2012年数学中考第一轮复习：数与代数考点整理

2012年中考数学第一轮总复习讲义第1－10课时 数与代数（一）考点整理：1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上即有有理数点，又有无理数点。

2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 注：2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．5.实数比大小：（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）利用绝对值：正数＞0＞负数，正数＞负数，两个负数，绝对值大的反而小；（5）平方法：先平方再作差（6）倒数法{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数0,0,0a b a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<(3)作差比较法：设、是两个任意实数，则41,11m m m m n m n m n n n n >⇔>=⇔=<⇔<（）作商比较法：设m 、n 是两个正实数，则6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1； a 1也可表示为a -1,若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab ＝－1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (－a)n =-a n或(a －b)n =－(b －a)n , 当n 为正偶数时: (－a)n =a n 或 (a －b)n =(b －a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：（1）当原数的绝对值≥10时，写成±a×10n 其中1≤a ＜10, n ＝整数位数－1。

（2）当原数的绝对值＜1时，写成±a×10n －，其中1≤a ＜10,，n ＝原数中左起第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点左边的那个零）．如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14³105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．18.混合运算法则：先乘方，开方，后乘除，最后加减. 有括号先算括号里的运算。

在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷51³5. 19.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。

0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。

20.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。

正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方21. 一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）。

正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。

3(1),(2)(3)a a ===22222222233333311121,12144,13169,14196,15225,16256,1728918324,19361,464,5125,6216,7343,8512,9729,=============== 22．二次根式的有关概念(1)二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．双重非负性：0a ≥0≥(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能含有开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．23．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a24．二次根式的运算(1)二次根式的加减： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a(3)二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．25.用有理数估计无理数的大致范围。

采用放缩法。

26．代数式的有关概念．(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．(3)代数式的分类27．整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．在单项式中只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含有字母。

单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。

(2)多项式几个单项式的和，叫做多项式：对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析(3)多项式的降幂排列与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列。

把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。

给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即x b a bx ax )(+=+28．整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(i)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．(ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式，相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质： ),,0(),(是整数是整数n m a a a a n m a a a n m n m n m n m ≠=÷=⋅-+多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接运用乘法公式算：.))((,2)(,))((,)())((332222222b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a ab x b a x b x a x ±=+±+±=±-=-++++=++(3)整式的乘方：单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。

单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：)()(),,()(是整数是整数n b a ab n m a a n n n m n n m == 多项式的乘方只涉及.222)(,2)(2222222ca bc ab c b a c b a b ab a b a +++++=+++±=±29.因式分解： 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用下面的公式直接写出结果．))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-(3)十字相乘法：对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab=q ，a+b=p的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足 a 1a 2=a ，c 1c 2=c,a 1c 2+a 2c 1=b 的a 1，a 2，c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果),0(02≠=++a c bx ax 有两个根X 1，X 2，那么).)((212x x x x a c bx ax --=++（6）拆项、裂项法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.注意：①因式分解与整式乘法的区别；②完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.30．（1）分式的有关概念： 设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简。