追及和相遇问题的研究和讨论

例2、车从静止开始以1m/s2的加速度前进， 车后相距x0为25m处，某人同时开始以 6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不 上，求人、车间的最小距离。
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t, 当人追上车时，两者之间的位移关系为： x人－x0＝x车 即： v人t－x0＝at2/2 由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则 不能追上。 代入数据并整理得： t2－12t＋50＝0 Δ＝b2－4ac＝122－4×50＝－56＜0 所以，人追不上车。
解法四：相对运动法
(1)解：选自行车为参照物，则从开始运动到两车相
距最远这段过程中，汽车相对此参照物(自行车)的各 个物理量的分别为： 已知：v相初＝－6m/s，a相＝3m/s2， v相末＝0 由公式： 2a相x相＝v相末2－v相初2 得 x相＝(v相末2－v相初2) /2a相＝－6m 由： v相末＝ v相初+ a相t 得
问题三：解决追及问题的突破口在哪？ 突破口：研究两者速度相等时的情况 在追及过程中两物体速度相等时， 是能否追上或两者间距离有极值 的临界条件。
常见题型一：
匀加速(速度小)直线运动追及匀速(速度大)直线运动
开始两者距离增加，直到两者速度相等， 然后两者距离开始减小，直到相遇，最后 距离一直增加。
解法三：图像法 (1)解：当 t＝t0 时矩形与三角形的面积之差最大。
Δxm＝6t0/2 （1） 因为汽车的速度图线的斜率等 于汽车的加速度大小 ∴a＝6/t0 ∴ t0＝6/a＝6/3＝2s （2） 由上面（1）、（2）两式可得 Δxm＝6m
例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以 6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时 间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追 上自行车？此时汽车的速度是多少？
解法一：当两车速度相同时，两车相距最远，此时两 车运动时间为t1，两车速度为v 对甲车： v＝v1＋a1t1 对乙车： v＝v2＋a2t1 两式联立得 t1＝(v1－v2)/(a2－a1)＝4s 此时两车相距 Δx＝x1－x2＝(v1t1＋a1t12/2)－(v2t1＋a2t12/2)＝24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为x，运动时间为t， 则： v1t＋a1t2/2＝v2t2 ＋ a2t2/2 得 t＝8s 或 t＝0(出发时刻，舍去。)
一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在 正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿 着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立 即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条 件？
方法1：设两车经过时间t相遇，则 v1t－at2/2－v2t＝x 化简得：at2－2(v1－v2)t＋2x＝0 当 Δ＝ 4(v1 － v2)2 － 8ax＜0 即a＞(v1－v2)2/2x时，t无解，即两车不相撞.
t = (v相末－v相初) /a相=2s
例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以 6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时 间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追 上自行车？此时汽车的速度是多少？
(2)解：汽车追上自行车时两者位移相等
即能追及上且只能相遇一次，两者之间在 追上前的最大距离出现在两者速度相等时。
例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加 速度启动，恰有一自行车以6m/s的速度 从车边匀速驶过， （1）汽车在追上自行车前经过多长时间 后两者距离最远？此时距离是多少？ （2）经过多长时间汽车能追上自行车？ 此时汽车的速度是多少？
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度， 因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的 速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人 车速度相等时，两者间距离最小。 at'＝6 t'＝6s 在这段时间里，人、车的位移分别为： x人＝v人t＝6×6＝36m x车＝at'2/2＝1×62/2＝18m Δx＝x0＋x车－x人＝25＋18－36＝7m
3：速度关系
思考：两物体在同一直线上同向作匀速
运动，则两者之间距离如何变化?
结论：
当前者速度等于后者时，两者距离不变。 当前者速度大于后者时，两者距离增大。 当前者速度小于后者时，两者距离减小。
思考：那匀变速直线运动呢？结论
还成立吗？
结论依然成立：
当前者速度等于后者时，两者距离不变。 当前者速度大于后者时，两者距离增大。 当前者速度小于后者时，两者距离减小。
题型四：速度大的匀速运动追速度小的匀 减速直线运动 两者距离一直变小，一定能追上。要注 意追上时，匀减速运动的速度是否为零。 题型四：匀变速运动追匀变速运动
总结：
解答追及，相遇问题时，首先根据速 度的大小关系判断两者的距离如何变 化，把整个运动过程分析清楚，再注 意明确两物体的位移关系、时间关系、 速度关系，这些关系是我们根据相关 运动学公式列方程的依据。
A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的 速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s。当B车 运动至A车前方7 m处时，B车以a＝2 m/s2的加 速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时， 则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车 之前，二者之间的最大距离是多少？ 解答：B车停止后A车再追上B车。 B车刹车的位移 vA＝vB－at xB＝vB2/2a＝102/4＝25m T＝6/2＝3s A车的总位移 Δx＝x0＋xB－xA xA＝xB＋7＝32m ＝7＋21－12＝16m t＝xA/vA＝32/4＝8s
题型三：速度大的匀减速直线运动追速度 小的匀速运动： ⑴当两者速度相等时，若追者仍未追上 被追者，则永远追不上，此时两者有最 小距离。
⑵若追上时，两者速度刚好相等，则称恰 能相遇，也是两者避免碰撞的临界条件。 ⑶若追上时，追者速度仍大于被追者的速 度，（若不出现碰撞）则先前的被追者还 有一次追上先前的追者的机会，其间速度 相等时，两者相距最远。
A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的 速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s。当B车 运动至A车前方7 m处时，B车以a＝2 m/s2的加 速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时， 则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车 之前，二者之间的最大距离是多少？
解答：设经时间t追上。依题意： vBt－at2/2＋x0＝vAt 车
∴ v自t ＝ at2/2 6×t＝3×t2/2 t＝4s v汽＝at ＝3×4 ＝12m/s
常见题型二：匀速直线运动追及匀加速直线运动
（两者相距一定距离，开始时匀速运动的速度大） 开始两者距离减小，直到两者速度相等，然后 两者距离开始增加。所以： 到达同一位置前，速度相等， 则追不上。 到达同一位置时，速度相等，则只能相遇一次。 到达同一位置时， v加﹤ v匀， 则相遇两次。
（2）常用方法 1、解析法 2、临界状态分析法 3、图像法 4、相对运动法
甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1＝ 16m/s的初速度，a1＝－2m/s2的加速度作匀减速直 线运动，乙车以v2＝4m/s的速度，a2＝1m/s2的加速 度作匀加速直线运动，求两车相遇前两车相距最大 距离和相遇时两车运动的时间。
∴ t＝v自 /a＝6/3＝2s x 自 ＝ v 自t x汽＝ at2/2 ∵Δxm＝x自－x汽
∴Δxm＝v自t－at2/2＝6×2－3×22/2＝6m
例1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度启动，恰有一自行车以 6m/s的速度从车边匀速驶过，（1）汽车在追上自行车前经过多长时 间后两者距离最远？此时距离是多少？（2）经过多长时间汽车能追 上自行车？此时汽车的速度是多少？
1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启 动，加速度a1＝20m/s2，B车晚3s启动，加速度 a2＝30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、 B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距 离是多少？ 解一、两车速度相等时，相距最远。 a1t＝a2(t－3) 得 t＝9s ∴ Δx＝a1t2/2－a2(t－3)2/2＝270m
例2、甲车在前以15 m/s的速度匀速行驶，乙 车在后以9 m/s的速度匀速行驶。当两车相距 32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。 问经多少时间乙车可追上甲车？ 解答：甲车停止后乙再追上甲。 甲车刹车的位移 x甲＝v02/2a＝152/2＝112.5m 乙车的总位移 x乙＝x甲＋32＝144.5m t＝x乙/v乙＝144.5/9＝16.06s
解法二： 甲车位移 x1＝v1t＋a1t2/2 乙车位移 x2＝v2t＋a2t2/2 某一时刻两车相距为Δx Δx＝ x1－x2 ＝ (v1t＋a1t2/2)－(v2t＋a2t2/2) ＝12t－3t2/2 当t＝－b/2a 时，即 t＝4s 时，两车相距最远 Δx＝12×4－3×42/2＝24m 当两车相遇时，Δx＝0，即12t－3t2/2＝0 ∴ t＝8s 或 t＝0(舍去)
追及和相遇（一）
V后
V前
问题一：两物体能追及的主要条件是什么？
能追及的主要条件： 两物体在追及过程中在同一时刻处于
同一位置。
问题二：解决追及问题的关键在哪？ 关键：位移关系、时间关系、速度关系 1：位移关系 追及到时：前者位移+两物起始距离=后者位移 2：时间关系 同时出发：两物体运动时间相同。
一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在 正前方同一轨道上距车为x处有另一辆火车正沿 着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立 即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条 件？
方法2：当两车速度相等时，恰好相遇， 是两车相撞的临界情况，则 v1－at＝v2 v1t－at2/2－v2t＝x 解得 a＝(v1－v2)2/2x 为使两车不相撞，应使 a＞(v1－v2)2/2x
解法二：数学极值法
(1)解：设经过时间t 汽车和自行车之间的距离Δx Δx＝x自－x汽＝v自t－at2/2 ＝6t－3t2/2 二次函数求极值的条件可知： 当 t＝－b/2a＝6/3＝2s 时， 两车之间的距离有极大值， 且 Δxm＝6×2－3×22/2＝6m