定积分
定积分不定积分
定积分不定积分
定积分与不定积分是数学中的重要概念，它们的基本概念是定积分与不定积分的对比。
1、定积分：它是指对某区间上一个复合函数在其上求和的操作，它可以完成求定积分，这是一个求极限的过程，当把某个函数积分的过程越来越好的时候，可以使函数的值接近某个极限，从而得到定积分的结果。
2、不定积分：它是指对某区间上某函数不断增加或减少的积分过程，它可以完成求不定积分，这是一个寻找极值的过程，当函数一次性地积分，那么就会得到函数在某个区间上的最大值或最小值，从而得到不定积分的结果。
总之，定积分与不定积分是互为对立的概念，其针对的是相同的函数，但是它们分别根据对该函数的求积分过程，来进行极限求解或极值求解，从而得出不同的结果。
- 1 -。
定积分计算公式大全
定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。
1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
2. 定积分的线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。
- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。
二、定积分的换元积分法。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。
例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。
令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。
所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
定积分的定义是通过求解函数的极限来得到，它描述了一个曲线下的面积。
本文将介绍定积分的定义及其相关概念，并解释如何使用定积分求解实际问题。
定积分的定义可以通过分割区间，然后求和极限来得到。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则称函数f(x)在[a,b]上的定积分为∫(a到b)f(x)dx其中，∫表示积分符号，被积函数f(x)是被积函数，dx表示关于自变量x的微元，a和b是积分的上下限。
积分符号∫起源于拉丁语"summa summum"，意思是“求和”。
定积分的基本思想是将区间[a,b]分割为n个小区间，然后在每个小区间中取一个点，记作ξi，将每个小区间的函数值乘以区间长度Δxi，然后求和。
当n趋于无穷大时，这些近似值的和趋于定积分的值。
数学上可以表示为：∫(a到b)f(x)dx = lim(n趋于无穷大)(Σf(ξi)Δxi)上式中，Σ表示求和，f(ξi)表示在区间[xi, xi+1]中某点ξi的函数值，Δxi表示区间[xi, xi+1]的长度。
定积分有很多重要的性质。
首先，如果函数f(x)在[a,b]上非负，则定积分的值表示曲线下的面积。
其次，如果在[a,b]上函数f(x)为负值，那么定积分的值表示曲线与x轴之间有向面积。
在实际应用中，定积分经常用于求解曲线下的面积、体积、质心以及众多概率统计问题。
比如，可以利用定积分计算圆的面积、球的体积，还可以求解质量分布、重心、平衡问题。
此外，在统计学中，定积分有着广泛的应用，例如在概率密度函数中计算概率、求解期望值等。
在计算定积分时，可以使用多种方法。
一种常见的方法是使用基本的积分法则，将被积函数进行重写、分解或代换，以方便求解。
另一种方法是使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等。
这些数值方法可用于近似求解定积分，适用于无法解析求解的情况。
定积分的概念是微积分领域中的基础知识之一。
定积分的概念
b
b
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx.
b c
性质3：
性质4：
b
a b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a b a
c
1dx
a
dx b a.
性质5： 如果在[a, b]上，f ( x) 0, 则 f ( x)dx 0 a b). （
x a、x b之间的各部分面积的代数和。
a
4.例子 应用定义计算 x dx 及
2 0
解：
e dx (1) f ( x) x 在[0,1]上连续，故 x dx存在。
x
2
1
1
0 1
2
0
1 i 将[0，n等分，则xi , 取 i (i 1,2, , n), 有 1] n n n n 1 2 1 2 0 x dx lim0 f ( i )xi lim0 i n i 1 i 1
x
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) [ F ( x)]
x a
b
a f (t )dt也是f ( x)的一个原函数，从而
(微积分基本公式）
F ( x) ( x) C.令x a有F (a) C.即F ( x) ( x) F (a) 或 ( x) f (t )dt F ( x) F (a).令x b, 则
a
b
n
b
a
f ( x)dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4．∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
定积分的概念
定积分的概念1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义。
说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个一、定积分的定义。
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分。
在数学上，定积分可以表示为∫abf(x)dx，其中a和b是积分的区间，f(x)是被积函数。
下面我们将介绍一些常见的定积分公式。
二、基本定积分公式。
1. 基本积分公式。
∫xndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数。
2. 基本三角函数积分公式。
∫sinxdx = -cosx + C。
∫cosxdx = sinx + C。
∫sec^2xdx = tanx + C。
∫csc^2xdx = -cotx + C。
3. 基本指数函数积分公式。
∫e^xdx = e^x + C。
∫a^xdx = a^x/lna + C，其中a>0且a≠1。
4. 基本对数函数积分公式。
∫(1/x)dx = lnx + C。
5. 基本反三角函数积分公式。
∫(1/√(1-x^2))dx = arcsinx + C。
∫(1/√(1+x^2))dx = arctanx + C。
6. 基本双曲函数积分公式。
∫coshxdx = sinhx + C。
∫sinhxdx = coshx + C。
∫sech^2xdx = -tanhx + C。
∫csch^2xdx = -cothx + C。
三、定积分的性质。
1. 定积分的线性性质。
∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
2. 定积分的区间可加性。
若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫abf(x)dx = ∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx。
3. 定积分的保号性。
若f(x)在区间[a, b]上连续且f(x)≥0，则∫abf(x)dx ≥ 0。
四、定积分的常用公式。
1. 定积分的换元积分法。
若∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫g(x)dx，则∫f(u)du = ∫g(x)dx，其中u=φ(x)。
第一节定积分的概念和性质
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
解
原极限
lim
n
n i 1
i n
cos
i n
1 n
易见，若取
xi
i n
,
O
1 n
2 n
...
i n
...
n 1 n
1
x
则
xi
1 n
,
i
i n
[
xi
1
,
xi
],
n
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
由此可见，被积函数应取为 f ( x) x cos x,
例2 利用定积分表示以下极限.
lim
n
n
1 n
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
n
解
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
i
i n
(i 1, 2,, n)
故
1 0
x 2dx
lim
n
1 n3
(12
22
Hale Waihona Puke 32 n2 )
定积分
第十七节定积分[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①kf(x)d x＝kf(x)d x.②[f1(x)±f2(x)]d x＝f1(x)d x±f2(x)d x.③f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x.2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)d x＝F(x)＝F(b)－F(a)．[探究] 1.若积分变量为t，则f(x)d x与f(t)d t是否相等？2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？3．定积分[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？[自测·牛刀小试]1.d x等于( )A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．(教材改编题)d x＝________.5．由曲线y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________．[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x2＋2x＋1)d x； (2)(sin x－cos x)d x；(3)x(x＋1)d x； (4)d x；(5) sin2d x.———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分：(1)|x－1|d x； (2) d x.[例2] d x＝________.在本例中，改变积分上限，求d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．[例3] (2012·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．6若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A. B. C. D.[例4] 列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)d t.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)d x.4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( )A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负，而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A. B. C. D.2．(2012·山东高考)设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.d x＝( )A．ln x＋ln2x B.－1 C. D.2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A. B. C. D.3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)d x＝3f(x0)，则x0等于( )A．±1 B.C．± D．24．设f(x)＝则f(x)d x＝( )A. B. C. D．不存在5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )A. mB. mC. mD. m6．(2013·青岛模拟)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )A. B．1 C. D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a＝sin x d x，则曲线y＝f(x)＝xa x＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)d x，则该数列的前5项之和S5等于________．9．(2013·孝感模拟)已知a∈，则当(cos x－sin x)d x取最大值时，a＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分：(1) sin2x d x； (2)2d x； (3)e2x d x.11．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．12．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．1．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在 s～6 s间的运动路程为________．2．计算下列定积分：(1) (3x2－2x＋1)d x； (2)d x.3．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v(t)＝某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min行驶的路程超过7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？ 六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1] 已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解] y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2＝(e x＋e－x)2－2a(e x＋e－x)＋2a2－2.令t＝e x＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，y min＝f(a)＝a2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2] 设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．[解析] 因为a，b∈R，a2＋2b2＝6，所以令a＝cos α，b＝sin α，α∈R.则a＋b＝cos α＋sin α＝3sin(α＋φ)，所以a＋b的最小值是－3.[答案] －3[点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这是由条件a，b∈R得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)，≥(a≥0，b≥0)，ab≤2≤(a，b为实数)．[例3] 函数f(x)＝＋(0<x<1)的最小值为________．[解析] f(x)＝＋＝＝，令t＝3x＋1，则x＝，t∈(1,4)，f(x)变为g(t)＝＝＝＝，因为t∈(1,4)，所以5>t＋≥4,0<－＋5≤1，≥9，所以f(x)的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f(x)＝x ln x，则函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值为________．[解析] 因为f′(x)＝ln x＋1，所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f ＝－；③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝t lnt.所以f(x)min＝[答案] f(x)min＝[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，易得，f(x)的最大值为3，最小值为－17. [答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a，b)内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．[解析] 由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2，解得x≥.所以f(x)＝其图象如图所示．由图形，易知当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝f＝＝. [答案] [点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值[例1] 已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)[解析] 画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝d(0<d<1)，如图所示，直观上知0<a<1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|＝|lg b|，得－lg a＝lg b，从而得ab＝1，则10<abc<12. [答案] C[点评] 通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围[例2] 已知m∈R，函数f(x)＝x2＋2(m2＋1)x＋7，g(x)＝－(2m2－m ＋2)x＋m.(1)设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．如果p(x)＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m的取值范围；(2)设函数h(x)＝是否存在m，对于任意非零实数a，总存在唯一非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋mx＋7＋m，令p(x)＝0，①因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根，由p(x)＝0，得m＝－＝－＝2－(x＋1)－，因为1<x<5，令t＝x＋1，则2<t<6，如图所示，所以－<m≤2－4. 当m＝2－4时，p(x)＝0有两个相等的根，所以实数m的取值范围是－<m<2－4.(2)由题意，得当x≥0时，h(x)＝x2＋2(m2＋1)x＋7，h(x)在区间[0，＋∞)上单调递增；当x<0时，h(x)＝－(2m2－m＋2)x＋m，h(x)在区间(－∞，0)上单调递减．记A＝{h(x)|x≥0}，B＝{h(x)|x<0}，则A＝[7，＋∞)，B＝(m，＋∞)．(ⅰ)若∀a>0时，如图(1)知，由于h(x)在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b<0，且A⊆B，即m≤7；(ⅱ)若∀a<0时，如图(2)知，由于h(x)在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b>0，且B⊆A，即m≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m＝7时，A＝B，对于∀a≠0，则∃b(b≠a，且ab<0)，使得h(a)＝h(b)．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m＝－(1<x<5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a>0，存在b≠a，使得h(a)＝h(b)的条件是m≤7；反过来，对于∀a<0，存在b≠a，使得h(a)＝h(b)的条件是m≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y＝1＋(|x|≤2)的图象与函数y＝k(x－2)＋4的图象有两个交点，那么实数k的取值范围是________．[解析] 函数y＝1＋的值域为[1,3]，将y－1＝两边平方，得x2＋(y－1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y＝1＋的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(－2,1)和点B(2,1)；函数y＝k(x－2)＋4是过定点P(2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k的范围是. [答案] [点评] 函数y＝1＋的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y＝x＋作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式＝3＋k(x－2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k的取值范围．。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分的定义
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
=8－4=4.
答案:4
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于 每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求 定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再 相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
2
0 f
x dx
2
20
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能判断
【解析】选A.由定积分的概念可知,
2
1
f
x的d值x 为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）012d表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0 2dx
2.
答案:2
(2)
2
1
x表dx示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3所, 以
2
2 xdx 3 .
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
定积分的概念
似代替这小段时间内各时刻的速度，因此在 [ti 1 , ti ] 上可近似认为物体
作匀速直线运动，故有
si v( i )ti , i 1,2, , n ．
⑴ 分 割 ： 将 [T1 , T2 ] 任 意 分 成 n 个 小 时 间 段 [ti 1 , ti ] ， i 1, , n ， 其 中
t0 T1, tn T2 ．记 ti ti ti 1 ，在 [ti 1 , ti ] 内物体经过的路程为 si ，i 1,2, , n ．
x a,所
围成的曲边梯形的面积
A．
32-3
由于矩形的面积可直接计算，因此用平行
于 y 轴的直线将曲边梯形分成许多小曲边梯形，
并且因为 y f ( x ) 在 [a, b] 上连续，使得每一个
小曲边梯形上对应曲线的纵坐标 f ( x) 变化较
间间隔 [T1 , T2 ] 上的连续函数，且 v(t ) 0 ，求在时间间隔
[T1 , T2 ] 上物体所运动的路程 s ．
由于 v (t ) 是随时间 t 的变化而变化的，因而不能简单地利用匀
速直线运动的公式：
路程=速度×时间
来计算变速直线运动的路程．
32-8
下面也分四个步骤，求出在时间间隔 [T1 , T2 ] 内物体所运动的路程 s ．
② 当 b a 时，
① 当 b a 时，
a
将 [a, b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ], i 1,2, , n ，
记 xi xi xi 1 ， i 1,2, , n ， max{xi } ．
定积分的概念
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
解决步骤 :
1) 分割
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
83
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
93
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
33
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
x i ． ， 为 xi xi xi 1 (i 1, , n)，记 max 1 i n
近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
作乘积 f ( i )x i ,
求和：作和式 S = f ( i )xi
பைடு நூலகம்
y
o a x1
xi 1 xi
i
A lim f ( i )x
0
定积分公式表完整
定积分公式表(可以直接使用，可编辑实用优秀文档，欢迎下载）1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 ) 例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰(1)u ≠-（3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =+（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
积分与定积分
积分与定积分积分和定积分是微积分中的重要概念。
它们在数学和应用科学中有广泛的应用。
本文将介绍积分和定积分的定义、性质和计算方法。
一、积分的定义与性质1.1 定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。
设函数f(x)在[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分可表示为：∫(a到b) f(x) dx该积分表示曲线y=f(x)与x轴所围成的曲边梯形的面积。
1.2 积分的性质积分具有以下性质：（1）线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，且k为常数，则有∫(a 到b) [f(x)+g(x)] dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(a到b) g(x) dx以及∫(a到b) kf(x) dx=k∫(a到b) f(x) dx。
（2）区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫(a到c) f(x) dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(b到c) f(x) dx。
（3）积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x) dx=f(ξ)。
二、定积分的计算方法2.1 几何意义法定积分可以通过几何意义来计算。
例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分，可将函数图像与x轴所围成的面积分为若干个几何图形的面积之和，然后分别计算每个几何图形的面积并求和。
在本例中，将曲边梯形近似为矩形，计算可得定积分的值为1/3。
2.2 基本积分法基本积分法是通过函数的不定积分来计算定积分。
定积分与不定积分之间有着密切的联系，可以利用不定积分来计算定积分。
例如，要计算函数f(x)=2x在区间[1, 3]上的定积分，首先求出函数f(x)的不定积分F(x)=x²+C，其中C为常数。
然后，利用不定积分的基本性质，计算定积分的值为F(3)-F(1)=9-1=8。
2.3 分部积分法分部积分法也是计算定积分的一种常用方法。
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F(x)
＝F(b)－F(a) .
1.定积分 A.－1 C.1 解析： 答案：B
cosxdx＝ B.0 D.π cosxdx＝sinx ＝sinπ－sin0＝0.
(
)
2.已知k＞0， A.0 C.0或1 解析： x3
(2x－3x2)dx＝0，则k＝ B.1 D.以上均不对
(
)
(2x－3x2)dx＝
(
)
解析：
答案：D
2.(2010· 开原模拟)若
(2x＋
)dx＝3＋ln2,则a的值为 ( )
A.6
B.4
C.3
解析：
D.2
答案：D
3.如图，阴影部分的面积为 (
)
解析：阴影部分的面积为
答案：C
4.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若 则x0的值为 解析： .
f(x)dx＝ f(x0),0≤x0≤1，
区间[－a，a]上连续，则
(2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用 定积分的性质 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx，根据函数 的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析 式，分别求出积分值，相加即可.
求下列定积分：
[思路点拨]
[课堂笔记]
(4)令f(x)＝3x3＋4sinx，x∈[－ ∵f(x)在[－ ， ]上为奇函数，
速度为a＝－0.4 m/s2，
设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v＝v0＋ adt
＝20－
0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s).
设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则 S＝ vdt＝ (20－0.4t)dt＝500(m)，
所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动.
速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定
积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度 函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分 v(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度v，等于其加速度 函数a＝a(t)在时间区间[a，b]上的定积分 a(t)dt.
(2)如果变力F(x)使得物体沿力的方向由x＝a运动到x＝b(a＜ b)，则变力F(x)对物体所做的功W＝ F(x)dx.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成面积 去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即
所以阴影部分面积S为
∵S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－
∴当t＝ 答案：
)＝0时，得t＝0，t＝
)＝ .
.
时，S最小，且最小值为S(
1.(2009· 福建高考) A.π C.π－2
(1＋cosx)dx等于 B.2 D.π＋2
2.微积分基本定理 一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)是区间[a，b]上的连续的 函数, f(x)dx＝ F(b)－F(a) .
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数. 为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作 f(x)dx＝ F(x) ，即
2xdx－
3x2dx＝x2
－
＝k2－k3＝0.∴k＝0或k＝1.又k＞0，∴k＝1.
答案：B
3.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则 x)dx的值等于 (
f(－ )
A.
C.
B.
D.
解析：∵f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1， 即f(x)＝x2＋x.
答案：A
解析：
答案：2(e－1)
线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和
v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和 t1，下列判断中一定正确的是 A.在t0时刻，两车的位置相同 B.t0时刻后，乙车在甲车前面 ( )
C.在t1时刻，甲车在乙车前面
D.t1时刻后，甲车在乙车后面
【解析】
路程S甲＝
v(t)dt的几何意义为曲线v甲与t v(t)dt的几何意义
若将本例中“直线y＝x，y＝3x”改为“y＝x3－2x”，又
该如何求解？
解：由x3－2x＝x2⇒x＝－1,0,2，
所以面积为S＝
2x)dx＝
(x3－2x－x2)dx＋
(x2－x3＋
定积分在物理中的应用，主要包括①求变速直线运动的路 程；②求变力所做的功两部分内容. (1)要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的
g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图(3))：
求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.
[思路点拨]
[课堂笔记] 作出曲线y＝x2，直线 y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图 中阴影部分的面积.
解方程组
解方程组
得交点(1,1)，
得交点(3,9)，
因此，所求图形的面积为
列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加 速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离
车站多远处开始制动？
[思路点拨]
[课堂笔记] 因列车停车在车站时，速度为0.故应先求出速 度的表达式，之后令v＝0，求出t.再根据v和t应用定积分求 出路程. 已知列车速度v0＝72 km/h＝20 m/s，列车制动时获得的加
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
即：
所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本 思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
1.定积分的性质 (1) (2) kf(x)dx＝ f(x)dx(k为常数) ；
[f1(x)±f2(x)]dx＝
f1(x)dx±
f2(x)dx ； .
(3)
f(x)dx＝
f(x)dx＋
f(x)dx(其中a＜c＜b)
高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基 本定理求已知函数在某一区间上的定积分或求曲边梯 形的面积.09年广东高考以物理知识为载体，考查了定
积分的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解
决问题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方 向.
[考题印证] (2009· 广东高考)已知甲、乙两车由同 一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直
5.曲线y＝ 解析： 答案：
与直线y＝x，x＝2所围成图形面积为
.
－ln2
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函 数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是
互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.
[特别警示] (1)若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上 连续，则 f(x)dx＝2 f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在 f(x)dx＝0.
(1)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴，一条曲线y＝ f(x)[f(x)≥0]围成 的曲、边梯形的面积(如图(1))：
(2)由三条直线x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴、一条曲线y＝f(x)[f(x)≤0]围成 的曲边梯形的面积(如图(2))：
(3)由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝
答案：
5.y＝sinx(0≤x≤2π)与x轴所围成图形的面积是 解析：
.
答案：4
6.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为 线方程. 解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 .试求：切点A的坐标及过切点A的切
y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－ 令y＝0，得x＝ .即C( ,0). .
＝t1及t轴所围的区域面积，同理S乙＝ 因而选C.
为曲线v乙与t＝t1及t轴所围的区域面积.由图易知S甲＞S乙，
【答案】
C
[自主体验] 在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，若 ∈[0,1]，则图中阴影部分的面积S1与
S2之和最小值为
.
解析：S1面积等于边长为t与t2矩形面积去掉曲线y＝x2
与x轴、直线x＝t所围成的面积，即
，
]
1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1)画出图形； (2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出 积分的上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；
(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.
2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法