2020年东北三校高三一模理科数学试题(含答案和解析)(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案
东北三校（哈尔滨师大附中等）2020高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A．0x -= B．0x += C0y -= D0y +=2．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)1,e -+∞C ．[]32ln 2,-+∞ D ．[]32ln3,-+∞3．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ．2B．C ．6D．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]6．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．37．设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则a =（ ）A ．-1或1B ．1或5C ．-1或3D ．3或58．已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是（ ）A ．5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()121,223n n na S a n S =-++=≥，则下面选项为等差数列的是（ ） A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[,]- D ．2[,0]3-12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析
D.VS
第 H 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分 ，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力． 假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池 充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号，充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
）＝
I ri
斗
一 lx-21,xξ［1,3)
／工 ← 1\
\2f（丁），巾，＋∞）
’ 则函数
f(x ）的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j＼ln(2,--x）以1的图象
在区间［-5,7］上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列｛a＂｝的通项公式为ι ＝ 2η十2，将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点，
E是AB 的中点．
C I ）证明：DE／／平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一 点，且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为 ，求二面角F BAi A的余 A
弦值．
D
C1
19.（本小题满分12分） 为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽 取了100万个样本，调查 了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症状：人睡困 难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据l：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C症状人数为6. 5万，其中 含 AB 症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1 万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状 同时出现0.5万人； 数据2：同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人 数为73万人．
东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学)2020届高三第三次联合模拟考试数学(理)含答案
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2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。
吉林省东北师大附中2020届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题 PDF版含答案
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5．素数也叫质数，部分素数可写成“2n﹣1”的形式（n 是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数
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−
3
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0的解集为
A．(−∞， − 2)⋃(0，2) C．(−2，0)⋃(0，2)
B．(−2，0)⋃(2， + ∞) D．(−∞， − 2)⋃(2， + ∞)
12．若关于������������的方程e������������������������
+
e������������+1 ������������+e������������
������������ ，命题������������ :������������⋂������������ ≠∅ ，则下列命题中真命题的是
A．������������ ∧ ������������
B．������������ ∨ (¬������������)
C．(¬������������) ∧ (¬������������) D．(¬������������) ∧ ������������
C．������������(2 + ������������)4
D．������������(1 + ������������)4
二、填空题
13．已知函数������������(������������) = �������������(������������ − 1)， −√−������������，
2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {0}C. {-1，0，1}D. [-1，1]2.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. ∃x∈R，x3-x2+1≥0B. ∃x∈R，x3-x2+1＞0C. ∃x∈R，x3-x2+1≤OD. ∀x∈R，x3-x2+1＞03.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）=（）A. -16B. -13C. -12D. -104.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x5.等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）A. 14B. 21C. 28D. 636.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（）参考数据：若X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973A. 171B. 239C. 341D. 4777.在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n=r n（cos nθ+i si n nθ），则（）5=（）A. B. C. D.8.运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：111.椭圆+y2=1上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则||=（）A. 1B.C.D.12.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（）A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______．14.函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，则ω的最小值为______．15.若函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是______．16.已知f（x）=+b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①f（x）关于点（0，b）成中心对称②f（x）在（0，+∞）上单调递增③存在M＞0，使|f（x）|≤M④若g（x）有零点，则b=0⑤g（x）=0的解集可能为{1，-1，2，-2}三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin A-cos B的取值范围．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=，PA=2，点M是棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：（t i）（y i）=-1800参考公式：回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．21.已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x-）．22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．23.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n=1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x-a|-f（x）≤（a ＞0）恒成立，求正数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x∈Z|x2≤1}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3-x2+1＞0故选：B．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）===-12．故选：C．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）==0.47725，则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）=500×0.47752≈239．故选：B．先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．7.答案：A解析：解：（）5==+i=-i．故选：A．（）5=，再利用棣莫弗定理即可得出．本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得s=0，k=1第1次执行循环体，s=1，k=2第2次执行循环体，s=4，k=3第3次执行循环体，s=13，k=4第4次执行循环体，s=40，k=5第5次执行循环体，s=121，k=6由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5＞4时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），=（2，-1，-），=（0，-2，0），设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：A．10.答案：D解析：解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选：D．根据表中的数据逐项进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：C解析：解：∵椭圆+y2=1上，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x-2y-3=0对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为-，则x12+4y12=4，①x22+4y22=4，②①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，∴=-=-，∴2y0=x0，代入直线方程4x-2y-3=0，得x0=1，y0=，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∴=（x1+x2，y1+y2）=（2，1）∴||==，故选：C．将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，∵D′E⊥AE，CE∩AE=E，∴D′E⊥平面ABCE，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），=（1，0，0），=（1，-1，0），=（0，-1，1），设平面ABD′的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点C到平面ABD′距离的最大值为：d===．故选：B．当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：80解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=24，a8=17，∴4a1+d=24，a1+7d=17，解得a1=3，d=2，则S8==80．故答案为：80．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，故：（k∈Z），解得：ω=6k+2（k∈Z），由于：ω∈N*，当k=0时，ω的最小值为2．故答案为：2直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：0＜m≤3解析：解：函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，由x≥0时，f（x）=1+2x递增，可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，且1+20≥0+m-1，即m≤3，综上可得0＜m≤3．故答案为：0＜m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：①③⑤解析：解：对于①，函数y=是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，所以函数f（x）=+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；对于②，x＞0时，f'（x）==，当-时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[-，]上单调递增，在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-）上单调递减，在[-，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y=→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（-），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=，b不一定为0，④错误；对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．对于①根据y=是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B，∴两边同时乘以cos A cos B，可得2sin A•sin B（cos A cos B-sin A sin B）=sin A•sin B，∴2cos A cos B-2sin A sin B=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）sin A-cos B=sin A-cos（-A）=sin A-cos A-sin A=sin A-cos A=sin（A-），∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，），sin A-cos B的取值范围为（-，）．解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小．（Ⅱ）化简sin A-cos B为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，∴OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，0，2），∴=（0，+1，0），=（-1，1，2），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得平面PBD的一个法向量=（2，0，1），设=λ（0≤λ≤1），则=+=（1-2λ，1，2λ），∴||==，∴当λ=时，||取得最小值，此时=（，1，），设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．解析：（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333，-=363-333=30（N），所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分）（II）=80，=80，（t i-）（y i-）=-1800，=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+（120-80）2+（140-80）2+（160-80）2=24000；回归系数为===-0.075，==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出-的值；（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），∴直线AF的斜率为，由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=x+1，令y=-1，x=，∴B（，-1），直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，∴直线AB与抛物线相切．（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为==，直线AN的斜率为=，∵AM⊥AN，∴•=-1，∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，∴，∴x2-x-4=0，∴x1+x2=，x1x2=-4∴x02+x0-4=-16，∴y02-2y0-3=0∵y0＞0，∴y0=3，又x0＞0，∴x0=2，∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分）即-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分）当k=2时，，g′（1）=0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立，故k的最大值为2．--------（6分）证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分）当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）•e2（x-1）＜x，ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，①--------（9分）下面证明：-，②令H（x）=ln（2x-1）-（-），则H′（x）=≥0，∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分）由①+②得ln＞2（x-）成立．---------（12分）解析：（I）推导出f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k=2时，，g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）•e2（x-1）＜x，从而ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，再证明：-，由此能证明ln＞2（x-）成立．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×=----（4分）（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分）∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分）P（，±）---------（10分）解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S2×=；弓形=S扇形OMN=×1（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。
东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题答案解析与点睛(22页)
东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题数学（理科）试题一、选择题1.若i 是虚数单位,在复平面内复数21ii-+表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法的运算法则,化简复数21ii-+,最后选出正确答案. 【详解】因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21i i-+表示的点的坐标为13(,)22-,该点在第四象限. 故选D【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.2.若全集{}*2560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则()U B A ⋂ð（ ）A. {}0,1,5B. {}1,5C. ∅D. {}0,1,4,5,6【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出()U B A ⋂ð. 【详解】{}{}{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6U A =ð,因此(){}1,5U B A ⋂=ð. 故选B【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. 32y x = B. xy e-=C. 21lg y x =-D. 6y x =+【答案】D 【解析】 【分析】对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.【详解】选项A ：函数32y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意； 选项B ：函数()xy f x e-==的定义域为全体实数集. ()()xxf x eef x ----===,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()x x x f x e e e --===,因为101e<<,所以该函数此时是减函数,不符合题意；选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.4.设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3xy =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=；因为函数5x y =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选D【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.5.素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A. 710 B. 810C. 910D. 1010【答案】C 【解析】 【分析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=. 故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D7.“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断不等式210ax ax a-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案. 【详解】因为关于x 的不等式210ax ax a -+≥的解集为R ,所以有：0a >且21()40a a a--⋅≤,所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的必要不充分条件. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.8.已知函数()3211,0log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（ ） A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U B. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (]3,00,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. []4,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()311211122f a a a ≤⇒+-≤⇒-≤≤,而0a ≤,所以 302a -≤≤； 当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述： 实数a 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选B【点睛】本题考查了分段函数不等式解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.9.二次函数2y ax bx c =++和2y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题:p MN ,命题:q M N ≠∅I ,则下列命题中真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时显然:p MN是假命题,而244ac b a -是负的, 244ac b c-是正的,故命题:p MN 是假命题, 命题:q M N ≠∅I 是真命题；(2)当0a >,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,的二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (3)当0a <,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (4)当0a <,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -是正数、 244ac b c-是负数,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； 综上所述：p 是假命题,q 是真命题.选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题；选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题； 选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题.故选D【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.10.若函数(),0231,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'10xx f x e x a fx e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：2001311a a a a>⎧⇒<≤⎨-≤+⎩,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选C【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.11.已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,若对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则()30f x x->的解集为（ ）A. ()(),20,2-∞-UB. ()()2,02,-+∞UC. ()()2,00,2-UD. ()(),22,-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】 根据所求不等式形式构造新函数,根据()()2112120x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()30f x x->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有()()()()21121221121212121212()()000x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x ---⋅<⇒<⇒<---,设()()f x g x x=,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数. 由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.所以当0x >时,()30()(2)02f x g x g x x->⇒>⇒<<； 当0x <时,()30()(2)0220f x g x g x x x->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述： ()30f x x->的解集是()()2,00,2-U . 故选C【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.12.若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈,2.71828e =L L 为自然对数的底数,则3122312x x x xx x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. eB. 2eC. ()42m m +D. ()41m m +【答案】B 【解析】 【分析】根据所给方程的特征,令x xt e=进行换元,方程转化为2(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()xxg x e =的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令x x t e =,所以由10x x xx e m e x e+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =,1()xx g x e'-=,当1x >时, '()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '()0g x >,所以函数()x xg x e =单调递增,而1(0)0,(1)g g e ==,显然当0x >时, ()0>g x ，当0x <时, ()0<g x ，因此函数()x xg x e=的图象如下图所示：要想关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且12312123,x x x x x x t t e e e===, ()()3122231212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,31222312111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选B.【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.二、填空题13.已知函数()()1,0f x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩,那么74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________． 【答案】12- 【解析】 【分析】求74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,而14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值直接代入即可求出.【详解】773311(1)()(1)()444442f f f f f ⎛⎫=-==-=-==- ⎪⎝⎭. 故答案为12-【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.14.函数()()212log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________． 【答案】()3,6 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()f x 的定义域为：{}06x x <<,()()221122log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6.故答案为()3,6【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,则()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当23x <≤时,函数的解析式即可.【详解】边长为1的正方形ABCD ,当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =；当1x =时, C 点的坐标为：,即(1)f =当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =； 当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =； 当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =；当5x =时, C 点的坐标为：,即(5)f =当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的14圆,其方程为：22(2)1x y y -+=⇒=,所以()f x =.【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力.16.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________． 【答案】[)5,-+∞ 【解析】 【分析】根据函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范围,求出()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【详解】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<. ()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为[)5,-+∞【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.三、解答题17.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-． (1)求角B 的值；(2)若ABC V的面积为,b =,求a c +的值．【答案】(1)3π；(2)9 【解析】 【分析】(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值． 【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,所以222cos 2a c b B ac+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3B π=.(2)由(1)知3B π=,又b =,2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①又1sin 2S ac B ==20ac ∴=,②由①②得，2241a c +=,所以()222a c a c +=++281ac =, 所以9a c +=.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.18.已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数． 【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】 【分析】(1)对函数()f x 进行求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数单调性,最后确定函数零点个数.【详解】(1)()22a f x x x '=-()22x ax-=, 故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x在)+∞上单调递增, 令()0f x '<,得x <所以函数()f x在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,函数()f x在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 则()21F x x'=-,令()0F x '=, 解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>； 当()2,x ∈+∞时,()0F x '<； 故()F x 最大值为()20F=，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力. 19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F 是BD 的中点,且AE =的(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小． 【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则(E ,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又Q 平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-u u u r ,(AC =u u u r,(0,DE AC ⋅=-⋅u u u r u u ur(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =r,则(2,0,EB =u u u r,(BC =-u u u r,00DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩u u u v vu u u vv 11111200x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩令(1,n =-r.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =u r,()1,1,0F所以()1,1,0EC =u u u r，(FC =u u u r ,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩u u u v vu u u v v 得()1,1,0m =-ur .设二面角B EC F --为θ,则cos cos ,2n m θ==r u r所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.20.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,,点()在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断tan DE DF EDF ⋅∠u u u v u u u v是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,若不存在,说明理由．【答案】(1)22162x y +=；(2)存在,最小值为6,D ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的标准方程；(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r的表达式,可以发现只需判断EDF V 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF V 面积的表达式,利用基本不等式可以求出EDF V 面积的最小值,最后求出点D 的坐标.【详解】(1)点()在椭圆上,则22311a b+=,又c a =222a b c =+, 解得26a =,22b =,∴椭圆的方程为22162x y +=；（2）tan DE DF EDF DE ⋅∠=u u u r u u u rsin 2DEF DF EDF S ∠=△,只需判断EDF V 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,联立22162y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22631x k =+,所以1EF x ==因为1ODk k=-，同理可知OD ==,1122EDFS EF OD ==⋅△261k+=()()()2226133132k k k +≥=++,此时22313k k +=+因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r最小值为6,,易知直线OD 的方程为y x =-,联立22162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即D ⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力. 21.已知函数()()ln 1f x x =+,()()202xg x a x a=>+,设()()()F x f x g x =-． (1)如果曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,求实数a 的值； (2)若对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,求实数a 的取值范围；(3)已知()F x 存在极大值与极小值,请比较()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由． 【答案】(1)12；(2)1a ≥；(3) 当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值； (2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可. 【详解】(1)因为()11f x x '=+,()()242a g x x a '=+, 所以()112f '=,()()24112ag a '=+,由()()11f g ''=,得12a =(2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102xx x x a+->+, 易知()00F =,()()21412a F x x x a '=-++()()()224112x a a x x a +-=++①当()4100a a a ⎧-≥⎨>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,所以()F x 在()0,∞+上是增函数, 所以()()00F x F >=,满足题意.②当()4100a a a ⎧-<⎨>⎩，即01a <<时,()0F x '=,得1x =-2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<, 所以()F x 在()20,x 上是减函数,()()00F x F <=,不符合题意.综上,1a ≥. (3)()()()()2241012x a a F x x x a +-'==++,即()2410x a a +-=有两个不相等实数根1x =-,2x =因为()101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩,所以01a <<且12a ≠,①当21a -<-时,即112a <<时,()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >. ②当120a -<-<时,即102a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a-++++ ()()()21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭,因为210x x ->,220x a +>,120x a +<, 所以()()12F x F x <. 综上，当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力. 22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值． 【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；(2)2【解析】 【分析】(1)利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos sin 22θθ⋅-⋅⎭2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,即2222x y x y +=-,∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；(2)易知P 的直角坐标()3,3--，设()1,1Q αα+-, 则PQ的中点24,22M αα⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭, 设M 到直线l 的距离为d ,则d==, 当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,min 2d =. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力. 23.已知函数()12f x x x =+-．(1)求不等式()2f x ≥-的解集；(2)若关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解,求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13x x -≤≤；a ≤≤【解析】【分析】 (1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；(2)根据题意本问题题可以转化为()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩, 解得03x ≤≤或10x -≤<或∅故不等式()2f x ≥-的解集为{}13x x -≤≤；(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩, 在2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,所以2520a a -+≤,a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.。
东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题 (含评分细则)
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R Y （ ） A.),3()1,(+∞--∞Y B.),3[]1,(+∞--∞Y C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞Y 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，21=，则⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.一模答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBDABABDCCDB13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分 （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，即2212a c ac ++=，……………………………….10分 因为2a =，解方程2280c c --=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA （II ）建立空间直角坐标系B xyz -，如图 过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面，即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分 记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==u u u r u u u rBA B C OH设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =u r，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u r u u u r ur u u u r ，取2,(3,2,4)y m ==--u r 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =r，……………………………….10分|cos ,|m n <>=u r r ……………………………….11分 因此，二面角1F BA A --的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数） 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====I I I I I ，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++-+++⎡⎤⎣⎦U U I I I (9)分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .……………………………….12分20．解析：（Ⅰ）设(),P x y ，P e 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分 （Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n --=12124,40y y t y y n +==-<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅Q 、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅-=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.……………………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+-令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+；.……………………………….1分 1o 当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,-+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2o 当0a >时，令()1011h x x a'>⇒-<<-， 令()101h x x a'<⇒>- 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'fx ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1o 当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分2o 当01a <<时，110a->，由（Ⅰ）可知()'fx 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分 设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=； 令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增； ()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-． 取241t a =-，则11t a >-，且()20h t <-=． 又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2020届高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析
东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（）附：若，则，A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为 ，则由题意得，∴.由题意得，∴．故选B ．【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键．7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可． 【详解】由题意得复数可化为， 所以．故选A ．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．【详解】（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴．取的中点，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴点共线，从而得，又，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：取中点，连接，则，∴底面，∴两两垂直．以为原点如图建立空间直角坐标系，则，∴,设平面的法向量为，由，得，令，得．设，则，∴，∴当时，有最小值，且，此时．设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数，（为自然对数的底数）（I）若在上单调递减，求的最大值；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立，由，得，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当时，单调递减，且，故当时，，整理得．然后再证明成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．【详解】（Ⅰ）由，得．∵在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立.则，∴，当时，，且单调递增，，∴当，，单调递减；当，，单调递增．∴，即恒成立，∴的最大值为2．（Ⅱ）当时，单调递减，且，当时，，即，∴，∴，①下面证明，②令，则，∴在区间上单调递增，∴，故②成立．由①+②得成立．【点睛】本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来求解．本题综合性较强、难度较大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I ）求动点对应参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积. （Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。
2020东北三校一模理科数学
哈尔滨师大附中 2020年高三第一次联合模拟考试 东北师大附中 理 科 数 学辽宁省实验中学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=<--=11,0322x x B x x x A ，则=)(B A R Y C.A ),3()1,(+∞--∞Y .B ),3[]1,(+∞--∞Y .C ),3[+∞ .D ),1[]1,(+∞--∞Y2. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为.A 0=+b a.B 0=-b a .C 02=-b a .D 02=+b a3. 已知βα，是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是.A 若βα⊥，则β//m .B 若βα⊥，则β⊥m .C 若β//m ，则βα// .D 若β⊥m ，则βα⊥4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，职责除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步骤是.A 9 .B 10 .C 11 .D 125. 已知e c e b a πlog log 3ln 3===，，，则下列关系正确的是.A c a b << .B a b c << .C a c b <<.D c b a <<6. 已知边长为3的等边ABC ∆，DC BD 21=,则=⋅AC AD.A 6.B 9 .C 12 .D 6-7. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为.A 31 .B 32.C 1.D 34 8. 已知函数)(x f x x 2cos 32sin +=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图象关于y 轴对称，则=ϕ.A 12π .B 6π .C 3π .D 125π 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线c a x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为.A )1,21[.B )1,22[.C )1,215[- .D ]22,0( 10. 已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[)21(2)3,1[21)(x xf x x x f ，则函数)(x f 的图象与函数⎩⎨⎧<-≥=1)2ln(1ln )(x x x xx g 的图象在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为 .A 5.B 6 .C 7 .D 911. 已知数列{}n a 的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为.A 20201011.B 20202019.C 20212020.D 2021101012. 已知双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA.A 55 .B 552 .C 553 .D 5122125431432321-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力。
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理数学 含评分细则
东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分 （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分 因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面， 即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分 记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数） 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析： （Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−， 令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>， 由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=； 令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=． 又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试-理科数学答案
1 一模答案 一、选择题 题号 123456789 10 11 12 答案 B B D A B A B D C C D B二、填空题13. 717 14. （1,e 2) 15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16.①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，即2212a c ac ++=，……………………………….10分因为2a =，解方程2280c c --=，得4c =．……………………………….12分18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =，1DC //1BB ,1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分 111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分 （II ）建立空间直角坐标系B xyz -，如图 过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面 111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面，B C 1A 1B 1CD O F H xy z。
2020年哈师大附中、辽宁省实验中学、东北师大附中三校联考高考(理)数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝03．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．125．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣67．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．911．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为．15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），＝（0，1），A∪B＝B，则∁R（A∪B）＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）故选：B．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝0解：由z＝a+bi（a，b∈R），得＝，由题意，b﹣a＝0．故选：B．3．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12解：由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：n＝13为奇数，则n＝13×3+1＝40，第二步，n＝40为偶数，则n＝，第三步，n＝20为偶数，则n＝＝10，第四步，n＝10为偶数，则n＝＝5，第五步，n＝5为奇数，则n＝5×3+1＝16，第六步，n＝16为偶数，则n＝，第七步，n＝8为偶数，则n＝＝4，第八步，n＝4为偶数，则n＝＝2，第九步，n＝2为偶数，则n＝＝1．∴取n＝13，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A．5．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：a＝ln3＞1＞b＝log3e＞c＝logπe，∴a＞b＞c，故选：B．6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣6解：∵＝（）＝（+）•＝＝32+×3×3×cos120°＝6；故选：A．7．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1），＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝0，∴S△ABF＝＝＝，设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴E到平面ABF的距离d＝＝，∴四面体A﹣BEF的体积为：V A﹣BEF＝V E﹣ABF＝＝＝．故选：B．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．解：把函数＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得﹣2φ+＝kπ+，k∈Z．即φ＝﹣﹣，再令k＝﹣1，可得φ＝，故选：D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．解：设P（，y），由＝0，则＝（﹣c，y）+（﹣c，b）＝（﹣2c，y+b），＝（，y﹣b），所以由＝0，可得：（﹣2c）+（y+b）（y﹣b）＝0，可得：﹣2a2﹣b2＝﹣y2≤0，整理可得：a4﹣2a2c2﹣（a2﹣c2）c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得：≤e2，即≤e≤，由于椭圆的离心率小于1，所以≤e＜1，故选：C．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．9解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，而函数g（x）＝的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f（x）和g（x）图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和＝3×2+1＝7，故选：C．11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．解：由题意，设数列{a n}的前n项和为S n．∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，∴数列{a n}是以4为首项，2为公差的等差数列．∴第1行的所有项的和即为：a1+a2+…+a n＝S n＝4n+•2＝n2+3n．则第2行的所有项的和为：a2+a3+…+a n+1＝（a1+d）+（a2+d）+…+（a n+d）＝S n+nd；第3行的所有项的和为：a3+a4+…+a n+2＝（a1+2d）+（a2+2d）+…+（a n+2d）＝S n+2nd；•••第n行的所有项的和为：a n+a n+1+…+a2n﹣1＝[a1+（n﹣1）d]+[a2++（n﹣1）d]+…+[a n+（n﹣1）d]＝S n+（n﹣1）nd；∴b n＝（a1+a2+…+a n）+（a2+a3+…+a n+1）+（a3+a4+…+a n+2）+…+（a n+a n+1+…+a2n﹣1）＝S n+（S n+nd）+（S n+2nd）+…+[S n+（n﹣1）nd]＝nS n+[1+2+…+（n﹣1）]•nd＝n（n2+3n）+•n•2＝2n2（n+1）．＝＝＝（﹣）．∴数列的前2020项和为++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．解：由题意可得a2＝1，b2＝3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得F1F22＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2•cos120°＝（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2+PF1PF2，即4c2＝4a2+3PF1PF2，所以可得PF1PF2＝＝＝＝4，PF1﹣PF2＝2a＝2，可得PF1＝+1，PF2＝﹣1，所以S＝•sin120°＝＝，因为PA为角平分线，所以∠F1PA＝∠F2PA＝60°，而S＝S+S＝（PF1•PA sin60°+PF2•PA•sin60°）＝PA •（PF1+PF2）＝PA（+1+﹣1）＝PA，所以＝PA，所以PA＝，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．解：设事件A：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P（A）＝，P（AB）＝，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P（A|B）＝＝＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为（1，e2）．解：由题意可得，＝0在[0，1]上有变号零点，故a＝e2x在[0，1]上有变号零点，因为y＝e2x在[0，1]上单调，e2x∈[1，e2]，故1＜a＜e2，故答案为：（1，e2）15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．解：∵a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）＝2S n2，整理得：S n﹣S n﹣1＝﹣2S n•S n﹣1（n≥2，n∈N*），∴﹣＝2（n≥2，n∈N*）∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴S n＝，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，∴a n＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当③a＝1，﹣2＜b＜0时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有⑦6个零点．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点解：可选③a＝1，﹣2＜b＜0，由f（x）＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|﹣b，令f（x）＝0，可得b＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|，即b＝|x2﹣1|2﹣3|x2﹣1|，可令t＝|x2﹣1|，可得b＝t2﹣3t，可设g（t）＝t2﹣3t，分别画出y＝g（t）和t＝|x2﹣1|的图象，由﹣2＜t2﹣3t＜0，即．可得0＜t＜1或2＜t＜3，当0＜t＜1时，t＝|x2﹣1|有4个零点；2＜t＜3时，t＝|x2﹣1|有2个零点，则函数f（x）共有6个零点．故答案为：③a＝1，﹣2＜b＜0，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．解：（I）由已知以及正弦定理，可得：2sin B cos C＝2sin A+sin C＝2sin（B+C）+sin C＝2sin BcoC+2cos B sin C+sin C，所以：2cos B sin C+sin C＝0，由于：0＜C＜π，sin C≠0，cos B＝﹣，因为B∈（0，π），解得：B＝；（Ⅱ）如图所示：，∵D为AC的中点，∴，两边平方得：，∴，∴，整理得：c2﹣2c﹣8＝0，解得：c＝4．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．解：（Ⅰ）取AA₁的中点G，连接DG，EG，则DG∥A₁C₁，E，G为中点，所以EG∥BA₁，DG⊄平面BA₁C₁，A₁C₁⊂平面BA₁C₁，故DG∥平面BA₁C₁，同理EG∥平面BA₁C₁，又DG∩EG＝G，故平面DEG∥平面BA₁C₁，DE⊂平面EDG，所以DE∥BA₁C₁；（II）以B为原点，BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B₁（0，3，0），A₁（2，3，0），C（0，0，1），C₁（0，3，1），设F（0，a，1），A（2，0，0），，平面ABB1A1所的法向量为，由cos＜＞＝，a＝2，故F（0，2，1），＝（0，2，1），＝（2，3，0），设平面FBA₁的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．解：（Ⅰ）设A＝{出现A症状的人}，B＝{出现B症状的人}，C＝{出现C症状的人}，card表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知card（A∩B）＝1.8万，card（A∩C）＝1万，card（B∩C）＝2万，card（A∩B∩C）＝0.5万，所以card（A∪B∪C）＝cardA+cardB+cardC﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B ∩C）]+card（A∩B∩C）＝8.5+9.3+6.5﹣（1.8+1+2）+0.5＝20万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；（Ⅱ）根据题意，2×2列联表如下：失眠不失眠合计患心脑血管疾病5712不患心脑血管疾病157388合计2080100所以＞3.841，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝，圆心F（1，0），半径为，设点P（x，y），由动圆P既与直线l：x＝﹣相切，又与定圆F相外切，知x＞﹣，∴，化简得：y2＝4x，∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y＝kx+m（k ≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，联立方程，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝，∵S1＝，S3＝，∴4S1S3＝﹣（y1y2）（x1）（）＝﹣×＝﹣×＝，∵直线MN的方程为：y＝kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，令y＝0得，x＝﹣，∴B（﹣，0），∴S2＝，∴＝（﹣+）2（y1﹣y2）2＝××＝××[4（x2+x1）﹣2y1y2]＝××＝，∵S22＝4S1S3，∴4k2﹣4k3m+16m2﹣16km3﹣16mk+16k2m2＝﹣16km3﹣32km+16k2m2﹣4k3m，∴4k2+16m2+16mk＝0，即k2+4m2+4km＝0，∴（k+2m）2＝0，∴k＝﹣2m，∴直线MN的方程为：y＝﹣2mx+m＝﹣2m（x﹣），∴直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝ln（x+1）﹣ax＝g（x），（x∈（﹣1，+∞））．g′（x）＝﹣a，a≤0时，g′（x）＞0，函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，g′（x）＝，∴f'（x）在上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，可得f（x）在（0，+∞）上不单调，有极大值点．由（I）可得：a＞0，f′（0）＝0．令ln（x+1）﹣ax＝0，化为：a＝＝h（x），h′（x）＝．令u（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），x∈（0，+∞）．u（0）＝0．u′（x）＝1﹣ln（x+1）﹣1＝﹣ln（x+1）＜0．∴u（x）＜u（0）＝0．∴h′（x）＜0，函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．x→0+时，h（x）→＝1．x→+∞时，h（x）→0．∴0＜a＜1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．解：（Ⅰ）参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C：；曲线D的极坐标方程为．转化为直角坐标方程为：；（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，当sin（θ+α）＝1时，d min＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＞5或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣4}（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝5．∵不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，∴|3m﹣2|≥f（x）min＝5，∴3m﹣2≥5或3m﹣2≤﹣5，∴，∴m的取值范围为．。