案,不过这种做法对初学者或许不那么容易理解． 四、古典概率的计算方法:求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现豹可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题.二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n,事件A 包含的样本点数(即A 的有利场合的数目)为k,那么事件A 的概率是 P(A)=nk =样本点总数包含的样本点数事件A =样本点总数的有利场合数A 三是根据公式要求,确定n 和k 的数值.这是解题的关键性一步,计算方法灵活多变,没有一个固定的模式.古典概率一种解法,大体都是围绕n 和k 的计算而展开的.五、几类基本问题:抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.。
概率论与数理统计知识总结之第一章
n
P(Bi|A)=P(A|BJP(Bi)/、P(A|Bj)P(Bj)
1
先验概率：
根据以往数据分析得到的概率
后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率
设代B,C为事件，则有
交换律：
A B=B A; A ' B=B * A.
结合律：
A （B C）= （A B） C;
A' （B ~C） =（A一B厂C.
分配律：
A （B一C） =（A B厂（A C）;
A一（B C）=（A一B） （A一C）.
德摩根律：
A一B = A「B;
A B = A _ B.
频率与概率
生、B不发生时事件A-B发生
5.若^8=,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的。这指的是事件A与
事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
6.若A一B=S且^8=，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发性质：
1.非负性:P(B| A) M)
2.规范性：对于必然事件S,有P(S|A)=1
3.可列可加性：设B，B2,••是两两互不相容的事件,则有
P(UBiI 2、P(Bi|A)
i4
对于任意事件B,C,有
P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)
乘法定理：
设P(A)>0,则有P(AB)=P(B|A)P(A)
P(A -A2-…一An)=P(A1) + P(A2)+…+P(An)
3.设A,B是两个事件，若A B，则有
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B) >P(A)
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如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
三、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
先明确试验的所有可能结果;
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
2. 概率论的应用
概率论是数学的一个分支，它研究随机现象 的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学 领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调 查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干 扰性、分辨率等等.
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生
“骰子出现1点”
互斥
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合
格”
与 “直径合格” 的差. 图示 A 与 B 的差.
B A
A A B B
的现象称为确定性现象. 实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.
H 字面朝上
S1 { H , T }.
T 花面朝上
实例2
抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3
从一批产品中,依次任选三件,记录出
现正品与次品的情况.
记 N 正品, D 次品.
则 S3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
第一节 基本概念
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌 徒胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌 博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡 与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了 概率论的第一个基本概念 数学期望.
实例2
用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数. 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4
从一批含有正品其结果Fra bibliotek能为:和次品的产品中任意抽取
一个产品.
正品 、次品.
实例5
过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
( AB )C A( BC ).
( 3) 分配律 ( A B ) C ( A C ) ( B C ) AC BC ,
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(7) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ,
或 ABC; (8) ABC ABC ABC ABC; (9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
例2 设一个工人生产了四个 零件 , Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品( i 1, 2, 3, 4) , 试用 Ai 表 示下列各事件:
(1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品;
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .
本空间的子集就是随机事件.
随机试验
样本空间
子集
随机事件
基本事件 随 机 复合事件 事 必然事件 件 互为对立事件 不可能事件
三、随机事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为S , 而 A, B, Ak ( k 1,2,) 是 S 的子集.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
B
AB
S
A
B A S
A B S 且 AB
对 立
互
斥
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA.
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
到的呼唤次数.
S7 { 0, 1, 2,} .
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.
2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数.
答案
1. S { 3, 4, 5, , 18}. 2. S {10, 11, 12, }.
说明
1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同. 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
A AB
B
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的积事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件)
事件 A B { x x A 且 x B}称为事件 A 与事件 B 的积事件.
积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
2. 几点说明
(1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件,用 表示必然事件， 用 F 表示不可能事件 例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”,
B = “点数为奇数” 等 等.
(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
实例4
记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
S4 {0, 1, 2,}.
实例5
考察某地区 12月份的平
均气温.
S5 {t T1 t T2 }. 其中t 为平均温度.
实例6
从一批灯泡中任取
一只, 测试其寿命.
S6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例7 记录某城市120 急 救电话台一昼夜接
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人数. 4. 考察某地区 10 月
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
四、样本空间
问题
样本点
随机试验的结果?
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S或 .
样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为 样本点.
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
S
2. A等于B
若事件 A 包含事件 B， 而且事件
B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作
A=B. 3. 事件 A 与 B 的并(和事件) 事件 A B { x x A 或 x B }称为事件 A 与
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”. 分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 同理可知下列试验都为随机试验. 1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 故为随机试验.
B A
S
B A A B
S
7. 事件 A 的对立事件
设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A.
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点” B A A S 若 A 与 B 互逆,则有 A B S 且 AB .
图示 A 与 B 的对立.
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的