刚体的定轴转动

dmg
dω dω dθ dω M = Jα = J =J =J ω dt dθ dt dθ
Mdθ = Jωdω
1 代入 M ＝ mgl cos θ 2
1 mgl cos θ d θ = J ω d ω 2 θ 1 ω ∫0 2 mgl cos θ d θ = ∫0 J ω d ω 1 1 mgl sin θ = Jω 2 2 2
dJ = r dm = ρ 2πlr dr
J =
∫ dJ
=
∫
R
0
1 4 ρ 2 π lr dr = ρπ R l 2
3
2
m 1 ∵ ρ = ∴ J = mR 2 πR l 2
可见，转动惯量与 无关 所以， 无关。 可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量也是mR 其轴的转动惯量也是 2/2。 例3、求长为 、质量为 的均匀细棒对图中不 、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不 同轴的转动惯量。 同轴的转动惯量。 B A 取如图坐标， 解：取如图坐标，dm=λdx X L
M＝Jα 与 F＝ m a 地位相当 m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性 反映质点的平动惯性， 反映刚体的转动惯性 反映质点的平动惯性
三、转动惯量的计算
1、与转动惯量有关的因素： 、与转动惯量有关的因素： 刚体的质量 刚体的质量 实质与转动惯量有关的只有 转轴的位置 转轴的位置 前两个因素。 前两个因素。形状即质量分 刚体的形状 布，与转轴的位置结合决定 刚体的形状 转轴到每个质元的矢径。 转轴到每个质元的矢径。
J＝ mi ri 2 若质量连续分布 J = r 2dm ∑
i
∫
的单位： 量纲： 在（SI）中，J 的单位：kgm2 量纲：ML2 ） dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 为质量元， 为质量元 简称质元。其计算方法如下： 质量为线分布 dm = λ dl 其中λ、σ、ρ分 别为质量的线密 质量为面分布 dm = σ ds 度、面密度和体 密度。 质量为体分布 dm = ρ dV 密度。 QZB
1 θ = θ 0 + ω 0t + α t 2 2 ω = ω 0 + αt ω 2 =ω
2 0
+ 2 αθ
二、刚体定轴转动的转动定律
用牛顿第二定律： 对mi用牛顿第二定律： z
F i + f i = mi a i
切向分量式为： 切向分量式为： Fit+fit= miait= miriα
切向分力与圆的半径及 转轴三者互相垂直
mgl sinθ 3g sinθ = ω= J l
5-2
右图所示刚体对经 过棒端且与棒垂直 的轴的转动惯量如 何计算？ 棒长为 棒长为L 何计算？(棒长为 圆半径为R） 、圆半= m L L J o = mo R 2 3
JL2 = J0 +m0d
2
1 1 2 2 2 J = m LL + moR + mo (L + R) 3 2
线分布 ZZB
面分布
体分布
例1、求质量为 、半径为 的均匀圆环的转动 、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解：∫ R2dm = R2 ∫ dm = mR2 J=
J是可加的，所以若为 是可加的，
O
R
薄圆筒（不计厚度） 薄圆筒（不计厚度） dm 结果相同。 结果相同。 例2、求质量为 、半径为 、厚为 的均匀圆 、求质量为m、半径为R、厚为l 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 取半径为r宽为 宽为dr的薄 解：取半径为 宽为 的薄 圆环, 圆环 dm = ρ 2πrdr l R dr O r l 2 3
Oi r i
fi f it
Fit Fi
mi
两边乘以r 有 两边乘以 i ,有： Fit ri +fit ri = miri2α
外力矩 内力矩
对所有质元的同样的式子求和： 对所有质元的同样的式子求和： ∑Fit ri +∑fit ri = ∑miri2α 一对内力的力矩之和为零， 一对内力的力矩之和为零，所以有 ∑Fit ri = （∑miri2）α 为刚体 令J＝ ∑miri2 J为刚体 对于转轴的转动惯量 对于转轴的转动惯量 表示∑F 用M表示 it ri 表示 （合外力矩） 合外力矩） 则有 M＝J α 即 刚体定轴转动的转动定律
刚体运动学中所用的角量关系及角量和线量 的关系如下： 的关系如下：
dθ ω＝ dt v = rω dω d θ = α = dt dt 2 at = rα a n = rω
2
2
ω、α本来是矢量，由于在定轴转动中轴的 本来是矢量，
方位不变，故只有沿轴的正负两个方向， 方位不变，故只有沿轴的正负两个方向， 可以用标量代替。 可以用标量代替。 在刚体作匀加速转动时，相应公式如下： 在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：
NR = mR α
2
N =
mR α
= 784 N
的均匀细直棒， 例3、一根长为 、质量为 的均匀细直棒，其一端有一 、一根长为l、质量为m的均匀细直棒 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置， 初棒静止在水平位置，求它由此下摆θ角时的角加速度 和角速度。 和角速度。 x O 解：棒下摆为加速过程， 棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩 的力矩。 外力矩为重力对 的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在 棒上取质元 当棒处在 重力矩为： 下摆θ角时，重力矩为：
Z ro mj fij f rj ji mi Oi ri
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体 某一固定转动轴 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获 的转动惯量与刚体在此合外力矩 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获 得的角加速度的乘积。 得的角加速度的乘积。
四、刚体定轴转动的转动定律的应用
一个质量为Ｍ、半径为Ｒ Ｍ、半径为 例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ 的定滑轮（当作均匀圆盘） 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑轮 绕有细绳， 边上，另一端挂一质量为ｍ 边上，另一端挂一质量为ｍ的物 体而下垂。忽略轴处摩擦， 体而下垂。忽略轴处摩擦，求物 由静止下落高度ｈ 体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度 和此时滑轮的角速度。 和此时滑轮的角速度。 解：
第五章 刚体的定轴转动 一、刚体的运动 二、刚体定轴转动的转动定律 三、转动惯量的计算 四、刚体定轴转动的转动定律的应用 五、转动中的功和能 六、刚体的角动量、角动量定理和角 动量守恒定律
一、刚体的运动
刚体： 刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引 起的形状和体积的改变的理想模型。 起的形状和体积的改变的理想模型。 平动：用质心运动讨论 平动： 转动：对点、对轴（只讨论定轴转动） 转动：对点、对轴（只讨论定轴转动） 定轴转动 既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动 既平动又转动： 定轴转动：各质元均作圆周运动， 定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转轴）上。各 都在一条固定不动的直线（转轴） 质元的线量一般不同（因为半径不同） 质元的线量一般不同（因为半径不同）但 角量（角位移、角速度、角加速度） 角量（角位移、角速度、角加速度）都相 同。
θ
dm
X
dmg
M ＝∫ gxdm = g ∫ xdm
据质心定义
∫ xdm＝ mx
xc
C
∴ M = mgx C
O
θ
C
dm
X
重力对整个棒的合力矩与 全部重力集中作用在质心 mg 所产生的力矩一样。 1 1 xc = l cos θ M = mgl cos θ 2 2 1 mgl cos θ 3 g cos θ M 2 α= = = 1 2 J 2l ml 3
mg
对M：M ′＝TR＝Jα
对m : mg T = ma
1 2 J＝ MR 2 a = Rα
解方程得：
m a = m+M
g 2
v 1 4mgh 4mgh v = 2ah = ω= = R R 2m + M 2m + M
例2、一个飞轮的质量为 、一个飞轮的质量为69kg，半 ， 径为0.25m,正在以每分 正在以每分1000转的转 径为 正在以每分 转的转 速转动。现在要制动飞轮， 速转动。现在要制动飞轮，要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下 秒内使它均匀减速而最后停下 求闸瓦对轮子的压力N为多大 为多大？ 来。求闸瓦对轮子的压力 为多大？
1 1 1 L 2 2 J A J C＋ m = ＝ mL + mL = mL2 12 4 3 2
2
推广上述结论， 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J， 平行，相距为 ，刚体对其转动惯量为 ， 则有： 则有：J＝JC＋md2。 这个结论称为平行轴定理。 这个结论称为平行轴定理。 平行轴定理
J
A
=
∫
L
0
x λ dx = mL
2
2
/3
/ 12
A L/2
C L/2
B X
JC =
∫
L 2 L 2
x 2 λ dx = mL
2
2、平行轴定理 、 前例中J 前例中 C表示相对通过质心的轴的转动惯量 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。 ， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两 轴平行，相距L/2。可见： 轴平行，相距 。可见：
F ω0
解：飞轮制动时有角加速度
α=
ω ω0
t
fr
N ω0 α
ω 0 = 1000r / min = 104.7rad/s ω = 0 t = 5s ∴α = 20.9rad/s