初中数学知识点总结：分解因式的概念及方法
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
初中因式分解解题技巧集锦
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02分解多项式常见方法 Common Methods for Decomposing Polynomials PART TWO
共因式提取
它的核心是找出数学表达式中的共同因子，将其提取出来从而得到完整 的因式分解式。在运用这一技巧的过程中，需要注意以下几点： 1. 找出共同因子需要准确而仔细：共同因子是指数学表达式中多个项都 有的因子，通常是最高次项的系数或变量。在寻找共同因子时需要仔细 核对每个项的因子，确保没有漏掉。 2. 使用“分配律”：在提取共同因子时，需要使用“分配律”将共同因 子乘到括号外的剩余部分上。这样可以使得整个表达式更加规范化，在 后续的运算中更容易进行。 3. 积极利用符号：在提取共同因子时，需要注意每个项的符号。如果相 邻两个项的符号不同，就不能直接提取共同因子，而应该将其先化成同 符号，然后再进行提取。 通过以上几点的注意事项，可以有效地运用共同因子提取技巧，更加高 效地解决初中因式分解问题。
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03补项技巧应用 Application of supplementary skills PART THREE
补够项：差平方、总和公式、分组公式
补够项是指将多项式拆分成简单的因子时，为了得到完整的因子，需要添加一些额外的项。其中，包括差平方公式、总和公式和分组公式三 类。 在补够项中，差平方公式需要利用到二次方程解法中的平方差公式，并适用于含有两个平方项的多项式。总和公式则可以通过将多项式中的 各项按一定规律相加得到，适用于含有等差数列的多项式。分组公式则适用于多项式中含有某些项可以组成二次式的情况，通过将这些项分 成一组，再将其视为一个完整因式，从而进行分解。
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初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。
下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。
1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。
2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
建议在使用公式法前先提取公因式。
例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。
关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。
例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。
文章中有一些格式错误，需要修正。
另外，第四段中的一些内容似乎有问题，建议删除。
改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。
1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。
例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。
2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。
例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
上海初二数学因式分解知识点总结
上海初二数学因式分解知识点总结关于上海初二数学因式分解知识点总结上海初二数学因式分解知识点总结知识要领：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。
因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤注意三原则1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式)2.最后结果只有小括号3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))4.最后结果每一项都为最简因式归纳方法：1.提公因式法。
2.公式法。
3.分组分解法。
4.凑数法。
[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]5.组合分解法。
6.十字相乘法。
7.双十字相乘法。
8.配方法。
9.拆项补项法。
10.换元法。
11.长除法。
12.求根法。
13.图象法。
14.主元法。
15.待定系数法。
16.特殊值法。
17.因式定理法。
知识点总结：分解因式与整式乘法为相反变形。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
初中数学初中二年级因式分解
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
人教版初中数学九年级上册 第二十一章 因式分解法
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
导入新知
21.2 解一元二次方程/
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法： x2=a (a≥0)
配方法：
(x+m)2=n (n≥0)
公式法：
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3,
x2=
2 3
．
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； 解：x2+2x+2=0，
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
21.2 解一元二次方程/
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
把方程左边因式分解，
∴x＝－－4±
－24×2－3 4×3×－1＝2±3
7 .
得(y－5)(y＋3)＝0.
∴x1＝2＋3
③x2－3x＝0；
∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±2
5 .
④x2－2x＝4.
∴x1＝3＋2
5，x2＝3－2
5 .
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
若选择②， ②适合直接开平方法， ∵(x－1)2＝3，
初中因数分解的理论与方法
公因数
“公因数”指的是多个数中共同拥有的因数，即能够整除这些数的因数。
一、求公因数的方法：
1. 列举法：将多个数的因数列举出来，找出它们所拥有的公因数。 2. 分解法：将多个数分解质因数后，找出它们所拥有的公因数的质因数，并将其合并。
三、应用公因数分解的例题：
如何将20、30、45分别分解质因数？ 20=2×2×5，30=2×3×5，45=3×3×5，它们的公因数是2和5，因此它们的最大公 因数为2×5=10。
合并同类项
(1)同类项的定义：具有相同字母因子及其指数的代数式部分称为同类项。例如：3x²y和5x²y就是同类项，2xy和 4x²y就不是同类项。 (2) 合并同类项的原理：同类项之间可以进行加减运算，结果是一个同类项。 (3) 合并同类项的步骤：将同类项写在一起，把它们的系数加起来，字母部分不变。
分式变乘法，约分前处理
1. 提醒学生要注意分式变乘法前的预处理，尤其是当分子或分母中含有括号 或分式时，需要先根据乘法分配律将其展开，再进行分式变乘法。 2. 引导学生合理选择约分时机，建议在分式化简过程中进行约分，避免题目 最后还需要进行约分，增加了解题难度。同时，还要提醒学生注意分母中可 能存在因式相同的项，可以先将其合并再进行约分，以避免漏掉部分解。
03
1. 求两个数的最大公因 数的方法： 因数分解法：将两个数 分解质因数，找出最大公因数。
04
1. 是一种常用的初中因 式分解解题方法，其基 本思想将多项式中的一 项先除以因式中的一个 因子，然后再将商式进 行因式分解得到最终的 结果。
划总公因式
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运用差平方公式进行分解
1. 差平方公式介绍：差平方公式是一种常用的数学公式，可用于将两个平方数的差表示为两个因数的乘积。例如，a²-b²可以分解为(a+b)(a-b)。 2. 差平方公式在因式分解中的应用：我们可以利用差平方公式将一个多项式分解成为两个因数的乘积。这在初中因式分解的解题过程中比较常见，因为有些 多项式在经过差平方公式化简后，可以更容易地分解成为可简单处理的因式，进而完成解题。 3. 差平方公式的练习方法：学生可以通过大量的练习来掌握差平方公式的应用。可以选择一些具体的例题，结合实际操作，让学生逐渐掌握差平方公式的使 用规律。同时，老师也可以鼓励学生自己寻找差平方公式的应用场景，来提高学生的主动性。
初中数学教案：初步认识代数式与因式分解
初中数学教案：初步认识代数式与因式分解一、引言代数式与因式分解是初中数学中的重要内容，它们是数学思维和逻辑推理的基础，也是进阶数学知识的前提。
通过初步认识代数式与因式分解，学生可以锻炼自己的观察力、分析问题的能力，并打下良好的数学基础。
本教案将围绕初中数学教材中有关代数式与因式分解的内容进行讲解和实践。
二、代数式的概念及性质1. 什么是代数式？代数式由字母和数字以及运算符号组成，它表达了数量之间的关系。
例如：3x + 2y - 5z。
2. 代数式的性质有哪些？（1）代数式有整体和部分：例如，在3x + 2y - 5z中，3x就是整体，2y和-5z 就是部分。
（2）代数式有系数和变量：在3x中，3就是系数，x就是变量。
（3）代数式有项和次项：在3x + 2y - 5z中，每个用加减法连接起来的部分叫做项；而每个项自身又可以再拆分为若干个连乘积形成次项。
三、因式分解的概念及方法1. 什么是因式分解？因式分解是将一个代数式写成若干个乘积的形式，其中每个乘积叫做因子。
这种分解是根据代数式中各项的公共因子进行的。
2. 因式分解的基本原则和方法有哪些？（1）提取公因子法：当一个代数式中的各项都含有相同的因子时，可以通过提取公因子来进行因式分解。
（2）平方差公式法：对于二次多项式a² - b²，可以利用平方差公式进行因式分解，得到(a + b)(a - b)。
（3）完全平方公式法：对于二次多项式a² + 2ab + b²，可以利用完全平方公式进行因式分解，得到(a + b)²。
（4）区别二次三项和四项或更高阶多项情况下使用配方法进行因式分解。
四、教学设计1. 教学目标(1) 了解代数式的基本概念和性质。
(2) 掌握因数与倍数的概念；(3) 掌握将一个代数表达常量化问题转化为求个位整数字根问题；(4) 熟练掌握整数组之间乘除运算法则。
2. 教学准备(1) 教学课件。
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱初中数学中，因式分解是一个非常重要的内容，因为它不仅是理解代数式的基础，还在后续学习中有很多的应用。
在这篇文章中，我们将介绍初中数学中因式分解的常用方法以及解题的32个难点。
一、因式分解的常用方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将一个代数式中所有项的公共因子提取出来，变成一个公因式和剩下的部分的积的形式。
如：24a+12ab可以写成12a(2+b)。
2. 分组分解法分组分解法是指将一个代数式按照特定的规则进行分组再进表达，一般用于在特殊条件下的因式分解。
如：4a²-12ab+9b²可以分为（2a）²-2×2a×3b+（3b）²，然后用(a-b)²=a²-2ab+b²得到（2a-3b）²。
3. 平方法平方差公式可以用于因式分解，公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
如：a²-25可以写成(a+5)(a-5)。
4. 公式法在初中数学中，有一些常用公式，如二次公式、高斯定理等，这些公式在因式分解中也可以起到帮助作用。
如：x²-y²可以用公式(x+y)(x-y)表示。
二、32个习题陷阱1.习题一：将5x²+10xy+4y²分解。
（答案：(x+2y)(5x+2y)）难点：很多学生容易忽略+4y²这项，就没有括在括号里，直接公因式提取或分组分解，结果变成(x+2y)5(x+2y)，这个式子明显有误。
2.习题二：将x²+10xy+16y²分解。
（答案：(x+4y)(x+4y)）难点：这个题如果直接公因式提取或分组分解会很困难，事实上，这个题可以通过列方程、用辗转相除法来解决，但需要一定的运算技巧。
3.习题三：将3x²-12x+9分解。
（答案：3(x-1)(x-3)）难点：这个题目会引起很多同学的困惑，因为-12x这个项和常数项9很相似，容易认为是“平方差”，从而想到用(a-b)²=a²-2ab+b²这个公式来解，但其实这个式子不适用于这个题目。
因式分解
第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。
其中每一个整式叫做积的因式。
二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。
（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。
配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。
（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。
初中数学重点知识点归纳总结全解
初中数学知识点归纳总结一、基本运算方法1、配方法所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法.其中,用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它.2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等.3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法.我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决.4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用.韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等5、待定系数法在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法.它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决,这种解题的数学方法，我们称为构造法。
初中数学精品课件： 因式分解
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
七年级上册数学因式分解知识点
七年级上册数学因式分解知识点因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，也称为分解因式。
它是中学数学中最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
研究它，既可以复整式四则运算，又为研究分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法。
在竞赛上，还有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
在因式分解中，需要注意三个原则：分解要彻底，最后结果只有小括号，最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）。
基本的因式分解方法包括提公因式法和公式法。
提公因式法是指当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
具体方法是当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
公式法是指将乘法公式反过来，从而把某些多项式分解因式。
例如，平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.但需要注意的是，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$；完全立方公式：$a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3$。
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初中数学知识点总结：分解因式的概念及方法
知识点总结
【一】因式分解的概念：
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
【二】分解因式的常用方法有：
1.提公因式法;
2..公式法;
3.十字相乘法;
4.分组分解法;
5.求根公式法。
【三】因式分解的步骤及本卷须知：
1.一般步骤：〝一提〞：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；〝二套〞：再考虑能否运用公式法分解因式，一般的根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式或十字相乘法，更多项的多项式，应分组分解.
2.分解因式需要本卷须知：分解因式必须彻底，应进行到每个因式都不能在分解为止；分解因式要注意，是在有理数范围内，还是在实数范围内。
【四】分解因式的应用：
1.使一些较复杂的计算简便；
2.求一些无法直接求解的代数式的值；
3.判断多项式的整除性质；
4.与几何中三角形的三边关系结合解决一些综合性问题。
常见考法
实际生活中，人们为了解决问题常常遇到某些复杂的计算问题，如果根据题目的特点，运用分解因式将式子变形，会简化运算量，提高准确率，所以灵活应用各种方法分解因式是历届中考的重点。
题型一般是小型综合题，难度一般，解题规律明显。
误区提醒
〔2018年舟山〕给出三个整式a2，b2和2aB、
(1)当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
【解析】(1) 当a=3，b=4时，a2+b2+2ab==49．
(2) 【答案】不唯一，例如，
假设选a2，b2，那么a2-b2=(a+b)(a-b)．
假设选a2，2ab，那么a2±2ab=a(a±2b)．。