数学华东师大版七年级下册几何中的最值问题
吉林省七年级数学下册第8章一元一次不等式复习1说课稿新版华东师大版
吉林省七年级数学下册第8章一元一次不等式复习1说课稿新版华东师大版一. 教材分析《华东师大版吉林省七年级数学下册》第8章一元一次不等式复习1，主要目的是让学生掌握一元一次不等式的概念、性质和解法，以及能够运用一元一次不等式解决实际问题。
本章内容紧密联系学生的日常生活，具有很强的实用性和实际意义。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程有了初步的了解。
但在解不等式时，部分学生可能会对符号的理解和运用出现困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对性地进行辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元一次不等式的定义、性质和解法，能运用一元一次不等式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元一次不等式的概念、性质和解法。
2.教学难点：一元一次不等式的解法，以及如何将实际问题转化为不等式问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的知识，引出不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解一元一次不等式的定义、性质和解法，结合实例进行讲解，让学生直观地理解。
3.课堂练习：布置一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.小组讨论：让学生分组讨论，将实际问题转化为不等式问题，培养学生的解决问题的能力。
5.总结提升：对本节课的知识进行总结，强调一元一次不等式在实际生活中的应用。
6.布置作业：布置一些课后练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：一元一次不等式八. 说教学评价1.课后作业：检查学生对课堂所学知识的掌握情况。
2.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
初中数学华东师大七年级下册轴对称平移与旋转最短路径问题(将军饮马问题)PPT
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
C【一定两动之点与线】
例3：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小
1、正方形中的将军饮马
【关于对角线对称】
例4： 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1,N是AC 边上的一动点，则△DMN周长的最小值是多少？
【隐身的正方形】
（2017辽宁营口）4、如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上， BD=3,DC=1,P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
2、三角形中的将军饮马
【等边系列】
例5： 如图，在等边三角形△ABC中，AB=6,N为AB上一点，且AN=2,BC
的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM,MN,则BM+MN的最小
值是
。
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
难点解析华东师大版七年级数学下册第9章多边形重点解析试题(名师精选)
七年级数学下册第9章多边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100∠+∠=°，则3∠的度数为( )A ．80︒B ．70︒C ．45︒D ．302、如图，已知AD AB =，C E ∠=∠，55CDE ∠=︒，则ABE ∠的度数为（ ）A ．155°B ．125°C ．135°D ．145°3、将一副三角板按不同位置摆放，下图中α∠与β∠互余的是（ ）A．B．\C．D．4、如图，在△ABC中，∠C＝50°，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠DAE=（）A．10°B．15°C．20°D．25°5、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．9条B．8条C．7条D．6条∠+∠+∠+∠=（）6、如图，在六边形ABCDEF中，若1290∠+∠=︒，则3456A．180°B．240°C．270°D．360°7、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为（）A ．32°B ．33°C ．34°D ．38°8、如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12∠=∠B ．1B ∠=∠C ．2D ∠>∠ D ．A D B C ∠+∠=∠+∠9、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的值可能分别是（ ）A ．1，2，3B ．3，4，7C ．2，3，4D ．4，5，1010、下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．A ．1，1，2， B ．1，1，1 C ．1，2，2 D ．1，1，6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt ABC 中，锐角50A ∠=︒，则另一个锐角B ∠=_______．2、如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 _____．3、等腰三角形中，一条边长是2cm ，另一条边长是3cm ，这个等腰三角形的周长是________．4、如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABC的面积等于24cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm25、如图，已知BE、CD分别是△ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些几何问题时，若能根据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决问题：（1）如图（1），AB∥CD，试判断∠B，∠D与∠E的关系；（2）如图（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分线上取两个点M、N，使得∠AMN=∠ANM，求证：∠CAM=∠BAN．2、如图，在ABC中，AD是角平分线，54∠=︒．C∠=︒，76B(1)求BAD∠的度数；(2)若DE AC⊥，求EDC∠的度数．3、用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．（1）在图1中，BD是△ABC的角平分线，作△ABC的平分内角∠BCA的角平分线；（2）在图2中，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC的∠BCA相邻的外角的角平分线．4、如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．5、已知：如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5．（1）直接写出BC的取值范围是．（2）若点D是BC边上的一点，∠BAC＝85°，∠ADC＝140°，∠BAD＝∠B，求∠C．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60︒的角即可．【详解】⨯︒=︒，解：3180540⨯︒=︒，360180∴︒-︒-︒=︒，540180180180123180∴∠+∠+∠=︒，∠+∠=︒，12100∴∠=︒，380故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．2、B【解析】【分析】根据三角形外角的性质得出55CBE A E A C ∠=∠+∠=∠+∠=︒，再求ABE ∠即可．【详解】解：∵55CDE ∠=︒，∴55A C ∠+∠=︒，∵C E ∠=∠，∴55CBE A E ∠=∠+∠=︒，∴180125ABE CBE ∠=︒-∠=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系．3、A【解析】【分析】根据平角的定义可判断A ，D ，根据同角的余角相等可判断B ，根据三角形的外角的性质可判断C ，从而可得答案.【详解】解：选项A ：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A 符合题意；选项B ：如图，3903,=,故B不符合题意；选项C：如图，9011,故C不符合题意；选项D：18045135,故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角度的计算”是解本题的关键.4、A【解析】【分析】先由∠BAC和∠C求出∠B，然后由AE平分∠BAC求∠BAE，再结合AD⊥BC求∠BAD，最后求得∠EAD．【详解】解答：解：∵∠C＝50°，∠BAC＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝70°．∵AE平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝12∠BAC＝160=302⨯︒︒，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝30°﹣20°＝10°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义和高线的定义，通过角平分线和高线的定义求得∠BAE 和∠BAD的度数是解题的关键．5、A【解析】【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．6、C【解析】【分析】根据多边形外角和360︒求解即可．【详解】解：123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ，1290∠+∠=︒()345636012270∴∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠=︒，故选：C【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和360︒是解题的关键．7、A【解析】【分析】由折叠的性质可知40A A '∠=∠=︒，再由三角形外角的性质即可求出DFA ∠的大小，再次利用三角形外角的性质即可求出2∠的大小．【详解】如图，设线段AC 和线段A D '交于点F ．由折叠的性质可知40A A '∠=∠=︒．∵1A DFA ∠=∠+∠，即11240DFA ︒=︒+∠，∴72DFA ∠=︒．∵2DFA A '∠=∠+∠，即72240︒=∠+︒，∴232∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．8、B【解析】【分析】根据两直线相交对顶角相等、三角形角的外角性质即可确定答案．【详解】解：选项A 、∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1＝∠2，故选项A 不符合题意；选项B 、∵∠1＝∠B +∠C ，∴∠1＞∠B ，故选项B 符合题意；选项C 、∵∠2＝∠D +∠A ，∴∠2＞∠D ，故选项C 不符合题意；选项D 、∵1A D ∠+∠=∠，1B C ∠+∠=∠，∴A D B C ∠+∠=∠+∠，故选项D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质和三角形内角和、外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键．9、C【解析】【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．【详解】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．10、C【解析】【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．二、填空题1、40【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中，∵锐角50A ∠=︒，∴另一个锐角90905040B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ．故答案为：40︒【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．2、720°##720度【解析】【分析】根据多边形内角和可直接进行求解．【详解】解：由题意得：该正六边形的内角和为()()180218062720n ︒⨯-=︒⨯-=︒；故答案为720°．【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．3、8cm 或7cm ##7cm 或8cm【解析】【分析】因为已知长度为2cm和3cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：①当2cm为底时，其它两边都为3cm，2cm、3cm、3cm可以构成三角形，周长为8cm；②当3cm为底时，其它两边都为2cm，2cm、2cm、3cm可以构成三角形，周长为7cm；故答案为：8cm或7cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，解题的关键是利用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．4、6【解析】【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是CE的中点，EC，而高相等，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12S△BEC，∴S△BEF=12∵E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即阴影部分的面积为6cm2．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．5、110°##110度【解析】【分析】根据∠A＝40°求出∠ABC+∠ACB=140°，根据角平分线的定义求出∠EBC+∠BCD=70°，进而求出∠BOC=110°，最后根据对顶角相等即可求解．【详解】解：如图，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∵BE、CD分别是△ABC的内角平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠BCD==12∠ACB，∴∠EBC+∠BCD=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=70°，∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠BCD）=110°，∴∠DOE=∠BOC=110°．故答案为：110°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等等知识，熟知相关知识，运用整体思想求出∠EBC+∠BCD=70°是解题关键．三、解答题1、（1）∠BED=∠B＋∠D；（2）证明见详解．【解析】【分析】（1）作EF∥AB，证明AB∥EF∥CD，得到∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，即可证明∠BED=∠B＋∠D；（2）根据（1）结论得到∠N=∠BAN＋∠DCN，进而得到∠AMN=∠BAN＋∠DCN，根据三角形外角定理得到∠AMN=∠ACM＋∠CAM，∠BAN＋∠DCN=∠ACM＋∠CAM，再根据∠DCN=∠CAN，即可证明∠CAM=∠BAN．【详解】解：如图1，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∴∠BED=∠B＋∠D；（2）证明：∵AB∥CD，∴由（1）得∠N=∠BAN＋∠DCN，∵∠AMN=∠ANM，∴∠AMN=∠BAN＋∠DCN，∵∠AMN是△ACM外角，∴∠AMN=∠ACM＋∠CAM，∴∠BAN＋∠DCN=∠ACM＋∠CAM，∵CN平分∠ACD，∴∠DCN=∠CAN，∴∠CAM=∠BAN．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理等知识，熟知相关定理并根据题意添加辅助线进行角的转化是解题关键．2、 (1)25∠=︒；BAD(2)14∠=︒．EDC【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出50BAC∠=︒，然后利用角平分线进行计算即可得；（2）根据垂直得出90AED∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可得．(1)解：∵54B∠︒＝，76C∠︒＝，∴180180547650BAC B C∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD是角平分线，∴1252BAD BAC∠=∠=︒，∴25BAD∠=︒；(2)∵DE AC⊥，∴90AED∠=︒，∴180180907614EDC AED C∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴14EDC∠=︒．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）作∠BAC的平分线交BD于点O，作射线CO交AB于E，线段CE即为所求；（2）作△ABC的∠ABC的外角的平分线交AD与D，作射线CD，射线CD即为所求．（1）如图1，线段CE为所求；（2）如图2，线段CD为所求．【点睛】本题主要考查了基本作图、三角形的外角、三角形的角平分线等知识点，理解三角形的内角平分线交于一点成为解答本题的关键．4、55°【解析】【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：∵∠ABC=30°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-30°-80°=70°，∵AD是∠BAC的平分线，×70°=35°，∴∠BAD=12∴∠AEB=90°，∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-35°=55°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．5、（1）2＜BC＜8；（2）25°【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．【详解】解：（1）∵AC-AB＜BC＜AC+AB，AB＝3，AC＝5．∴2＜BC＜8，故答案为：2＜BC＜8（2）∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝140︒∵∠B＝∠BAD∴∠B＝114070 2⨯︒=︒∵∠B+∠BAC+∠C＝180︒∴∠C＝180︒﹣∠B﹣∠BAC 即∠C＝180︒﹣70︒﹣85︒＝25︒【点睛】本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B的度数是解此题的关键．。
华东师大版七年级下册数学：几何类应用问题
最大，此时面积为225平方厘米。
通过探索发现：在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积 就越大。实际上，当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大。
我们再用等长的铁丝围一个圆，计算一下这个圆的面积。 有趣的是：若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形，但是面积最大的 是圆
(2)如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
(3)比较（1）（2）所得的长方形面积的大小，还能围出面积更大
的长方形吗？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
思考
此题的等量关系是什么？
每个小题中如何设未知数，在小题（2）中能不 能直接设长方形的面积为x平方厘米，若不能该 怎么办？
等量关系是: 2 (长+宽) =周长
小题(1) 中，设长方形的长为x厘米，则宽为2x厘米。
3
小题(2) 中，设长方形的宽为x厘米，则长为(x+4)厘米。
x cm
x cm
(x+4)cm
因为小题（2）中已知的是长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直 接设出长方形的面积，只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长与宽后， 再进一步计算长方形的面积。
列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
请同学们回忆，小学学过的长方形的面积，周 长公式及圆柱体的体积计算公式。
长方形面积=长x宽 长方形周长=（长+宽）x2 圆柱的体积=底面积x高
探究一
等体积变化
根据图中给出的信息，可得正确的方程是( A )
2
等体积变化
一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方形橡皮泥， 要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，则圆柱的高是多少？ （精确到0.1厘米，π取3.14）
七年级下册最值问题。
七年级下册最值问题。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册最值问题是初中数学中的重要概念，通过这一概念的学习，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
最值问题指的是在一组数据中找到最大值和最小值，并求出它们的具体数值。
在日常生活中，最值问题也是非常常见的，比如求一组数据中的最高温度和最低温度，或者求一堆数中的最大值和最小值等等。
在七年级下册的数学课程中，最值问题通常是以实际案例为背景展开讨论的。
通过解决这些案例，学生可以更好地理解最值问题的概念，并掌握解题的方法。
最值问题的解决一般分为两步，首先是找出一组数据中的最大值和最小值，然后是求出它们的具体数值。
在实际操作中，学生需要通过比较不同数的大小，从而找到最值。
除了直接比较数值大小外，还可以通过化简、提取公因式等方法来简化问题，更快地找到最值。
最值问题的学习不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学素养。
在解决最值问题的过程中，学生需要反复比较和分析数据，培养了他们的观察力和思考能力。
通过实际案例的讨论，学生可以更好地理解数学知识与实际生活的联系，增强他们的数学应用能力。
七年级下册最值问题还可以帮助学生培养合作精神和团队意识。
在解决最值问题的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同探讨问题的解决方法，促进了他们与同学之间的交流与合作。
通过互相学习、互相启发，学生可以更好地理解数学知识，提高解题的效率和准确度。
最值问题的学习还可以促进学生主动学习的能力。
通过解决最值问题，学生需要自主思考、积极探索，培养了他们的自主学习意识。
在解决问题的过程中，学生可以提出自己的见解和想法，不断尝试和总结，从而提高了他们的学习兴趣和学习主动性。
七年级下册最值问题是一个涵盖面广、实用性强的数学概念，通过这一概念的学习，学生可以在数学知识上取得更好的掌握与运用。
最值问题的解决不仅可以提高学生的数学分析和解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和团队合作精神。
华师大版七年级下册数学期中考试试题含答案
华师大版七年级下册数学期中考试试卷一、单选题1．若x =2是关于x 的方程12x +a =-1的解，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．-2D ．-62．根据等式性质，下列结论正确的是（）A ．如果22a b -=，那么a b =-B ．如果22a b -=-，那么a b=-C ．如果22a b =-，那么a b=D ．如果122a b =，那么a b=3．如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平，后三个天平中不平衡的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在如图所示的2018年1月的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A ．27B ．51C ．65D ．725．若关于x ，y 的方程组24232x y x y m +=⎧⎨+=-+⎩的解满足32x y ->-，则m 的最小整数解为（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．06．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折7．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（）A ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．7385y x y x =+⎧⎨+=⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨+=⎩D ．7385y x y x =-⎧⎨=+⎩8．已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论：①当5k =时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是()A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①②9．我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天.野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为()A ．9x 7x 1-=B ．9x 7x 1++C ．11x x 179+=D ．11x x 179-=10．关于x 的不等式组x 15x 322x 2x a 3＜+⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（）A ．145a 3-≤≤-B ．145a 3-≤<-C ．145a 3-<≤-D ．145a 3-<<-二、填空题11．方程210x -=的解是_______.12．若关于x 的方程5x ﹣1＝2x +a 的解与方程4x +3＝7的解相同，则a ＝_____．13．若关于x 、y 的二元一次方程组2133x y m x y -=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y ＞0，则m 的取值范围是____．14．小明在拼图时，发现8个样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图(1);小红看见了，说:“我也来试试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图(2)那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm 的小正方形，则每个小长方形的面积为__________2mm.15．一列方程如下排列：1142x x -+=的解是2x =，2162x x -+=的解是3x =，3182x x -+=的解是4x =，……根据观察得到的规律，写出其中解是2020x =的方程_____。
难点详解华东师大版七年级数学下册第10章轴对称、平移与旋转重点解析试题(含详解)
七年级数学下册第10章轴对称、平移与旋转重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、出行安全，认识交通路标非常重要．下列是部分交通路标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3、如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（）．A．B．C．D．4、下面4个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图，下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8、下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9、下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将长度为5cm的线段向上平移10cm，所得线段的长度是_______cm．2、如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC 边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为_________．3、在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有__________种补法．4、如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为_____度．5、如图，在ABC 中，8AB ，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30后得到11A BC ，则阴影部分面积为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出ABC 关于y 轴对称的'''A B C ；(2)点P 为y 轴上一动点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为________．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）【解决问题】（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．【实际运用】（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、在下面的方格纸中作图：(1)先画△ABC 关于直线l 1的对称图形△A 1B 1C 1，再画△A 1B 1C 1关于直线l 2的对称图形△A 2B 2C 2；(2)若△ABC 向右平移1格，则△A 2B 2C 2向____平移_____格．4、如图1，点O 为直线AB 上一点，将两个含60°角的三角板MON 和三角板OPQ 如图摆放，使三角板的一条直角边OM 、OP 在直线AB 上，其中60OMN POQ ∠=∠=︒．(1)将图1中的三角板OPQ 绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP 在MON ∠的内部且平分MON ∠，此时三角板OPQ 旋转的角度为______度；(2)三角板OPQ 在绕点O 按逆时针方向旋转时，若OP 在MON ∠的内部．试探究MOP ∠与NOQ ∠之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板MON 绕点O 以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ 绕点O 以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB 绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB 记为OE ，射线OC 平分MON ∠，射线OD 平分POQ ∠，当射线OC 、OD 重合时，射线OE 改为绕点O 以原速按顺时针方向旋转，在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，直接写出旋转时间t 的值．5、在等边ABC 中，将线段AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段AD ．（1）若线段DA 的延长线与线段．．BC 相交于点E （不与点B ，C 重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD ，交CA 的延长线于点F ．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE ，AF ，CE 之间的数量关系，并证明．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义“沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”选择即可．【详解】A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D．是轴对称图形，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．3、B【解析】【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：A．不是轴对称图形，本选项不符合题意；B．是轴对称图形，本选项符合题意；C．不是轴对称图形，本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4、D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、矩形是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、菱形是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、正方形是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、平行四边形不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5、B【解析】【分析】如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念逐一分析即可判断．【详解】第一、三个图形是轴对称图形，第二、四个图形不是轴对称图形，故符合题意的有两个；故选：B【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是关键．6、C【解析】【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D、不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．7、D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）进行判断即可得．【详解】解：根据轴对称图形的定义判断可得：只有D选项符合题意，故选：D．【点睛】题目主要考查轴对称图形的判断，理解轴对称图形的定义是解题关键．8、D【解析】【详解】解：A、是轴对称图形，此项不符题意；B、是轴对称图形，此项不符题意；C、是轴对称图形，此项不符题意；D、不是轴对称图形，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．9、C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．二、填空题1、5【解析】【分析】根据平移的性质解答．【详解】解：将长度为5cm 的线段向上平移10cm ，所得线段的长度是5cm ，故答案为：5．【点睛】此题考查了平移的性质：平移前后的图形全等，熟记平移的性质是解题的关键．2、8【解析】【分析】由折叠可得：,5,AD ED AC AE ===再求解,BE 利用7,BD DE AD BD +=+=从而可得答案.【详解】解：由折叠可得：,5,AD ED AC CE ===6,BC =651,BE BC CE ∴=-=-=7,AB =7,AD BD ∴+=718,BDEC BD DE BE BD AD BE AB BE ∴=++=++=+=+=故答案为：8.【点睛】本题考查的是轴对称的性质，掌握“成轴对称的两个图形的对应边相等”是解本题的关键.3、4【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：故答案为：4【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．4、15【解析】【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，∴△CBD 是等腰三角形，∴∠BDC ＝∠BCD ，∵∠CBD ＝180°﹣∠DBE ＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC ＝（180°﹣∠CBD ）÷2＝15°．故答案为15．【点睛】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转求出即可．5、16【解析】【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B =AB =8，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA =30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道1111A BA A BC ABC A BA S SS S S =+-=阴影，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB =8，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B =AB =8，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA =30°，过点A 1作1A D AB ⊥于点D∴11142A D AB == ∴1A BA S =12×8×4=16，又∵111A BA A BC ABC S S S S =+-阴影，11A BC ABC S S =△△，∴1A BA S S =阴影=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)（0，3）【解析】【分析】（1）利用关于y 轴对称的点的坐标得到A ′、B ′、C ′的坐标，然后描点即可；（2）连接BA ′交y 轴于P 点，根据两点之间线段最短可判断P 点满足条件，从而得到P 点坐标．【小题1】解：如图，△A 'B 'C '为所作；【小题2】如图，根据轴对称的性质可知，PA PB PA PB '+=+，连接BA ′交y 轴于P 点，此时点P 为所求作，P 点坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011． 【解析】【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、 (1)见解析(2)右，1【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可．（2）利用平移的性质解决问题即可．(1)如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求作．(2)若△ABC向右平移1格，则△A2B2C2向右平移1格．故答案为：右，1．【点睛】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，掌握轴对称与平移的性质是解题的关键．4、(1)135°(2)∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析(3)2273s或1363s．【解析】【分析】（1）先根据OP平分MON∠得到∠PON，然后求出∠BOP即可；（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当13COE∠=︒时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．(1)解：∵OP平分∠MON∴∠PON=12∠MON=45°∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．故答案是135°(2)解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：∵∠MON=90°，∠POQ=60°∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．(3)解：∵射线OC平分MON∠，射线OD平分POQ∠∴∠NOC=45°，∠POD=30°∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°∴OC 与OD 第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB 旋转的角度为33×5°=165° ∴此时OC 与OE 的夹角165-（180-45-2×33）=96°OC 与OD 第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒设在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，需要旋转时间为t①当OE 在OC 的左侧时，有（5°-2°）t =96°-13°，解得：t =2273s ②当OE 在OC 的右侧时，有（5°-2°）t =96°+13°，解得：t =1363s 然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象∵C 、D 第二次相遇需要时间72秒∴在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，、旋转时间t 的值为2273s 或1363s ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．5、（1）120180α︒<<︒；（2）①见解析；②AE =AF +CE ，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据“线段DA 的延长线与线段BC 相交于点E ”可求解；（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE 上截取AH =AF ，先证△AFD ≌△AHC ，再证∠CHE =∠HCE ，即可得出结果．（1）如图：AD 只能在锐角∠EAF 内旋转符合题意故α的取值范围为：120180α︒<<︒；（2）补全图形如下：（3）AE =AF +CE ，证明：在AE 上截取AH =AF ，由旋转可得：AB =AD ，∴∠D =∠ABF ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC=∠ACB =60°，∵∠DAF=∠CAH，∴△AFD≌△AHC，∴∠AFD=∠AHC，∠D=∠ACH，∴∠AFB=∠CHE，∵∠AFB+∠ABF=∠ACH+∠HCE=60°，∴∠CHE+∠D=∠D+∠HCE=60°，∴∠CHE=∠HCE，∴CE=HE，∴AE=AH+HE=AF+CE．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．。
华东师大初中数学七年级下册《多边形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《多边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用．5.理解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和公式，并能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线在三角形中，连接它的一个顶点与它的对边中点的线段叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n 边形共有(3)2n n - 条对角线． 要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n 边形的内角和为(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有 关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D ；【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三，8；提示：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2＜x-3＜4+2，解得5＜x ＜9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11.2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝3BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图所示，表示∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的选项为（）A. ∠1+∠2=∠4﹣∠3B. ∠1﹣∠3=∠2﹣∠4C. ∠1+∠2=∠3+∠4D. ∠1﹣∠2=∠4﹣∠3【答案】A；提示：∵∠AEF是△BDE的外角，∴∠AEF=∠2+∠3，同理，∠4是△AEF的外角，∴∠4=∠AEF+∠1，即∠4=∠1+∠2+∠3，即∠1+∠2=∠4﹣∠3．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
数学华东师大版七年级下册几何中的最值问题
几何中的最值问题教学目标1.了解中考数学问题中最值的求解方法。
2.会求中考数学问题中的最值。
3.培养学生的数学分析、思维能力和解决问题能力。
教学重、难点会求中考数学问题中的最值 教学过程一、创设情境，导入新课唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军营视察，显然有许多走法．那么应该怎样走才能使路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完整的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属这类问题．看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛．在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，同样在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，也是我们要讨论的最值问题。
二、合作交流，探究新知最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；河流L 营地B山峰A② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
难点详解华东师大版七年级数学下册第7章一次方程组难点解析试题(名师精选)
七年级数学下册第7章一次方程组难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）A ．659x y xy +=⎧⎨=⎩B ．123230x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C ．3511643x y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．3826x y y z -=⎧⎨-=⎩2、已知x ＝3，y ＝－2是方程2x ＋my ＝8的一个解，那么m 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．－2D ．23、我们在解二元一次方程组2102x y x y+=⎧⎨=⎩时，可将第二个方程代入第一个方程消去x 得410y y +=从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）A ．转化思想B ．分类讨论思想C ．数形结合思想D ．公理化思想4、如果二元一次方程组3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩的解是二元一次方程3570x y --=的一个解,那么a 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．35、用加减法将方程组4311455x y x y -=⎧⎨+=-⎩中的未知数x 消去后，得到的方程是（ ）． A ．2y ＝6 B ．8y ＝16 C ．﹣2y ＝6 D ．﹣8y ＝166、关于x ，y 的方程258m n m n x y +-++=是二元一次方程，则m 和n 的值是（ ）A ．11m n =⎧⎨=-⎩B ．11m n =-⎧⎨=⎩C ．01m n =⎧⎨=⎩D ．10m n =⎧⎨=⎩ 7、已知二元一次方程组23,1,a b a b -=⎧⎨+=⎩则36a b +=（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．28、方程235x y -=，36x y +=，320x y z -+=，24x y +，50xy y -=中是二元一次方程的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．49、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）A ．31x y x z +=⎧⎨+=⎩ B ．2121x y x y ⎧+=⎨+=-⎩ C ．0235x y x y -=⎧⎨+=⎩ D ．212x y xy -=⎧⎨=⎩ 10、《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（ ）A ．2502503x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ C ．15022503x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ D ．2502503x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、方程组43139x yx y+=-⎧⎨+=⎩的解是：_____．2、一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度为x km/h，第二天行军的平均速度为y km/h，可列方程组______．3、某销售商十月份销售X、Y、C三种糖果的数量之比2∶1∶1，X、Y、C三种糖果的单价之比为1∶3∶4.十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的715，此时，X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3∶8，为使十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2∶3，则十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为____．4、将方程x+3y＝8变形为用含y的式子表示x，那么x＝_______．5、为了大力弘扬航天精神，科学普及航天知识，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦九天”的知识竞赛．假设共16道题，评分标准如下：答对1题加3分，答错1题扣1分，不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为28分，则小明答对了______道题．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．2、某货运公司有A，B两种型号的汽车，用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物分别可运货多少吨？（2）请帮该物流公司设计可行的租车方案．3、解方程组：2437x yx y-=⎧⎨-=-⎩．4、解方程组：(1)33?15? x yx y-=⎧⎨+=⎩；(2)32411 23x yx y+=⎧⎪+⎨-=⎪⎩．5、解方程组：111,522x yx y+-⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．2、A【解析】【分析】根据题意把x＝3，y＝－2代入方程2x＋my＝8，可得关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．【详解】解：把x＝3，y＝－2代入方程2x＋my＝8，可得：-=，解得：1628mm=-.故选：A.【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义以及解一元一次方程，注意掌握一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3、A【解析】【分析】通过代入消元法消去未知数x，将二元一次方程转化为一元一次方程．【详解】解：在解二元一次方程组2102x y x y+=⎧⎨=⎩时， 将第一个方程代入第二个方程消去x 得2⨯2y +y =10，即4y +y =10，从而将二元一次方程降次转化为一元一次方程求解，这种解法体现的数学思想是：转化思想，故选：A ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的方法是解题关键．4、B【解析】【分析】先求出3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩的解，然后代入3570x y --=可求出a 的值． 【详解】解：3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩①②， 由①+②，可得2x ＝4a ，∴x ＝2a ，将x ＝2a 代入①，得2a -y =a ，∴y ＝2a ﹣a ＝a ，∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，∴将2x ay a=⎧⎨=⎩代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0，∴a＝7，故选B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．5、D【解析】【分析】根据二元一次方程组的加减消元法可直接进行求解．【详解】解：用加减法将方程组4311455x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②中的未知数x消去，则有①-②得：﹣8y＝16；故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解是解题关键．6、C【解析】【分析】根据二元一次方程组的定义，得到关于m n，的二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：由题意可得：121m n m n +=⎧⎨-+=⎩，即11m n m n +=⎧⎨-=-⎩①②①+②得：20m =，解得0m =将0m =代入①得，1n =故01m n =⎧⎨=⎩故选：C【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义以及加减消元法求解二元一次方程组，解题的关键是理解二元一次方程组的定义以及掌握二元一次方程组的求解方法．7、D【解析】【分析】先把方程231a b a b -=⎧⎨+=⎩①②的②×5得到555a b +=③，然后用③-①即可得到答案． 【详解】解：231a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， 把②×5得：555a b +=③，用③ -①得：362a b +=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和代数式求值，解题的关键在于能够观察出所求式子与二元一次方程组之间的关系．8、A【解析】【详解】解：方程235x y -=是二元一次方程，36x y +=中的3y的未知数的次数1-，不是二元一次方程， 320x y z -+=含有三个未知数，不是二元一次方程，24x y +是代数式，不是二元一次方程，50xy y -=中的5xy 的未知数的次数是2，不是二元一次方程，综上， 二元一次方程的个数是1个，故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程，熟记二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程）是解题关键．9、C【解析】【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【详解】解：A 、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意B 、该方程组中的第一个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；D、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．10、B【解析】【分析】设甲持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的23=50，据此列方程组可得．【详解】解：设甲持钱x，乙持钱y，根据题意，得：15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．二、填空题1、285395 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】②×3-①求出x的值，再把x的值代入②求出y的值即可．【详解】解：431 39x yx y+=-⎧⎨+=⎩①②②×3-①，得5x=28∴x=28 5把x=285代入②得，283+95y⨯=∴395 y=-∴方程组的解为285395 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：285395 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．2、4598 425 x yx y+=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】相等关系有两个：两天行军的路程之和为98km，第一天行军的路程加上2km等于第二天的行军路程，再列方程组即可.解：设第一天行军的平均速度为x km/h，第二天行军的平均速度为y km/h，则4598 425 x yx y+=⎧⎨+=⎩故答案为：4598 425 x yx y+=⎧⎨+=⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，“确定相等关系列方程组”是解本题的关键.3、5:24【解析】【分析】根据三种糖果的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量和单价分别为2x、x、x；y、3y、4y，则10月份X、Y、C三种糖果的销售额比为2：3：4．因问题中涉及到X的10月销售数量，因此可以设11月份X增加的营业额为7x，则11月份总增加的营业额为15x；再根据X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，建立等式，求出x．可以根据十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3算出十一月份C种糖果增加的营业额即可求解．【详解】解：设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y，∴10月份X、Y、C三种糖果的销售额分别为2xy，3xy，4xy；∵X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的715，∴设11月份X增加的营业额为7x，则11月份总增加的营业额为15x；又X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，∴（7x+2xy）：（15x+9xy）=3：8，解得x=xy，∴十一月份X种糖果的营业额为9xy，三种糖果总营业额为24xy，∴Y，C两种糖果的营业额之和为15xy，若十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3，则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy；∴C种糖果增加的营业额为9xy-4xy=5xy，∴十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为5xy：24xy=5:24．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．4、8﹣3y【解析】【分析】利用等式的性质求解．【详解】解：x+3y＝8，x＝8﹣3y．故答案为：8﹣3y【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．5、10【解析】【分析】根据总分=答对题数×3-答错题数×1+不答题数×0，设答对的题数为x道，答错的题数为y道，可列出方程组，求出解．解：设答对题数为x道，答错的题数为y道，则不答的题数为（y+2）道．由题意得：216 328x y yx y+++=⎧⎨-=⎩，解得：102xy=⎧⎨=⎩，∴答对了10道题，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．三、解答题1、82【解析】【详解】解：设小长方形长为x，宽为y。
七年级数学下册 第六章 一元一次方程 华东师大版
第六章一元一次方程应知一、基本概念方程：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程解的过程叫做解方程。
【注意】解方程时，要用到等式的性质：（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
二、基本法则列一元一次方程的步骤：①弄清题意(设未知数)：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件(找等量关系)：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程(列方程)：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程。
【注意】此三步骤适用于列各种方程。
2. 解一元一次方程的步骤：①去分母。
②去括号。
③移项。
(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。
④合并同类项。
⑤化未知项的系数为1。
⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。
应会列一元一次方程。
解一元一次方程。
用一元一次方程解答实际问题。
【注意】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+xx等都不是一元一次方程.2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.例题1. 解下列方程：（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5（3）()()()3413231121+-=-+++xxx2. 一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？3. 小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？4. 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？5. 丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。
华师大版数学七年级(下册)说教材
一元一次不等式
分析抽象
实际问题
不等关系
不等式（组）
不等式的 性质
一元一次不等式（组）
解一元一次不等式（组）
教材处理方法：
教材以学生比较熟悉的地砖铺设引入，最后 又以正多边形的镶嵌结束本章内容，真正体现了 “数学来自于生活，又服务于生活”的理念。因 此，在本章的教学中，应鼓励学生自主探索，大 胆猜想，让学生充分发表自己的意见，通过动手 操作，探索三角形的内角和与外角和以及多边形 的内角和与外角和公式，并且要发挥小组集体力 量，可尝试一题多法，激活学生思维。
新课标要求(对本册教材的要求)
探索多边形的性质，丰 富对空间图形的认识和 感受，三角形的基本性 质，学习运用轴对称设 计图案的方法。 通过动手实验与合 作交流，进一步培 养收集、分析、描 述数据的能力。提 高发展探索、合作 精神。
探讨一些具有挑 战性的研究课题， 发展应用数学知 识解决问题的意 识和能力。 数与代
一次方程组知识结构
一次方程组的解法
消元
二元一次方程组
消元
三元一次方程组
一元一次方程
消元
一 次 方 程 组 的 解
本章在全套教科书中，位居一元一次方程和 方程组之后．方程（组）是讨论等量关系的数 学工具，不等式（组）是讨论不等关系的数学 工具．两者既有联系又有差异．在认识一次方 程（组）的基础上，通过比较的方式接受新知 识一元一次不等式（组），充分发挥心理学所 说的正向迁移的作用，可以起到很好的温故而 知新的效果。
21.（2011河南）某旅行社拟在暑假期间面向学生 推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数 m 0<m≤100 100<m≤200 m>200
收费标准（元/人）
数学华东师大版七年级下册几何类
精讲四
2一个三位数，三个数位上数字的和是17，百位上的数字比 十位上的数字大7，个位上的数字是十位上的数字的3倍。求 这个三位数。
解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为(x+7) 个位上的数字为3x。
根据题意，得 x+7+x+3x=17 解得 x=2.则百位上的数字为x+7=9，个位上的
数字为3x=6，故所求的三位数为926。
级捐款数的平均数，已知九年级捐款1964元，求其他两个年级的
捐款数。
解：设七年级捐款x元，则八年级捐款 x 1964
元。
2
根据题意得：x x 1964 1964 5 x
2
2
解这个方程得：x=2946 经检验，符合题意。 答：七年级捐款2946元，八年级捐款2455元。
课堂小结
实际问题
解：设甲种存款为x万元。则乙种存款为（20 - x)万元
1.4%x+3.7%(20-x)=0.625
解方程得： x = 5
所以 20 – x = 15
答：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元
巩固提升
4.新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款。经统计，七年级捐
款数占全校三个年级捐款总数的
2 5
，八年级捐款数是全校三个年
4
6
x x 1 46
x 12 x 12 112
4
6
3x 2x 12
解方程
x 12 5
x 2.4
答:两个合作，需2.4天完成.
精讲二
(2)学校校办厂需制作一块广告牌,请来两名工人.已知师傅单独完成需4天,
徒弟单独完成需6天.现由徒弟先做1天,再两个合作,完成后共得到报酬450 元.如果按各人完成的工作量计算报酬,那么该如何分配?
七年级数学专题三：代数式华东师大版 知识精讲
初一数学专题三：代数式华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题三：代数式二. 知识要点：1. 知识点概要⑴能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。
⑵理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。
⑶会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
⑷了解代数式的分类，理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则。
2. 重点难点⑴重点：理解与代数式有关概念的含义，会求代数式的值，并用代数式表示简单问题的数量关系。
⑵难点：合并同类项，探索规律列代数式。
三. 考点分析：（一）字母能表示什么1. 用字母表示数的意义⑴用字母表示数可以简明地表达数学运算规律；⑵用字母表示数可以简明地表达数学公式；⑶用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系。
用字母表示数有时可以给我们研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，把实际问题用数学式子表示，是用数学工具解决实际问题的关键，是数学学科的一项重要任务。
2. 用字母表示数有以下几个特点⑴任意性：字母可任意表示数或式； ⑵限制性：字母取值应使具体代数式有意义，如ab 中，a ≠0。
⑶确定性：字母取值一旦确定，代数式的值也随之确定。
⑷抽象性：字母取代数更准确地反映事物的规律，更具一般性，如用2n （n 为整数）表示偶数等。
3. 用字母表示数时对字母的要求⑴用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
⑵在同一问题中同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
（二）代数式学习代数式要注意以下几点：1. 代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，不含有等号或不等号，单独的一个数或字母，也是代数式；2. 书写代数式要规X ，尤其是有乘法或除法运算时，要按规定规X 书写；3. 表示代数式的意义时，实际问题中的字母和数要有意义，符合实际，其中的运算要正确表述其运算结果及运算顺序；4. 列代数式的技巧：列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的作用，要分清运算顺序，一般遵循先高级后低级，必要时加括号.除了和差、积、商、大、小、多、少外，还要掌握下述数量关系：⑴行程问题：路程＝速度×时间；⑵工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；⑶浓度问题：溶质质量＝（溶液质量/溶液浓度）×100%⑷数字问题：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字＝三位数.（三）同类项1. 同类项的概念：“所含字母相同，相同的字母的指数也分别相同的两个项叫做同类项”。
初中数学华东师大七年级下册(2023年新编)第9章 多边形多边形的内角和
多边形的内角和与外角和一、教材的地位和作用：本节课内容是华东师大版七年级数学下册第九章第二节《多边形的内角和与外角和》第1课时，它是多边形相关知识的重点。
教材从复习三角形的定义、内角和到学习探究多边形的定义、内角和，环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性、类比性都比较强。
通过这节课的学习，培养了学生积极参与课堂探究的习惯及探索与归纳的能力，在探究中体会从简单到复杂，从特殊到一般，以及类比、转化等重要的数学思想方法。
二、学情分析：本章的第一节学习的是三角形的有关知识，学生已经经历了三角形定义、边、角、外角及内角和的探究过程，对这些知识已经有了一定的认识，并且具备了一些探究和归纳的能力，这为本节课的学习打下了很好的基础。
因此对于学习本节内容的知识条件已经具备，通过自学、互学、小组探究，学生将会自主探究出所学的知识，轻松、愉快地完成本节课的学习任务。
三、教学目标1.知识与技能目标：学会主动探索、归纳和掌握多边形的内角和公式，并会运用其解决相关问题。
并通过多边形内角和公式的推导，体验数学中的“转化”思想。
2.过程与方法目标：经历探索多边形内角和公式等的过程，在实践中培养学生的推理能力以及主动探究意识．3.情感态度与价值观目标：经历多边形内角和的探索过程，感受从特殊到一般的类比的学习方法，初步体会转化的数学思想，在学习中感受研究数学的乐趣。
四、教学重、难点1.重点：多边形的内角和定理及运用。
2.难点：多边形的内角和定理的推导过程（数学转化思想）。
五、教学过程1.情境导入：全世界瞩目的2023年冬奥会将在中国北京举行。
如果设计师能设计一个内角和为2023度的多边形图案，那该多有纪念意义呀！那么可能吗？它会是几边形呢？2.预习提问：问题1 ：什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？通过类比，总结出多边形的定义。
（学生回答）问题2：说一说下面所指的是多边形的什么（顶点、边、角）？（学生独立回答）三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？（通过课前预习，学生独立回答），同时通过出示多边形的图片，让学生认识凸多边形和凹多边形（不在现在的研究范围），并强调，如果教材没有特别指明，多边形都指的是凸多边形。
数学分析教案 华东师大版第六章 微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值及凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时§ 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义及几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。
教学难点：定理的证明。
教学难点：系统讲解法。
一、引入新课：通过复习数学中的“导数”及物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。
在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。
因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。
我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )2.可微极值点的必要条件:Th ( Fermat ) ( 证 )函数的稳定点, 稳定点的求法.（二）微分中值定理:1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 )由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且( 证 )Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于及之间的任一实数, 则设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理:Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,必有, 因为否则就有.这及条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（三）中值定理的简单应用:1. 证明中值点的存在性例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得.证在Cauchy中值定理中取.例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .2.证明恒等式:原理.例3证明: 对, 有.例4设函数和可导且又则.证明.例5设对, 有, 其中是正常数. 则函数是常值函数. (证明 ).3.证明不等式:例6证明不等式: 时, .例7证明不等式: 对，有.4. 证明方程根的存在性:证明方程在内有实根.例8证明方程在内有实根.§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
华东师大版七年级数学下册代数公式与法则
华东师大版七年级代数公式与法则相反数：两个数互为相反数，和为0。
即a+b=0倒数：乘积为“1”的两个数互为倒数。
即ab =1绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
a (a＞0)，即对于任何有理数a，都有|a|＝0（a＝0）–a(a＜0)任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。
非负数性质：几个非负数的和为零，则每一个非负数都得零。
数轴：：数轴上右边的数总比左边的数大。
有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、一个数同零相加，仍得这个数；4、互为相反数的两个数相加得0。
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
有理数的乘法法则：1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2、任何数同0相乘，都得0；有理数的除法法则：1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3、0除以任何一个不等于0的数，都得0。
乘方的符号法则：1、正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；有理数的混合运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。
合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
（一加两不变）去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
添括号法则：在括号前面添上“＋”号，括进括号里各项都不变号；在括号前面添上“－”号，括进括号里各项都改变符号。
方程与方程组：1．解一元一次方程的一般步骤：（不是标准形式需整理方程），（1）去分母：（不漏乘无分母的项；分子是多项式要添括号）（2）去括号：（乘法分配律不漏乘括号内的每一项；括号前是负号，去掉括号，括号内每一项都改变符号）（3）移项：（含未知数的项移到方程的左边，常数项移到右边；移项要变号）（4）合并同类项：（一加两不变：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变）（5）系数化为1：（方程两边都乘以未知数系数的倒数，或除以未知数系数本身）2、二元一次方程组的解法：基本思路是消元法，即把二元变为一元。
2020秋七年级数学下册解题技巧专题-华东师大版
解题技巧专题: 方程组中较复杂的实际问题◆类型一图表问题1. 如图, 一个多边形的顶点全在格点上, 则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S, 其内部的格点数记为N, 边界上的格点数记为L, 例如图中三角形ABC是格点三角形, 对应的S＝1, N＝0, L＝4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S, N, L的值；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b, 其中a, b为常数, 若某格点多边形对应的N＝82, L＝38, 求S的值．2. 某中学2015年通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生共23名, 资助一名中学生的学习费用需a元, 一名小学生的学习费用需b元, 各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、小学生人数的部分情况如下表:年级筹款数额(元)资助贫困中学生人数(名)资助贫困小学生人数(名)初一年级4000 2 4初二年级4200 3 3初三年级7400(1)求a, b的值；(2)初三年级学生筹集的钱款解决了其余贫困中小学生的学习费用, 求出初三年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为多少.◆类型二方案问题3. 一个长方形养鸡场的长边靠墙, 墙长14米, 其他三边用篱笆围成, 现有长为35米的篱笆, 爸爸的设计方案是长比宽多5米；妈妈的设计方案是长比宽多2米, 你认为谁的设计合理, 为什么？并求出设计合理的养鸡场的面积.4. 某旅行社组织一批游客外出旅游, 原计划租用45座客车若干辆, 但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车, 则多出一辆车, 且其余客车恰好坐满. 已知45座客车租金为每辆220元, 60座客车租金为每辆300元, 问:(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种车, 要使每位游客都有座位, 应该怎样租用才合算？参考答案与解析1. 解: (1)S＝3, N＝1, L＝6.(2)由题意得解得故S＝N＋ L－1.当N＝82, L＝38时, S＝100.2. 解: (1)由题意可知解得(2)设初三年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为x人和y人．由题意, 可得解得答: 初三学生资助的贫困中、小学生人数分别为4人和7人.3. 解: 妈妈的设计方案合理. 理由如下: 设篱笆的长为x米, 宽为y米. ①按爸爸的设计方案, 则有解得 15米＞14米, 不合理. ②按妈妈的设计方案, 则有解得 13米＜14米, 合理. 此时养鸡场的面积为13×(13－2)＝143(平方米).4. 解: (1)设这批游客的人数是x人, 原计划租用y辆45座客车. 根据题意得解这个方程组, 得答：这批游客的人数是240人, 原计划租用5辆45座客车.(2)租45座客车：240÷45≈5.3(辆), 所以需租6辆, 租金为220×6＝1320(元)；租60座客车：240÷60＝4(辆), 所以需租4辆, 租金为300×4＝1200(元)．所以租用4辆60座客车更合算．解题技巧专题: 列一元一次方程解决实际问题——快速有效地寻找等量关系◆类型一利用基本数量关系寻找相等关系(路程、工程、利率、周长、面积、体积等公式)1. (南宁中考)超市店庆促销, 某种书包原价每个x元, 第一次降价打八折, 第二次降价每个又减10元, 经两次降价后售价为90元, 则得到方程( )A. 0.8x－10＝90B. 0.08x－10＝90C. 90－0.8x＝10D. x－0.8x－10＝902. 一个长方形的周长为16cm, 长与宽的差是1cm, 那么长与宽分别为( )A. 5cm, 3cmB. 4.5cm, 3.5cmC. 6cm, 4cmD. 10cm, 6cm3．某小组每天需生产50个零件才能在规定时间内完成一项生产任务, 实际上该小组每天比原计划多生产6个零件, 结果比规定时间提前3天并超额生产了120个零件．若设该小组需完成的零件数为x个, 则可列方程为( )A.x＋12050－x50＋6＝3 B.x50－x50＋6＝3C.x50－x＋12050＋6＝3 D.x＋12050＋6－x50＝34. (资阳期中)某种商品的标价为200元, 按标价的八折出售, 这时仍可盈利25%, 则这种商品的进价是________元.5．两地相距450千米, 甲、乙两车分别从A, B两地同时出发, 相向而行, 已知甲车的速度为120千米/时, 乙车的速度为80千米/时, 经过多少小时两车相距50千米？6. 某药业集团生产的某种药品包装盒的表面展开图如图所示. 如果长方体盒子的长比宽多4cm, 求这种药品包装盒的体积.◆类型二抓住问题中的“关键词”寻找相等关系(“共有”“比……多……”“是……倍”等)7. 有两支同样长的蜡烛, 一支能点燃4小时, 另一支能点燃3小时, 一次遇到停电, 同时点燃这两支蜡烛, 来电后同时吹灭, 发现其中的一支是另一支的一半, 停电时间为( )A. 2小时B. 3小时C.125小时D.52小时8. 把一根长100cm的木棍锯成两段, 使其中一段的长比另一段的2倍少5cm, 则锯出的木棍的长不可能为( )A. 70cmB. 65cmC. 35cmD. 35cm或65cm9．如图是一张日历表, 涂阴影的8个数字的和是134, 则中间的数a是________．10. 美术馆举办的一次画展中, 展出的油画作品和国画作品共有100幅, 其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅, 则展出的油画作品有________幅.11．(雅安校级月考)昆曲高速公路全长128千米, 甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出, 经过40分钟相遇, 甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．12. 情境:试根据图中的信息, 解答下列问题:(1)购买6根跳绳需________元, 购买12根跳绳需________元；(2)小红比小明多买2根跳绳, 付款时小红反而比小明少5元．你认为有这种可能吗？若有, 请求出小红购买跳绳的根数；若没有, 请说明理由．◆类型三抓住问题中的“用不同方式表示同一个量”寻找相等关系13. 某市对城区主干道进行绿化, 计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树, 要求路的两端各栽一棵, 并且每相邻两棵树的间隔相等. 如果每隔5米栽1棵, 则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵, 则树苗正好用光. 设原有树苗x棵, 则根据题意列出方程正确的是( )A. 5(x＋21－1)＝6(x－1)B. 5(x＋21)＝6(x－1)C. 5(x＋21－1)＝6xD. 5(x＋21)＝6x14. 有一种足球是由32块黑色和白色的牛皮缝制而成的(如图), 黑皮可看作正五边形, 白皮可看作正六边形, 设白皮有x块, 则黑皮有(32－x)块, 每块白皮有6条边, 共6x条边, 因每块白皮有三条边和黑皮连在一起, 故黑皮共有3x条边, 要求出白皮、黑皮的块数, 列出的方程正确的是( )A. 3x＝32－xB. 3x＝5(32－x)C. 5x＝3(32－x)D. 6x＝32－x15．用一个底面是20cm×20cm的正方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别为16cm,10cm和5cm的长方体铁盒内倒水, 当铁盒装满水时, 正方体容器中水的高度下降________cm.16. 如图, 8块相同的长方形地砖, 拼成了一个长方形图案(地砖间的缝隙忽略不计).设每块地砖宽为xcm, 则可列方程______________.17. 把一些图书分给某班学生阅读, 如果每人分3本, 则剩余20本；如果每人分4本, 则还缺25本. 这个班有多少名学生？18. (眉山期末)有一些相同的房间需要粉刷墙面, 一天3名一级技工粉刷8个房间, 结果还有50平方米没有刷完；同样时间5名二级技工刷完10个房间外, 还多刷了另外的40平方米. 已知每名一级技工比二级技工一天多刷10平方米, 求每个房间需要粉刷的墙面面积.参考答案与解析1. A2.B3.C4.1285．解: 设经过x小时两车相距50千米, 依题意有(120＋80)x＝400或(120＋80)x＝500.解得x＝2或2.5.答: 经过2小时或2.5小时两车相距50千米.6．解：设长方体宽为xcm, 则长为(x＋4)cm, 高为 [13－(x＋4)]cm, 由题意得2x＋[13－(x＋4)]＝14.解得x＝5, 则5＋4＝9(cm), [13－(5＋4)]＝2(cm), 9×5×2＝90(cm3)．答: 这种药品包装盒的体积为90cm3.7. C 8.A 9.17 10.6911. 解: 设乙车速度为x千米/时, 甲车速度为(x＋20)千米/时, 根据题意得40分钟＝小时, (x＋x＋20)＝128, 解得x＝86, 则x＋20＝86＋20＝106.答: 甲车速度为106千米/时, 乙车速度为86千米/时.12. 解：(1)150 240 解析：6×25＝150(元), 12×25×0.8＝240(元).(2)有这种可能, 设小红购买跳绳x根, 则25×80%x＝25(x－2)－5, 解得x＝11.经检验, 符合题意．答: 小红购买跳绳11根.13. A 14.B 15.216. (60－x)＋3x＝2(60－x)或4x＝6017．解: 设这个班有x名学生, 则有3x＋20＝4x－25, 解得x＝45.答: 这个班共有45名学生.18．解: 设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米, 则有－＝10.解得x＝52.答：每个房间需要粉刷的墙面面积为52平方米.解题技巧专题: 三角形中内外角的相关计算——全方位求角度类型一已知角的关系, 直接利用三角形的内角和或结合方程思想求角度1．在△ABC中, ∠A－∠B＝35°, ∠C＝55°, 则∠B等于( )A. 50°B. 55°C. 45°D. 40°2．在△ABC中, 已知∠A＝2∠B＝3∠C, 则△ABC是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状无法确定3．如图, 在△ABC中, ∠C＝∠ABC＝2∠A, BD是AC边上的高, 求∠DBC的度数．【方法17】4. 如图, △ABC中, ∠B＝26°, ∠C＝70°, AD平分∠BAC, AE⊥BC于E, EF⊥AD于F, 求∠DEF的度数. 【方法17】◆类型二综合内外角求角度5. 如图, BD.CD分别平分∠ABC和∠ACE, ∠A＝60°, 则∠D的度数是( )A. 20°B. 30°C. 40°D. 60°第5题图第6题图6. 如图, ∠B＝20°, ∠A＝∠C＝40°, 则∠CDE的度数为________.7．如图, AD平分∠BAC, ∠EAD＝∠EDA.(1)试说明∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°, ∠CAD∶∠E＝1∶3, 求∠E的度数.◆类型三在三角板或直尺中求角度8. 将一副三角板按如图所示摆放, 图中∠α的度数是( )A. 120°B. 105°C. 90°D. 75°第8题图第9题图9. 将两个含30°和45°的直角三角板如图放置, 则∠α的度数是( )A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°10．一副三角板如图所示叠放在一起, 则图中∠α的度数是________．第10题图第11题图11. 如图, 将三角板的直角顶点放在直尺的一边上, 若∠1＝55°, 则∠2的度数为________.◆类型四与平行线结合求角度12. 如图, 已知B, C, E在同一直线上, 且CD∥AB, 若∠A＝75°, ∠B＝40°, 则∠ACE的度数为( )A. 35°B. 40°C. 115°D. 145°第12题图第13题图13. 如图, AB∥CD, 直线PQ分别交AB.CD于点F、E, EG是∠DEF的平分线, 交AB于点G.若∠PFA＝40°, 那么∠EGB等于【方法17】( )A. 80°B. 100°C. 110°D. 120°14．如图, BD是△ABC的角平分线, DE∥BC, 交AB于点E, ∠A＝45°, ∠BDC＝60°,则∠BDE＝________．15. 如图, 在△ABC中, 点D在BC上, 点E在AC上, AD交BE于F.已知EG∥AD交BC 于G, EH⊥BE交BC于H, ∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC, ∠C＝44°, 求∠BAC的度数. 【方法17】◆类型五与截取或折叠相关求角度16. 如图, 把△ABC纸片沿DE折叠, 当点A落在四边形BCED的外部时, 则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变, 请试着找一找这个关系, 你发现的关系是( )A. ∠A＝∠1－∠2B. 2∠A＝∠1－∠2C. 3∠A＝2∠1－∠2D. 3∠A＝2(∠1－∠2)17. 如图, Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝52°, 将其折叠, 使点A落在边CB上A′处, 折痕为CD, 则∠A′DB＝________.第17题图第18题图18. 如图, 在△ABC中, ∠B＝70°, 若沿图中虚线剪去∠B, 则∠1＋∠2＝________.19. (1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①, 此时点A落在四边形BCDE内部, 则∠A与∠1, ∠2之间有一种数量关系保持不变, 请找出这种数量关系, 并说明理由；(2)若折叠成图②或图③, 即点A落在BE或CD上时, 分别写出∠A与∠2, ∠A与∠1之间的关系式(不必说明理由)；(3)若折叠成图④, 写出∠A与∠1, ∠2之间的关系式(不必说明理由)．参考答案与解析1. C2.C3. 解: 设∠A＝x, 则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A ＝180°, 即2x＋2x＋x＝180°, ∴x＝36°, ∴∠C＝2x＝72°.在直角△BDC中, ∠DBC＝90°－∠C＝90°－72°＝18°.方法解析：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时, 一般需要设未知数, 根据三角形的内角和列方程求解.4．解: ∵△ABC中, ∠B＝26°, ∠C＝70°, ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－26°－70°＝84°.∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC＝∠BAC＝×84°＝42°.在△ACE中, ∠CAE＝90°－∠C＝90°－70°＝20°, ∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝42°－20°＝22°.∵∠DEF＋∠AEF＝∠AEF＋∠DAE＝90°, ∴∠DEF＝∠DAE＝22°.5. B6.80°7. 解: (1)∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA, ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.(2)设∠CAD＝x°, 则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°, ∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中, ∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°, ∴3x°＋2(x＋50)°＝180°, 解得x ＝16.∴∠E＝48°.8. B 9.B 10.75°11.35°12.C 13.C 14.15°15. 解: (1)∵EH⊥BE, ∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°, ∴∠BEG＝∠BEH－∠HEG＝35°.又∵EG∥AD, ∴∠BFD＝∠BEG＝35°.(2)∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE, ∠BAD＝∠EBC, ∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.由(1)可知∠BFD＝35°, ∴∠ABC＝35°.∵∠C＝44°, ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－35°－44°＝101°.16. B 17.14°18.250°19. 解: (1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下: 延长BE, CD, 交于点P, 则△BCP即为折叠前的三角形. 由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EPA, ∠2＝∠DAP＋∠DPA, 则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE, 即∠1＋∠2＝2∠A.(2)图②中, ∠2＝2∠A；图③中, ∠1＝2∠A.(3)图④中, ∠2－∠1＝2∠A.。
华东师大版七年级数学下期不等式组计算题、应用题总汇
一元一次不等式(1)一.解不等式 (1)215329323+≤---x x x (2)()4138132--<++x x(3)3x+2＜2x —5 〔4〕43x -≥—2〔5〕3〔y+2〕—1≥8—2〔y —1〕 〔6〕132m m --＜1（7）[]32(2)x x --＞3(2)x x -- 〔8〕11(1)22x x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦≤2(1)5x -二、解以下不等式，并将解集在数轴上表示出来：〔1〕3x+2＜2x —8 〔2〕3—2x ≥9+4x 〔3〕2〔2x+3〕＜5〔x+1〕〔4〕19—3〔x+7〕≤0 (5)22123x x ++≥ (6)512x +->322x +三、解答题1.当X 取何值时,代数式x x 2416--的值①大于-2;②不大于1-2X2. 最小的整数是，最大的负整数是，最小的非负整数是。
最小的自然数是，绝对值最小的整数，小于5的非负整数是。
3.关于X 的方程()323--a x =()635++a x 的解是负数，求字母a 的取值X 围；4.不等式()()716825+-<+-x x 的最小整数解为方程32=-ax x 的解，求代数式aa 144-的值。
5.13223>-+kxk 是关于x 的一元一次不等式,那么k =________;不等式的解集是____________.6.不等式()46325->--x x 的解集是_______________.7.当x 取___________时,代数式1373-x 的值为负数. 8.当k 取___________时,关于x 的方程k x =+32的解为正数. 9.62=-y x ,假设4>x ,那么y ________. 10.求不等式1215312≤+--x x 的非正整数解,并在数轴上表示出来.11.方程()ax a x =---4523的解满足不等式04≥-x 和不等式04≥-x ,求a 的值. 12.假设a 同时满足不等式042<-a 和213>-a ,化简 21---a a .13.正整数x 满足032<-x ,求代数式()x x 52115--的值.14.23<<-y ,化简34932+++--y y y . 15.不等式()为未知数x a x x 322434-<+的解,也是不等式21621<-x 的解,求a 的取值X 围. 16.当()2323->-a a 时,求不等式()a x x a ->-34的解集.17.方程组⎩⎨⎧-=+=-ay x ay x 5132的解x 与y 的和是正数,求a 的取值X 围.18.关于x 的不等式22>-m x 与不等式x ->-3231的解集一样,求m 的值.四.解不等式组 （1）⎩⎨⎧>+>-821213x x x 〔2〕⎩⎨⎧<-<-xx x 332312 〔3〕⎩⎨⎧>-<+423532x x(4〕⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 237121)1(325 〔5〕 ⎪⎩⎪⎨⎧->-+-<--)3(4)4(316125x x xx（6）⎪⎩⎪⎨⎧<->+>-04302012x x x 〔7〕⎪⎩⎪⎨⎧+>-+≤-≤-82332346x x x x x五.解不等式： 1.65)31(31≤+≤-x ； 2.835≤-x3．假设不等式组⎩⎨⎧<-≥-01m x x 无解，求m 的取值X 围。
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几何中的最值问题
教学目标
1.了解中考数学问题中最值的求解方法。
2.会求中考数学问题中的最值。
3.培养学生的数学分析、思维能力和解决问题能力。
教学重、难点
会求中考数学问题中的最值
教学过程
一、创设情境，导入新课
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通
数学和物理的学者，名叫海伦．一
天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问
题：将军每天从军营A 出发，先到
河边饮马，然后再去河岸同侧的B
地军营视察，显然有许多走法．那么应该怎样走才能使路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完整的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．
事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路
线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属这类问题．看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛．
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，同样在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，也是我们要讨论的最值问题。
二、合作交流，探究新知
最值问题的解决方法通常有两种：
（1）应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；河流L 营地B 山峰A。