概率论
概率论全部
24.設正態總體X～N（μ,σ2）,σ2未知, ,S2是樣本平均值和樣本方差,給定顯著性水準α,檢驗假設Ho：σ2= ,H1：σ2≠ 應使用的檢驗用統計量是（A： ）。
11、設X～b（3，0.5），則P(X≥1)的值是（D:0.875）。
12、已知(X ,Y )的分佈律為
0
1
1
0
1/6
2
1/12
1/6
3
1/2
1/12
則X的邊緣分佈律為（C:
X
0
1
P
13、設連續型隨機變數X的分佈函數為F(x)= 則A的值為（C:0.5）。
14、設X的分佈律為
則E(X)=(C:0.8)
53．设X1，X2，…Xn是总体X的一个样本，g（X1，X2，…Xn）是X1，X2，…Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…Xn）是一个统计量。
54．设A与 互为对立事件，则 。
55．若二维随机变量（X，Y）在平面区域D中的密度函数为 其中A为D的面积，则称（X，Y）在区域D上服从均匀分布。
19．设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值 80。
20．设总体X~N（μ，σ2），x1，x2，…，xn是来自总体X的样本，则σ2已知时，μ的1-a置信区间为 。
21．假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪错误。
22．设总体X～N（μ，σ2），对假设 做假设检验时，所使用的统计量是 它所服从的分布是 。
X
0
1
P
0.2
0.8
15、已知X～b（n, 0.2）則E(X) =(D:0.2n)
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。
样本空间：概率论术语。
我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。
样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。
随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。
互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。
互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。
§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是一门应用广泛的数学学科，它主要是研究不确定性、随机性的现象。
概率论的研究分为理论概率论和应用概率论两大部分。
应用概率论解决问题的解决办法，而理论概率论主要研究概率论本身和其它与之相关的数学。
本文将主要介绍概率论的基本概念和相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法。
首先，概率论的基本概念是概率空间（Probability Space），即一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是样本空间，F是一个满足数学定义的概率事件集，P是一个满足概率性质的概率度量。
概率空间的不同的选择，可以根据实际应用的需要来确定合理的概率空间。
其次，可以使用概率空间来描述不确定性的情况，即可以通过概率空间来表示不确定性的发生概率。
在概率论中，概率函数可以将概率空间中每个事件的发生概率确定下来，从而形成一个完整的概率模型。
此外，概率论中还有几个概念需要重点介绍：关联性，即两个事件之间存在依赖关系；随机变量，即将概率空间中每个样本点映射到实数空间中的函数。
概率分布，表示随机变量取某一值时发生的概率；期望，表示一组数据集中取某一值时发生的概率。
此外，概率统计中使用的公式也很重要，常见的有贝叶斯公式、估计量、样本量和样本均值的公式。
贝叶斯公式的形式为：P(A|B) = [P(B|A)P(A)]/P(B)，其中P(A|B)为A事件在B事件发生的条件下发生的概率； P(B|A)为B事件在A事件发生的条件下发生的概率；P(A)为A事件发生的概率；P(B)为B事件发生的概率。
估计量可以将概率密度函数中的几个参数估计出来，一般使用极大似然估计的方法。
此外，样本量公式的形式为：n = (zα/2σ)2/ε2，其中zα/2为α/2置信水平的z分布值；σ为总体标准差；ε为样本平均值的允许误差。
最后，样本均值的计算公式是：X =X/n，其中X为样本均值；ΣX为样本总和；n为样本总数。
总结一下，概率论是一门应用广泛的数学学科，其基本概念主要包括概率空间、概率函数及其它相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法，在许多实际应用中，概率论都发挥着重要的作用。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
概 率 论
概率论概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
基本起源概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。
16世纪，意大利的学者吉罗拉莫•卡尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。
17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家（相当于赌场）赢。
按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。
当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此6倍于前一种规则的次数，也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。
然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”，他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。
概率的三大公式
概率的三大公式一、加法定理加法定理是概率论中最基本的公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∪B)，其中∪表示并集。
加法定理的公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
举个例子来说明加法定理的应用。
假设有一个袋子里有红球和蓝球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在我们从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据加法定理，我们可以计算出P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 1。
因此，抽到红球或者蓝球的概率为1。
二、乘法定理乘法定理是概率论中另一个重要的公式，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)，其中∩表示交集。
乘法定理的公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
举个例子来说明乘法定理的应用。
假设有一个扑克牌的牌组，牌组中有52张牌。
现在我们从牌组中依次抽取两张牌，求第一张牌是红心的概率，且第二张牌是黑桃的概率。
根据乘法定理，我们可以计算出P(第一张牌是红心∩第二张牌是黑桃) = P(第一张牌是红心) × P(第二张牌是黑桃|第一张牌是红心) = 1/4 × 13/51 = 1/12。
因此，第一张牌是红心且第二张牌是黑桃的概率为1/12。
三、全概率公式全概率公式是概率论中用于计算复合事件概率的重要公式。
假设B1、B2、B3...是一组互不相容的事件，并且它们的并集构成了样本空间。
那么对于任意一个事件A，全概率公式的公式如下：P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + P(A|B3) × P(B3) + ...其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是一门研究随机现象的数学分支，它使用概率来描述和解释随机事件发生的规律性。
在实际应用中，我们常常需要使用一些基本概率公式来计算和分析各种随机现象。
以下是一些常见的概率论公式：1.概率的定义公式：P(A)=N(A)/N(S)其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中发生的总次数。
2.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)某P(B，A)其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
5.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bi)某P(Bi)其中P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bi求和。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/ΣP(A，Bj)某P(Bj)其中P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bj)表示在事件Bj发生的条件下事件A发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bj求和。
7.期望值的公式：E(X)=ΣXi某P(Xi)其中E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示随机变量X的可能取值，P(Xi)表示随机变量X取值为Xi的概率，Σ表示对所有可能的取值Xi求和。
8.方差的公式：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X^2)表示随机变量X的二阶矩，[E(X)]^2表示随机变量X的期望值的平方。
概率论 概念
概率论概念一、什么是概率论概率论是一门研究随机现象的科学，主要探讨随机现象背后的数学规律和结构。
在概率论中，随机现象是指结果无法在事前确定的现象，它们的发生具有一定的不确定性。
而概率则是衡量随机事件发生可能性的数值表示。
二、概率论的发展简史概率论的发展始于17世纪，最初主要是用来解决赌博问题。
随着时间的推移，概率论的应用范围逐渐扩大，涉及到诸多领域，如统计学、经济学、生物学、物理学等。
在现代社会，概率论已经成为许多学科的重要基础。
三、概率论的基本概念1.样本空间与样本点：样本空间是指随机实验所有可能结果组成的集合，而样本点则是样本空间中的具体元素。
例如，在一次抛掷硬币的实验中，样本空间可以包含正面和反面两种结果，即{正面，反面}，而每个结果则是样本点。
2.事件：事件是由样本空间中某些样本点组成的集合。
事件可以包含一个或多个样本点。
例如，在抛掷硬币的实验中，事件可以包括{正面}和{反面}两个集合。
3.概率：概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，通常用P来表示。
根据定义，一个事件的概率P(A)满足以下三个条件：0≤P(A)≤1；对于不可能事件，P(A)=0；对于必然事件，P(A)=1。
4.条件概率：条件概率是指在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5.独立性：如果两个事件A和B相互独立，则一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生概率。
如果A和B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。
6.随机变量：随机变量是用来描述随机实验结果的数学工具。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型。
离散型随机变量是在可数范围内取值的变量，而连续型随机变量则是取值范围无法列举完的变量。
7.分布函数：分布函数是用来描述随机变量取值概率的函数。
对于离散型随机变量，分布函数是所有可能取值的概率之和；对于连续型随机变量，分布函数则是一条连续曲线。
8.期望与方差：期望值是随机变量所有可能取值的加权平均值；方差则是描述随机变量取值分散程度的数值，方差越小说明随机变量的取值越集中。
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。
以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。
概率论公式
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni i n i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P )()(A P AB P乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k kB A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = p nk p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kkn n k n k n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x td 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f xf x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y fy x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k X E X 的 k 阶中心矩 )))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数 XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数 )()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
(完整版)概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式P( A | B) P( AB)P( B)F ( x) P( X x)P( X k)k x概率的乘法公式P( AB) P( B) P(A | B)P( A) P(B | A)全概率公式：从原因计算结果nP( A)P(B k )P( A | B k )k 1Bayes 公式：从结果找原因P(B i )P( A | B i )P (B k | A)nP( B k )P( A | B k )k 1第二章二项分布（ Bernoulli 分布）—— X~B(n,p) P(X k) C n k p k(1 p)n k，(k 0,1,...n,)泊松分布—— X~P( λ)kP( X k)e，( k0,1,...)k!概率密度函数f (x)dx 1怎样计算概P(a X b) 率P (a X b) b f (x) dxa均匀分布 X~U(a,b)1f ( x)( a x b)b a指数分布 X~Exp ()对连续型随机F ( x) P( X x) xf (t )dt 变量分布函数与密度函数的重要关系：F ( x) P( X x) xf (t )dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度联合分布f(x, y)F ( x, y)函数函数f ( x, y)0f ( x, y)dxdy 1联合密度与边缘密度f X (x) f (x, y)dyf Y (y) f (x, y)dx失散型随机变量的独立性P{ X i, Y j } P{ X i } P{Y j} 连续型随机变量的独立性f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)第三章数学希望失散型随机变量，数学希望定义E( X)xkPkk连续型随机变量，数学希望定义E( X )x f ( x)dxE(a)=a，其中 a 为常数E(a+bX)=a+bE(X) ，其中 a、b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量 g(X) 的数学希望E(g (X ))g ( x k ) p kk常用公式E(X)E(XY)xiyjpij xipij iji jE( X ) xf ( x, y)dxdy E( X Y) E( X ) E(Y ) E( XY) xyf ( x, y)dxdy 当 X与 Y独马上 , E( XY )E( X ) E(Y )方差定义式 D ( X )x E( X ) 2 f ( x) dx常用计算式 D (X ) E( X 2 ) E( X ) 2常用公式D ( X Y ) D ( X ) D (Y) 2E{( X E( X ))( Y E(Y ))}当 X、Y 相互独马上： D ( X Y ) D ( X ) D (Y )方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数D(a+bX)= abD(X) ，其中 a、b 为常数当X、Y 相互独马上， D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E X E ( X ) Y E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y) Cov( X,Y)XY协方差的性质D(X)D(Y)Cov( X , X ) E( X 2 ) E( X ) 2 D ( X )Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)独立与相关独立必然不相关、相关必然不独立、不相关不用然独立第四章正态分布1 ( x ) 2e 2 2 E( X ), D ( X ) 2 (a) 1( a)f ( x) X ~ N ( , 2 )2标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Z a) P(Z a)(a)P(Z a) P( Z a) 1(a)P(a Z b)(b)(a)P( a Z a)(a)( a) 2 (a) 1一般正态分布的概率计算X ~ N ( , 2 )Z X~ N (0,1)一般正态分布的概率计算公式P( X a) P( X a) ( a)P( X a) P( X a) 1a) (P(a X b) ( b) (a)。
概率论知识
概率论知识概率论知识概率论是数学的一个分支，主要研究随机事件的规律性和统计规律。
它是一种量化分析随机现象的工具，被广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
一、基本概念1. 随机事件：指在一定条件下可能发生或不发生的事情，如掷骰子出现1点或2点等。
2. 样本空间：指所有可能发生的随机事件组成的集合，如掷骰子样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：指样本空间中一个或多个元素组成的集合，如掷骰子出现偶数为事件A={2, 4, 6}。
4. 概率：指某个事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，且所有事件概率之和为1。
二、基本公式1. 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A∩B表示A和B同时发生的事件。
2. 条件概率公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中A|B表示在B发生的条件下A发生的概率。
3. 乘法公式：P(A∩B)=P(B)×P(A|B)，其中A∩B表示A和B同时发生的事件。
4. 全概率公式：P(A)=Σi=1nP(A|Bi)×P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分，且所有的Bi不相交且并起来等于样本空间。
5. 贝叶斯公式：P(Bi|A)=P(A|Bi)×P(Bi)/Σj=1nP(A|Bj)×P(Bj)，其中Bi 为样本空间的一个划分，且所有的Bi不相交且并起来等于样本空间。
三、概率分布1. 离散型随机变量：指取有限个或可数个值的随机变量，如掷骰子点数就是一个离散型随机变量。
其概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示，即p(x)=P(X=x)，其中X是随机变量，x是它可能取到的值。
2. 连续型随机变量：指取无限多个可能值的随机变量，如身高、体重等。
其概率分布可以用概率密度函数（PDF）表示，即f(x)，满足f(x)≥0且∫f(x)dx=1。
3. 期望：指随机变量的平均值，通常用E(X)表示。
概率论
S 7 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T 1 }
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第一章 概率论的基本概念
2、 随 机 事 件
定义： 定义： •随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件 随机事件； 可能发生，也可能不发生） 随机事件； 可能发生，也可能不发生） ( •基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 基本事件 有一个样本点组成的单点集； ( •必然事件 : 样本空间 S 本身； 必然发生） 必然事件 本身； 必然发生） •不可能事件 : 空集∅。 不可能事件 空集∅ (必然不发生） 必然不发生）
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第一章 概率论的基本概念 2 ） 频率的稳定性 n=500时 时 nA 251 249 256 253 251 246 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
244 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 实验者 德•摩根 摩根 蒲 丰 n 2048 4040 nH 1061 2048 6019 fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
A U A = A, A I A = A
A U B = B U A, A I B = B I A
( A U B ) U C = A U (B U C ) ( A I B ) I C = A I (B I C )
A U (B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) Morgan定律 定律: De Morgan定律: U A α = I Aα , I A α = U A α
不能同时发生 与 不能同时发生” 50 互不相容 A I B = ∅ “A与B不能同时发生” 60 对立（互逆）事件 A I B = ∅ 且 A U B = S 对立（互逆）
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率论公式
概率论公式
概率论中常用的公式有：
1. 总概率公式：对于事件A和B，如果A和B构成一个完备事件组，则P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')，其中B'
表示事件B的补集。
（该公式可以推广到多个事件的情况）
2. 乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B) = P(A|B)P(B) =
P(B|A)P(A)。
3. 加法公式：对于不互斥的事件A和B，P(A∪B) = P(A)
+ P(B) - P(A∩B)。
4. 条件概率公式：对于事件A和B，如果P(B) > 0，则
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
5. 贝叶斯公式：对于事件A和B，如果P(A) > 0和P(B) > 0，则P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)。
6. 期望值公式：对于一个离散型随机变量X，其期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中x为X的所有可能取值。
7. 方差公式：对于一个离散型随机变量X，其方差Var(X) = E[(X-E(X))^2] = Σ(x-E(X))^2P(X=x)，其中E(X)为X的期望值。
请注意，以上公式只是概率论中的一部分常用公式，还有
许多其他公式可根据具体概率问题的性质和假设来使用。
概率论知识点
概率论知识点概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律和概率性质。
在现实生活中，概率论的应用广泛，涵盖了统计学、经济学、计算机科学等各个领域。
本文将介绍概率论的一些基本概念和常见应用。
一、基本概念1. 随机事件：随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，具有不确定性和不可预测性。
例如，抛一枚硬币的正反面结果就是一个随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一次随机试验中所有可能结果的集合。
以掷一枚骰子为例，样本空间就是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示一些可能的结果的集合。
例如，掷一枚骰子得到的结果是偶数的事件就是{2, 4, 6}。
4. 概率：概率是描述事件发生可能性大小的数值，范围在0到1之间。
概率越大，事件发生的可能性越高。
例如，正常情况下抛一枚硬币出现正面和反面的概率都是1/2。
二、常见应用1. 条件概率：条件概率是指在一定条件下，某一事件发生的概率。
以抽取一张扑克牌为例，已知抽到一张红心牌的条件下，再次抽到红心牌的概率就是条件概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中A和B为事件。
2. 独立事件：独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
例如，抛一枚硬币与掷一颗骰子的结果无关。
若事件A和B是独立事件，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 期望值：期望值是对某个随机变量的平均数的度量。
在离散型随机变量的情况下，期望值的计算公式为E(X) = Σ(x×P(X=x))，其中x为可能的取值，P(X=x)为该取值的概率。
4. 正态分布：正态分布是概率论中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
在统计学中，很多现象都符合正态分布，例如人的身高、智商等。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ√(2π)) × exp(-(x-μ)² / (2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。
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三、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
概率论与数理统计
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”. 分析
二、概率
概率论与数理统计
1.定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的 每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: (1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
概率论与数理统计
性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件A, P( A) 1 P( A).
性质6. 对任意两事件 A, B有 P( A B) P( A) P(B) P( AB ).
3. 随机现象 在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验 中其结果又具有统计规律性的现象。
概率论与数理统计
例1 :在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察出现正反两面
的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
例2：抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
“ 1” , “ 2” , “ 3” , “ 4” , “ 5” , “ 6” .
论的的主要目的,而噪声本身是随机的,所以概率论是 信息论研究中不可缺少的工具. 2）许多服务系统，如电话通信，船舶装卸、机器损修、 病人候诊、红绿灯交换、购物付款排队都可用一类概率 模型来描述。
概率论与数理统计
3）在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产
生级联（或倍增现象）在研究电子光子级联过程的起
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果:
概率论与数理统计
(3) 进行一次试验之前能
确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件,
记录出现正品与次品的件数”.
概率论与数理统计
概率论与数理统计
第一节
随机试验
一、 概率论的诞生、发展及应用 二、 随机现象
三、 随机试验
四、小结
概率论与数理统计
一、概率论的诞生、发展及应用
概率论是研究随机现象的统计规律 的一门学科。
概率论与数理统计
1)在通信\雷达探测中为了准确地传递和接收信号,就
要把噪声干扰的性质分析清楚,并排除干扰,这是信息
概率论与数理统计
§2. 样本空间与随机事件
一 样本空间:
1.定义 ：随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为 E的样本空间,记为 S. 样本空间的元素称 为样本点，用表示.
2.样本空间的分类:
(1).离散样本空间:样本点为有限多个或可列多个. 例 E1,E2等. (2).无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例如： 灯泡的寿命{t|t≥0}.
概率论与数理统计
(5)三个事件至少有一个发生; (6)三个事件中至少有两个发生; (7)三个事件中不多于一个发生;
(8)三个事件中不多于两个事件发生;
(9)三个事件都不发生;
一 、频率 1. 定义：在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件 A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发 生的频率, 记为fn(A).
概率论与数理统计
二、概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事 件A包含S的k个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k P ( A) S中的基本事件总数 n
（此定义由法国数学家Laplace于1812年建立）
概率论与数理统计
三、古典概型概率的计算步骤:
概率论与数理统计
三.事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系: 若事件A发生必然导致事件B发生,则称件 B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等. B
A
S
(1) A B
概率论与数理统计
2.和事件:
若事件A, B中至少有一个发生 , 记为A B。 称为A与B的和事件。
伏问题时要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程、
或波伊亚过程作为实际级联的近似。在探讨太阳黑子 的规律及预测时，时间序列方法非常有用。
概率论与数理统计
二、随机现象
1.确定性现象 在一定条件下必然发生的现象.
2.不确定性现象:在一定条件下，可能这样发生， 也可能那样发生的现象，在试验之前我们不能 确定哪个结果会出现。
2.概率的性质：
概率论与数理统计
性质1. P() 0. 性质2. 若事件 A1 , A2 ,, An 两两互不相容 ,
则 P( A1 A 2 An) P( A1) P( A 2) P( A n). (有限可加性)
性质3. 若A B, 则有 P ( B A) P ( B ) P ( A);
分配律: A (B C) ( A B) ( A C);
A (B C) ( A B) ( A C).
对偶律: A B A B;
A B A B.
概率论与数理统计
例1. 设A, B, C为任意三个事件, 试用A, B, C 表示下列各事件： (1) A和B都发生, 但C不发生; (2)三个事件中恰有一个发生; (3)三个事件中恰有两个发生; (4)三个事件都发生;
P( A i A j )
1 i j k n
P( A i A j A k ) P( A 1 A 2 A n ).
( 1)
n 1
概率论与数理统计
§4. 等可能概型(古典概型)
一、等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
A
S
B
(2) A B
可列个事件 A1 , A2 , 的和事件记为 Ak .
k 1
概率论与数理统计
3.积事件： 若事件A与B同时发生，记为AB， 称为A与B的积事件， 可简记为AB.
类似地, 事件 A K 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
k 1
A
B
S
(3)A B
S
A B AB A AB
说明：
概率论与数理统计
(1)若A, B二事件互为对立事件,
则A, B必互不相容,
但反之不真. (2) 必然事件与不可能事件
互为对立事件。
概率论与数理统计
7.事件的运算律:
交换律: A B B A；A B B A.
结合律:
A ( B C ) ( A B) C; A ( B C ) ( A B) C .
概率论与数理统计
实例3 “从一批含有正
品和次品的交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
正品 、次品.
指挥灯”.
实例5 “明天的天气可
能是晴 , 也可能是多云
或 雨”等都为随机现象.
概率论与数理统计
说明
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
概率论与数理统计
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然
性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现
象这种本质规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
问题 什么是随机试验?
概率论与数理统计
例1.将一枚硬币抛3次，观察出现 正面、反面的次数。 S={HHH,HHT,HTH, THH,HTT,THT,TTH,TTT}, 事件A1----“第一次出现正面”, A1={HHH,HHT,HTH,HTT},
概率论与数理统计
事件A2----“恰好出现一次正面”, A2={HTT,THT,TTH}, 事件A3----“至少出现一次正面”， A3={HHH，HHT，HTH，THH，HTT， THT，TTH}.
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二 随机事件
定义：样本空间S的子集称为随机事件, 简 称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的 一个样本点出现时, 称这一事件发生.
注意！
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基本事件:由一个样本点组成的单点集.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而
成的事件为复合事件.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验 中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点,它在每次 试验中都不发生，称为不可能事件。
§3. 频率与概率
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2. 频率的特性: 波动性和稳定性.
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3. 频率的基本性质：
(1)
(2)
0 f（ 1； （非负性） n A）
f n ( S ) 1; （规范性）
(3) 若A1，A2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).(有限可加性）