数学选修23知识点总结

第二章 概率 总结

一、知识结构

二、知识点

1.随机试验的特点:

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

2.分类 随机变量

（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。）

离散型随机变量

在上面的射击、产品检验等例子中，对于随

机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一

一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变

量．

连续型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变

量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.

随机变量 条件概率 事件的独立性

正态分布 超几何分布

二项分布 数学期望 方差

离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量

连续性随机变量

3.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为

x1,x2, ,x i , ,x n

X取每一个值xi(i=1,2,）的概率

P(ξ=x i）＝P i，则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：

①pi≥0, i =1，2，…；

②p1 + p2 +…+p n= 1．

③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤

例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.

解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0

且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3

因此所求分布列为：

引出

二点分布

如果随机变量X的分布列为：

其中0

超几何分布

一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，

则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --===，其中{}min

,m M n =,

且*

,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列

为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布

注意：

（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量

解题步骤：

例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率

解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少

摸

到

3

个

红

球

的

概

率

为

(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020

555

303030

C C C C C C C C C =++ ≈0.191

答：中奖概率为0.191.

n

N

n M

N M

C

C C -0n

N

n M

N M

C

C C 11--n

N

m n M

N m M

C

C C --

条件概率

1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率

2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB

3.条件概率计算公式:

P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:

解题步骤：

例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.

解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，

所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9.

.

0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P 发生的条件下样本点数在包含的样本点数

发生的条件下在A B A )A |B (=P 包含的样本点数包含的样本点数A AB =总数包含的样本点数总数包含的样本点数//AB A =)(P(AB)A P =

公式推导

过

程

.1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .

10

3

)(=A P